Die Lösung liegt auf dem Weg

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Jobst Hummel
vor 6 Jahren
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1 Die Lösung liegt auf dem Weg Aufgabe 26 Ein Floß hatte sich von seiner Verankerung losgerissen, was erst 6 Stunden später bemerkt wurde. Mit einem Motorboot, das eine um durchschnittlich 9 km/h höhere Geschwindigkeit als das Floß erreichte, wurde es nach 24 km eingeholt. Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Floß? Aufgabe 27 Adorf, Behausen und Cestadt liegen in dieser Reihenfolge an einer Landstraße. Von Behausen aus fährt ein Pferdefuhrwerk morgens um 6 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 10 km/h nach Cestadt. Am gleichen Tag fährt von Adorf aus ein Radfahrer um 7 Uhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 km/h nach Cestadt. Die Entfernung zwischen Adorf und Behausen beträgt genau 5 km. Der Radfahrer kommt in Cestadt 20 Minuten früher an als das Pferdefuhrwerk a) Wie viele Kilometer sind Behausen und Cestadt voneinander entfernt? b) Zu welcher Uhrzeit und in welcher Entfernung von Cestadt überholt der Radfahrer das Pferdefuhrwerk? Aufgabe 28 Drei Schnecken machen von einer gemeinsamen Startlinie aus einen Wettlauf zu einem Ziel, das 1 Meter in gleicher Richtung entfernt ist. Sie kriechen mit gleicher und konstanter Geschwindigkeit. Die Schnecke A kriecht immer 5 cm vorwärts. Danach legt sie eine Pause von jeweils 6 Sekunden ein. Die Schnecke B kriecht immer 10 cm vorwärts. Danach macht sie jeweils 12 Sekunden Pause. Die Schnecke C kriecht immer 20 cm vorwärts. Danach legt sie eine Pause von jeweils 24 Sekunden ein. In welcher Reihenfolge kommen die Schnecken im Ziel an? 16

2 Aufgabe 29 Ein Mathematiker machte eine Wanderung. Zunächst ging er auf ebener Straße, dann eine Strecke bergauf bis er wieder umkehrte und auf gleichem Wege zurückging. Er wusste, dass er insgesamt 5 Stunden unterwegs war und seine durchschnittliche Geschwindigkeit auf ebener Straße 4 km/h, bergauf 3 km/h und bergab 6 km/h betragen hatte. Nach Hause zurückgekehrt, setzte er sich an den Tisch und berechnete die Entfernung von seiner Wohnung bis zum Umkehrpunkt. Wie weit ist er gelaufen, bis er umgekehrt ist? Aufgabe 30 Zwei Igel liefen um die Wette. Sie starteten zum gleichen Zeitpunkt, liefen auf zwei verschiedenen, aber gleich langen Wegen und erreichten zum gleichen Zeitpunkt das Ziel. Der erste Igel stieß während seines Laufs auf keinerlei Hindernisse. Der zweite Igel hingegen stieß auf zwei Schildkröten, die er nicht umgehen konnte, sodass er seinen Lauf auf deren Panzer fortsetzte. Die Begegnungen behinderten diesen Igel nicht in seinem Lauf, das heißt, er erlitt weder einen Tempoverlust noch einen Zeitverlust. Die erste Schildkröte war 1 m lang und kroch dem Igel mit einer Geschwindigkeit von 6 cm/s entgegen. Die zweite Schildkröte war 50 cm lang und kroch mit einer Geschwindigkeit von 18 cm/s in die gleiche Richtung wie der Igel. Welcher der beiden Igel besaß die größere Laufgeschwindigkeit? 17

3 S. 16 zu Aufgabe 26 Wir verwenden die Beziehung s = v t für den Weg, die Geschwindigkeit und die Zeit. Dabei müssen wir allerdings unterschiedliche Bezugssysteme beachten. Mit der gesuchten Geschwindigkeit v des Floßes erhalten wir die Zeit t, die bis zum Einholen verstreicht, aus der Beziehung t = 24 km v. Das Motorboot legt dieselbe Strecke in der Zeit t 6 h und der Geschwindigkeit v + 9 km/h zurück. Also gilt unter Weglassen der Einheiten die Beziehung (v + 9)( 24 6) = 24 v (v + 9)(24 6v) = 24v (v + 9)(4 v) = 4v v 2 + 9v 36 = 0 mit den Lösungen v 1 = 3, v 2 = 12. Da die negative Lösung als Geschwindigkeit nicht in Frage kommt, ist v = 3 die einzige sinnvolle Lösung. Antwort: Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Floßes und damit des Flusses betrug 3 km/h. Das Floß war 8 Stunden und das Motorboot 2 Stunden unterwegs. zu Aufgabe 27 a) Die Gesamtstrecke von Adorf nach Cestadt wird mit km bezeichnet. Dies ist auch die Strecke, die der Radfahrer zurücklegt. Seine Geschwindigkeit beträgt 15 km/h, daher braucht er die Zeit t R = 15 h. 5 km ( 5) km Adorf km Behausen Cestadt Das Pferdefuhrwerk legt die Strecke ( 5) km mit der Geschwindigkeit 10 km/h zurück, benötigt dafür also die Zeit t F = 5 10 h. Die Zeit t R ist um 1 h 20 min kürzer als die Zeit t F. Daher gilt 5 10 = ( 5) = 2( + 20) = 55. Antwort: Behausen und Cestadt sind 50 km voneinander entfernt. 62

