2x 1. x 3 mit der maximalen Definitionsmenge D f IR. und die Art der Definitionslücke von f an und bestimmen Sie die Nullstelle von f.

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1 Aiturprüfung Berufliche Oerschule 07 Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgae.0 Gegeen ist die reelle Funktion f mit f( x) Ihr Graph wird mit G f ezeichnet. x mit der maximalen Definitionsmenge D f IR. Teilaufgae. ( BE) Geen Sie D f und die Art der Definitionslücke von f an und estimmen Sie die Nullstelle von f. D f IR \ { 0 } x 0 ist Polstelle mit VZW. x 0 x 0 Teilaufgae. (5 BE) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern von D f und geen Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von G f an. x 0 x x 0 x 0-0+ L'Hop. x x 0 eenso x x x x 0 senkrechte Asymptote: x 0 waagrechte Asymptote: y 0 Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

2 Teilaufgae. (7 BE) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von G f und estimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes von G f. [ Mögliches Teilergenis: f' ( x) x x ] f' ( x) x ( x ) x x 6 x 6x x x 6 x x 6 x x f' ( x) 0 x 0 x e x x 0 Funktionswert des Extrempunktes: Zähler pos neg neg f Nenner pos pos pos f '(x) pos neg neg G f sms smf smf.85 7 Hochpunkt: H 7 G f ist streng mon. steigend in ] ; G f ist streng mon. fallend in [ ], ; 0 [ und in ] 0 ; [ Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

3 Teilaufgae. (5 BE) Zeichnen Sie unter Verwendung der isherigen Ergenisse und mittels geeigneter zusätzlicher Funktionswerte G f für 5 x 5 in ein kartesisches Kordinatensystem. xd f( xd) Teilaufgae.5 ( BE) Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm f( x) auch durch f( x) estimmen Sie eine Stammfunktion F der Funktion f mit D F darstellen lässt und x D f. f( x) x x x Fx ( ) x x c x x c x x c Teilaufgae.6 (6 BE) Der Graph G f, die Geraden x, x ( ) und die x-achse schließen ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück für im Koordinatensystem der Teilaufgae.. Zeigen Sie, dass sich für die Maßzahl des Flächeninhalts A ( ) Bestimmen Sie den Grenzwert von A ( ) für..5 ergit. A ( ) f( x) dx F( ) F ( ) Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

4 Teilaufgae.0 Zum Ende des Jahres 995 (Zeitpunkt t 0) leten laut der Organisation der Vereinten Nationen (UNO) 5,7 Milliarden Menschen auf der Erde. Ende 06 hatte die Erdevölkerung gegenüer t 0 um 9,% zugenommen. Mit der vereinfachten Annahme einer exponentiellen Entwicklung gilt für die Gesamtzahl N der Weltevölkerung in Milliarden in Ahängigkeitvon der Zeit t in Jahren die Gleichung Nt () ae t mit t 0 und a, IR. Runden Sie Ihre Ergenisse sinnvoll. Teilaufgae. ( BE) Bestimmen Sie aus den oigen Angaen die Parameter a und. [ Ergenisse: a 5.7 ; 0.06 ] Anzahl der Jahre: Wert nach der Zunahme: N0 ( ) 5.7 ae a 5.7 N ( ) 7. ae 7. a einsetzen: 5.7e 7. ln Teilaufgae. (6 BE) Berechnen Sie, wieviele Menschen zum Ende des Jahres 005 nach dem Modell von.0 auf der Erde leten. Vergleichen Sie das Ergenis mit der tatsächlichen Weltevölkerung Ende 005 von 6,5 Milliarden (UNO), indem Sie die prozentuale Aweichung erechnen und ewerten Sie damit die Güte des Modells. Geen Sie außerdem stichpunktartig drei Gründe an, die eine genaue Ermittlung der weltweiten Bevölkerungszahl erschweren. Nt () 5.7e 0.06t N0 ( ) 6.8 Vergleich: Milliarden Der Wert nach dem Modell weicht nur 0,58% vom tatsächlichen Wert a. Die Güte des Modells für diesen Zeitraum ist sehr gut. Gründe für die Ungenauigkeit sind eispielsweise: Keine Meldepflicht für Geurten und Todesfälle Kriege Fehlende Verwaltung, Fluchtewegungen aus Krisengeieten usw. Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 7

5 Teilaufgae. ( BE) Ermitteln Sie, um wie viele Menschen die Weltevölkerung voraussichtlich im Jahr 07 zunehmen wird N ( ) N ( ) D. h. im Jahr 07 nehmen die Menschen um etwa 9 Millionen zu. Teilaufgae. ( BE) Bestimmen Sie die Gleichung der Aleitungsfunktion N ' und erechnen Sie N '(). Interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang und vergleichen Sie ihn mit Ihrem Ergenis der Teilaufgae.. N' () t e 0.06t e 0.06t N' ( ) Die momentane jährliche Bevölkerungszunahme Ende 06 eträgt etwa 90 Millionen. Dies stimmt fast mit dem in. erechneten Wert üerein. Teilaufgae.5 ( BE) Bestimmen Sie das Jahr, in dem sich die Weltevölkerung gegenüer dem..995 nach dem Modell von.0 verdoppelt haen wird. Nt () N( 0) 5.7e 0.06t 5.7 e 0.06t ln( ) t 0 t Jahre, also Ende 05. Teilaufgae.6 ( BE) Berechnen Sie, welche Bevölkerungszahl sich am Ende des Jahres 05 ergeen würde, wenn man - in einem anderen Szenario - a Ende des Jahres 06 von einer linearen Zunahme um 90 Millionen pro Jahr ausgeht. Anzahl der Jahre: N linear N ( ) Bevölkerungszahl Ende 05: 0,65 Milliarden Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von 7

6 Teilaufgae.0 Gegeen ist die Funktion k mit kx ( ) h mit hx ( ) x, ihre Aleitungsfunktion k' und die Funktion ln ( x ) jeweils in ihren maximalen reellen Definitionsmengen. kx ( ) Teilaufgae. ( BE) Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Funktion k gilt: D k ] ; [ \ {.5 }. Argument von ln positiv: x 0 auflösen x x Nennernullstelle: x auflösen x also x Teilaufgae. ( BE) Ordnen Sie jedem Graphen der Bilder a, und c einer der Funktionen k k' oder h zu und egründen Sie Ihre Wahl. Bild a 0 Bild 0 Bild c 0 5 Bild : x gehört zum Graphen von k mit kx ( ), ln ( x ) da doppelte Nullstelle ei x 0 und Polstelle mit VZW an der Stelle x -,5. Bild c: gehört zum Grapehn von k ', da x 0 Nullstelle mit VZW von Minus nach Plus, d.h. x 0 Extremstelle, (0 0) ist Tiefpunkt von k. Bild a: gehört zum Graphen von h, da x 0 Polstelle ohne VZW und x -,5 Nullstelle ist. Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von 7

7 Teilaufgae. ( BE) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von kx ( ) für x. x x ln ( x ) L'Hosp. x x x x( x ). x Ai 07, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von 7