ABITURPRÜFUNG 2008 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK

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1 ABITURPRÜFUNG 2008 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 270 Minuten Computeralgebrasystem Tafelwerk Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Damit der Lösungsweg nachvollziehbar ist, sind wesentliche Zwischenergebnisse aufzuschreiben. Wählen Sie von den Aufgaben A1 und A2 eine und von den Aufgaben B1 und B2 eine zur Bearbeitung aus und bearbeiten Sie die Pflichtaufgabe C. Rechts neben jeder Teilaufgabe steht die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewertungseinheiten (BE). ÖFFNUNG AM 28. APRIL 2008

2 2 Aufgabe A1 Für jede positive reelle Zahl t seien zwei Funktionen f t und g t durch die Gleichungen y = ft (x) = t x und y = gt (x) = x t gegeben. a) Geben Sie die größtmöglichen Definitionsbereiche der Funktionen f t und g t an! Bestimmen Sie sowohl für die Funktion f t als auch für die Funktion g t die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ihres Graphen mit den Koordinatenachsen! Berechnen Sie den Wert des Parameters t so, dass der o Schnittwinkel des Graphen von f t mit der y-achse 45 beträgt! Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g 2 aus dem Graphen von gewinnen kann! f2 9 BE b) Der Graph der Funktion f 2 und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche vollständig ein. Bestimmen Sie eine Gleichung der vertikalen Geraden, die diese Fläche halbiert! Die Graphen der Funktionen f t und g t sowie die y-achse begrenzen ein Flächenstück vollständig. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt! Die Tangente im Punkt P t ( t; 0) an den Graphen von g t teilt dieses Flächenstück in zwei Teilflächen. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen! 8 BE c) Der Graph der Funktion g t sowie die Koordinatenachsen begrenzen ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-achse. Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers! Nun rotiere dasselbe Flächenstück statt um die x-achse um die Gerade mit der Gleichung y = t. Ermitteln Sie auch das Volumen dieses Körpers!

3 3 d) Von dem Punkt T(2 t; 1 ) mit an den Graphen der Funktion g t Bestimmen Sie deren Gleichungen! 2 t 1 aus werden die Tangenten 4 gelegt. ( ) e) Die Punkte O 0; 0, ( r; 0 und R r; ft (r) bilden für jedes r mit 0 < r < t ein Dreieck. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von r gibt, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird! Für t = 3 ist dieser maximale Flächeninhalt ganzzahlig. Geben Sie einen weiteren Wert von t an, für den dieser maximale Flächeninhalt ebenfalls ganzzahlig ist! Für welchen Wert von t wird das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt gleichschenklig? Q ) ( ) 5 BE

4 4 Aufgabe A2 Für jede reelle Zahl t seien die zwei Funktionen f t und g t durch t+ 2 x y = ft (x) = ( x t) e und y = g (x) = f (x) t ( x R) gegeben. t t + a) Untersuchen Sie den Graphen von f t auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf lokale Extrempunkte und auf Wendepunkte! Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten! Zeigen Sie, dass der Abstand des Extrem- und Wendepunktes des Graphen von f t unabhängig von t ist! Geben Sie den Wertebereich der Funktion f t an! Nennen Sie die Anzahl der Nullstellen der Funktion g t in Abhängigkeit von t! Begründen Sie, dass die Funktion f t im Intervall [ t 2; t + 2] nicht umkehrbar ist! b) Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a) zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von f t an! Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von f t! Die x-achse und der Graph der Funktion f t für t > 0 begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt A 1! Der Graph von f t schließt für t > 0 im IV. Quadranten mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein, deren Inhalt A 2 betrage. Ermitteln Sie den Parameter t so, dass = A gilt! A1 2 c) Im Punkt W t ( t + 2; ft ( t + 2) ) mit t 4 werde die Tangente an den Graphen von f t gelegt. Diese Tangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck, welches um die x-achse rotiert. Der dabei entstehende Rotationskörper soll ein Volumen von π VE haben. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von t! Nun sei t = 2. Berechnen Sie alle Stellen x B, für die die Tangente im Punkt B ( xb; f2( xb )) an den Graphen von f 2 durch den Koordinatenursprung verläuft! 11 BE 6 BE 5 BE

5 5 d) Für jeden Wert von t bilden die Punkte R ( t; f t ( t) ) H ( t + 1; f (t 1) ) und W ( t 2; f ( t 2) ) t, t t + t + t + ein Dreieck. Zeigen Sie, dass alle diese Dreiecke zueinander kongruent sind! Berechnen Sie deren Flächeninhalt! e) Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung ( n 1) der Funktion f t gilt: ( n) n+ 1 t+ 2 x ft (x) = ( 1) ( n x + t) e

