MATHEMATIK-WETTBEWERB 1995/96 DES LANDES HESSEN

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1 MTMTIK-TTR 1995/96 DS DS SS DR RPP P I C T 1. Käse besteht aus asser und Trockenmasse. Die Trockenmasse enthält ett und Sonstiges. a) in Stück Käse besteht zu 64 % aus Trockenmasse. Das sind 320 g. Davon sind 160 g ett. (1) ieviel Prozent ett enthält die Trockenmasse? (2) ieviel Prozent ett enthält diese Käsesorte? b) ine andere Käsesorte besteht zu 35 % aus asser. Die Trockenmasse enthält 40 % ett. ieviel Prozent ett enthält diese Käsesorte? c) uf der Verpackung eines Käsestücks ist angegeben: 42 % ettgehalt 60 % ett in der Trockenmasse ieviel Prozent asser enthält der Käse? 2. a) Konstruiere das Dreieck C mit C = 9 cm, α = 70, γ = 50. Zeichne die inkelhalbierenden w α und w δ. b) (1) Zeige: w α steht senkrecht auf w δ. (2) Zeichne die Senkrechte von C auf w α und w δ. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit w α heißt P und der Schnittpunkt der Senkrechten mit w δ heißt Q. (3) erechne die röße des inkels ÊCP. c) (1) egründe: QP ist parallel zu. (2) egründe: QP halbiert C. 3. ib die jeweilige ösungsmenge in aufzählender orm an; = Z. a) (x + 3) 2 (x 4) 2 = 3x + 4 b) (x + 5) 4 = 81 c) (x 15) 3 < 1000 d) (2x + 3) 2 > a) Konstruiere das Parallelogramm CD mit α = 40, h a = 3 cm, h b = 4 cm. b) Konstruiere das Dreieck C mit a = 8 cm, β = 50 und der Seitenhalbierenden s a = 5 cm der Seite a. c) Konstruiere ein Dreieck C mit c = 8 cm, der Seitenhalbierenden s a = 5 cm der Seite a und der öhe h c = 6 cm auf die Seite c.

2 2. RD a) in K fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km h. r erreicht sein Ziel in 5 1 Stunden. ür die Rückreise benötigt er nur 5 Stunden. Mit welcher 4 Durchschnittsgeschwindigkeit fährt er dabei? b) in K fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km nach amburg. Die h Rückfahrt fährt er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km. ür die Rückfahrt benötigt er 2 Stunden weniger als für die infahrt. h (1) ieviel Stunden dauert die infahrt? (2) erechne die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte ahrt. c) in K fährt in 12 Stunden nach Dresden. ür die Rückfahrt benötigt er 15 Stunden. Die geringer als auf der infahrt. e- Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Rückfahrt ist 15 km h rechne die Durchschnittsgeschwindigkeit für die infahrt. 6. Im nebenstehenden Koordinatensystem (inheit 1 cm) sind die Dreiecksflächen 1,..., 4, 1,..., 4 dargestellt. a) (1) erechne die lächeninhalte 1, 2, 3. (2) Zeige, daß die lächeninhalte 2 und 2 gleich groß sind. b) Das Dreieck 4 ist bestimmt durch das Zahlentripel (8 5 4) und das Dreieck 4 durch (6 8 4). elche Zahlentripel bestimmen die Dreiecke 100 bzw. 100? c) (1) erechne S 3 = (2) estimme S 100 = (3) ür welche natürliche Zahl n gilt: S n = n + n = 380 cm 2? 7. itte beachten: Die ösungen zu den folgenden ragen können auch als Summe oder Produkt angegeben werden! 4 Schülerinnen und 4 Schüler besuchen gemeinsam eine ilmvorführung. Die Karten für die acht Plätze der ersten Reihe werden unter ihnen per os verteilt. erechne die ahrscheinlichkeiten für die folgenden Platzverteilungen. a) uf Platz r. 1 sitzt ein Mädchen und auf Platz r. 2 ein Junge. b) uf den Plätzen 1 bis 4 sitzen die 4 Jungen. c) uf dem 1. Platz sitzt nna, neben ihr sitzt ärbel, danach kommt Claudia und auf dem 4. Platz sitzt Doris. d) lle Jungen sitzen neben einem Mädchen. e) Die 4 Mädchen sitzen nebeneinander.

