3.1 Gleichgewichtsbedingung Freikörperbild Ebene Kräftesysteme Räumliche Kräftesysteme

Transkript

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2 Inhltsveeihnis Einleitung 9 Vowot u deutshen Neuuflge Zum Inhlt Hinweise u uhstuktu Neu in diese uflge:»len little do little« eson-sttik-klusutine Kpitel 1 llgemeine Gundlgen Mehnik Gundlegende egiffe Mßeinheiten Ds intentionle Einheitensstem Numeishe eehnungen Kpitel 2 Kftvektoen Skle und Vektoen Vektoopetionen Vektoddition von Käften ddition von Käften in eine Eene Ktesishe Vektoen ddition und Sutktion ktesishe Vektoen tsvektoen Kftvekto entlng eine Linie Sklpodukt Kpitel 3 Gleihgewiht m unkt Gleihgewihtsedingung eiköpeild Eene Käftessteme Räumlihe Käftessteme Kpitel Resultieende von Käftesstemen Moment eine Kft Skle Dstellung Vektopodukt, Keupodukt Moment eine Kft Vektoielle Dstellung Momentenst Moment eine Kft um eine vogegeene hse Moment eines Käfteps Äquivlente Ssteme Resultieende eines Sstems von Käften und Käftepen Weitee Reduktion eines Sstems von Käften und Momenten Reduktion eine veteilten Lst (Stekenlst)

3 Resultieende von Käftesstemen Momentenhse ' ojektionshse M u M = Moment um eine estimmte hse Wenn ds Moment eine Kft um eine elieige hse estimmt weden soll, dnn muss die ojektion des Moments uf die hse emittelt weden. Knn de stnd d, de senkeht u Wikungslinie de Kft und de hse steht, estimmt weden, dnn ist ds Moment de Kft um die hse einfh M = d Wenn diese stnd d niht estimmt weden knn, sollte ds Sptpodukt ngewendet weden: M = u ( ) De Einheitsvekto u legt die Rihtung de hse fest, und ist ein tsvekto, de von einem elieigen unkt uf de hse u einem elieigen unkt uf de Wikungslinie de Kft geihtet ist. ' M Moment eines Käfteps Ein Käftep esteht us wei gleihen, e entgegengesett geihteten Käften, deen Wikungslinien in einem senkehten stnd d voneinnde liegen. Käftepe eeugen eine eine Dehwikung. Ds Moment eines Käfteps wid gemäß M = d. d. und seine Rihtung mit de Rehte-Hnd-Regel estimmt. Wid ds Keupodukt u estimmung des Moments eines Käfteps ngewendet, dnn gilt M = weist u einem unkt uf de Wikungslinie de Kft im Keupodukt, und w von einem unkt uf de Wikungslinie de Gegenkft. Reduktion eines Sstems von Käften und Käftepen Ein Sstem von Käften und Momenten von Käftepen knn uf eine esultieende Einelkft und ein esultieendes Moment eines Käfteps eduiet weden, die n einem unkt ngeifen. Die esultieende Kft ist die Summe lle Käfte im Sstem und ds esultieende Moment ist gleih de Summe de Momente lle Käfte und de Käftepe eüglih des unktes. R M = M R 192

4 Zusmmenfssung Eine weitee Veeinfhung uf eine esultieende Einelkft ist möglih, wenn es sih um ein Sstem von Käften hndelt, die sih in einem unkt shneiden ode een ode pllel ueinnde sind. ü diesen ll ist es u estimmung de Lge de esultieenden Kft eüglih eines unktes notwendig, ds Moment de esultieenden Kft eüglih des unktes mit dem Moment de Käfte und Käftepe im Sstem eüglih des gleihen unktes gleihuseten. 2 M 2 R = d = M R R 3 M 1 Wenn mn dies fü ein llgemeines Käftesstem usfüht, egit sih eine Kftshue, die us eine esultieenden Kft und einem esultieenden kollineen Moment eines Käfteps esteht. R R M M M R M = d q d q = q() d Veteilte Lsten Eine veteilte Lst knn fü den ll, dss die elstete eflähe ehtekfömig ist, die lähenlst senkeht uf de eflähe steht und entlng eine Seite de eflähe gleihmäßig veteilt ist, duh eine esultieende Kft esett weden, die gleih de äquivlenten lähe unte de Stekenlst ist. d L R = = q( ) d = d = Diese Resultieende ht eine Wikungslinie, die duh den geometishen Mittelpunkt de lähe ode des Volumens unte de Steken- ode lähenlst geht, wenn mn sih die Steken- ode lähenlst üe de Steke w. de lähe ufgetgen vostellt. ü den ll, dss die veteilte Lst niht senkeht u eflähe geihtet ist, müssen etg und Lge de Wikungslinie de Kft üe Integtionen estimmt weden. ( L) ( ) L R 193

