Propädeutikum Mathematik

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1 Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung Wirtschaftsinformatik WiSe 2018/19 Seite 1

2 Propädeutikum Mathematik für Wirtschaftsinformatiker (BIS) Beispiele WiSe 2018/19 Seite 2

3 Eingangstest Beispiel 1: In einem Land mit 20% Mehrwertsteuer kostet ein Fernseher inclusive MWSt 240,00 Geldeinheiten. Wie hoch ist der Mehrwertsteueranteil, bzw. wie hoch ist der Nettopreis? Beispiel 2: Ein Sportler läuft auf dem Hinweg seiner Laufstrecke mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h und auf dem Rückweg derselben Strecke mit 12 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Folie 6 WiSe 2018/19 Seite 3

4 1. Mengen Beispiel 1: A = Menge der natürlichen Zahlen kleiner 5 Beispiel 2: B = Menge der geraden natürlichen Zahlen kleiner 5 Beispiel 3: C = Menge der Primzahlen kleiner 10 Beispiel 4: X = Menge der am in Deutschland zugelassenen PKW Folie 8 WiSe 2018/19 Seite 4

5 2. Zahlbereiche N abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation N 0 = {0, 1, 2, 3, } = N {0} Z abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation und Subtraktion Q abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division R abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division und Wurzelziehen etc. Folie 9 WiSe 2018/19 Seite 5

6 4. Bruchrechnen Kürzen: = = = = = = ggt(24, 36) =12: = = Kürzen? kgv(10,4)=20 + = + = = =? WiSe 2018/19 Seite 6

7 Multiplikation: Division: = = = : = : = = = Doppelbruch: = : = = = = Gemischter Bruch: = + = + = Verwechslung mit: = = Ü WiSe 2018/19 Seite 7

8 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 1: = "# Beispiel 2: $ %&' ' = " *,&- Beispiel 3: / ="20 1 2&' 1 =2 "0 2&' = 2(1+2+ +/) WiSe 2018/19 Seite 8

9 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 4: = = "# - 6 %&' Beispiel 5: ' =" 2* 1,&' 9 ="(2*+1),&+ Beispiel 6: / = " 1 20 = &' 1 " 1 0 = 1 2 2&' / Folie 16 WiSe 2018/19 Seite 9

10 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 7: = :# Beispiel 8: 9 %&' (/ 1) / = :0 sprich: n Fakultät Beispiel 9: 2&' < < =:* 1,' =:*( 1),',&',&' Folie 17 WiSe 2018/19 Seite 10

11 6. Binomische Formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 Pascalsches Dreieck: usw Folie 19 WiSe 2018/19 Seite 11

12 7. Potenzen und Wurzeln Beispiel 1: 2 = = =32 ; 2 = = ' - > = '?- Beispiel 2: ( 1) 6 = =1 Beispiel 3: ( 1) 1 =@ 1, BCDDE / FGHCIG 1, BCDDE / J/FGHCIG Beispiel 4: 12K - L - M? 3(KLM)? =? Folie 21 WiSe 2018/19 Seite 12

13 Beispiel 5: > 32 > = 2 = =2 Beispiel 6: O 3 - =? 125 '?=? Beispiel 7: Q C $ P 9 R Q =? K '- =? Beispiel 8: Achtung! Beispiel 9: Vereinfache TU V W Ü WiSe 2018/19 Seite 13

14 8. Logarithmen Beispiel 1: DXF '+ (1000)=3, denn 10? =1000 Beispiel 2: DXF? (81)=4, denn 3 6 =81 Beispiel 3: DI(1024)=DXF - (1024)=10, denn 2 '+ =1024 Beispiel 4: Achtung! DXF T J+Y DXF T J + DXF T Y = DXF T JY Ü WiSe 2018/19 Seite 14

15 9. Gleichungen mit einer Unbekannten Folie 26 Beispiel 1: Drei Schwestern sind zusammen 33 Jahre alt. Die Älteste ist doppelt so alt wie die Jüngste. Die Mittlere ist zwei Jahre jünger als die Älteste. Wie alt sind die drei Geschwister? Beispiel 2: Kurz nach der Tagesschau schaut ein Fernsehzuschauer kurz auf die Wanduhr und stutzt: Sind großer und kleiner Zeiger in diesem Moment nicht exakt gleich weit von der 6 auf dem Ziffernblatt entfernt? Die Winkel scheinen in der Tat gleich groß zu sein. Aber ist das überhaupt möglich? Und falls ja: Wie lautet die genaue Uhrzeit in diesem Moment? WiSe 2018/19 Seite 15

