e) Bei dem rechts gezeigten Dreieck ist a = 2 m, c = 4 m. e1) Berechnen Sie die Seitenlänge b. e2) Berechnen Sie die Größen der Winkel.

Transkript

1 Pof D Pete Plppet Fkultät Gundlgen Tutoium Mthemtik IW1 ufgenltt T1 Tigonometie 1 llgemeine Hinweise zu diesem ufgenltt: Ds Smol ezeihnet in den Skizzen stets einen ehten Winkel Die enutzung eines Tshenehnes (TR) ist ei den meisten ufgen efodelih Sofen kein TR enutzt weden soll ist dies usdüklih ngegeen Seite 6 ist ein kleines Egänzungsskipt zu Tigonometie gedukt ufge 1 ) ei dem in de Skizze ehts gezeigten Deiek ist = 10 m γ = 40 eehnen Sie die Seitenlängen und γ ) ei dem unten dgestellten Deiek ist = 80 m = 35 γ 1) eehnen Sie die Länge de Seite ) eehnen Sie die Länge de Seite ) ei dem ehts dgestellten Deiek ist = m = 375 1) eehnen Sie die Länge de Seite ) eehnen Sie die Länge de Seite γ d) estimmen Sie ei den Deieken us den ufgenteilen ) ) ) die Gößen de niht ngegeenen Winkel e) ei dem ehts gezeigten Deiek ist = m = 4 m e1) eehnen Sie die Seitenlänge e) eehnen Sie die Gößen de Winkel ufge Wie goß ist die Resultieende zweie senkeht ufeinnde stehende Käfte von 35 kn zw 3 kn? Welhen Winkel ildet die Resultieende mit den eiden Käften? Tutoium IW1 Tigonometie ltt T1 Seite 1/11 γ

2 ufge 3 Die in de Skizze dgestellten Vektoen hen die folgenden etäge: F 1 = 5 kn F = 4 kn F 3 = 45 kn F 4 = 4 kn De Winkel zwishen F 1 und de -hse etägt 35 Weite sind ( F 1 F ) = 105 F ) = 90 F ) = 95 ( F 3 ( 3 F 4 ) eehnen Sie die - und -Koodinten de vie Vektoen ) eehnen Sie - und -Koodinte de esultieenden Kft F1 + F + F3 + F4 ) Skizzieen Sie die esultieende Kft d) eehnen Sie den etg de esultieenden Kft F F e) estimmen Sie ehneish den Winkel den die esultieende Kft mit de -hse ildet F 1 F 4 ufge 4 Eine m lnge Leite lehnt unte einem Winkel von 70 n eine Huswnd (siehe Skizze) ) Wie weit ist ds untee Ende de Leite von de Huswnd entfent? ) Wie weit ist ds oee Ende de Leite vom Edoden entfent? 70 m ufge 5 Die neenstehende ildung zeigt ein gleihshenkliges Deiek ) Wie goß ist h lso die Höhe uf die Seite? ) eehnen Sie den Fläheninhlt des Deieks 8 m 50 h 8 m Tutoium IW1 Tigonometie ltt T1 Seite /11

3 ufge 6 Ein Köpe mit dem Gewiht G = 00 N efindet sih uf eine shiefe Eene mit Neigungswinkel 7 Die Gewihtskft G knn die zwei Komponenten Hngtieskft F H tngentil zu Eene und Nomlkft F n senkeht zu Eene zelegt weden Welhe etäge hen diese eiden Käfte? 7 F H G F n ufge 7 [Diese ufge ist keine Tigonometie-ufge sonden eine Voüung zu ufge 8] 4 = 8 Gesuht ist die Lösung des lineen Gleihungssstems = 6 eehnen Sie (ohne Tshenehne) diese Lösung mit veshiedenen Methoden ufge 8 Ein Köpe mit dem Gewiht G = 4 kn ist n einem Dhtseil efestigt eehnen Sie (mit TR) die Zugkäfte in den eiden Seilstängen wenn die efestigungspunkte und uf gleihe Höhe sind und = 0 sowie = 43 ist G ufge 9 (ufgenstellung uf de nähsten Seite) Tutoium IW1 Tigonometie ltt T1 Seite 3/11

