Mathematik Grundlagen

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1 Mathematik Grundlagen Skriptum zum Kurs an der VHS Floridsdorf Mag. Jutta Gut (Oktober 008) b² a² c² Mathematik Grundlagen Seite

2 Die Grundrechnungsarten Rechenarten. Stufe Addition: Subtraktion: Summand + Summand Summe Umkehrung der Addition Minuend Subtrahend Differenz Rechenarten. Stufe n mal Multiplikation: wiederholte Addition: a a... an a Faktor * Faktor Produkt Division: Umkehrung der Multiplikation Dividend : Divisor Quotient Rechenart. Stufe Potenzieren: n mal wiederholte Multiplikation: a a... a a n Basis Hochzahl Potenz Rechenarten höherer Stufe werden immer zuerst ausgeführt (zuerst potenzieren, dann multiplizieren und dividieren, zuletzt addieren und subtrahieren), außer Klammern schreiben eine andere Reihenfolge vor! (Rechenarten derselben Stufe werden von links nach rechts ausgeführt.) Übungen: a) + ( + ) ( + ) ( + ) b) 0:0 0:(0 ) 0:(0 ) (0:0 ) c) :6 0 (8 + ):(6 ) 0 (8 + :6) (0 8 + ):(6 ) 0 [8 + :(6 )] [(0 8 + ):6 ] a) + ² ( + ) ² + ( )² ( + )² [( + ) ]² b) ² ( )² ( ²) ( )² [ ( )]² c) ³ - ³ + ² ( )³ + ² ³ - ( )³ (² - ²)³ (³ - ³)² Mathematik Grundlagen Seite

3 Rechnen mit Dezimalzahlen Addition /Subtraktion: entsprechende Stellen untereinanderschreiben! Multiplikation: Multiplikation mit 0, 00, 000,... : Komma um,,,... Stellen nach rechts verschieben Multiplikation mit 0,, 0, 0, 0,00,...: Komma um,,,.-.. Stellen nach links verschieben allgemein: das Produkt hat so viele Dezimalstellen wie die beiden Faktoren zusammen Division: Division durch 0, 00, 000,... entspricht Multiplikation mit 0,, 0,0, 0,00,... und umgekehrt allgemein: bei Dividend und Divisor wird das Komma um die gleiche Anzahl Stellen verschoben, so dass der Divisor eine ganze Zahl wird Übungen: a) (, -,8) (0,7 +,), -,8 0,7 +, (, -,8) 0,7 +,,, -,8 0,7 Primfaktorzerlegung b) 0, + 9,6:, 0, ( + 9,6):, (9,6 0, +,):0,6 (, - 0,):(0, ) Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch und sich selbst teilbar ist. Jede natürliche Zahl kann eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden, z.b Der größte gemeinsame Teiler (ggt) von zwei oder mehr Zahlen ist die größte Zahl, die in allen Zahlen enthalten ist. Er enthält die Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen (jeder Primfaktor steht also in der niedrigsten vorkommenden Potenz), z.b. ggt(0, 08) Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) von zwei oder mehr Zahlen ist die kleinste Zahl, in der alle Zahlen enthalten sind. Es enthält die Primfaktoren, die in mindestens einer Zahl vorkommen (jeder Primfaktor steht also in der höchsten vorkommenden Potenz), z.b. Übungen: kgv(0, 08) 60. Zerlege in Primfaktoren: 60, 7, 90, 0, 0,, 6, 68, 80, 60. Berechne: ggt(60, 0), ggt(0, ), ggt(0, 80), ggt(90, 6), ggt(7, 60) 6. Berechne: kgv(60, 0), kgv(0, ), kgv(0, 80), kgv(90, 6), kgv(7, 60) Mathematik Grundlagen Seite

4 Rechnen mit negativen Zahlen Weil sich innerhalb der natürlichen Zahlen nicht alle Subtraktionen ausführen lassen (z.b. ), erweitert man den Zahlenraum um die negativen Zahlen. Das kann man mit Hilfe der Zahlengeraden veranschaulichen: Je größer eine Zahl ist, umso weiter rechts liegt sie auf der Zahlengeraden. Der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt heißt Betrag (oder Absolutbetrag). Er ist immer positiv. (Schreibweise: a ) Zahlen, die denselben Betrag, aber entgegengesetztes Vorzeichen haben (wie + und ), nennt man Gegenzahlen Addition: Addition von Zahlen mit gleichem Vorzeichen: Beträge werden addiert, Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen Addition von Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen:Beträge werden subtrahiert, Ergebnis erhält das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag (leichter zu merken: beim Addieren einer positiven Zahl geht man auf der Zahlengeraden nach rechts, beim Addieren einer negativen Zahl nach links.) Subtraktion: Eine Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. Das ergibt folgende Rechenregeln: +(+a) -(-a) +a +(-a) -(+a) -a Multiplikation und Division: Multipliziert man eine Zahl mit einer negativen Zahl, so ändert sich ihr Vorzeichen. Daher ergeben sich folgende Rechenregeln: (+a) (+b) (-a) (-b) +ab (+a) (-b) (-a) (+b) -ab Die Regeln für die Division sind ganz analog. Potenzieren: (-a) n a n, wenn n gerade -a n, wenn n ungerade Übungen: Mathematik Grundlagen Seite

