Aufgabe 5: Von zwei Brüdern ist der eine 6 Jahre älter als der andere. Vor 6 Jahren war er gerade dreimal so alt. Wie alt ist jeder jetzt?

Transkript

1 Lineares Gleichungssstem, Aufgaben Klasse Aufgabe : Verlängert man an einem Dreieck die Grundseite um cm und die ugehörige Höhe um cm, so ächst der Flächeninhalt um cm². Verkürt man dagegen die Grundseite um cm und die ugehörige Höhe um cm, so verringert sich der Flächeninhalt um cm². Berechne die Grundseite und die Höhe des Dreiecks! Aufgabe : Verlängert man an einem Rechteck die kleinere Seite um cm und die größere um cm, so ächst der Flächeninhalt um cm². Verlängert man dagegen die kleinere Seite um cm und die größere um cm, so ächst der Flächeninhalt um cm². Berechne die Seiten des Rechtecks! Aufgabe : In einem Rechteck beträgt die Länge einer Seite / der Länge der anderen. Vergrößert man die größere Seite um cm und verkleinert man die kleinere um cm, so ändert sich der Flächeninhalt nicht. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Aufgabe : Verlängert man an einem Rechteck die längere Seite um cm und die kürere Seite um cm, so entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt um cm² größer ist als der Flächeninhalt des Rechtecks. Berechne die Seiten des Rechtecks! Aufgabe : Von ei Brüdern ist der eine Jahre älter als der andere. Vor Jahren ar er gerade dreimal so alt. Wie alt ist jeder jett? Aufgabe : Vater und Sohn iegen usammen kg. Würden beide kg abnehmen, dann ürde der Vater genau doppelt so scher sein ie sein Sohn. Wie viel kg iegen Vater und Sohn? Aufgabe : Eine Kassiererin ahlt in Scheinen und Scheinen aus. Es sind insgesamt Scheine. Wie viel Scheine und ie viel Scheine sind das? Aufgabe : Um : Uhr startet ein Fußgänger u einer Wanderung mit einer durchschnittlichen Geschindigkeit von km/h. Um : Uhr folgt ihm ein Radfahrer mit einer durchschnittlichen Geschindigkeit von km/h. Wann holt der Radfahrer den Wanderer ein? Aufgabe : Eine Bergbahn verlangt für Berg- und Talfahrt usammen, für die Bergfahrt allein, und für die Talfahrt ohne Bergfahrt. An einem Sonntag fuhren im ganen Personen mit der Bahn hinauf und Personen hinab. Es gingen ein. Wie viele Personen nutten Berg- und Talfahrt, nur die Bergfahrt oder nur die Talfahrt? Aufgabe : Ein Kapital von Fr. ist in drei Posten abgelegt, u %, % und %. Werden nach einem Jahr die Zinsen dau geschlagen. so erden alle Posten gleich groß. Wie groß aren die Posten am Anfang? Aufgabe : Ein Radfahrer hat eine Geschindigkeit von km/h auf ebenem Gelände, von km/h bergaufärts und von km/h abärts. Wieviel ebenen, ansteigenden und absteigenden Weg enthält unter diesen Voraussetungen eine Strasse von km, enn der Radfahrer Stunden Minuten braucht, um sie in der einen Richtung, und Stunden Minuten, um sie in der anderen Richtung u durchfahren? Aufgabe : Ein Kind ist Jahre jünger als seine Mutter. In Jahren ird die Mutter mal so alt ie das Kind sein. Wo ist der Vater? Die Aufgabe ist nicht gan ernst gemeint!

2 Lösungen Aufgabe Grundseite g, Höhe h (g) (h) / gh / und (g-) (h-) / gh / - g cm, h cm Aufgabe größere Seite a, kleinere Seite b (a) (b) ab und (a) (b) ab a cm, b cm Aufgabe größere Seite a, kleinere Seite b b / a und (a) (b-) a b a cm, b cm Aufgabe größere Seite a, kleinere Seite b (a) (b) ab und a b a cm, b cm Aufgabe Alter des älteren, Alter des jüngeren Bruders und - ( - ) Jahre, Jahre Aufgabe Masse des Vaters, Masse des Sohnes und - ( - ) kg, kg Aufgabe Anahl Scheine, Anahl Scheine und, Aufgabe Anahl der Stunden, die der Fußgänger unteregs ist, entsprechend für den Radfahrer, und,,,, d.h. um : Uhr Aufgabe Anahl Bergfahrt, Anahl Talfahrt, Anahl Berg- und Talfahrt Gleichungssstem:, ; ; ergibt Bergfahrtbillette, Retourbillette -, Talfahrtbillette - Aufgabe ;,, ;,, ergibt.posten Fr.,.Posten Fr.,.Posten Fr. Aufgabe / / /, ; / / /, ; Auf dem Hineg geht es km abärts und km aufärts. Der Rest km ist eben. Aufgabe das Kind ist -¾ Jahre alt :-)