6 6 Aufgabe B1 Die Abbildung zeigt den vereinfachten Computerentwurf eines Architekten für ein Ausstellungsgebäude. (Eine Längeneinheit betrage einen Meter.) z H(0; 12; 12) F(10; 0; 9) E(0; 0; 5) K(0; 12; 4) A G(10; 12; 4) D y x B(10; 0; 0) C(10; 12; 0) (Skizze nicht maßstäblich) a) Die Ebene ε 1 enthält die Dachfläche EGH und wird beschrieben durch die Gleichung 48 x + 35y 60z = 0. Die Ebene ε 2 enthält die Dachfläche EFG. Ermitteln Sie für ε 2 eine parameterfreie Gleichung! (Kontrollergebnis: ε 2 : 24x + 25y + 60z 300 = 0) Aus Gründen der Stabilität wird die Dachfläche EGH durch eine vom Punkt K ausgehende, im Inneren des Gebäudes verlaufende Metallstrebe abgestützt. Diese Strebe soll im Schwerpunkt 10 S ; 8; 7 des Dreiecks EGH an die Dachfläche angesetzt 3 werden. Welche Länge besitzt die Strebe? Untersuchen Sie, ob die Strebe senkrecht zur Dachfläche EGH steht! (Die Dicke der Strebe werde bei den Berechnungen nicht berücksichtigt.) 5 BE

7 7 b) Das vom Dach ablaufende Regenwasser soll über eine Rinne EG abgeleitet werden. Berechnen Sie die Größe des stumpfen Winkels, den die beiden Dachflächen außerhalb des Gebäudes miteinander einschließen! Die Dachfläche EFG soll vollständig mit Solarzellen ausgelegt werden. Ermitteln Sie die dabei anfallenden Kosten, wenn pro Quadratmeter 165,00 veranschlagt werden! c) Während Ihrer Abiturprüfung gibt es einen Zeitpunkt, zu dem das 10 r Sonnenlicht in Richtung des Vektors s = 12 einfällt. 9 Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf die Solarzellen auf? Untersuchen Sie, ob dabei die Spitze H des Gebäudes einen Schatten auf die Dachfläche mit den Solarzellen wirft! d) Die beiden Spitzen F und H werden durch ein straff gespanntes Seil miteinander verbunden. Das Durchhängen des Seils werde vernachlässigt. Die Geraden, die das Seil FH bzw. die Rinne EG enthalten, verlaufen windschief zueinander. Berechnen Sie deren Abstand! Am Seil wird eine Markierung angebracht, die einen Abstand von genau einem Meter von der Dachfläche EGH hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des zugehörigen Punktes auf dem Seil! (Hinweis: Runden Sie auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma.) 5 BE 6 BE

8 8 Aufgabe B2 Der Psychologe Siegmund F. geht aufgrund von umfangreichen Untersuchungen an mehr als Probanden davon aus, dass 3% aller deutschen Schüler MHB-Schüler sind, d. h. Schüler oder Schülerinnen, die eine mathematische Hochbegabung besitzen. Um eine derartige Begabung zu erkennen, werden psychologische und mathematische Tests durchgeführt. Der Psychologe lädt 100 rein zufällig ausgewählte Schüler aller Schularten aus ganz Deutschland zu einem solchen Test ein. a) Berechnen Sie aufgrund dieser Annahmen die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A bis E! A:= Unter den getesteten Schülern befinden sich genau drei MHB-Schüler. B:= Unter den getesteten Schülern befinden sich mindestens drei MHB-Schüler. C:= A B D:= Der zehnte getestete Schüler ist der erste MHB-Schüler. E:= Spätestens der zehnte getestete Schüler ist der erste MHB- Schüler. Beschreiben Sie in diesem Sachzusammenhang ein Ereignis F, das die Wahrscheinlichkeit P(F) = 0,03 0,97 1 besitzt! b) Ermitteln Sie, wie viele Schüler man mindestens testen müsste, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 0,95 am Ende mindestens 30 als MHB-Schüler bekannt sein sollen! 6 BE 5 BE Nach dem ersten Test werden von den eingeladenen Schülern rein zufällig 25 ausgewählt und einem zweiten Test unterzogen. Unter ihnen befinden sich (wie sich später herausstellt) genau vier MHB- Schüler. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Schüler beim zweiten Test der erste MHB-Schüler ist! 1 BE