5 7 a) (+0) + (-6) - (+7) b) (+) - (-9) + (-) c) (-) - (+8) + (+) d) (-9) + (+6) - (-0) e) (+8) - (+) - (-) - (+) f) (-7) + (+) - (-6) - (+6) g) (+ 9) + (-70) - (+) + (-0) h) (-6) - (+) - (-80) -(-8) 8 a) (+8,) + (+7,) - (+,) b) (-,) - (-,7) + (+0,) c) (+00) + (-,09) - (+6,) d) (+7,) - (+) - (-,7) e) (+0,6) - (+,7) - (+0,) - (-,6) f) (-,) + (+7,) + (-0,) + (+80) g) (+ 0,0) - (+,) - (-0,9) + (-6,) h) (+,7) + (-,) - (-,) - (+0,0) 9 a) (-6) + (-7) - [(+) - (-)] b) (+8) - [(+) + (-9)] - (+9) c) [(-7) - (-)] + [(+) - (+)] d) (+08) - [(-) + (+6) - (-)] e) [(+,) - (+,8)] - [(-0,) + (+,7)] f) (+0,8) - [(-,) + (+0,)] + (-0,08) g) (-) + [(+,) - (-) + (-,)] h) (+7,) - (+9) - [(+,0) - (-,7)] 0 a) (+6) (-) + (+) (+0) (+) (-) b) (-6) (-) (+) (-0) + (-) (-) c) [(+6) (-) + (+)] (+0) (+) (-) d) (+6) [(+) + (-) (-0)] (-) (-) e) (-6) (+) + (-) [(+0) + (+) (-)] f) [(-6) (-) (+)] [(-0) + (+)] (+) a) (+0,) (-,) + (-,) (-,6) b) (-,7) (+8) (+,0) (-) c) (-,) + (-,) [(+8,) (+,8)] d) [(-,) + (-,)] [(+8,) (+,8)] e) [(-0,9) (-7) (+,8)] (+0,0) f) (-0,9) [(-7,9) (+,8) (+0,0)] a) (-6):(+9) (+):(-7) b) (+9):(-) + (-):(-6) c) [(-96):(-8) + (+)] (+6) d) (-96):[(-8) + (+) (+6)] e) (-96):[(-8) + (+)] (+6) f) [(+0) + (-)]:[(-0) (-8)] a) - (-) b) (-) c) (-)³ + (-)² d) + (-) e) (+) + (-) f) [(+) + (-)] g) (-) (-7) h) [(-) (-7)] i) (+) (-) (-) j) (+) [(-) (-)] k) [(+) (-) (-)] l) [- - (-) ] Mathematik Grundlagen Seite

6 Rechnen mit Brüchen Brüche verwendet man als Teile eines Ganzen, z.b. l Milch Ergebnis einer Division, z.b. Verhältniszahlen, z.b.: : In einem Kurs sind von 0 Teilnehmern Frauen, das sind 0 Zähler Bruch Nenner Dezimalzahlen kann man als Brüche auffassen, bei denen im Nenner eine Zehnerpotenz 7 steht, z.b. 0,7 00 Arten von Brüchen: Echter Bruch: Wert kleiner als, z.b.,,... 7 Unechter Bruch: Wert größer als, z.b.,,... Gemischte Zahl: ganze Zahl + Bruch, z.b.,,... Umwandeln eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl: z.b. :, Rest Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch: 8 8 z.b., + Erweitern / Kürzen Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert / durch dieselbe Zahl dividiert. Der Wert des Bruches bleibt dabei gleich! z.b.: 0 8 : 6 8 : 6 Addition / Subtraktion Ungleichnamige Brüche müssen zuerst durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner gebracht werden (kgv der Nenner). Die Zähler werden addiert / subtrahiert, der Nenner bleibt gleich. z.b.: Mathematik Grundlagen Seite 6

7 Multiplikation Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert. 0 z.b: Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man jeweils die Zähler und Nenner miteinander multipliziert. (Nach Möglichkeit vorher kürzen!) z.b.: 6 Division Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Nenner mit der Zahl multipliziert. z.b.: : Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. (Das gilt auch für Doppelbrüche.) 7 9 z.b.: : Potenzieren Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. z.b.: Übungen: 8 7.Schreibe die folgenden Brüche als gemischte Zahlen: Schreibe als unechte Brüche: Kürze die folgenden Brüche so weit wie möglich: Erweitere die folgenden Brüche auf den gegebenen Nenner: Mathematik Grundlagen Seite 7

8 Kürze bei den folgenden Aufgaben die Ergebnisse soweit wie möglich und gib sie, wenn möglich, als gemischte Zahl an! 8. a) b) c) d) 9. a) + b) c) 8 d) 0. a) b) 9 c) d). a) : : 8 : 0 7 : 9 b) c) d). a) b) ( ) c) ( ) a) ( ) : : 7 7 : b) ( ) c) a) ( ) + ( : 6 : ) 0 0 b) ( ) : ( ) 0 e) f) g) h) e) f) g) h) e) f) g) h) e) : 6 : 8 7 : 8 0 : f) g) h) d) ( ) ( + ) e) ( ) ( ) f) ( ) d) ( ) + ( + ) : : 0 : + 7 e) 0 ( ) ( ) f) 7 ( ) ( ) ( + : ) c) ( ) 6 0 : + 80 d) ( ) ( ) Mathematik Grundlagen Seite 8

