Gleichungen - Textaufgaben

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1 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 1 / 20 Gleichungen - Textaufgaben Dokumentnummer: DX1684 Fachgebiet: Lineare Gleichungen Einsatz: 2HAK (erstes Lernjahr) Quelle: Internetseite von Jutta Gut (%i1) kill(all); 1 Aufgabe Wenn man zum Drittel einer Zahl ein Viertel derselben Zahl addiert, erhält man Ansatz (%i1) g:x/3+x/4=70; (%o1) 7 x 12 = Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*12; (%o2) 7 x=840 (%i3) g2:g1/7; (%o3) x= CAS-Lösung (%i4) l:solve(g,x); (%o4) [x=120] (%i5) l:allroots(g); (%o5) [x=120.0] (%i6) l:realroots(g); (%o6) [x=120] 2 Aufgabe Wenn man vom Viertel einer Zahl ein Fünftel derselben Zahl subtrahiert, so ergibt sich 4. (%i7) kill(all); 2.1 Ansatz

2 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 2 / 20 (%i1) g:x/4-x/5=4; 20 =4 2.2 Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*20; (%o2) x= CAS-Lösung (%i3) l:solve(g,x); (%o3) [x=80] (%i4) l:allroots(g); (%o4) [x=80.0] (%i5) l:realroots(g); (%o5) [x=80] 3 Aufgabe Wenn man zu einer Zahl ihr Viertel und ihr Achtel addiert, erhält man 44. (%i6) kill(all); 3.1 Ansatz (%i1) g:x+x/4+x/8=44; (%o1) 11 x 8 = Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*8; (%o2) 11 x=352 (%i3) g2:g1/11; (%o3) x= CAS-Lösung (%i4) l:solve(g,x); (%o4) [x=32] (%i5) l:allroots(g); (%o5) [x=32.0] (%i6) l:realroots(g); (%o6) [x=32]

3 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 3 / 20 4 Aufgabe Die Summe aus der Hälfte, dem Drittel und dem Viertel einer Zahl ist um 5 größer als die Zahl. (%i7) kill(all); 4.1 Ansatz (%i1) g:x/2+x/3+x/4-5=x; (%o1) 13 x 12-5=x 4.2 Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*12,expand; (%o2) 13 x-60=12 x (%i3) g2:g1-12*x; (%o3) x-60=0 (%i4) g3:g2+60; (%o4) x= CAS-Lösung (%i5) l:solve(g,x); (%o5) [x=60] (%i6) l:allroots(g); (%o6) [x=60.0] (%i7) l:realroots(g); (%o7) [x=60] 5 Aufgabe Die Summe aus dem Drittel, dem Viertel und dem Neuntel einer Zahl ist um 22 kleiner als die Zahl. (%i8) kill(all); 5.1 Ansatz (%i1) g:x/3+x/4+x/9+22=x; (%o1) 25 x =x 5.2 Lösung herkömmlich

4 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 4 / 20 (%i2) g1:g*36,expand; (%o2) 25 x+792=36 x (%i3) g2:g1-25*x; (%o3) 792=11 x (%i4) g3:g2/11; (%o4) 72=x 5.3 CAS-Lösung (%i5) l:solve(g,x); (%o5) [x=72] (%i6) l:allroots(g); (%o6) [x=72.0] (%i7) l:realroots(g); (%o7) [x=72] 6 Aufgabe Das Vierfache einer Zahl ist um 30 größer als ein Viertel der Zahl. (%i8) kill(all); 6.1 Ansatz (%i1) g:4*x-30=x/4; (%o1) 4 x-30= x Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*4,expand; (%o2) 16 x-120=x (%i3) g2:g1-x; (%o3) 15 x-120=0 (%i4) g3:g2+120; (%o4) 15 x=120 (%i5) g4:g3/15; (%o5) x=8 6.3 CAS-Lösung (%i6) l:solve(g,x); (%o6) [x=8]