3 MTMTIK-TTR 1995/96 DS DS SS P I C T DR RPP 1. ib die jeweilige ösungsmenge in aufzählender orm an; = Z. a) 4(x + 7) = 3(5 2x) + 3 b) 8(3x 7) (4 + 6x) < 12x 48 c) 6(x 2) > 4(2x + 1) 13 d) (4x + 5)(2x 9) = 2x(4x 3) (34 3x) x 2. a) Trage in ein Koordinatensystem mit der inheit 1 cm die Punkte (2 1), (8 1), C(5 9), D(8 9), (2 9) und (5 1) ein. Zeichne das Dreieck C und das Dreieck D. Der Schnittpunkt von C mit heißt, der von C mit D heißt. b) (1) Das Dreieck D ist durch Spiegelung aus dem Dreieck C entstanden. Zeichne die Spiegelachse ein. (2) Das Dreieck D ist durch Drehung aus dem Dreieck C entstanden. ib die Koordinaten des Drehpunktes an. c) erechne den lächeninhalt des Vierecks C. d) (1) In einer entsprechend konstruierten igur ist der inkel ÊCD 66. ib die röße des inkels Ê an. (2) In einer entsprechend konstruierten igur ist das Viereck C ein Quadrat. ie groß ist der inkel ÊCD? 3. ritt, Martina und olger kaufen Sparbriefe. Die Zinsen werden jeweils nach einem Jahr gutgeschrieben, wodurch sich der ert des Sparbriefes erhöht. a) Im ersten Jahr werden die Sparbriefe mit 3,75 % verzinst. (1) Martina kauft für 1200 DM Sparbriefe. ib den Kontostand (ert des Sparbriefes) nach einem Jahr an. (2) olger erhält 56,25 DM Zinsen. ieviel DM hat er in Sparbriefen angelegt? (3) ritt s Konto hat nach einem Jahr einen Kontostand von 1141,25 DM. ieviel DM hat sie für Sparbriefe ausgegeben? b) Im zweiten Jahr werden die Sparbriefe mit 4 % verzinst. m wieviel Prozent hat sich der ert eines Sparbriefes nach 2 Jahren insgesamt erhöht? 4. a) Konstruiere ein Trapez CD aus a = = 5 cm, c = CD = 3,7 cm, h a = 2 cm, α = 70. b) erechne den lächeninhalt des Trapezes. c) (1) Verlängere D über D hinaus und C über C hinaus. Zeichne die Parallele zu CD im bstand h a. Sie schneidet die Verlängerung von C in und die von D in. (2) Den lächeninhalt des Trapezes kann man mit der ormel = c 2h a berechnen. erechne die änge von. d) Man kann das Trapez so drehen, daß ein Parallelogramm mit doppeltem lächeninhalt entsteht. Zeichne einen Drehpunkt ein.

4 2. RD a) andwirt Petersen möchte mit einem 128 m langen Zaun eine rechteckige iese einzäunen. (1) Die iese soll 38 m lang sein. erechne den lächeninhalt. (2) Die iese soll dreimal so lang wie breit sein. erechne den lächeninhalt. (3) Der lächeninhalt der iese soll möglichst groß sein. estimme die änge und die reite der größtmöglichen iese. b) andwirt uber möchte mit einem 156 m langen Zaun eine rechteckige iese einzäunen, deren lächeninhalt größer als 1500 m 2 ist. ie lang und wie breit kann die iese sein? ib 3 ösungen an! 6. s gibt natürliche Zahlen, bei denen die Ziffernfolge symmetrisch ist. eispiele: 555; 5005, a) enne alle dreistelligen symmetrischen Zahlen zwischen 100 und 200. b) enne die kleinste und die größte fünfstellige symmetrische Zahl. c) ist eine symmetrische Zahl. ie heißt die nächstgrößere symmetrische Zahl? d) (1) enne die kleinste vierstellige symmetrische Zahl, nach deren albierung wieder eine symmetrische Zahl entsteht. (2) enne die größte vierstellige symmetrische Zahl, nach deren Verdopplung wieder eine symmetrische Zahl entsteht. 7. In einem Punktmuster sind die ersten zwei einer olge von Quadraten eingezeichnet. uf dem Quadratumfang des zweiten Quadrates liegen 8 Punkte, im Inneren dieses Quadrates 5 Punkte. a) (1) estimme die nzahl der Punkte auf dem mfang des dritten und vierten Quadrates. (2) estimme die nzahl der Punkte im Inneren des dritten und vierten Quadrates. b) (1) estimme die nzahl der Punkte auf dem mfang des 8. Quadrates. (2) estimme die nzahl der Punkte im Inneren des 8. Quadrates. c) (1) in Quadrat hat 40 Punkte auf seinem mfang. ie viele Punkte liegen im Inneren dieses Quadrates? (2) in Quadrat hat 265 Punkte im Inneren. ie viele Punkte liegen auf seinem mfang?

