Abitur 2009 Mathematik Seite 1

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1 Abitur 009 Mathematik Seite Name, Vorname:... Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 3 des Arbeitsblattes) Arbeitsblatt Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk und Taschenrechner zu bearbeiten. Das Arbeitsblatt wird nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten eingesammelt. Zusätzliche Lösungsblätter sind mit Ihrem Namen zu versehen und in dieses Arbeitsblatt einzulegen. Analysis. In dem Koordinatensystem ist der Graph einer der Funktionen f() = oder g() = dargestellt. a) Geben Sie an, welche der beiden Funktionen dargestellt ist. Begründen Sie. b) Skizzieren Sie den Verlauf der Ableitungsfunktion der dargestellten Funktion in dasselbe Koordinatensystem. y Der Graph der Funktion mit der Gleichung f( ) = + b+ c hat im Punkt (3 ) den Anstieg. Berechnen Sie b und c..3 Begründen Sie, dass der Graph der Funktion besitzt. 4 f() = + 5 mit keinen Wendepunkt

2 Abitur 009 Mathematik Seite.4 Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion f() = e und begründen Sie..5 Berechnen Sie alle Lösungen für k. k ( + 5)d = 45 Analytische Geometrie. Ein Dreieck ist durch die Eckpunkte A( ), B(3 ) und C( 3 ) gegeben. Prüfen Sie, ob der Winkel BAC ein rechter Winkel ist. Berechnen Sie die Länge der Strecke AB. Geben Sie den Mittelpunkt der Seite BC an.. Geben Sie den Vektor mithilfe der Vektoren a,b und c an. c b a

3 Abitur 009 Mathematik Seite 3.3 Bestimmen Sie einen Wert für k, sodass der Punkt P(3 k k) auf der Geraden AB mit A( 4) und B(0 5) liegt. 3 Stochastik 3. Eine Tür kann nur mit einem Code, der aus vier Feldern besteht, geöffnet werden. Für jedes Feld stehen die Zeichen 0 oder zur Verfügung. Wie viele verschiedene vierstellige Codes sind höchstens möglich? 3. Ein Würfel wird 00-mal geworfen. Formulieren Sie jeweils das Gegenereignis zu den folgenden Ereignissen. A: Weniger als 0-mal erscheint die Augenzahl 6. B: Mindestens bei der Hälfte der Würfe fällt eine 3 oder eine In einem Behälter liegen rote und 3 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig gezogen, ihre Farbe notiert und nicht wieder in den Behälter gelegt. Anschließend wird dieser Vorgang mit einer zweiten Kugel wiederholt. a) Begründen Sie, dass es sich bei diesem Vorgang nicht um eine Bernoulli-Kette handelt. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe besitzen.

4 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Hinweise für Schüler Aufgabenwahl: Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A, A und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben B, B und B3 ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit: Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 95 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel: Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: das an der Schule eingeführte Tafelwerk, der an der Schule zugelassene Taschenrechner ohne CAS, Zeichengeräte ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Hinweis: Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch eakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges: Maimal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maimal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

5 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 3 A Analysis (5 BE). Gegeben sind zwei Funktionen durch die Gleichungen 6,5 f() = mit, y K f() = 5,5 mit. K Der Graph von f ist K. Der Graph von f ist K... Begründen Sie rechnerisch, dass der Graph K symmetrisch zur y-achse ist... Berechnen Sie die Nullstellen von f. Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten des Graphen K an. + 6,5..3 Zeigen Sie, dass F() = die Gleichung einer Stammfunktion von f ist...4 Der Querschnitt eines 0 m langen Wasserbeckens wird begrenzt durch: K in den Intervallen,5 und,5 K im Intervall. (Alle Längenangaben in Meter) Berechnen Sie das Volumen des Wasserbeckens in Liter, wenn es bis zum oberen Rand gefüllt ist. Das Becken wird nun bis zu einer Höhe von 5 m gefüllt. Zu wie viel Prozent ist das Becken dann gefüllt?. Gegeben ist eine Funktionenschar durch die Gleichung a f a() = mit,a,a 0. Die zugehörige Kurvenschar ist G a... Zeigen Sie, dass G a keine Etrempunkte und keine Wendepunkte besitzt... An jeden Graphen G a werden durch den Punkt P(a f a(a)) die Tangente und die Normale gelegt. Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines Dreiecks, des Tangentendreiecks. Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Normale mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines weiteren Dreiecks, des Normalendreiecks. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte von Normalen- und Tangentendreieck in Abhängigkeit von a.