5 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 5 / 20 (%i7) l:allroots(g); (%o7) [x=8.0] (%i8) l:realroots(g); (%o8) [x=8] 7 Aufgabe Das 7-fache und das Siebentel einer Zahl geben zusammen 100. (%i9) kill(all); 7.1 Ansatz (%i1) g:7*x+x/7=100; (%o1) 50 x 7 = Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*7; (%o2) 50 x=700 (%i3) g2:g1/50; (%o3) x= CAS-Lösung (%i4) l:solve(g,x); (%o4) [x=14] (%i5) l:allroots(g); (%o5) [x=14.0] (%i6) l:realroots(g); (%o6) [x=14] 8 Aufgabe Die Zahl 30 soll in drei Summanden zerlegt werden, so dass jeder Summand um 3 kleiner als der vorige ist. (%i7) kill(all); 8.1 Ansatz

6 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 6 / 20 (%i1) x1:x; x2:x1-3; x3:x2-3; (%o2) x-3 (%o3) x-6 (%i4) g:x1+x2+x3=30; (%o4) 3 x-9= Lösung herkömmlich (%i5) g1:g+9; (%o5) 3 x=39 (%i6) g2:g1/3; (%o6) x= CAS-Lösung (%i7) l:solve(g,x); (%o7) [x=13] (%i8) l:allroots(g); (%o8) [x=13.0] (%i9) l:realroots(g); (%o9) [x=13] 8.4 Ergebnis (%i10) [x1,x2,x3],l; (%o10) [13,10,7] 9 Aufgabe Die Zahl 120 soll in vier Summanden zerlegt werden, so dass jeder Summand das Doppelte des vorigen ist. (%i11) kill(all); 9.1 Ansatz (%i1) x1:x; x2:2*x1; x3:2*x2; x4:2*x3; (%o2) 2 x (%o3) 4 x (%o4) 8 x

7 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 7 / 20 (%i5) g:x1+x2+x3+x4=120; (%o5) 15 x= Lösung herkömmlich (%i6) g1:g/15; (%o6) x=8 9.3 CAS-Lösung (%i7) l:solve(g,x); (%o7) [x=8] (%i8) l:allroots(g); (%o8) [x=8.0] (%i9) l:realroots(g); (%o9) [x=8] 9.4 Ergebnis (%i10) [x1,x2,x3,x4],l; (%o10) [8,16,32,64] 10 Aufgabe Gib zu einer Zahl zwei Drittel ihrer selbst hinzu und nimm vom Ergebnis ein Drittel weg, so bleibt 10. (Ägypten) (%i11) kill(all); 10.1 Ansatz (%i1) x1:x+2*x/3; (%o1) 5 x 3 (%i2) g:x1-x1/3=10; (%o2) 10 x 9 = Lösung herkömmlich (%i3) g1:g*9; (%o3) 10 x=90 (%i4) g2:g1/10; (%o4) x= CAS-Lösung

8 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 8 / 20 (%i5) l:solve(g,x); (%o5) [x=9] (%i6) l:allroots(g); (%o6) [x=9.0] (%i7) l:realroots(g); (%o7) [x=9] 11 Aufgabe Jemand hat 300 Rupien und 6 Pferde. Ein anderer hat 10 Pferde, aber eine Schuld von 100 Rupien. Beider Vermögen ist gleich groß. Wieviel kostet ein Pferd? (Indien) (%i8) kill(all); 11.1 Ansatz (%i1) V1:300*r+6*p; V2:10*p-100*r; (%o1) 300 r+6 p (%o2) 10 p -100 r (%i3) g:v1=v2; (%o3) 300 r+6 p =10 p -100 r 11.2 Lösung herkömmlich (%i4) g1:g-10*p; (%o4) 300 r-4 p =-100 r (%i5) g2:g1-300*r; (%o5) -4 p =-400 r (%i6) g3:g2/(-4); (%o6) p =100 r 11.3 Besserer Ansatz Es sei x der Preis eines Pferdes in Rupien. x ist ja gefragt! (%i7) g:300+6*x=10*x-100; (%o7) 6 x+300=10 x Lösung herkömmlich (%i8) g1:g-10*x; (%o8) x=-100