9 Prozentrechnung Damit man verschiedene Anteilswerte besser vergleichen kann, gibt man sie meist in Hundertstel Prozent an. % 00 0,0 Berechnung des Prozentsatzes: Wieviel Prozent von 8 sind 7? 7 von 8 sind Berechnung des Prozentanteils: 7 8 0, 6 Wieviel sind 6% von 0? ,6 90 Berechnung des Grundwerts: 6% einer Zahl sind 08; wie groß ist die Zahl? x 0,6 08 x 08 : 0,6 00 Bei Aufgaben der Art Eine Zahl wird um p% erhöht bzw. erniedrigt rechnet man am besten mit dem erhöhten (bzw. erniedrigten) Prozentsatz. Bsp.: Ein Artikel kostete bisher 0, der Preis wurde um % erhöht. Der neue Preis ( Prozentanteil) beträgt also % von 0 0, 87,0 Bsp.: Ein Artikel wird um % billiger verkauft und kostet jetzt 8. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? 8 sind 00% - % 9% des ursprünglichen Preises ( Grundwert); der Grundwert beträgt daher 8 : 0,9 0 Übungen. Schreibe als Dezimalzahl und als Prozent: Schreibe als Bruch und kürze so weit wie möglich: % 90% 0%,% % 0% 7. Von 0 Teilnehmern einer Werbeveranstaltung kauften 7 das Produkt; wieviel Prozent sind das? 8. Jemand verdient 80,- und gibt davon 0,- für die Miete aus. 9. Bei einer Umfrage geben von 00 Befragten an, eine bestimmte Partei zu wählen. Mathematik Grundlagen Seite 9

10 0. Ein Ort hatte vor 0 Jahren 0 Einwohner, jetzt sind es 670. Um wieviel Prozent ist die Einwohnerzahl gestiegen?. Die Miete wird von 0,- auf 68,- erhöht. Wieviel Prozent beträgt die Erhöhung?. Ein Artikel kostet,-. Bei einem Sonderangebot wird er um,- angeboten. Um wieviel Prozent wurde er verbilligt?. Durch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von h 0 min auf h min. Wieviel Prozent Zeitersparnis ist das?. Bei einer Lieferung von 0 kg Obst sind % verdorben. Wieviel kg sind das?. In einer Firma arbeiten 7 Personen. Davon sind 8% Raucher. 6. Der Nettopreis eines Artikels beträgt,0. Wie hoch ist der Preis incl. 0% Mehrwertsteuer? 7. Vor 0 Jahren gab es in einer Stadt 70 Autos. Inzwischen ist ihre Anzahl um 0% gestiegen. 8. Ein Artikel kostet 9,-. Beim Kauf werden % Skonto gewährt. Wieviel muss der Kunde zahlen? 9. Von einer bestimmten Menge an radioaktivem Jod zerfallen pro Tag ca. 8,%. Wieviel ist von, mg nach einem Tag noch vorhanden? 0. Ein Bauer hat,6 ha Wiesen, das sind % seines Grundbesitzes. Wie groß ist der Besitz?. In einem Ort leben Bauern, das sind 6,% der Bevölkerung. Wieviel Einwohner hat der Ort?. Ein Artikel kostet incl. 0% Mehrwertsteuer 9,90. Berechne den Nettopreis!. Ein Geldbetrag ist mit % Verzinsung in einem Jahr auf 70,- angewachsen. Wie hoch war der ursprüngliche Betrag?. Ein Artikel kostet 80,-. Der Preis wird zuerst um % und dann nochmals um 0% gesenkt. Um wieviel Prozent ist der Artikel insgesamt billiger geworden? Macht die Reihenfolge der Preissenkungen einen Unterschied?. Der Umsatz einer Firma ist in einem Jahr um 8% gestiegen, im darauffolgenden Jahr um %. Wieviel Prozent beträgt die Steigerung insgesamt? Mathematik Grundlagen Seite 0

11 Rechnen mit allgemeinen Zahlen (Termen) Eine Variable (a, b, x, y,...) ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, in dem Variablen vorkommen können. Man benutzt Terme, um allgemeine Zusammenhänge auszudrücken (z.b. Formeln). Addition und Subtraktion von Termen a + a 7a a - a a a + b b + a a + (b + c) (a + b) + c a + (b + c) a + b + c a + (b - c) a + b - c a - (b + c) a - b - c a - (b - c) a - b + c Gleiche Variable dürfen zusammengefasst werden. Die Summanden dürfen vertauscht werden (Kommutativgesetz der Addition) Die Summanden dürfen zu Teilsummen zusammengefasst werden (Assoziativgesetz der Addition) Steht vor einer Klammer ein +, kann die Klammer weggelassen werden. Steht vor einer Klammer ein -, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen geändert werden. Multiplikation von Termen a b b a a (b c) (a b) c a (b + c) ab + ac a (b - c) ab - ac (a + b) (c + d) ac + bc + ad + bd (a + b) (c - d) ac + bc - ad - bd (a - b) (c + d) ac - bc + ad - bd (a - b) (c - d) ac - bc - ad + bd Die Faktoren dürfen vertauscht werden (Kommutativgesetz der Multiplikation) Die Faktoren dürfen zu Teilprodukten zusammengefasst werden (Assoziativgesetz der Multiplikation) Eine Summe (Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor multipliziert (Distributivgesetz) Zwei Summen (Differenzen) werden multipliziert, indem man jedes Glied in der ersten Klammer mit jedem Glied in der zweiten Klammer multipliziert (Vorzeichenregeln beachten!) Achtung: (a + b)² (a + b) (a + b) Mathematik Grundlagen Seite