5 Resultieende von Käftesstemen ufgen u.2 is. usgewählte Lösungswege.1, und D seien eknnte Vektoen. eweisen Sie ds Distiutivgeset des Keupoduktes, d.h. ( + D) = ( ) + ( D)..2 eweisen Sie die folgende Gleihung fü ds Sptpodukt ( ) = ( )..3 Gegeen sind die dei Vektoen, und, deen etg ungleih null ist. Zeigen Sie, dss die dei Vektoen in eine Eene liegen müssen, wenn ( ) = 0 gilt. *. estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des Moments de Kft in eüglih unkt. Gegeen: = 00 N, = 2 m, = 5 m, = 30.5 estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des Moments de Kft in eüglih unkt. Gegeen: = 00 N, = 2 m, = 5 m, = 30, p = m, p = 3 m p p p ildung.6/.7 *.8 estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des esultieenden Moments de Käfte und eüglih unkt. Gegeen: = 00 N, = 260 N, = 2 m, = 5 m, = 2 m, = 30, tn = estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des esultieenden Moments de Käfte und eüglih unkt. Gegeen: = 00 N, = 260 N, = 2 m, = 5 m, = 2 m, p = m, p = 3 m, = 30, tn = p p 12 5 ildung./.5.6 estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des Moments de Kft in eüglih unkt. Gegeen: = 520 N, = 6 m, tn = estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des Moments de Kft in eüglih unkt. Gegeen: = 520 N, = 6 m, tn = 12 5, p = m, = 30 ildung.8/.9.10 Mit dem Shuenshlüssel wid die Shue gelöst. estimmen Sie ds Moment jede Kft um die hse de Shue, die duh unkt geht. Gegeen: 1 = 100 N, 2 = 80 N, = 250 mm, = 200 mm, = 15, = ildung.10 19

6 ufgen u.2 is..11 estimmen Sie den etg und den Rihtungssinn des esultieenden Moments de Käfte eüglih unkt. Gegeen: = 250 N, = 300 N, = 10 m, = 3 m, = 6 m, tn = 3, = 30, γ = 30 γ.1 estimmen Sie ds Moment jede Kft eüglih des efestigungspunktes. Gegeen: = 200 N, = 250 N, = 0,6 m, = 0,2 m, = 20, = 25, γ = estimmen Sie fü die Käfte und ds esultieende Moment eüglih. Gegeen: = 150 N, = 225 N, = 0,6 m, = 0,2 m, = 20, = 25, γ = 30 γ ildung.11 *.12 estimmen Sie ds Moment eüglih unkt fü jede de dei Käfte, die m lken ngeifen. Gegeen: 1 = 375 N, 2 = 500 N, 3 = 160 N, = 1,6 m, = 1,2 m, = 1 m, d = 0,1 m, = 30, tn = 3.13 estimmen Sie ds Moment eüglih unkt fü jede de dei Käfte, die m lken ngeifen. Gegeen: 1 = 375 N, 2 = 500 N, 3 = 160 N, = 1,6 m, = 1,2 m, = 1 m, d = 0,1 m, = 30, tn = ildung.1/.15 *.16 De Stommst hält dei Leitungen; jede dvon üt ufgund ihes Gewihtes eine vetikle Kft uf den Mst us. estimmen Sie ds esultieende Moment ll diese Käfte m uß D. Emitteln Sie fü den ll, dss Wind ode Eis die Leitungen eißen lssen, diejenige(n) Leitung(en), die ei Wegfll ds gößte Moment uf den uß ewikt (ewiken). Wie goß ist dieses esultieende Moment? Gegeen: = N, = N, = N, = 1,05 m, = 0,9 m, = 1,2 m d 3 ildung.12/.13 D ildung