9 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 9 / 20 (%i9) g2:g1-300; (%o9) -4 x=-400 (%i10) g3:g2/(-4); (%o10) x= CAS-Lösung (%i11) l:solve(g,x); (%o11) [x=100] (%i12) l:allroots(g); (%o12) [x=100.0] (%i13) l:realroots(g); (%o13) [x=100] 12 Aufgabe Jemand gibt von einem Geldbetrag ein Fünftel, ein Viertel und ein Drittel aus. Es bleiben ihm noch 520. Wie viel hat er am Anfang besessen? (%i14) kill(all); 12.1 Ansatz (%i1) g:x-x/5-x/4-x/3=520; (%o1) 13 x 60 = Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*60; (%o2) 13 x=31200 (%i3) g2:g1/13; (%o3) x= CAS-Lösung (%i4) l:solve(g,x); (%o4) [x=2400] (%i5) l:allroots(g); (%o5) [x=2400.0] (%i6) l:realroots(g); (%o6) [x=2400] 13 Aufgabe

10 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 10 / 20 Jemand gibt von einem Geldbetrag ein Fünftel aus, danach ein Viertel des übrigen Geldes und zuletzt ein Drittel des Restes. Es bleiben ihm noch 520. Wie viel hat er am Anfang besessen? (%i7) kill(all); 13.1 Ansatz (%i1) x1:x; x2:x1-x1/5; x3:x2-x2/4; x4:x3-x3/3; (%o2) 4 x 5 (%o3) 3 x 5 (%o4) 2 x 5 (%i5) g:x4=520; (%o5) 2 x 5 = Lösung herkömmlich (%i6) g1:g*5; (%o6) 2 x=2600 (%i7) g2:g1/2; (%o7) x= CAS-Lösung (%i8) l:solve(g,x); (%o8) [x=1300] (%i9) l:allroots(g); (%o9) [x=1300.0] (%i10) l:realroots(g); (%o10) [x=1300] 14 Aufgabe Jemand spricht: Gott grüß euch, ihr 30 Gesellen. Man antwortet ihm: Wenn wir noch einmal so viel wären und noch halb so viel, dann wären wir 30. Wie viele sind es gewesen? (Adam Ries)

11 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 11 / 20 (%i11) kill(all); 14.1 Ansatz (%i1) g:x+x+x/2=30; (%o1) 5 x 2 = Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*2; (%o2) 5 x=60 (%i3) g2:g1/5; (%o3) x= CAS-Lösung (%i4) l:solve(g,x); (%o4) [x=12] (%i5) l:allroots(g); (%o5) [x=12.0] (%i6) l:realroots(g); (%o6) [x=12] 15 Aufgabe Jemand wird nach seinem Alter gefragt und antwortet: "Wenn ich noch einmal so alt wäre, dazu noch die Hälfte und ein Viertel meines Alters und ein Jahr, dann wäre ich 100 Jahre." Wie alt ist er? (%i7) kill(all); 15.1 Ansatz (%i1) g:x+x+x/2+x/4+1=100; (%o1) 11 x 4 +1= Lösung herkömmlich (%i2) g1:g*4,expand; (%o2) 11 x+4=400

12 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 12 / 20 (%i3) g2:g1-4; (%o3) 11 x=396 (%i4) g3:g2/11; (%o4) x= CAS-Lösung (%i5) l:solve(g,x); (%o5) [x=36] (%i6) l:allroots(g); (%o6) [x=36.0] (%i7) l:realroots(g); (%o7) [x=36] 16 Aufgabe Jemand verspielt ein Drittel seines Geldes. Er verbraucht 4 Gulden und verliert schließlich ein Viertel des Restes. Danach bleiben ihm noch 20 Gulden. Wie viel hat er am Anfang gehabt? (Adam Ries) (%i8) kill(all); 16.1 Ansatz (%i1) x1:x-x/3; x2:x1-4; x3:x2-x2/4; (%o1) 2 x 3 (%o2) 2 x 3-4 (%o3) 2 x 3-2 x (%i4) g:x3=20,expand; (%o4) x 2-3= Herkömmliche Lösung (%i5) g1:g*2,expand; (%o5) x-6=40 (%i6) g2:g1+6; (%o6) x= CAS-Lösung