12 Übungen: 6. Der Preis einer Flasche Weißwein sei W, der einer Flasche Rotwein R. Gib eine Formel für den Gesamtpreis an: a) Jemand kauft Flaschen Weißwein und Flaschen Rotwein. b) Ein Weinbauer verkauft an einem Tag Flaschen Weißwein und Flaschen Rotwein, am nächsten Tag 8 Flaschen Weißwein und 0 Flaschen Rotwein. c) Jemand bestellt für ein Fest je 0 Flaschen Weißwein und Rotwein. 9 Flaschen Weißwein und 6 Flaschen Rotwein gibt er wieder zurück. d) Ein Wirt verkauft 7 Flaschen Weißwein und Flaschen Rotwein. Davon muss er 0% Getränkesteuer abführen. Wieviel beträgt die Steuer? 7. Zu einer Veranstaltung kommen e Erwachsene und k Kinder. Gib eine Formel für die Einnahmen des Veranstalters an! a) Der Einheitspreis für eine Karte beträgt p. b) Der Preis für eine Erwachsenenkarte beträgt p, für eine Kinderkarte q. c) Wie b), aber e 0 Erwachsene und k 0 Kinder haben einen Gutschein für freien Eintritt. d) Wie b), aber jeder Gast erhält ein Gratisgetränk im Wert g. Vereinfache die folgenden Terme! (Probe mit selbst gewählten Zahlen) 8 a) a + a + b + a + b b) c + c - d - c + d g) 7a - n + n - a h) x + z - x - 8z c) x + y + x + y i) e - f f - d) y + z + 8y + z j) 9p - - q p e) a + b - b - a k) r - 8t t - 7r f) 6p - r + p + r l) 7a - b + - b a 9 a) x + (y + 8x) + y b) (u + v) + (8v + 7u) c) (a - c) + (c - a) d) (a + b) - (a + b) e) (a - b) - (b - a) f) 6b - (e + b) - e 0 a) a - [a + b - (a + b)] b) a - [a + b + (a - b)] c) x - - [x + - (x + )] d) x + - [x - - (x - )] g) (t - z) - (z - t) h) 9f - (e + f - ) i) a + (a - b) - (a + b) j) (x + z) + (y - x + 7z) k) r - (7-6t) + (r + ) l) m - (m + ) + (7 - m) e) 7z - [(x - y) - (y + z)] f) (u - v) + [(v + ) - (6 - u)] g) 8r - [(s - ) + (r - s)] h) ( - a) + [a - (7 - a)] Multipliziere und vereinfache soweit wie möglich! a) (a + b) + (a - b) e) 0 (g - h) + 7 (-g + 7h) b) 6 (a - b) - (a - b) f) (-) (p - q) - (q - p) c) (r - s) + (s - 7r) d) (8r + s) - (7s - r) g) (a + b - ) + (0 - a) - (b - a) h) (-) (b - c + a) - (a + b - c) a) a (a + b) + b (a - b) b) x (x - y) - y (x + y) c) a (a + e) + e (e - a) d) p (t - p) - t (t + p) Mathematik Grundlagen Seite

13 e) z (z - ) + 7 (z + ) f) 6x (y + ) - y (x - ) a) (a + b) (c - d) b) (x - y) (x + z) c) (m - ) (n - ) d) (s - 6) ( - t) e) (p + ) (p + 7) f) (p - ) (p + ) g) a (a - c - 9) - c (a - c + ) h) (-m) (n + - p) + 8p (-m + ) g) (8r + ) (r + ) h) (x + 6) (x - ) i) (y - z) (y - 8z) j) (a - 9b) (a + 7b) k) (x - y + ) (x - y) l) (m + p - ) (-m + p) a) (x + ) (x - ) + (x - ) (x + ) b) (y - ) (y - ) - (y + ) (y + ) c) (a - ) (a + ) - (a - ) (a + ) d) (e - ) (e - ) - ( - e) (e + ) e) (p - q)(p + q) + (p + q)(p - q) f) (x - y)(x + y) -(x - y)(x + y) g) (a - b)(-a - b) + (a - b)(a + b) h) (a - b)(a - b) - (a - b)(a b) Vereinfache die folgenden Terme! (Bringe alle Ausdrücke auf gemeinsamen Nenner.) a) b) c) d) a b a 6 b d e d 8 e x y 6 x y t u t 6 u 0 e) a b a b f) x y x y g) y z 8 z 6 y 6 y h) x x y 6 a) b) c) d) 7 a) b) c) d) a b a b a b a b x w x w z t z t 8 6 a b a b 6 e f f 6 e a a b x z z e) f) g) x x 8 v 6 v a b b a h) z 7z 0 9 e) f) e f e 6 t w t w g) x y x y h) a 6 b b a Mathematik Grundlagen Seite