4 ufge 9 (Fotsetzung) Die ildung uf de voigen Seite zeigt den nödlihen Polkeis ls ote Linie uf eine Weltkte Wie goß ist (ungefäh) de Umfng des Polkeises uf de Edoeflähe? enutzen Sie zu eehnung die folgenden Infomtionen: Die Ede ist näheungsweise eine Kugel mit Rdius 6371 km N P Veindet mn einen Punkt P des Polkeises mit dem Edmittelpunkt M so shneidet die Veindungslinie die Äqutoeene unte einem Winkel von etw 665 Siehe dzu uh den neenstehenden Queshnitt in dem ußedem de Nodpol N und de Südpol S eingetgen sind M 665 Äqutoeene S Egenisse zum ufgenltt T1 Hie sind nu Endegenisse ufgefüht und niht eventuell notwendige Zwishenshitte ode Üelegungen ei Fgen und Polemen wenden Sie sih itte n mih und veeinen ggf einen Temin fü eine Spehstunde! itte mhen Sie mih duf ufmeksm wenn Sie Fehle in diese Egenisliste finden ufge 1 ) 766 m 6 43 m 1) 9766 m 56 0 m 1) 39 m 61 m d) in ) ist = 50 ; in ) ist = 55 ; in ) ist = 5 5 e) 447 m 6 57 γ ufge : F 4 61 kn; de Winkel mit de Kft von 35 kn etägt 4060 ; de es Winkel mit de Kft von 3 kn etägt 4940 (Egenisse von ufge 3ff uf de nähsten Seite) Tutoium IW1 Tigonometie ltt T1 Seite 4/11

5 ufge 3 ) F kn F1 87 kn F 306 kn F 57 kn F 3 89 kn F3 345 kn F 4 38 kn F4 9 kn ) F 14 kn F 30 kn es ) siehe Skizze ehts d) F es 1 45 kn es 0 e) 1 d h 1 im Uhzeigesinn von de positiven -hse F 1 1 F es F 1 F 4 F 3 ufge 4 ) 068 m ) 188 m ufge 5 ) h 613 m ) 3151 m² ufge 6: F 90 8 F 178 H n N ufge 7: = = 1 ufge 8: etg de Kft im linken Seilstng F kn; etg de Kft im ehten Seilstng F In Vektosheiweise sind die Käfte gegeen duh F kn; F kn kn ufge 9: Die Rehnung egit einen Umfng von 1596 km [nmekung: De ttsählihe Wet weiht ein wenig dvon d die Ede niht ekt kugelfömig ist] Tutoium IW1 Tigonometie ltt T1 Seite 5/11

6 Egänzungsskipt zu Tigonometie Winkelfunktionen im ehtwinkligen Deiek ezeihnungen im ehtwinkligen Deiek Die dem ehten Winkel gegenüeliegende Seite heißt Hpotenuse In de ildung ehts ist ds die Seite Die eiden ndeen Seiten heißen Ktheten ethtet mn einen de eiden spitzen Winkel (d h de Winkel < 90 ) dnn heißt die dem Winkel nliegende Seite die nkthete des Winkels und die dem Winkel gegenüeliegende Seite die Gegenkthete des Winkels eispiel: In de ildung ist die Seite die nkthete des Winkels und die Seite die Gegenkthete des Winkels Fü den Winkel ist umgekeht die Seite die nkthete und die Seite die Gegenkthete Definition de Winkelfunktionen im ehtwinkligen Deiek γ Im ehtwinkligen Deiek gilt: Gegenkthete sin ϕ = Hpotenuse nkthete os ϕ = Hpotenuse Gegenkthete tn ϕ = nkthete Dei steht ϕ fü einen de eiden spitzen Winkel In dem oen gezeigten Deiek ist lso fü den Winkel sin = os = und tn = Gegenkthete Fü den Winkel wäe entspehend sin = = usw Hpotenuse nmekung: Die Fomeln in diesem shnitt sind kuz und einpägsm e niht gnz päzise fomuliet Gemeint ist ntülih stets die Länge de eteffenden Seite in Längeneinheiten lso z die Länge de Hpotenuse zw die Länge von usw Zusmmenhänge zwishen den Winkelfunktionen 1) Zusmmenhng zwishen sin und os: Flls + = 90 ist lso z wenn und die eiden spitzen Winkel in einem ehtwinkligen Deiek sind dnn gilt sin = os sowie umgekeht sin = os eispielsweise ist sin 0 = os70 und sin 70 = os 0 ) Zusmmenhng zwishen tn und sin os: Es gilt fü lle Winkel sin tn = os Kuz zusmmengefsst: os = sin(90 ) sin tn = os Egänzungsskipt Tigonometie; Pof D Pete Plppet ltt T1 Seite 6/11