9 Die Psychologin Gerlinde M. zweifelt den Anteil von 3% MHB- Schülern an. 9 d) Mit rein zufällig ausgewählten Schülerinnen und Schülern werden nun über eine längere Beobachtungsphase die mathematischen Leistungen getestet und 46 Schülerinnen und Schüler als mathematisch hochbegabt eingestuft. Diskutieren Sie dieses Ergebnis im Vergleich zu der Ausgangshypothese p = 0,03 mithilfe eines Hypothesentests! Von einem anderen Test, den Psychologen zur Begabungserkennung nutzen, sei bekannt, dass er einen rein zufällig ausgewählten Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,066 als mathematisch hochbegabt einstuft, d.h. der Test geht positiv aus. Bei einem Nicht-MHB-Schüler zeige der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,04 irrtümlich trotzdem eine mathematische Hochbegabung an. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p 1, dass dieser Test bei einem MHB-Schüler positiv ausgeht! Bei Jochen war das Testergebnis negativ. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit p 2, dass Jochen trotzdem mathematisch hochbegabt ist!

10 10 Aufgabe C ( n a) Gegeben seien die Folge a mit ihr Grenzwert g. ) 1 2n a n = mit n N und 3 4n Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von ( ) n a! Berechnen Sie das erste Folgeglied, das kleiner als 1 g + ist? BE b) Der Graph einer quadratischen Funktion hat bei x 1 = 0 ein lokales Maximum, bei x 2 = 3 eine Nullstelle und schließt mit der x-achse eine Fläche von 18FE ein. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion! 2 BE c) Beweisen Sie folgenden Satz: Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Dreieckseiten ist zur dritten Seite parallel und halb so lang wie diese. 2 BE d) Anita und Beate werfen auf eine Torwand. Zuerst wirft Anita genau einmal und danach Beate genau siebenmal. Anitas Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 0,10 und Beates 0,20. Gegeben sind folgende drei Ereignisse (siehe Baumdiagramm). A: = Anita erzielt einen Treffer. B1:= Beate erzielt mindestens einen Treffer. B2:= Beate erzielt mindestens zwei Treffer.

11 11 p 0,79 B 1 0,1 0,9 A A B 1 B 2 q 0,58 B 2 Zeigen Sie, dass p = P(B1) 0,79 gilt! Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese beiden Handballerinnen zusammen mindestens zwei Treffer erzielen! 2 BE e) Vereinfachen Sie den Term weitestgehend! 251 log 8 a mit a > 0, a 1 a 1 BE

12 12 Normalverteilung x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) x ϕ(x) Φ(x) 0,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,20 0, , ,80 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,21 0, , ,81 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,22 0, , ,82 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,23 0, , ,83 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,24 0, , ,84 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,25 0, , ,85 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,26 0, , ,86 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,27 0, , ,87 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,28 0, , ,88 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,29 0, , ,89 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,30 0, , ,90 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,31 0, , ,91 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,32 0, , ,92 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,33 0, , ,93 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,34 0, , ,94 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,35 0, , ,95 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,36 0, , ,96 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,37 0, , ,97 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,38 0, , ,98 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,39 0, , ,99 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,40 0, , ,00 0, , ,60 0, , ,20 0, , ,41 0, , ,01 0, , ,61 0, , ,21 0, , ,42 0, , ,02 0, , ,62 0, , ,22 0, , ,43 0, , ,03 0, , ,63 0, , ,23 0, , ,44 0, , ,04 0, , ,64 0, , ,24 0, , ,45 0, , ,05 0, , ,65 0, , ,25 0, , ,46 0, , ,06 0, , ,66 0, , ,26 0, , ,47 0, , ,07 0, , ,67 0, , ,27 0, , ,48 0, , ,08 0, , ,68 0, , ,28 0, , ,49 0, , ,09 0, , ,69 0, , ,29 0, , ,50 0, , ,10 0, , ,70 0, , ,30 0, , ,51 0, , ,11 0, , ,71 0, , ,31 0, , ,52 0, , ,12 0, , ,72 0, , ,32 0, , ,53 0, , ,13 0, , ,73 0, , ,33 0, , ,54 0, , ,14 0, , ,74 0, , ,34 0, , ,55 0, , ,15 0, , ,75 0, , ,35 0, , ,56 0, , ,16 0, , ,76 0, , ,36 0, , ,57 0, , ,17 0, , ,77 0, , ,37 0, , ,58 0, , ,18 0, , ,78 0, , ,38 0, , ,59 0, , ,19 0, , ,79 0, , ,39 0, ,99158