7 Resultieende von Käftesstemen.17 Eine Kft geift m Giff de pieshneidemshine in n. estimmen Sie fü = 60 ds von diese Kft eeugte Moment um ds Gelenk in. Unte welhem Winkel sollte die Kft ngeifen, dmit ds von ih eüglih unkt eeugte Moment (im Uheigesinn) miml wid? Wie goß ist ds mimle Moment? Gegeen: = 80 N, = 00 mm, = 10 mm, = 30 N R N R ildung estimmen Sie die Rihtung (0 180 ) de Kft, sodss sie () ds mimle Moment eüglih unkt eeugt und () ds minimle Moment eüglih unkt ewikt. eehnen Sie ds Moment fü eide älle. Gegeen: = 200 N, = 2,0 m, = 0,5 m ll 1 ll 2 ildung.19 *.20 De uslege ht eine Länge ( + ) und ein Gewiht G, sein Shwepunkt liegt ei S. Ds mimle Moment, ds de Moto um eeugen knn, etägt M. estimmen Sie die mimle Lst G mit dem Shwepunkt in S ', die gehoen weden knn. Gegeen: G = 000 N, M = Nm, = m, = 5 m, = 0,5 m, = 30 G M S' S ildung Die Ne knn mit negtivem (links) ode positivem (ehts) Vest n die hse ngeht weden. estimmen Sie ds esultieende Moment um die hse in unkt fü eide älle, wenn m Reifen eine Noml- und eine Rdillst ngeifen. Gegeen: N = kn, R = 800 N, = 0,05 m, = 0, m G ildung

8 ufgen u.2 is..21 Mit dem Wekeug in wid die Klinge eines Motosenmähes gehlten, wähend die Mutte mit dem Shuenshlüssel gelöst wid. Eine Kft geift in in de dgestellten Rihtung n. estimmen Sie ds von diese Kft eeugte Moment uf die Mutte in. Wie goß ist de etg von in, sodss sie ds Gegenmoment um eeugt. Gegeen: = 50 N, = 00 mm, = 300 mm, tn = 5, = In einem kotishen Kunststük tägt ein Mnn ein Mädhen, ds ein Gewiht G ht und uf einem Stuhl oen uf de Stnge sitt. Ih Shwepunkt liegt im unkt S. De Mnn knn uf die Stnge im unkt ein mimles Moment M m (gegen den Uheigesinn) ufingen. Emitteln Sie den mimlen Neigungswinkel, sodss ds Mädhen niht heuntefällt, d.h. ih Moment (im Uheigesinn) um den Mimlwet M m niht üesheitet. Gegeen: M m = 350 Nm, G = 500 N, l = 5 m S l G ildung estimmen Sie ds Moment jede de dei Käfte eüglih de Einspnnung in. Lösen Sie die ufge unähst, indem Sie jede Kft ls Gnes ethten, und dnn duh nwendung des Momentenstes. Gegeen: 1 = 250 N, 2 = 300 N, 3 = 500 N, = 2 m, = 3 m, = m, = 30, = 60, tn γ = ildung.23 *.2 Die eiden Jungen düken mit den Käften und uf ds To. estimmen Sie ds Moment jede Kft um. In welhe Rihtung deht sih ds To, im ode gegen den Uheigesinn? Venhlässigen Sie die Dike des Toes. Gegeen: = 120 N, = 200 N, = 1 m, = 2 m, tn = 3, = Zwei Jungen düken uf ds To. De Junge in ingt eine Kft uf. estimmen Sie den etg de Kft, die de Junge in ufingen muss, um eine Dehung des Toes u vehinden. Venhlässigen Sie die Dike des Toes. Gegeen: = 120 N, = 1 m, = 2 m, tn = 3, = 60 γ ildung.22 3 ildung.2/

9 Resultieende von Käftesstemen.26 Ds spnnseil üt eine Kft uf ds Ende des Knums (Länge l ) us. estimmen Sie fü ds gegeene die Lge des Hkens in, sodss diese Kft ds mimle Moment eüglih unkt eeugt. Wie goß ist dieses Moment? Gegeen: = kn, h = 1,5 m, l = 20 m, = Ds spnnseil üt eine Kft m Ende des Knums (Länge l ) us. estimmen Sie fü ds gegeene die Neigung des Knums, sodss diese Kft ds mimle Moment eüglih unkt eeugt. Wie goß ist dieses Moment? Gegeen: = kn, h = 1,5 m, l = 20 m, = 25 m.30 n de Hüftpothese geift die Kft n. estimmen Sie ds Moment diese Kft eüglih des Gelenkkopfes in unkt und eüglih des unktes m Shft. Gegeen: = 120 N, = 0 mm, = 15 mm, = 15, = 150, γ = 10 l γ h ildung.26/.27 *.28 estimmen Sie die Rihtung de Kft fü 0 180, sodss () ds mimle Moment eüglih des efestigungspunktes und () ds minimle Moment eüglih eeugt. eehnen Sie ds Moment fü eide älle. Gegeen: = 00 N, h = 2 m, l = 3 m.29 estimmen Sie ds Moment de Kft eüglih ls unktion von. Zeihnen Sie den Gphen in ein Koodintensstem mit M uf de dinte und uf de sisse fü Gegeen: = 00 N, h = 2 m, l = 3 m ildung De Kn knn fü elieige Winkel (0 90 ) und fü elieige usfhlängen (0 5 m) eingeihtet weden. estimmen Sie ei gegeene ngehängte Msse m ds Moment eüglih ls unktion von und. Welhe Wete von und egeen ds miml möglihe Moment um? eehnen Sie dieses Moment. Venhlässigen Sie die Göße de Rolle in. Gegeen: m = 120 kg, = 1,5 m, = 9 m h ildung.31 l ildung.27/