7 Vektoen in de Eene Käfte die in eine Eene wiken weden mthemtish oft duh Vektoen (= Klssen pllele gleih lnge und gleih oientiete Pfeile) im R eshieen In vielen Fgestellungen kennt mn dei von einem Vekto F den etg (= die Länge) F und den (mit Vozeihen vesehenen) Winkel von de positiven -hse zum Vekto F Hieus knn mn die - und die -Koodinte F zw F mit de folgenden Fomel eehnen: F = F os F F = sin F F F F = F F F Fü den Vekto selst sheit mn F = F In de Mehnik vewendet mn uh die Sheiweise F ( ohne Vektopfeil!) fü den etg eines Vektos dot sheit mn lso F = F Dmit luten dnn die oen gennnten Fomeln wie folgt: F = F os F = F sin ei nwendung diese Fomeln uf einen Vekto im zweiten ditten ode vieten Qudnten teten Winkel > 90 uf ode negtive lso im Uhzeigesinn gemessene Winkel Mn knn ds umgehen indem mn sttt dessen die folgende Fomel enutzt ± F os F = ± F sin Egänzungsskipt Tigonometie; Pof D Pete Plppet ltt T1 Seite 7/11

8 Hieei ezeihnet den zwishen 0 und 90 liegenden Winkel zwishen F und de positiven ode negtiven -hse je nhdem welhe Winkel kleine ist Dnn sind zunähst (ls Zwishenegenis) sowohl os ls uh sin positiv und mn muss nhtäglih noh die ihtigen Vozeihen hinzufügen (so ist ds Smol ± in den Fomeln zu vestehen) Die Vozeihen egeen sih us folgende Telle: Qudnt II Qudnt I F < 0 F > 0 F > 0 > 0 F Qudnt III Qudnt IV F < 0 F < 0 F > 0 < 0 Die nhfolgenden eispiele illustieen dss die eiden oen gennnten Methoden die - und -Koodinte eines Vektos zu eehnen gleihwetig sind Methode : F F = os F F = sin ; Methode : = Winkel mit Vozeihen von de positiven -hse hin zum Vekto F F = ± F os = ± F sin ; Vozeihen siehe oen; F = positive spitze Winkel zwishen -hse und Vekto F In llen eispielen soll de Vekto F F den etg F = 4 hen F II Qudnt III Qudnt IV Qudnt F Methode : =135 = 10 = 300 ode = 60 (*) F = F os135 = F = F os 10 = 3 = F os 300 = = 300 F = F sin 135 = F = F sin 10 = = F sin 300 = 3 ode (Methode ): = 45 = 30 = 60 F F F = 60 (*) diese eiden Winkel liefen ds gleihe Egenis F = F os 45 = F = F os 30 = 3 = + F os 60 = F = + F sin 45 = F = F sin30 = = F sin 60 = 3 F F Egänzungsskipt Tigonometie; Pof D Pete Plppet ltt T1 Seite 8/11