14 Gleichungen Allgemeine Form: T (x) T (x) (T, T sind beliebige Terme) z.b. x + 0 kann wahr oder falsch sein x : + 0 falsche Aussage x : + 0 wahre Aussage ist Lösung der Gleichung Sonderfälle: x + x x + x x immer falsch keine Lösung immer wahr jede Zahl ist Lösung Lineare Gleichung: Gleichung, in der die Unbekannte nur in der. Potenz vorkommt Lineare Gleichungen kann man mit Äquivalenzumformungen lösen: auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl (denselben Term) addieren auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl (denselben Term) subtrahieren beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (demselben Term) 0 multiplizieren beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl (denselben Term) 0 dividieren Lösungsschema: Wir formen die Gleichung so um, dass wir alle Unbekannten auf einer Seite und alle Zahlen auf der anderen Seite zusammenfassen können. Dann dividieren wir durch den Faktor, der noch bei der Unbekannten steht. Übungen: 8 a) x + b) 8x - 8 i) 9y + y - 0 j) 00-7x x c) 0y + d) - z 6 e) z f) y + 9 g) 7x + x + h) 6z + 8 z - 7 k) l) m) n) x 0 x x y y y z z Mathematik Grundlagen Seite

15 9 a) (x + 7) (x - ) b) (x - ) h) (z - ) (8z + ) - 6 i) (y + ) -(6 - y) c) 8(y + 0) - 0 y d) 9(y - ) y - 0 e) 8( + z) - z z - 8 f) 6(z + 7) (9 - z) g) (y - 0,),6(y + 0,) j) k) l) x x x x 0 6 x 9 9 x 60 a) x (x - ) x (x + ) - 80 b) x (x + ) x² + (x - ) c) (z - )(z + ) z² + 6 d) (y + )(y + ) y (y + ) e) (x - )(x + ) (x + )(x - ) f) (y + )(y - ) y (y - ) + (y + 6) g) (y + )(y - 8) (y - )² - h) (z + )(z - ) (z - 6)(z - ) - i) (x - )² (x - )(x + ) j) (x + )² (x - )² + 8x k) (x - )(x + ) (x + 6)² l) (z - )² (z + )(z ) Textgleichungen 6. Subtrahiert man vom Drittel einer Zahl ein Viertel dieser Zahl, so ergibt sich Vermehrt man eine Zahl um ihr Drittel und ihr Viertel. so erhält man Die Summe aus der Hälfte, dem Drittel und dem Viertel einer Zahl ist um größer als die Zahl. 6. a) Das -fache und das Drittel, b) das 7-fache und das Siebentel einer Zahl geben zusammen 00. Berechne die Zahl! 6. Jemand hat 00 Rupien und 6 Pferde. Ein anderer hat 0 Pferde, aber eine Schuld von 00 Rupien. Beider Vermögen ist gleich groß. Wieviel kostet ein Pferd? (Indien) 66. Von einem Schwarm Bienen lässt sich ein Fünftel auf einer Kadambablüte, ein Drittel auf der Silindhablume nieder. Der dreifache Unterschied der beiden Zahlen flog nach den Blüten einer Kutuja, eine Biene blieb übrig, die in der Luft hin und her schwebte, gleichzeitig angezogen durch den lieblichen Duft einer Jasmine und eines Pandamus. Sage mir, reizendes Weib, die Anzahl der Bienen! (Indien) 67. Jemand wird nach seinem Alter gefragt und antwortet: Wenn ich noch einmal so alt wäre, dazu noch die Hälfte und ein Viertel meines Alters und ein Jahr, dann wäre ich 00 Jahre. Wie alt ist er? 68. Peter und seine Eltern sind zusammen genau 00 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er, die Mutter ist um Jahre jünger als der Vater. Wie alt ist Peter? Mathematik Grundlagen Seite

