Permutationen innerhalb jeder Gruppe A, B und C, Permutation der drei Gruppen:

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1 Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2007 Mathematik 3 Technik - B I - Lösung Aufgabe Ein Getränkemarkt bezieht Bier in Flaschen von 3 verschiedenen Brauereien. Brauerei A liefert zwei Biersorten, Brauerei B drei Sorten und die Brauerei liefert vier Sorten. Teilaufgabe. (3 BE) Es sollen nun je eine Flasche jeder Brauerei und jeder Sorte in einer Reihe nebeneinander aufgestellt werden. ie viele Möglichkeiten gibt es dazu, wenn die Flaschen der einzelnen Brauereien in der Reihe nebeneinander stehen sollen. A A 2 B B 2 B Permutationen innerhalb jeder Gruppe A, B und, Permutation der drei Gruppen: N ( 2 3 4) 3 N 728 Teilaufgabe.2 (4 BE) Für eine erbeaktion werden Träger mit jeweils 4 Flaschen unterschiedlicher Sorten zusammengestellt. ie viele verschiedene solcher Zusammenstellungen sind möglich, wenn in jedem Träger mindestens eine Flasche von jeder Brauerei enthalten sein muss? Bei drei Brauereien und 4 Flaschen muss der Träger jeweils aus einer der Brauerei zwei Flaschen enthalten. zwei von A, eine von B, eine von + eine von A, zwei von B und eine von + eine von A, eine von B und zwei von N Nebenrechnungen: combin( 2 2) combin( 3 ) combin( 4 ) 2 combin( 2 ) combin( 3 2) combin( 4 ) 24 combin( 2 ) combin( 3 ) combin( 4 2) 36 Seite von 5

2 Aufgabe 2.0 Der Getränkemarkt stellt den Kunden Einkaufswagen zur Verfügung, die mit einem hip benützt werden können. Kunden, die keinen hip besitzen, können sich an der Kasse einen hip abholen. Somit ist sichergestellt, dass jeder Kunde, wenn er es wünscht, einen Einkaufswagen benutzen kann. Bei einer Befragung der Kunden stellt sich heraus: 98 % der Kunden, die einen hip hatten, benutzten einen Einkaufswagen. % aller Kunden hatte einen hip, benutzte aber keinen Einkaufswagen, und 0 % der Kunden, die keinen hip hatten, verwendeten auch keinen Einkaufswagen. Ermitteln Sie: Teilaufgabe 2. (4 BE) ie viel Prozent aller Kunden hatten einen hip? [ Ergebnis: h ( ) 50% ] hip: kein hip: Einkaufswagen: kein Einkaufswagen: 0.0 Gegeben: () P ( ) 0.98 (2) P ( ) 0. (3) P Die Ereignisse und E sind stochastisch unabhängig () P ( ) P [ ( )] 0.98 P ( ) (2) P ( ) P ( ) P 0.0 (3) P P ( ) P 0. P ( ) 0.P (3b) (4) P P ( ) P ( ) P ( ) P P ( ) () (5) P P ( ) (5) und (2) einsetzen in (4) 0.0 P P ( ) 0.02P( ) P ( ) 0.02 Teilaufgabe 2.2 (2 BE) ie viel Prozent aller Kunden verwendeten keinen Einkaufswagen? (2) (3b) P P ( ) P ( ) Seite 2 von 5