13 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 13 / 20 (%i7) l:solve(g,x); (%o7) [x=46] (%i8) l:allroots(g); (%o8) [x=46.0] (%i9) l:realroots(g); (%o9) [x=46] 17 Aufgabe Ein Kaufmann gewinnt ein Drittel seines Kapitals und 4 Gulden. Er legt alles an und gewinnt wieder ein Viertel davon. Insgesamt hat er jetzt 40 Gulden. Wie viel hatte er am Anfang? (Adam Ries) (%i10) kill(all); 17.1 Ansatz (%i1) x1:x+x/3+4; x2:x1+x1/4; (%o1) 4 x 3 +4 (%o2) 4 x x 3 +4 (%i3) g:x2=40,expand; (%o3) 5 x 3 +5= Lösung herkömmlich (%i4) g1:g*3,expand; (%o4) 5 x+15=120 (%i5) g2:g1-15; (%o5) 5 x=105 (%i6) g3:g2/5; (%o6) x= CAS-Lösung (%i7) l:solve(g,x); (%o7) [x=21] (%i8) l:allroots(g); (%o8) [x=21.0] (%i9) l:realroots(g); (%o9) [x=21]

14 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 14 / Aufgabe Der Umfang eines Rechtecks beträgt 30 cm. Die Länge ist um 3 cm länger als die Breite. Berechnen Sie die Seitenlängen. (%i10) kill(all); 18.1 Ansatz (%i1) l:x; b:l-3; U:2*(l+b); (%o2) x-3 (%o3) 2( 2 x-3) (%i4) g:u=30,expand; (%o4) 4 x-6= Lösung herkömmlich (%i5) g1:g+6; (%o5) 4 x=36 (%i6) g2:g1/4; (%o6) x= CAS-Lösung (%i7) l1:solve(g,x); (%o7) [x=9] (%i8) l1:allroots(g); (%o8) [x=9.0] (%i9) l1:realroots(g); (%o9) [x=9] 18.4 Ergebnis (%i10) [l,b],l1; (%o10) [9,6] 19 Aufgabe Der Umfang eines Dreiecks beträgt 37 cm. Die Seite b ist um 2 cm länger als a, c ist eineinhalb mal so lang so lang wie a.

15 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 15 / 20 (%i11) kill(all); 19.1 Ansatz (%i1) a:x; b:a+2; c:1.5*a; U:a+b+c; (%o2) x+2 (%o3) 1.5 x (%o4) 3.5 x+2 (%i5) g:u=37; (%o5) 3.5 x+2= Lösung herkömmlich (%i6) g1:g-2; (%o6) 3.5 x=35 (%i7) g2:g1/3.5; (%o7) 1.0 x= CAS-Lösung (%i8) l:solve(g,x); rat: replaced 3.5 by 7/2 = 3.5 (%o8) [x=10] (%i9) l:allroots(g); (%o9) [x=10.0] (%i10) l:realroots(g); (%o10) [x=10] 20 Aufgabe In einem Dreieck ist der Winkel beta um 15 größer als alpha, gamma ist um 15 größer als beta. Wie groß sind die Winkel? (%i11) kill(all); 20.1 Ansatz

16 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 16 / 20 (%i1) alpha:x; beta:alpha+15; gamma:beta+15; (%o2) x+15 (%o3) x+30 (%i4) g:alpha+beta+gamma=180; (%o4) 3 x+45= Lösung herkömmlich (%i5) g1:g-45; (%o5) 3 x=135 (%i6) g2:g1/3; (%o6) x= CAS-Lösung (%i7) l:solve(g,x); (%o7) [x=45] (%i8) l:allroots(g); (%o8) [x=45.0] (%i9) l:realroots(g); (%o9) [x=45] 20.4 Ergebnis (%i10) [alpha,beta,gamma],l; (%o10) [45,60,75] 21 Aufgabe (%i11) kill(all); In einem rechtwinkeligen Dreieck ist ein spitzer Winkel doppelt so groß wie der andere Ansatz (%i1) alpha:x; beta:2*x; (%o2) 2 x (%i3) g:alpha+beta=90; (%o3) 3 x=90