16 69. An seinem 0. Geburtstag stellt ein Vater fest, dass seine drei Kinder zusammen ebenso alt sind wie er selbst. Die Tochter ist um 6 Jahre älter als der jüngste Sohn, der gerade halb so alt ist wie sein älterer Bruder. Wie alt sind die drei Kinder? 70. Gibt man von einem Geldbetrag ein Drittel, ein Viertel und ein Fünftel aus, so bleiben noch 0 übrig. Berechne den Geldbetrag! Teilungsaufgaben 7. Drei Gesellen wollen ein Haus für 0 Gulden kaufen. Der erste gibt dreimal soviel wie der zweite, dieser viermal soviel wie der dritte. Berechne, wieviel jeder zahlen muss. (Adam Ries) 7. Ein Vater vererbt seiner Frau, seinem Sohn und seinen beiden Töchtern 600 Gulden. Sein letzter Wille ist, dass der Sohn zweimal soviel wie die Mutter und die Mutter zweimal soviel wie jede Tochter erhält. Berechne, wieviel jeder erbt. (Adam Ries) 7. Der Betrag von 800 soll unter drei Personen A, B und C aufgeteilt werden. B soll dabei halb soviel wie A, C halb soviel wie B erhalten. 7. Ein Betrag von 00 soll auf drei Preisträger aufgeteilt werden. Der zweite Preis soll ¾ des ersten, der dritte ⅔ des zweiten betragen. Aufgaben aus der Geometrie 7. Der Umfang eines Rechtecks ist 8 cm. Berechne die Länge und die Breite, wenn die Länge um 0 cm länger ist als die Breite! 76. In einem gleichschenkeligen Dreieck ist ein Basiswinkel doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze. Wie groß sind die Winkel? 77. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist ein spitzer Winkel doppelt so groß wie der andere. Wie groß sind die Winkel? 78. Verlängert man die Seiten eines Quadrats um je cm, so vergrößert sich sein Flächeninhalt um cm². Berechne die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats! 79. Verkürzt man die Seiten eines Quadrats um je 0 cm, so vermindert sich sein Flächeninhalt um 00 cm². Berechne die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats! Geschwindigkeitsaufgaben: Weg Geschwindigkeit Zeit 80. Ein Auto braucht zum Durchfahren einer bestimmten Strecke 0 Minuten, ein Mopedfahrer 0 Minuten. Wie lang ist die Strecke, wenn sich die beiden Geschwindigkeiten um km/h unterscheiden? 8. Von zwei Orten, die km voneinander entfernt sind, fahren zwei Radfahrer einander entgegen. Der Geschwindigkeitsunterschied der beiden beträgt km/h. Sie treffen einander nach 0 Minuten. Wie schnell sind beide gefahren? Prozentaufgaben 8. Ein Artikel kostet incl. 0% Mehrwertsteuer 9,-. Berechne den Nettopreis. 8. Ein Artikel wurde um 0% verbilligt und kostet jetzt 98,-. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? 8. Ein Kaufmann verkauft eine Ware mit % Verlust um 76,-. Um wie viel hat er die Ware eingekauft? 8. Jemand verkauft eine Ware um 97,7 und macht dabei % Gewinn. Wie viel hat er für die Ware bezahlt? Mathematik Grundlagen Seite 6

17 Das Koordinatensystem Geometrie Die Lage von Punkten in der Ebene wird meist durch rechtwinkelige Koordinaten angegeben. Das heißt, man legt zwei Koordinatenachsen fest, die miteinander einen rechten Winkel bilden. Der Schnittpunkt der Achsen heißt Koordinatenursprung, die Achsen bezeichnet man meist als x- und y-achse. Jeder Punkt ist jetzt durch zwei Koordinaten festgelegt, z.b. P(/) Die erste Koordinate wird vom Koordinatenursprung aus in Richtung der x-achse aufgetragen, und zwar nach rechts, wenn x positiv ist, nach links, wenn x negativ ist. Die zweite Koordinate wird von der x-achse aus in Richtung der y-achse aufgetragen, und zwar Beispiel: nach oben, wenn y positiv ist, nach unten, wenn y negativ ist. Das abgebildete Fünfeck hat die Eckpunkte A(/0), B(/), C(0/), D(-/0), E(/-). Übungen: 86. Zeichne die folgenden Streckenzüge: a) A(0/-), B(/-), C(/), D(0/), E(-/), F(-/-), A b) A(0/0), B(/0), C(/), D(/), E(/), F(/), G(0/), A c) A(0/-), B(/-), C(/0), D(/), E(/), F(0/0), G(-/), H(-/), I(-/0), J(-/-), A 87. Ein Rechteck hat die Seitenlängen a und b. Der linke untere Eckpunkt ist A, und die Seiten liegen parallel zu den Koordinatenachsen. Gib die Koordinaten der anderen Eckpunkte an! a) a, b, A(0/0) b) a 7, b, A(/) c) a b 6, A(-/-) 88. Zeichne die Strecken AB und CD. Welche Koordinaten hat ihr Schnittpunkt S? a) A(0/0), B(/6); C(0/6), D(6/0) b) A(-/), B(/); C(-/), D(/-) c) A(/-), B(/); C(/), D(-/-) Mathematik Grundlagen Seite 7

18 Einige wichtige Formeln (u Umfang, A Flächeninhalt): Vierecke Quadrat: u a A a² Rechteck: u (a + b) A a b Parallelogramm: u (a + b) A a h a b h b Trapez: u a + b + c + d A a c h m h Dreiecke Allgemeines Dreieck: α + β + γ 80 Rechtwinkeliges Dreieck: u a + b + c A a h a b h b c h c A a b Der Satz von Pythagoras In einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten. a² + b² c² a, b: Katheten (schließen den rechten Winkel ein) c: Hypotenuse (liegt dem rechten Winkel gegenüber) (siehe Abbildung auf der Titelseite) Kreis und Kreisteile Kreis: u r A r Kreisbogen: b r 80 Kreisausschnitt: u b + r A r 60 br Mathematik Grundlagen Seite 8