3 Lineare Gleichungsssteme (Klasse ) Aufgabe Löse folgende Gleichungsssteme! a) b) c) d) e) f) ) ( g) h) i) Aufgabe Löse folgende Gleichungsssteme! a) b) c) Lösungen a) {; } b) {; -} c) {-; } d) {; } e) {; } f) keine Lösung g) h) { ; } i) {; } a) {; ; } b) {; ; } c) {; ; }

4 Lineare Gleichungsssteme - Sachaufgaben Aufgabe Die Fahreuge A, B und C legen dieselbe Strecke urück. B ist um km/h schneller und braucht Minuten eniger als A. C ist um km/h langsamer und braucht Minuten mehr als A. Berechne die Fahreit und die mittlere Geschindigkeit von A. Aufgabe Welcher Bruch nimmt den Wert / an, enn man um Zähler und Nenner je addiert, dagegen den Wert /, enn man je subtrahiert? Aufgabe Die Quersumme einer eiiffrigen Zahl ist. Vertauscht man die Ziffern und subtrahiert die neue Zahl von der ursprünglichen, so erhält man die Differen. Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Aufgabe Vergrößert man Länge und Breite eines Rechtecks um b. cm, so nimmt sein Inhalt um cm² u. Vergrößert man Länge und Breite um b. cm, so nimmt sein Inhalt cm² u. Wie groß sind Länge und Breite dieses Rechtecks? Aufgabe Die Mutter ist Jahre älter als die Tochter, der Vater Jahre älter als der Sohn. Mutter und Tochter sind usammen so alt ie der Vater. Vater, Mutter und Tochter sind usammen viermal so alt ie der Sohn. Stelle die notendigen Gleichungen auf und berechne das Alter der Kinder. Aufgabe Die Mutter ist Jahre, der Vater Jahre älter als die Tochter. Die Mutter ist dreimal so alt ie ihre beiden Kinder. Mutter und Kinder sind usammen so alt ie der Vater. Stelle die notendigen Gleichungen auf und berechne das Alter der Kinder.

5 Lösungen... Geschindigkeit A,... Zeit A Sstem ()(-/) ; (-)(/) A fährt mit km/h und ist hmin,h unteregs. Sstem ()/() / ; (-)/(-) / ; der Bruch ist / ; Die Zahl ist ; cm und cm Alter der Tochter, Alter des Sohnes ; - Alter der Tochter: Jahre, Alter der Mutter: Jahre Alter des Sohnes: Jahre, Alter des Vaters: Jahre Anmerkung: Merkürdiges Ergebnis, die Mutter ar bei der Geburt der Tochter (!) Jahre alt Alter der Tochter, Alter des Sohnes () ; () Alter der Tochter: Jahre, Alter der Mutter: Jahre Alter des Sohnes: Jahre, Alter des Vaters: Jahre

6 Lineare Gleichungsssteme - Historische Aufgaben Aufgabe Zei Personen ollen ein Pferd für Gulden kaufen. A sagt u B: "Gib mir / von deinem Geld, so ill ich meines dautun und das Pferd beahlen." B sagt u A: "Gib mir von deinem Geld /, so ill ich mit meinem usammen das Pferd beahlen." Nun frage ich, ieviel Geld jeder gehabt hat. (Adam Ries) Aufgabe Drei Personen ollen ein Grundstück um Gulden kaufen. A fehlt die Hälfte des Geldes von B auf den Kaufpreis. B fehlt / des Geldes von C, und C fehlt / von A. Wieviel hat jeder? (Adam Ries) Aufgabe Die Mitgift von Francescos Frau ist um Gulden höher als Francescos eigenes Vermögen, und das Quadrat der Mitgift ist um größer als das Quadrat des Vermögens. Berechne die Mitgift und das Vermögen. (Cardano, ) Aufgabe Aus Garben einer guten Ernte, Garben einer mittelmäßigen Ernte und Garbe einer schlechten Ernte erhält man den Ertrag von Körben. Aus Garben einer guten Ernte, Garben einer mittelmäßigen Ernte und Garbe einer schlechten Ernte erhält man Körbe. Aus Garbe guter Ernte, Garben mittelmäßiger Ernte und Garbe schlechter Ernte erhält man Körbe. Wie viel ist der Ertrag je einer Garbe der guten, der mittelmäßigen und der schlechten Ernte? (China,. Jh. n. Chr.) Aufgabe Jett hat man Rinder und Schafe verkauft und damit Scheine gekauft, obei ein Rest von Geldstücken übrig blieb. Man hat Rinder und Scheine verkauft und damit Schafe gekauft; das Geld reichte gerade. Man hat Schafe und Scheine verkauft und damit Rinder gekauft, aber das Geld reichte nicht um Geldstücke. Wie hoch ist der Preis von jedem, vom Rind, vom Schaf und vom Schein? (China,. Jh. n. Chr.) Aufgabe Drei Personen erden nach ihrem Vermögen gefragt. Der erste und der eite besiten usammen um Denare mehr als der dritte; der erste und der dritte haben usammen um Denare mehr als der eite; und der eite und der dritte haben usammen um Denare mehr als der erste. Wieviel besitt jeder der drei? (nach Diophant,. Jh. n. Chr.)