4 b) Wenn der Radfahrer das Pferdefuhrwerk überholt, hat er eine Strecke s R zurückgelegt. Für diese gilt im Vergleich zur bis dahin vom Pferdefuhrwerk zurückgelegten Strecke s F s R 5 km = s F. Einsetzen der Weg-Zeit-Beziehungen und Weglassen der Einheiten führt auf v R t R 5 = v F t F 15t R 5 = 10(t R + 1) 5t R = 15 t R = 3. s R = v R t R = 15 3 = 45 Antwort: Der Radfahrer überholt das Fuhrwerk nach 3 Stunden. Er hat bis dahin 45 km zurückgelegt, befindet sich also 10 km vor Cestadt. S. 16 zu Aufgabe 28 Da alle drei Schnecken mit gleicher Geschwindigkeit vorwärts kriechen, hängt die Zielankunft nur von den Pausenlängen ab. Wegen 5 cm 20 = 100 cm legt Schnecke A 19 Pausen ein. Wegen 10 cm 10 = 100 cm legt Schnecke B 9 Pausen ein. Wegen 20 cm 5 = 100 cm legt Schnecke C 4 Pausen ein. Die Gesamtdauer der Pausen beträgt für Schnecke A: 6 s 19 = 114 s; für Schnecke B: 12 s 9 = 108 s; für Schnecke C: 24 s 4 = 96 s. Antwort: Schnecke C erreicht als erste, Schnecke B als zweite und Schnecke A als letzte das Ziel. zu Aufgabe 29 S. 17 Wir bezeichnen die Entfernung von der Wohnung bis zum Umkehrpunkt mit und die Länge der Gefällstrecke mit y. Unter Weglassen der Einheiten können wir dann die Zeiten t 1 für den Hinweg sowie t 2 für den Rückweg als Quotient aus Weg und Geschwindigkeit berechnen: t 1 = y 4 + y 3 = 4 + y 12, t 2 = y 6 + y 4 = 4 y 12. Durch Addition folgt t 1 + t 2 = 2. Andererseits wissen wir t 1 + t 2 = 5. Aus = 5 ergibt sich = Antwort: Die Entfernung von der Wohnung bis zum Umkehrpunkt beträgt 10 km. 63

5 S. 17 zu Aufgabe 30 Die Laufgeschwindigkeit des zweiten Igels sei cm/s. Zum Zurücklegen von 100 cm Weglänge auf dem Panzer der ersten Schildkröte benötigt der Igel 100 Sekunden. In dieser Zeit legt die erste Schildkröte einen Weg von 600 cm, und zwar in Gegenrichtung, zurück. Zum Zurücklegen von 50 cm Weglänge auf dem Panzer der zweiten Schildkröte benötigt der Igel 50 Sekunden. In dieser Zeit legt die zweite Schildkröte einen Weg von 900 cm, und zwar in Laufrichtung, zurück. Aus cm cm = cm folgt, dass der zweite Igel 300 cm Weglänge einspart. Antwort: Der erste Igel war der schnellere Igel. S. 18 zu Aufgabe 31 Die Ziffern der Zahl a seien von links nach rechts w,, y, z. Dann gilt a = 1 000w y + z b = 100w y c = 10w + d = w. Daraus folgt a + b + c + d = 1 111w y + z = Daher muss w = 1 sein. Dann ist y + z = 896. Daher muss = 8 sein. Dann ist 11y + z = 8. Daher muss y = 0 sein. Dann ist z = 8. Probe: = Antwort: Die gesuchte Zahl a lautet zu Aufgabe 32 Erste Lösung Erste Überlegung: Wenn a eine gerade Zahl ist, dann sind a 2 und a 4 gerade. Damit ist der Zähler gerade. Wenn a eine ungerade Zahl ist, dann sind a 2 und a 4 ungerade. Damit ist der Zähler gerade, weil die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist. In beiden Fällen ist der Zähler durch 2 teilbar. 64

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