19 Übungen: Zeichne die angegebenen Figuren und berechne ihren Umfang und Flächeninhalt. (Miss die nötigen Bestimmungstücke in der Zeichnung ab.) 89. Quadrat: a, cm 90. Rechteck: a, cm, b,6 cm 9. Parallelogramm: a 6 cm, b, cm, α 9. Parallelogramm: a cm, b cm, α 0 9. Parallelogramm: a, cm, b, cm, h cm ( Möglichkeiten) 9. Raute: a,6 cm, α (Eine Raute ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten.) 9. Trapez: a 8 cm, b cm, c cm, β Trapez: a 7 cm, b d cm, h, cm 97. Dreieck: a cm, b 7 cm, c 8 cm 98. Dreieck: a b cm, c 6 cm 99. Dreieck: a, cm, b 6, cm, γ Dreieck: c 7 cm, α, β 0 0. Rechtwinkeliges Dreieck: a 6 cm, b, cm 0. Rechtwinkeliges Dreieck: a cm, c 8, cm 0. Rechtwinkeliges Dreieck: b cm, α 0 0. Gib eine Formel an für a) die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b b) die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge a c) die Raumdiagonale eines Würfels mit der Seitenlänge a d) die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a! 0. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Seiten gegeben (c: Hypotenuse). Berechne die dritte Seite, den Flächeninhalt und die Höhe h c! a) a 0 mm, b mm b) a, cm, b, cm c) a cm, c 6 cm d) a, m, c, m e) b 6 mm, c 60 mm f) b 0 cm, c cm Mathematik Grundlagen Seite 9

20 06. Von einem Rechteck sind die Seiten gegeben. Berechne die Diagonale! a) a 7, cm, b, cm b) a cm, b 7 cm 07. Von einem gleichschenkeligen Dreieck sind zwei von den Größen a, c, h c, h a und A gegeben. Berechne die restlichen Größen! a) a 7, cm, c 9 cm b) a 7 cm, c, cm c) c 8 cm, h c cm d) a 8 mm, h c mm e) A 86, cm², c cm 08. Berechne Flächeninhalt und ggf. Umfang der folgenden Kreise: a) r cm b) d cm c) u 8, m 09. Zeichne die folgenden Kreisausschnitte und berechne die Länge des Kreisbogens und den Flächeninhalt: a) Halbkreis, r cm b) Viertelkreis, r, cm c) r 6 cm, α Zeichne die folgenden Kreisabschnitte und berechne den Flächeninhalt (Kreisausschnitt minus Dreieck): a) r,6 cm, α 90 b) r,8 cm, α 0. Um ein Blumenbeet mit 9 m Durchmesser führt ein, m breiter Weg. Berechne die Flächeninhalte von Beet und Weg.. Ein kreisrunder Tisch mit 0 cm Durchmesser kann durch eine rechteckige, 0 cm breite Platte vergrößert werden. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Tischs a) ohne, b) mit Auszugsplatte. Mathematik Grundlagen Seite 0

21 Ergebnisse:. a) 60; 600; 000; 60 b) ; ; ; c) 0; 000; 0; 0; 600; 0. a) 9; 8; 9; 6; 79 b) ; 8; ; ; 6 c) ; 7; 9; ; 6. a),7;,6;,9; 7, b) 9,;,6; ; 0,. 60 ; 7 ; 90 ; 0 7; 0 ; ; 6 ; 68 7; 80 7; 60. ; ; ; 6; 6. 0; 70; 80; 0; a) b) + c) 8 d) +7 e) +7 f) 0 g) h) + 8. a) +, b) 8, c) +68,6 d) 9, e) f) +7,8 g) +, h) 6,6 9. a) 9 b) + c) d) +0 e) -,8 f) +,9 g) 0,7 h) 0. a) +6 b) +7 c) -90 d) e) - f) 800. a) + 8,7 b),88 c) 0,6 d) 7,6 e) + 0,8 f) + 7,. a) b) +,7 c) + 96 d) 6 e) + f),. a) +6 b) 0 c) 00 d) 0 e) +8 f) + g) 9 h) +9 i) + j) k) + l). / 6 / 6 / 8 / 9 7 /. / / 9 / 6 / 7 / 6 6. / / / 7 / 9 / / 8 6 / 0 00 / 0 7 / 000 / a) / 6 b) / 6 c) / 0 d) / e) / f) / g) / h) / 0 9. a) / b) 8 / c) 7 / 8 d) / e) / f) / 7 g) / 9 h) / 0. a) / b) c) / 0 d) / e) / 6 f) / 6 g) 8 h) / 8. a) / b) / 0 c) / d) / 0 e) f) 6 g) / 6 h) 9 / 0. a) 7 / b) / c) / d) e) / f) 6 / 6 Mathematik Grundlagen Seite