16 Beispiel 3: Am werden 1000 Euro auf ein Sparkonto eingezahlt. Zum Jahresende werden jeweils die Zinsen gut geschrieben und weitere 100 Euro eingezahlt. Am befinden sich 1307,50 Euro auf dem Konto. Wie groß war der Zinssatz? Beispiel 4: 4 6 K =K Ü Beispiel 5: 2K+7 4K 3 = K 10 4K 5 Folie 27 WiSe 2018/19 Seite 16

17 Beispiel 6: x 5 x 4 6x 3 = 0 Beispiel 7: x 6 35x = 0 Folie 27 Beispiel 8: x 3 6x x 6 = 0 Beispiel 9: x 3 3x = 0 Beispiel 10: x 4 10x x 2 50x + 24 = 0 Ü WiSe 2018/19 Seite 17

18 Beispiel 11: 5 2x-3 = 2 x+1 Beispiel 12: 5 x 3 2x = 7 x x Ü 5.1 WiSe 2018/19 Seite 18

19 10. Dreisatz und Prozentrechnung Beispiel 1: Ein PKW fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt in 20 Minuten eine Strecke von 40 km zurück. Welche Strecke legt der PKW bei Beibehaltung der Geschwindigkeit in 3½ Stunden zurück? Beispiel 2: Folie 29 Fünf Maschinen erledigen eine bestimmte Arbeitsmenge in drei Stunden. Wie lange würden 15 Maschinen benötigen? Folie 30 WiSe 2018/19 Seite 19

20 10. Dreisatz und Prozentrechnung Beispiel 3: 45% der Studierenden an der Fakultät IV sind weiblich. Insgesamt gibt es 4000 Studierende an der Fakultät. Wie viele davon sind weiblich? Folie 30 Beispiel 4: 200 Euro werden auf einem Sparbuch mit 3% p.a. verzinst. Wie hoch ist der Kontostand des Sparbuches nach einem Jahr? Folie 30 WiSe 2018/19 Seite 20

21 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 1: 2x + 4 < 3x y Wo liegt die linke Gerade unter der rechten Geraden? x Beispiel 2: Z' Z- > '? Wo liegt der linke Bruch über ein Drittel? Ü 6.1 y x Folie 33 WiSe 2018/19 Seite 21

22 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 3: 6 y 2x 2 6x + 4 < 0 In welchen Intervallen ist der Ausdruck 2x 2-6x + 4 positiv, wo ist er negativ? Beispiel 4: 2x 2 > 4x In welchen Intervallen ist der Ausdruck 2x 2-4x positiv, wo ist er negativ? y x x WiSe 2018/19 Seite 22

23 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 5: -x 2 + 5x 6 > 0 In welchen Intervallen ist der Ausdruck -x 2 + 5x - 6 positiv, wo ist er negativ? y x Ü 6.2 Folie 34 WiSe 2018/19 Seite 23

24 12. Gleichungssysteme Beispiel 1: (1) 2x + 3y = 7 (2) 3x 2y = 4 Wo schneiden sich die Geraden? y x Beispiel 2: (1) 2x 4y = 10 (2) 3x + 6y = 15 Die Geraden sind identisch und liegen übereinander! WiSe 2018/19 Seite 24

25 12. Gleichungssysteme Beispiel 3: (1) 4x 6y = 7 (2) x + 1,5y = 4 Wo schneiden sich die Geraden? y x Beispiel 4: x 2 + 3y 7 = 0 2x + y = 0 Ü 6.3 WiSe 2018/19 Seite 25

26 12. Gleichungssysteme Beispiel 5: y 2 + y = 0 x 2 4 = 0 Beispiel 6: x 2 + 4xy + 8x = 0 xy - 4 = 0 Beispiel 7: x - 1 = 0 xy y/x = 0 Ü 6.4 WiSe 2018/19 Seite 26

27 13. Grundlagen der ebenen Geometrie Beispiel 1: Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch die Punkte P = (2; 4), Q = (-1; 1) geht? Beispiel 2: Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch den Punkt P = (-1; 1) geht und die Steigung m = ½ besitzt? Ü Folie 37 WiSe 2018/19 Seite 27