17 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 17 / Lösung herkömmlich (%i4) g1:g/3; (%o4) x= CAS-Lösung (%i5) l:solve(g,x); (%o5) [x=30] (%i6) l:allroots(g); (%o6) [x=30.0] (%i7) l:realroots(g); (%o7) [x=30] 21.4 Ergebnis (%i8) [alpha,beta],l; (%o8) [30,60] 22 Aufgabe In einem gleichschenkeligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze drei mal so groß wie ein Winkel an der Basis. (%i9) kill(all); 22.1 Ansatz (%i1) alpha:x; beta:alpha; gamma:3*alpha; (%o2) x (%o3) 3 x (%i4) g:alpha+beta+gamma=180; (%o4) 5 x= Lösung herkömmlich (%i5) g1:g/5; (%o5) x= CAS-Lösung (%i6) l:solve(g,x); (%o6) [x=36]

18 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 18 / 20 (%i7) l:allroots(g); (%o7) [x=36.0] (%i8) l:realroots(g); (%o8) [x=36] 22.4 Ergebnis (%i9) [alpha,beta,gamma],l; (%o9) [36,36,108] 23 Aufgabe Wenn man die Seiten eines Quadrats um 5 cm verlängert, wird der Flächeninhalt um 225 cm² größer. Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Quadrats? (%i10) kill(all); 23.1 Ansatz (%i1) a:x; (%i2) g:a**2+225=(a+5)**2,expand; (%o2) x =x x Lösung herkömmlich (%i3) g1:g-x**2; (%o3) 225=10 x+25 (%i4) g2:g1-25; (%o4) 200=10 x (%i5) g3:g2/10; (%o5) 20=x 23.3 CAS-Lösung (%i6) l:solve(g,x); (%o6) [x=20] (%i7) l:allroots(g); (%o7) [x=20.0] (%i8) l:realroots(g); (%o8) [x=20] 24 Aufgabe

19 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 19 / 20 Wenn man die Seiten eines Quadrats um 4 cm verkürzt, verringert sich der Flächeninhalt um 80 cm². Wie lang waren die Seiten des ursprünglichen Quadrats? (%i9) kill(all); 24.1 Ansatz (%i1) a:x; (%i2) g:a**2-80=(a-4)**2,expand; (%o2) x 2-80=x 2-8 x Lösung herkömmlich (%i3) g1:g-x**2; (%o3) -80=16-8 x (%i4) g2:g1-16; (%o4) -96=-8 x (%i5) g3:g2/(-8); (%o5) 12=x 24.3 CAS-Lösung (%i6) l:solve(g,x); (%o6) [x=12] (%i7) l:allroots(g); (%o7) [x=12.0] (%i8) l:realroots(g); (%o8) [x=12] 25 Aufgabe Wenn man den Radius eines Kreises um 2 cm verlängert, nimmt der Flächeninhalt um 40 pi cm² zu. Wie lang war der Radius des ursprünglichen Kreises? (%i9) kill(all); (%i1) r:x; (%i2) g:r**2*%pi+40*%pi=(r+2)**2*%pi,expand; (%o2) π x π=π x 2 +4 π x+4 π

20 DX1684_Lineare_Gleichungen_Textaufgaben.wxmx 20 / Lösung herkömmlich (%i3) g1:g-%pi*x**2; (%o3) 40 π=4 π x+4 π (%i4) g2:g1-4*%pi; (%o4) 36 π=4 π x (%i5) g3:g2/(4*%pi); (%o5) 9=x 25.2 CAS-Lösung (%i6) l:solve(g,x); (%o6) [x=9] (%i7) g:g,numer /* sonst versagt allroots und wahrescheinlich auch realroots */; (%o7) x = x x (%i8) l:allroots(g); (%o8) [x=9.0] (%i9) l:realroots(g),numer; x:ev(x,l); x:floor(x*10+0.5)/10.0; (%o9) [x= ] (%o10) (%o11) 9.0