22 . a) b) 0 c) / d) 9 / 7 e) 7 / f) /. a) 7 / 0 b) / c) / 8 d) ¼. 0,7 7%;, %; 0,7 70%; 0,6 6,%;, %; 0,96 96% 6. / ; 9 / 0 ; / 0 ; / 8 ; / 0 ; / 7. 6,% 8. 8,6% 9.,% ,%. + 7,%. 8,6%. 9,%. 8, kg. 6., , 9.,9 mg 0. 6 ha ,9. 600,-.,%.,% 6 a) W + R b) (W + R) + (8W + 0R) c) (0W + 0R) - (9W + 6R) d) (7W + R) 0, 8. a + b b) c c) x + 8y d) y + 6z e) a + b f) 8p + r g) a - n h) -x - 7z 7 a) (e + k) p b) e p + k q c) (e - e 0 ) p + (k - k 0 ) q d) e p + k q - (e + k) g i) e + f + j) p - q + k) -r - t - 9 l) 9a - b + 9. x + y b) u + 0v c) a - c d) a + b 0. a b) 0 c) x -. a b) a - b c) -r + s e) 8a - b f) b - 8e g) 7t - 7z h) 6f - e + d) x + e) -x + y + 8z f) u + v - d) 8r - s e) -g - h f) p - q i) 7a - 7b j) y + z k) 8r + 6t - 6 l) g) r + s h) 0 g) a + 0 h) -a -7b+0c. a² + ab - b² b) x² - xy - y² c) 6a² + ae + e² d) -8p² + 0pt - t². 8ac - ad + bc - bd b) x² - xy + xz - 0yz c) mn - 6m - 0n + 0 d) -6st + 0s + 8t - 0 e) p² + 9p + f) p² + p - 0 e) z² - z + f) 8x + y g) a² - 9ac + 8c² - 9a - 0c h) -6mn - 7mp - m + p g) r² + 9r + h) 6x² + 0x - i) y² - yz + 8z² j) a² - ab - 6b² k) x² - 7xy + y² + 9x - y l) -6m² - mp + p² + 8m p Mathematik Grundlagen Seite

23 . x² - b) -y + 7 c) a² - a + d) 6e² - e -. (a + b)/6 b) (d + 6e)/8 c) (x + y)/ d) (7t u)/0 6. (a - b)/6 b) (a - b)/ c) (7x - w)/0 d) (z + t)/ 7. ab/ b) ef/6 c) (a² - ab)/ d) (6xz + 0z²)/ e) p² - 0pq - q² f) xy g) a² + ab - b² h) -a² + ab - b² e) (6a b)/ f) (9x - y)/ g) (y 7z)/ h) (x y)/ e) (-x + )/ f) 7/ g) (a b)/ h) (z + )/9 e) (ef + e²)/0 f) (6t² - tw - 6w²)/ g) (7x² + 6xy 8y²)/6 h) (a² b²)/ 8. a) 6 b) c) d) e) 7 / f) / g) 9 / h) i) 7 / j) k) l) 0 m) 6 n) / 9. a) b) / c) 0 / d) 7 e) f) / 9 g) 9 h) 7 i) j) k) 7/ l) 60. a) 8 b) c) d) e) f) g) h) i) 7 j) k) 0 / l) a) 0 b) Rupien Jahre 68. Jahre 69., 7 und Jahre , 8, Gulden , 900, 0 Gulden , 00, , 00, cm, 6 cm 76. 7, , 60, cm 79. cm km 8. 6 km/h, 0 km/h 8.,0 8. 0, ,- 8. 8,- Mathematik Grundlagen Seite

24 87 a) B(/0), C(/), D(0/) b) B(0/), C(0/6), D(/6) c) B(/-), C(/), D(-/) 88 a) S(/) b) S(-/) c) S(/0) 89. u 8 cm, A 0, cm² 90. u 7,6 cm, A 8,7 cm² 9. u cm, A,6 cm² 9. u 6 cm, A,0 cm² 9. u 9, cm, A 6, cm² 9. u, cm, A, cm² 9. u 8,6 cm, A cm² 97. u 0 cm, A 7, cm² 98. u 6 cm, A cm² 99. u 7, cm, A, cm² 00. u,7 cm, A 9,0 cm² 0. u 8 cm, A, cm² 0. u 0 cm, A cm² 0. u 8,8 cm, A cm² 96. u 8 cm, A 7, cm² 0. a) d a² + b² b) d a c) d a d) 0 a) c mm, A 0 mm², h c mm b) c 6,7 cm, A 9, cm², h c,90 cm c) b 0 cm, A 0 cm², h c 9, cm d) b,88 m, A,0 m², h c,6 m e) a 8 mm, A 86 mm², h c 8,8 mm f) a 0,7 cm, A 0,6 cm², h c 9,0 cm 06 a) d 9 cm b),9 cm 07 a) h c 6 cm, h a 7, cm, A 7 cm² b) h c, cm, h a 6,7 cm, A, cm² c) a,7 cm, h a 7, cm, A cm² d) c 6,7 mm, h a 7,9 mm, A 0 mm² e) a,6 cm, h c, cm, h a, cm 08 a) u, cm, A 78, cm² b) u 7,7 cm, A, cm² c) A,6 m² 09 a) b,6 cm, A, cm² b) b 8, cm, A, cm² c) b 6,8 cm, A 8, cm² 0 a) A 8,9 cm² b) A 8,87 cm². Beet: 6, m², Weg: 9, m² a) u 77 cm, A 0 cm² b) u 77 cm, A 70 cm² a h Mathematik Grundlagen Seite