Beispielarbeit. MATHEMATIK (ohne CAS)

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1 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 1 Abitur 008 Mecklenburg-Vorpommern Beispielarbeit MATHEMATIK (ohne CAS) Hinweis: Diese Beispielarbeit ist öffentlich und daher nicht als Klausur verwendbar.

2 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl: Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Prüfungsteilnehmer, die sich unter Leistungskursanforderungen prüfen lassen, bearbeiten zusätzlich Teil B. Von den Aufgaben A1, A und A3 sind zwei auszuwählen und zu bearbeiten. Von den Aufgaben B1, B und B3 ist eine auszuwählen und zu lösen. Bearbeitungszeit: Hilfsmittel: Hinweis: Sonstiges: Für die Bearbeitung der weiteren Aufgaben aus Teil A stehen 195 Minuten zur Verfügung. Die Bearbeitungszeit für den Teil B beträgt 60 Minuten. Zusätzlich werden 30 Minuten für die Aufgabenauswahl gewährt. Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: das an der Schule eingeführte Tafelwerk, der an der Schule zugelassene Taschenrechner ohne CAS, Zeichengeräte. Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganten und rationellen Lösungen.

3 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 3 Prüfungsteil A0 (15 BE) Arbeitsblatt Name, Vorname: Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Rechenhilfsmitteln (Tafelwerk, Taschenrechner, CAS) zu bearbeiten. Nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten ist dieses Arbeitsblatt abzugeben. 1. Analysis 1.1 In der Abbildung ist der Graph einer ganzrationalen Funktion dargestellt Kennzeichnen Sie die Teile des Graphen mit einer Rechtskrümmung farbig Wie bezeichnet man die Punkte in denen sich die Krümmung ändert? Nennen Sie für die Existenz dieser Punkte - eine notwendige Bedingung an der zugehörigen Stelle, - eine hinreichende Bedingung an der zugehörigen Stelle Eine Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f(x) = x + 4x; x R. Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und geben Sie die Art des Extremums an. 1.3 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den die Graphen der Funktionen f(x) = 3x 3 und g(x) = x x vollständig einschließen.

4 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 4 Arbeitsblatt (Fortsetzung). Analytischen Geometrie.1 Gegeben sind drei Eckpunkte eines Rechtecks ABCD mit A(/1/3), B(-//3) und C(-1/6/8). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.. Gegeben sind die Punkte A(3/0/3), B(-1/5/0), C(5/5/-3) und D(11/-10/9)...1 Die drei Punkte A, B und C legen eine Ebene fest. Geben Sie für diese Ebene eine Gleichung an... Begründen Sie, dass die drei Punkte A, B und D keine Ebene eindeutig festlegen..3 Geben Sie die Gleichungen je zweier Geraden im dreidimensionalen Raum an: die zueinander parallel verlaufen, jedoch nicht identisch sind sich genau in einem Punkt schneiden und senkrecht zueinander verlaufen. 3. Aufgaben zur Stochastik 3.1 Eine Urne enthält gelbe (g), 3 blaue (b) und 5 weiße (w) Kugeln. Aus dieser Urne werden nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen und jeweils ihre Farbe notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Alle Kugeln sind blau. B: Die gezogenen Kugeln haben drei verschiedene Farben. 3. Eine ideale Münze wird fünfmal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: Genau einmal Wappen. Begründen Sie, dass es sich um eine BERNOULLI-Kette handelt.

5 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 5 Prüfungsteil A (50 BE) A1 Analysis (5 BE) 1.1 Gegeben ist eine Funktion f durch die Gleichung 3 f(x) = x 3x + 4 mit x R. Der Graph der Funktion ist K. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichungen der Tangenten t und der Normalen n an K im Punkt P(1/). Die Tangente t schneidet die x-achse im Punkt Q, die Normale n schneidet die x-achse im Punkt R. Die Punkte P, Q und R sind Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie den Inhalt dieser Dreiecksfläche. 1. Gegeben ist eine Funktion g durch die Gleichung 4x 4 g(x) = mit x R. x x+ Der Graph von g ist G (siehe Skizze). y G x 1..1 Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G mit den Koordinatenachsen. Geben Sie die Gleichung der Asymptote von G an. 1.. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Bestimmung der Extrempunkte auf die Gleichung 4x + 8x = 0 führt. 1.3 Eine Schar von Funktionen h t ist durch die Gleichung 3 h(x) t = x t x mit t R, t> 0 gegeben. 3 Die Graphen von h t sind H t Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von H t mit der x-achse und die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte in Abhängigkeit von t Jeder Graph H t schließt im vierten Quadranten mit der x-achse eine Fläche vollständig ein. Für genau einen Wert von t beträgt der Inhalt dieser Fläche 7 FE. Berechnen Sie diesen Wert von t.