9 Winkelfunktionen in einem elieigen Deiek Wenn in einem Deiek niht lle Seitenlängen ode Winkelgößen ngegeen sind knn mn die folgenden Fomeln enutzen um die ndeen Wete uszuehnen In jedem (uh niht ehtwinkligen) Deiek gelten die folgenden Fomeln: Winkelsumme: + + γ = 180 Sinusstz: Kosinusstz: = = sin sin sinγ = = = osγ os os Die dei Fomeln des Kosinusstzes hen die gleihe Stuktu: Diejenige Deieksseite die links vom Gleihheitszeihen uftitt kommt ehts niht vo; hingegen kommt de Winkel de diese Seite gegenüeliegt ehts im Kosinus vo Im Flle γ = 90 (ehtwinkliges Deiek) ist os γ = 0 de Kosinusstz egit dnn = + lso den Stz von Pthgos De Kosinusstz ist sozusgen ds Gegenstük des Stzes von Pthgos fü niht ehtwinklige Deieke ei Deiekseehnungen müssen im llgemeinen dei Gößen (Seitenlängen ode Winkel) gegeen sein woei mindestens eine diese dei Gößen eine Seitenlänge sein muss us diesen dei Gößen knn mn die ndeen dei duh nwendung von Sinusstz und Winkelsumme ode duh nwendung von Kosinusstz und Winkelsumme usehnen Den Sinusstz knn mn nwenden wenn eine Seite zwei Winkel gegeen sind ode wenn zwei Seiten und de eine Seite gegenüeliegende Winkel gegeen sind Den Kosinusstz knn mn nwenden wenn zwei Seiten und de eingeshlossene Winkel gegeen sind ode wenn lle dei Seiten gegeen sind Egänzungsskipt Tigonometie; Pof D Pete Plppet ltt T1 Seite 9/11

10 Winkelfunktionen im Einheitskeis; ogenmß Ein Punkt P efindet sih uf dem Einheitskeis de Eene 1 P = Länge dieses Keisogens 0 os sin Q (1 0) Die Lge des Punktes P knn uf veshiedene ten ngegeen weden: Duh den Winkel von de positiven -hse zu (1 Längeneinheit lngen) Steke 0P die den Koodintenuspung 0 mit dem Punkt P veindet Git mn in Gd n spiht mn vom Gdmß des Winkels Duh die (in Längeneinheiten gemessene) Länge des Keisogens de vom Punkt (1 0) zum Punkt P geht Mn nennt ds ogenmß des Winkels Sowohl im Gdmß ls uh im ogenmß git ds Vozeihen des Winkels die Oientieung n: positives Vozeihen wenn de Winkel im mthemtish positiven Dehsinn (= gegen den Uhzeigesinn) gemessen wid; negtives Vozeihen wenn de Winkel im mthemtish negtiven Dehsinn (= im Uhzeigesinn) gemessen wid Duh die eiden Koodinten des Punktes P Liegt P im esten Qudnten ist im ehtwinkligen Deiek 0QP ist die lu gezeihnete Steke QP die Gegenkthete des Winkels und dhe die Länge de Steke QP = sin Hpotenuse = sin 1 = sin lso ist sin die zweite Koodinte von P und nlog os die este Koodinte von P d h es ist P (os sin) Häufig git mn den Winkel im Gdmß n und ht dnn os ls wgehte und sin ls senkehte Koodinte des Punktes; lso P (os sin ) uh wenn P im II III ode IV Qudnten liegt nennt mn die este Koodinte von P os und die zweite Koodinte sin (De einzige Unteshied zum I Qudnten ist dss in den ndeen Qudnten os und / ode sin negtiv ist und dnn niht meh die Länge eine Deieksseite dstellt sonden zu de Länge noh ein Vozeihen hinzukommt) Egänzungsskipt Tigonometie; Pof D Pete Plppet ltt T1 Seite 10/11

11 Ein Punkt P im Einheitskeis ht die Koodinten P (os sin ) woei die Position des Punktes duh ds ogenmß eshieen ist d h die (mit einem Vozeihen fü den Dehsinn vesehene) Länge des Keisogens de vom Punkt (1 0) zum Punkt P geht Winkelumehnung von Gdmß in ogenmß und umgekeht Die Umehnung efolgt mit folgende Fomel: = 360 π Gdmß ogenmß π eispiele: = 90 = = 180 = π Egänzungsskipt Tigonometie; Pof D Pete Plppet ltt T1 Seite 11/11