6 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 4 A Analytische Geometrie (5 BE) Der Name eines Unternehmens wird mit den Großbuchstaben LFW abgekürzt. Dieses Logo soll für Werbezwecke aus Quadern mit quadratischem Querschnitt ( dm dm) hergestellt werden. Die Buchstabenhöhe soll 7 dm betragen. 7 dm I F G H 3 dm. Zeichnen Sie alle Kanten des L in einem geeigneten räumlichen Koordinatensystem. Geben Sie die Koordinaten der oberen vier Eckpunkte F, G, H und I an.. Zur Planung wird das W vorerst nur als Linienmodell betrachtet. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 8) und C( 5 7) durch ihre Koordinaten gegeben. Der Punkt B liegt auf der Geraden mit der Gleichung 0 g A : y = + r,r durch A z 8 4 und der Geraden mit der Gleichung 0 g C : y = + s, s durch C. z 5 3 A B C D E.. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B. (zur Kontrolle: B( 3 )).. Prüfen Sie, ob der Punkt K( 7 3) auf der Strecke BC liegt...3 Berechnen Sie die Größe des Winkels CBA...4 Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g A in der z-ebene...5 Beschreiben Sie die Lage des Buchstaben W in dem Koordinatensystem...6 Nutzen Sie die Symmetrie des Buchstaben W, um die Koordinaten der Punkte D und E zu ermitteln. Geben Sie diese an...7 Das Logo wird auf einer Fläche stehen, die in der Ebene ε mit der Gleichung ε : + 0y+ z= 4 liegt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes C aus dem Linienmodell von dieser Ebene.

7 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 5 A3 Analysis und Stochastik (5 BE) 3. Die Skizze zeigt den Querschnitt eines Trägers in einem kartesischen Koordinatensystem. Die sichelförmige Querschnittsfläche wird durch zwei Parabelbögen p und p begrenzt, die die -Achse in den Punkten A( A y A ) und B( B y B ) schneiden. Längeneinheit entspricht m. A p p y Q T Abbildung nicht maßstäblich B 3.. Der obere Parabelbogen p ist der Graph der Funktion f mit der Gleichung 3 f() = + mit, A B Berechnen Sie die Spannweite AB. 3.. Der untere Parabelbogen p ist der Graph der Funktion g mit der Gleichung 4 g() = a + mit, A B. 5 Berechnen Sie den Wert der Konstante a. (zur Kontrolle: a = ) Die Strecke QT verläuft parallel zur y-achse. Die Länge dieser Strecke ist die Dicke des Trägers an der Stelle. Berechnen Sie die Dicke des Trägers an der Stelle. Geben Sie die größte Dicke des Trägers an Berechnen Sie die Querschnittsfläche des Trägers. Geben Sie die dazu erforderliche Stammfunktion an Der Träger soll mit senkrecht auf der -Achse aufgestellten Balken von 60 cm Länge unterstützt werden. Begründen Sie, warum dies möglich ist. Berechnen Sie die -Koordinaten der Punkte, an denen die Balken den Träger berühren. Die Breite der Balken wird vernachlässigt Im Punkt Q wird an die Parabel p die Tangente t gelegt. Berechnen Sie eine Gleichung für t, die Schnittstelle von t mit der -Achse, die Größe des Winkels, unter dem t die -Achse schneidet. Zu t gibt es eine Parallele, die die Parabel p im Punkt R berührt. Berechnen Sie die Koordinaten von R. Hinweis: Die Aufgabe wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

8 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 6 3. Bei der Herstellung von Balken werden zwei Fehler, Fehler I und Fehler II, registriert, die unabhängig voneinander auftreten. Der Fehler I wird erfahrungsgemäß bei 3 % aller Balken registriert, der Fehler II bei 5 %. Der laufenden Produktion wird auf gut Glück ein Balken entnommen und auf das Vorhandensein beider Fehler untersucht. 3.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse. A: Der Balken hat den Fehler I, aber nicht den Fehler II. B: Bei dem Balken werden beide Fehler festgestellt. C: Der Balken ist fehlerfrei. 3.. Ermitteln Sie, wie viele fehlerfreie Balken man in einer Lieferung von 00 solcher Balken erwarten kann. Die Anzahl der fehlerfreien Balken kann als binomialverteilte Zufallsvariable angenommen werden Berechnen Sie, wie hoch der Prozentsatz der Balken mit registriertem Fehler II sein müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerfreien Balkens bei sonst gleichen Bedingungen auf ca. 95 % steigt.