5 MTMTIK-TTR 1995/96 DS DS SS DR RPP C P I C T 1. ei einem Kinofilm laufen in einer Sekunde 24 ilder ab. uf einem ilmstreifen von 1 m änge befinden sich 50 ilder. a) in ilm ist 360 m lang. (1) ie viele ilder sind auf dem ilm? (2) ie viele Minuten und Sekunden dauert die Vorführung dieses ilmes? b) Die Vorführung eines zweiten ilmes dauert 15 Minuten. (1) ie viele ilder hat dieser ilm? (2) ieviel m ist dieser ilm lang? (3) ei einem alten Vorführgerät laufen nur 18 ilder in der Sekunde ab. ie lange würde mit diesem erät die Vorführung des zweiten ilmes dauern? 2. a) estimme den lächeninhalt der schraffierten lächen. b) Im Rechteck beträgt der lächeninhalt der schraffierten läche ein chtel der esamtfläche. estimme x. 3. öse die leichungen bzw. ngleichungen; = = {1, 2, 3,...}. a) 12x 50 = 10 b) 4 (x + 8) = 92 c) x = 5x d) 6x + 12 < 30 e) 10 (x + 1) > 5 (x + 2,5) 4. a) nja verliert beim Spielen 6 Kugeln; es bleiben ihr noch 3 der ursprünglichen nzahl. ie 4 viele Kugeln hatte sie ursprünglich? b) Sonja und erd haben zusammen 54 Kugeln. Sonja hat 12 Kugeln mehr als erd. ie viele Kugeln hat (1) Sonja, (2) erd? c) Kai und ndreas haben bei Spielbeginn gleich viele Kugeln. Kai verliert die älfte seiner Kugeln an ndreas, der nun 60 Kugeln hat. ie viele Kugeln hatte jeder bei Spielbeginn? d) 5 weiße und 13 rote Kugeln wiegen zusammen 92 g. ine rote Kugel wiegt halb so viel wie eine weiße Kugel. ieviel ramm wiegt (1) eine rote Kugel, (2) eine weiße Kugel?

6 2. RD a) (1) Zeichne das Dreieck C mit den in der Skizze angegebenen Maßen. (2) estimme den lächeninhalt des Dreiecks C. b) Verschiebe das Dreieck C so, daß Punkt C auf C liegt. Du erhältst das Dreieck C. estimme den lächeninhalt der esamtfigur. c) Verbinde Punkt mit, Punkt mit und Punkt C mit C. estimme den lächeninhalt des Vierecks C C. d) Verbinde Punkt mit. estimme den lächeninhalt des Vierecks C. 6. a) Peter möchte sich einen PC kaufen. r hat bereits die älfte des Kaufpreises angespart, 35 % des Kaufpreises bezahlen seine ltern. Von seinem Onkel erhält er den Rest des eldes, das sind 360 DM. ieviel DM kostet der PC? b) Der Preis für ein PC-Programm wurde von 450 DM auf 324 DM herabgesetzt. erechne den Preisnachlaß (1) in DM, (2) in Prozent. c) ach einer Preissenkung von 20 % kostet ein Monitor nur noch 640 DM. erechne den ursprünglichen Preis. 7. ei einem Zahlenspiel wird die Summe der Zahlen, die sich in den eldern auf dem eg vom Start zum Ziel befinden, berechnet. Jedes eld darf in einem Spiel nur einmal betreten werden. a) erechne die Summe bei folgendem eg: b) Über insgesamt 7 elder soll man zum Ziel kommen. Die ersten drei elder sind: s gibt vier Möglichkeiten. Schreibe die ege auf und berechne die zugehörigen Summen. c) in eg führt über 7 elder zum Ziel, so daß die Summe 0 ist. Schreibe den eg auf. d) in anderer eg führt über 15 elder zum Ziel. Die Summe ist +8. elches eld wird nicht betreten? e) ei einem eg über 7 elder soll die höchstmögliche Punktzahl erreicht werden. (1) Schreibe den eg auf. (2) erechne die Summe.