7 Aufgabe Drei Kaufleute sahen auf dem Weg eine Geldbörse mit Goldstücken. Einer von ihnen sagte u den anderen: "Wenn ich diese Börse behalte, so erde ich eimal so reich sein ie ihr beide usammen mit dem Geld, das ihr in der Hand habt!" Da sagte der eite von ihnen: "Ich erde dreimal so reich sein!" Dann sagte der dritte: "Ich erde fünfmal so reich sein." Wieviel Geld hatte jeder Kaufmann? (Indien,. Jh. n. Chr.) Aufgabe Vier Männer finden eine Börse mit Drachmen. Wenn der erste sie behält, besitt er doppelt so viel ie der eite und der dritte usammen; behält sie der eite, hat er dreimal so viel ie der dritte und der vierte usammen; der dritte hätte viermal so viel ie der vierte und der erste, und der vierte hätte fünfmal so viel ie der erste und der eite. Wieviel besitt jeder der vier? (nach Leonardo von Pisa) Aufgabe (*) Für Drachmen sollen Vögel gekauft erden: Enten, Sperlinge und Hühner. Eine Ente kostet Drachmen, Sperlinge kosten Drachme und ein Huhn Drachme. (China,. Jh. n.chr.) (Tipp: Die Lösungen müssen ganahlig und positiv sein.) Aufgabe (Nicht gan ernst gemeint) Ein Kind ist Jahre jünger als seine Mutter. In Jahren ird die Mutter mal so alt ie das Kind sein. Wo ist der Vater?

8 Lösungen. A: Gulden, B: Gulden. A: Gulden, B: Gulden, C: Gulden. Mitgift: Gulden; Francesco hat Gulden Schulden. ¼, ¼, ¾.,,.,,.,,. -,,,. Enten, Sperlinge, Huhn. Das Kind ist -¾ Jahre alt :-)

9 Lineare Gleichungsssteme höheren Grades Aufgabe a) b) c) d) e) f) v v v v v Aufgabe a) b) c) u u d) u u Aufgabe Ein Kapital von Fr. ist in drei Posten abgelegt. u %, % und %. Werden nach einem Jahr die Zinsen dau geschlagen, so erden alle Posten gleich groß. Wie groß aren die Posten am Anfang? Aufgabe Eine Leiter ist an eine vertikale Wand gestellt. Schiebt man ihren Fuß auf dem horiontalen Boden um einen Meter gegen die Wand, so rutscht das andere Ende der Leiter um dm nach oben. Zieht man statt dessen den Fuß um einen Meter von der Wand eg, so rutscht das andere Ende um dm nach unten. Wie eit ist anfänglich der Leiterfuß von der Wand entfernt und das andere Leiterende vom Boden? Wie lang ist die Leiter (auf dm genau)?

10 Aufgabe Ein Radfahrer hat eine Geschindigkeit von km/h auf ebenem Gelände, von km/h bergaufärts und von km/h abärts. Wieviel ebenen, ansteigenden und absteigenden Weg enthält unter diesen Voraussetungen eine Strasse von km, enn der Radfahrer Stunden Minuten braucht, um sie in der einen Richtung, und Stunden Minuten, um sie in der anderen Richtung u durchfahren? Aufgabe Eine Bergbahn verlangt für Berg- und Talfahrt usammen Fr., für die Bergfahrt allein Fr. Rp. und für die Talfahrt ohne Bergfahrt Fr. An einem Sonntag fuhren im ganen Personen mit der Bahn hinauf und Personen hinab. Es gingen Fr. ein. Lösungen a) ; ; b) ; ; c) / ; / ; / d) ; ; ; e) ; ; ; f) v ; ; ; ; a) ; ; b) ; ; c) ; ; ; u - d) ; ; - ; u Fr., Fr., Fr. Leiterlänge, dm / / /, / / /, Auf dem Hineg geht es km abärts, km aufärts und km eben Ertrag, Berfahrt Talfahrt Bergfahrtbillette, Retourbillette, Talfahrtbillette