9 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 7 B Analysis (0 BE) Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung + f() e mit =. y K Der Graph von f ist K.. Der Graph K schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden = a mit a > 0 eine Fläche mit dem Inhalt A ein. Berechnen Sie A in Abhängigkeit von a. Ermitteln Sie lim A(a). a. Auf dem Graphen K ist ein Punkt P(r s) mit r > 0 gegeben. Durch P werden Parallelen zu den Koordinatenachsen gelegt. Diese Parallelen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck. Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass der Umfang dieses Rechtecks minimal wird. Geben Sie den minimalen Umfang an..3 Die Fläche zwischen den Graphen der Funktion f und der -Achse rotiere über dem Intervall [ 0;a] um die -Achse. Ermitteln Sie a so, dass das Volumen des entstehenden Rotationskörpers π (VE) beträgt. 8 e.4 Es sei Q(c d) ein Punkt auf K. Berechnen Sie den Wert von c so, dass die Tangente an den Graphen in Q durch den Punkt R( 0) verläuft.

10 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 8 B Analytische Geometrie (0 BE) Die Buchstaben des Firmenkürzels LFW sollen auf einer Verbrauchermesse zu Werbezwecken befestigt werden. Zur Planung wird der Sachverhalt in einem Linienmodell betrachtet. Der Buchstabe L wird durch die Punkte A, B und C festgelegt. Im Punkt A stoßen die beiden Teile des L zusammen, B und C sind die Endpunkte. In einem kartesischen Koordinatensystem ( LE dm) haben die Punkte folgende Koordinaten A( 3 4), B(5 5 ) und C(4 6 0).. Geben Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene an, in der das L liegt.. Das L soll im Punkt A mit einem Stab auf dem Boden (y-ebene) befestigt werden. Geben Sie an, wie lang dieser Stab sein muss, wenn er senkrecht auf dem Boden steht..3 Zur Stabilisierung des rechten Winkels im Buchstaben L soll vom Punkt B zur Strecke AC eine möglichst lange Strebe angebracht werden. Der Befestigungspunkt an der Strecke AC befindet sich höchstens 7 dm über dem Boden (y-ebene). Errechnen Sie die Länge der Strebe..4 Zusätzlich wird durch den Punkt A senkrecht zu der angebrachten Strebe eine Versteifung eingebaut. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem die Versteifung auf der Strebe endet..5 Durch Licht soll die Aufmerksamkeit der Besucher geweckt werden. Das L wird vom Punkt P(6 5 0) aus angestrahlt. Berechnen Sie die Länge des Schattens, den die längere der beiden Strecken des L, auf die hintere Wand (yz-ebene) wirft.

11 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite 9 B3 Analysis und Stochastik (5 BE) Ein Ornament eines Schrankes wird durch die Graphen dreier ganzrationaler Funktionen nachgebildet (siehe Abbildungen). y G G 3 G Im Intervall besteht die Nachbildung aus dem Graphen G der quadratischen Funktion f. Dabei gilt: f besitzt die Nullstellen und. Zu G gehört der Punkt (0 0,8). Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von f. (Zur Kontrolle: f () = 0, + 0,8 ) 3. Die Nachbildung wird durch den Graphen G der Funktion f mit der Gleichung 3 f() = 9 + 6,5+ a mit, 3,5,a fortgesetzt. Beide Intervallgrenzen sind Nullstellen von f. Berechnen Sie den Wert von a, die Koordinaten des lokalen Hochpunktes, die Stelle im Definitionsbereich, an der die Krümmung von G wechselt. 3.3 Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Tangenten an die Graphen G und G im Punkt ( 0) einschließen. 3.4 Der linke Teil der Nachbildung ist der Graph G 3 der Funktion f 3. Er entsteht durch Spiegelung des Graphen G an der y-achse. Geben Sie die Funktionsgleichung von f 3 an. 3.5 Berechnen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von den Graphen G, G und G 3 sowie der -Achse begrenzt wird. Geben Sie die dazu erforderlichen Stammfunktionen an. Hinweis: Die Aufgabe wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

12 Abitur 009 Mathematik ohne CAS Seite Bei der Herstellung weisen erfahrungsgemäß maimal 4 % der Schränke Fehler auf. Die Anzahl der fehlerhaften Schränke wird als binomialverteilt angenommen. Es wird ein verändertes Herstellungsverfahren erprobt, von dem ein Kritiker behauptet, es erhöhe den Anteil der fehlerbehafteten Schränke. Um diese Behauptung zu überprüfen, werden der nach dem neuen Verfahren laufenden Produktion 0 Schränke zufällig entnommen und geprüft. Geben Sie eine Entscheidungsregel dieses Testes für den Fall an, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 5 % betragen soll. 3.7 Erläutern Sie an diesem Beispiel, was man unter Fehlern. Art versteht. Tabelle der Binomialverteilung (Summenfunktion) für n=0 und p=0,04 k F 0;0,04 (k) 0,440 0,803 0,956 0,996 0,9990 0,9999 Alle nicht aufgeführten Werte sind auf 4 Dezimalstellen genau,0000.