3 alles ergänzen Teilaufgabe 2.3 (2 BE) ie viel Prozent aller Kunden, die keinen Einkaufswagen benutzten, hatten einen hip? P ( ) P ( ) P Aufgabe 3.0 Der Besitzer des Getränkemarktes vermutet, dass ziemlich genau 35 % der Kunden Bier von der Brauerei B bevorzugen. Die Angestellten bezweifeln diesen Prozentsatz. Teilaufgabe 3. (6 BE) Die Behauptung H 0 des Besitzers soll auf dem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese in einem zweiseitigen Test bei einer Befragung von 256 Kunden. Testgröße: Anzahl X der Kunden, die nur Bier der Brauerei B kaufen unter n 256. p 0.35 H 0 : p H : p 0.35 Testart: Zweiseitiger Signifikanztest A { k k 2... k 2 } A { 0... k } { k 2 k } PXk μ np 89.6 np ( p) Φ k μ k μ.960 Auflösen: k.960 μ k Abrunden: k 74 PX k P X k PXk Φ k 2 μ k 2 μ.960 Auflösen: k μ k Aufrunden: k 2 05 A { } { } Seite 3 von 5

4 Teilaufgabe 3.2 (4 BE) Ermitteln Sie, mit welcher ahrscheinlichkeit man der Behauptung des Besitzers zustimmen wird bei einem Annahmebereich von A { } der Nullhypothese, obwohl in irklichkeit 45 % der Kunden Bier von der Brauerei B bevorzugen. Gesucht ist der β-fehler: p PA ( ) P75 ( X 05) P( X 05) PX ( 74) Φ Nebenrechnungen: μ 2 np np 2 p μ 2 2 Φ 74 μ μ μ PA ( ) Φ(.29) ( Φ( 5.3) ) Φ( 5.3) Φ(.29) Aufgabe 4 (4 BE) Die Brauerei B hat eine neue Etikettieranlage, die bei 5 % der Flaschen das Etikett falsch aufklebt. Berechnen Sie, wie viele Träger (Kasten mit 20 Flaschen) man dem Getränkemarkt liefern müsste, damit er mit einer ahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens 000 richtig etikettierte Flaschen erhält. P( X 000) 0.9 P( X 999) 0.9 P( X 999) 0. n unbekannt p 0.95 μ( n) np 0.95n ( n) μ( n) ( p) n Φ 999 μ μ.28 Auflösen: n n 0.95n n Substitution: n z 0.95z z auflösen z keine Lösung Lösung Resubstitution: n n aufrunden: n 062 Anzahl der Träger: aufrunden: 54 Träger Seite 4 von 5

5 Aufgabe 5 Die Geschäftsleitung will nun einen Imbissstand als zusätzliches Angebot einrichten. Dazu wurden 350 Kunden befragt. Von diesen zeigten 20 Personen Interesse, der Rest lehnte das Angebot ab. Teilaufgabe 5. (4 BE) Berechnen Sie die ahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Befürworter um höchstens 0,5 % vom Erwartungswert abweicht, wenn man von einem Kundenstamm von 5000 Personen ausgeht und den ert der relativen Häufigkeit bei der Umfrage als ahrscheinlichkeit interpretiert. Zufallsgröße X: Anzahl der Interessenten unter 5000 Stammkunden. n 5000 ahrscheinlichkeit: p Erwartungswert: μ np 3000 np ( p) Abweichung: 0.005μ 5 obere Grenze: μ 0.005μ 305 untere Grenze: μ 0.005μ 2985 P( μ 5 X μ 5) PX ( μ 5) PX ( μ 5 ) Φ μ 5 μ Φ 5.5 Φ μ 5 μ Φ 5.5 Φ 5.5 Φ 5.5 2Φ 5.5 2Φ( 0.447) Teilaufgabe 5.2 (4 BE) Zur Eröffnung des Imbissstandes wurden in einer erbeaktion 275 Gutscheine für eine Flasche ein ausgegeben. Die Geschäftsleitung geht davon aus, dass 0 % der Gutscheine nicht eingelöst werden. Deshalb stehen nur 250 Flaschen zur Verfügung. Bestimmen Sie, wie groß die ahrscheinlichkeit ist, dass die 250 Flaschen nicht ausreichen. Binomialverteilung: n 275 Guschein wird eingelöst: p 0.9 μ np np ( p) P( X 250) P( X 250) Φ 250 μ Φ( 0.603) Seite 5 von 5