Juni Aufgabe 1: Drachen im Viereck

Transkript

1 Juni 014 Aufgabe 1: Drachen im Viereck C In der Aufgabe Drachen im Dreieck wurde gezeigt, dass in jedes Dreieck ein Drachen eingezeichnet M werden kann, der den halben Flächeninhalt des Dreiecks besitzt, wenn man die A folgenden Punkte als Ecken wählt: einen Eckpunkt des Dreiecks, die Mittelpunkte der Seiten, die in dem gewählten Eckpunkt zusammentreffen M sowie den Fußpunkt der Höhe, die von dem gewählten Eckpunkt ausgeht (siehe MA- THEMA Mai 014). A D F FF N C N B B a) M und N sind Seitenmittelpunkte im Viereck ABCD, F ist der Fußpunkt des Lotes, das von D auf die Seite AB gefällt wird. Untersuche, welche Eigenschaften das Viereck ABCD besitzen muss, damit MFND ein symmetrischer Drachen ist. Betrachte auch Drachen mit einspringender Ecke. b) Bestimme den Anteil der Fläche, den das Viereck MFND von der Fläche des Vierecks ABCD einnimmt, wenn MFND ein Drachen ist.

2 MA-THEMA Juni 014 Aufgabe : nicht so leicht zu lesen Die Tipps in MA-THEMA-Aufgaben sollen um nicht voreilig zu viel auf einmal zu verraten nicht immer auf den ersten Blick lesbar sein. Meistens wird zu diesem Zweck dieses Verfahren verwendet: Der Text wird in eine Graphik umgewandelt, diese wird mit einem Bildbearbeitungsprogramm durch geometrische Abbildungen verändert. So erkennt man nicht alles sofort. a) Erkläre, wie man den Text jeweils lesbar machen kann. Gib an, welche geometrische Abbildung zur Verfremdung verwendet wurde. b) Mit dem Bildbearbeitungsprogramm kann man eine Graphik auch absichtlich verpixeln. Finde heraus, wie der Text lautet. Nenne Möglichkeiten, wie man den Text lesbar machen kann. c) In den Graphiken auf der nächsten Seite ist ein Text versteckt. Lege Bild 1 auf Bild (Bilder und Anleitung auf der nächsten Seite). Lege Bild 1 auf Bild 3. Lege Bild auf Bild 3. Beschreibe jeweils deine Beobachtung. Gib den entschlüsselten Text an.

3 MA-THEMA Juni Anleitung zum Entschlüsseln Drucke diese Seite zweimal aus. Das Entschlüsseln ist einfacher, wenn eines der beiden Exemplare auf transparente Folie gedruckt wird. Lege die Folie auf das Papier und schiebe das erste Bild exakt über das zweite. Der Rand hilft dir beim genauen Ausrichten. Bei zwei Ausdrucken auf Papier legst du beide Blätter aufeinander und drückst sie bei Tageslicht gegen eine Fensterscheibe. Beim Ausrichten musst du präzise sein, auf Zehntelmillimeter genau. Du kannst auch aus der pdf-version der MA-THEMA-Aufgabe die Bilder digital kopieren und im Computer mit einem Bildbearbeitungsprogramm übereinanderlegen.

4 MA-THEMA Juni Die drei Bilder unten zeigen jeweils einen stark vergrößerten Ausschnitt vom linken Rand der Graphik (siehe Abbildung rechts). Erkläre mit Hilfe der Bildausschnitte, wie das Verfahren funktioniert. Bild 1 vergrößert Bild vergrößert Bild 3 vergrößert

5 MA-THEMA Juni Aufgabe 3: Winkelbestimmung (10) D δ k 1 γ C M N γ 1 k A α α 1 β B Die beiden Kreise k 1 und k schneiden sich in den Punkten B und D. Der Mittelpunkt M von k 1 liegt auf der Kreislinie k, der Mittelpunkt N von k liegt auf der Kreislinie k 1. Der Punkt A liegt auf der Kreislinie k 1, der Punkt C auf der Kreislinie k. a) Der Punkt M liegt auf der Seite AD, der Punkt N liegt auf der Diagonalen AC. Bestimme die Winkelmaße α 1, α, β, γ 1, γ und δ im Viereck ABCD durch geometrische Überlegungen. Nachmessen ist möglich, aber nur eine Argumentation mit geometrischen Überlegungen gilt als Lösung. b) Der Punkt A wird auf der Kreislinie 1 k verschoben, so dass M nicht mehr auf der Seite AD liegt. Der Punkt N liegt weiterhin auf der Diagonalen AC. Erkläre, wo A liegen muss, damit ABCD ein Parallelogramm ist.

6 MA-THEMA Juni Aufgabe 4: Durchschnittspreis und Durchschnittsgeschwindigkeit Max Mustermann hat mittags bei Fischer Kruse x =,30 für ein Fischbrötchen bezahlt und abends für ein genauso leckeres Fischbrötchen bei Fischer Ehlers y =,50. Wenn Max Mustermann die durchschnittlichen Kosten für ein Fischbrötchen berechnet, verwendet er dazu den arithmetischen Mittelwert. Max addiert die beiden Preise und teilt die Summe durch. Wir betrachten in dieser z1 z + z1 z n Aufgabe Brüche wie x = und y = und schreiben deshalb 1 n a =. n1 n Auf dem Weg zum Strand ist Max in den ersten 30 Minuten m gefahren und hat für die letzten 1000 m 10 Minuten benötigt. Die einzelnen Geschwindigkeiten sind s m m km v 1 1 = = = = 60 und t 1 30 min 1 h h s 1000 m 6000 m km v 1 = = = = 6. t 1 10 min 1 h h (,30 +,50 ) : Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet man mit dem Chuquet-Mittel * s1+ s c =. ( ) :? t1 + t Max Schwester Martina konnte die ersten 100 km konstant mit Tempo 100 km/h fahren, auf den letzten 100 km musste sie konstant mit Tempo 50 km/h fahren. Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit kann man in diesem Fall mit dem harmonischen Mittelwert h = berechnen s1 s + t t a) Gegeben sind die Brüche 10 1 und 5. Vergleiche ihren arithmetischen Mittelwert, ihr Chuquet-Mittel und ihren harmonischen Mittelwert. b) Denke dir weitere Paare von Brüchen aus und vergleiche jeweils wie in a) ihre Mittelwerte. Untersuche, ob bei speziellen Werten der beiden Brüche die verschiedenen Arten von Mittelwerten gleich groß werden können. Halte außerdem einen der beiden Brüche konstant und verändere nur den zweiten. c) Gib Max Durchschnittsgeschwindigkeit an und erkläre, warum hier der arithmetische Mittelwert ungeeignet ist. Nenne Bedingungen, unter denen der arithmetische Mittelwert für Durchschnittsgeschwindigkeiten verwendbar ist. d) Berechne Martinas Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem harmonischen Mittelwert. Zeige, dass der Wert die Durchschnittsgeschwindigkeit korrekt angibt und erkläre, warum das in diesem Fall so ist. * Der französische Arzt NICOLAS CHUQUET hat diese Verknüpfung 1484 in einem Buch über Zahlen untersucht.