6 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 6 A Analytische Geometrie und Vektorrechnung (5 BE) Gegeben ist ein dreiseitiges Prisma ABCDEF z F (siehe Abbildung) durch die Punkte A(5/1/), B(7/7/5), C(3/7/5) und E den Vektor 0 uuur AD = 3. 6 D C B.1 Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte D, E und F. x A y. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Zeigen Sie, dass das Prisma ABCDEF gerade ist. Berechnen Sie das Volumen des Prismas ABCDEF..3 Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade g durch den Punkt A und den Mittelpunkt M BC der Seite BC. Berechnen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die x-y-ebene und den Schnittwinkel der Geraden g mit der x-y-ebene. Bestimmen Sie z so, dass der Punkt (5/13/z) auf der Geraden g liegt..4 Eine Ebene ε durch die Punkte A, B und F schneidet das Prisma. Geben Sie eine Gleichung für die Ebene ε an. Untersuchen Sie, ob der Punkt Q(11/10/-1) in der Ebene ε liegt.

7 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 7 A3 Stochastik und Analysis (5 BE) 3.1 Dem Physiklehrer Herrn Fall gelingt jedes Experiment nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,80. An einem Schultag mit sechs Physikstunden sollen in jeder Stunde genau zwei Experimente vorgeführt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A: Herrn Fall gelingen an diesem Tag alle Experimente. B: Es gelingt keines seiner Experimente. C: Herrn Fall misslingen genau fünf Experimente. D: Es misslingen mindestens die Hälfte der Experimente Spieler Lars zahlt bei einem Würfelspiel 1 Einsatz und wirft drei (ideale) Würfel. Erscheint dabei die 6 genau einmal, erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1. Erscheint dabei die 6 genau zweimal, erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von. Erscheint dabei die 6 genau dreimal, erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 3. Erscheint keine 6, so ist der Einsatz verloren. Weisen Sie nach, dass das Spiel nicht fair ist. Ändern Sie den Einsatz so, dass das Spiel unter sonst gleichen Bedingungen fair wird. 3.3 Eine Schar von Funktionen f a ist durch die Gleichung f(x) = ax + 6x mit a R, a 0 und x R gegeben. a Weisen Sie nach, dass alle Graphen die x-achse in der von Null verschiedenen Nullstelle unter dem gleichen Winkel schneiden Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Graphen. Zeigen Sie, dass die lokalen Extrempunkte der Graphen auf einer Geraden liegen.

8 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 8 Prüfungsteil B (0 BE) B1 Analysis (0 BE) Ein stromlinienförmiger Auftriebskörper wird durch Rotation eines Graphen der Funktionenschar x f(x) k = k x mit 4k x R,0 x k,k R,k > 0 um die x-achse beschrieben. 1.1 Für welchen Wert von k beträgt das Volumen des Rotationskörpers 64π Volumeneinheiten? Bei Annäherung an x = 0 läuft der Rotationskörper spitz zu. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Tangente an den Graphen von fk mit der x-achse für x 0 bildet. 1.3 In den Rotationskörper, der von fk für k = 3 erzeugt wurde, soll ein Zylinder mit dem Radius 0,5 und der Höhe 6 untergebracht werden. Prüfen Sie, ob dieser Zylinder in den Rotationskörper hineinpasst. Begründen Sie Ihre Entscheidung rechnerisch. B Analytische Geometrie (0 BE).1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene ε : 4x + 5y +3z = 1 und der Punkt P(5/6/4)..1.1 Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebeneε..1. Der Punkt P wird an der Ebene ε gespiegelt, berechnen Sie die Koordinaten von P. x 4 1 x 1 1. Die Geraden g: y = 5 + r und h: y = + s sind windschief z 3 1 z 0 zueinander...1 Ermitteln Sie eine Gleichung für die Gerade durch den Punkt P(-4/3/3), welche die Geraden g und h schneidet... Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

9 Abitur 008 Mathematik (ohne CAS) Beispielarbeit Seite 9 B3 Stochastik (0 BE) 3. Von einem Glücksspielautomaten erhält man nach Einwurf des Einsatzes ein Los, auf das eine siebenstellige Zahl gedruckt ist, die nur aus den Ziffern 1 und 6 besteht (z. B ). Der Automat erzeugt die Ziffer 1 mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 und die Ziffer 6 mit der Wahrscheinlichkeit 0, Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A: Die aufgedruckte Zahl endet mit 111. B: Die aufgedruckte Zahl ist größer als Ein Los gewinnt, wenn die aufgedruckte Zahl mehr als dreimal die Ziffer 6 enthält, es heißt dann Gewinnlos. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, ein solches Gewinnlos zu erhalten. (zur Kontrolle: P(Gewinnlos) = 0,16) 3.3 Es wird vermutet, dass der Glücksspielautomat zu viele Gewinnlose ausgibt. Für einen Test sollen wiederum 00 Lose überprüft werden. Beschreiben Sie einen geeigneten Test und bestimmen Sie den Ablehnungsbereich bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 10 %. 3.4 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Verwendung der in Aufgabe 3.3 aufgestellten Entscheidungsregel die Ausgabe von zu vielen Gewinnlosen mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % nicht erkannt wird. Beurteilen Sie diesen Test. 3.5 Ein Los mit genau zwei Einsen auf den vorderen vier Stellen heißt Sonderlos. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Erhalt eines Sonderloses. 3.6 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Los zugleich Gewinnlos und Sonderlos ist. Aufsummierte Wahrscheinlichkeiten für p = 0,16 n = 00 k P( X k) 0, Aufsummierte Wahrscheinlichkeiten für p = 0,15 n = 00 k P( X k)