10 ufgen u.2 is. *.32 estimmen Sie den Winkel, unte dem die Kft in ngeifen muss, sodss ds Moment diese Kft eüglih unkt gleih null ist. Gegeen: = 500 N, = 2 m, = 1 m, = 0,3 m ildung Segmente des ohstnges D fü eine Ölquelle weden mit einem vogeshieenen Moment mit Hilfe von Zngen T festgeogen, die ds Roh hlten, und einem Hduliklinde (niht dgestellt), de die uf die Zngen ufgehte Kft eguliet. Die Wikungslinie diese Kft veläuft entlng des Seils, ds um die kleine Rolle läuft. Ds Seil steht uspünglih senkeht u den Zngen. Emitteln Sie fü diesen ll den etg de Kft, die ufgeht weden muss, sodss ds Moment eüglih des Stnges gede M etägt. Wie goß muss de etg von sein, dmit ei eine Vedehung de Znge um den Winkel in eine weite osition dssele Moment ufehtehlten wid? Hinweis: De Winkel D ist in diese osition niht 90. Gegeen: M = Nm, = 1 m, = 0,5 m, = estimmen Sie ds Moment de in ngeifenden Kft eüglih unkt. Sheien Sie ds Egenis ls ktesishen Vekto. Gegeen: = {60i 30j 20k}N, = 3 m, = 7 m, = m, p = m, p = 6 m, p = 2 m ildung.3/.35 *.36 estimmen Sie ds Moment de in ngeifenden Kft eüglih unkt. Sheien Sie ds Egenis ls ktesishen Vekto. Gegeen: = 13 kn, = 2,5 m, = 3 m, = 6 m, = m, = 3 m, = 8 m.37 estimmen Sie ds Moment de in ngeifenden Kft eüglih unkt. Sheien Sie ds Egenis ls ktesishen Vekto. Gegeen: = 13 kn, = 2,5 m, = 3 m, = 6 m, = m, = 3 m, = 8 m, p = 6 m, p = 8 m p p p M D T ildung.33.3 estimmen Sie ds Moment de in ngeifenden Kft eüglih unkt. Sheien Sie ds Egenis ls ktesishen Vekto. Gegeen: = {60i 30j 20k}N, = 3 m, = 7 m, = m p ildung.36/.37 p 199

11 Resultieende von Käftesstemen.38 De gekümmte Rundst liegt in de --Eene und ht den Kümmungsdius. Die Kft geift n seinem Ende n. estimmen Sie ds Moment diese Kft eüglih de Einspnnung. Gegeen: = 80 N, = = 3 m, = 1 m, = 2 m.39 De gekümmte Rundst liegt in de --Eene und ht den Kümmungsdius. Die Kft geift n seinem Ende n. estimmen Sie ds Moment diese Kft eüglih unkt. Gegeen: = 80 N, = = 3 m, = 1 m, = 2 m, = 5.1 De gekümmte Rohst ht den Rdius. Eine Kft geift n seinem Ende n. Emitteln Sie ds Moment diese Kft eüglih de Einspnnung. Gegeen: = 60 N, = 0,5 m, = 0,6 m, = 0,7 m, = 0,5 m, = 60 ildung.1.2 Die Wikungslinie eine Kft veläuft entlng de Digonlen des Qudes. estimmen Sie ds Moment von eüglih unkt mit Hilfe von M = und M =. Gegeen: = 100 N, = 600 mm, = 00 mm, = 200 mm ildung.38/.39 *.0 Die Kft geift m Ende des lkens n. estimmen Sie ds Moment de Kft eüglih de Einspnnung. Gegeen: = {600i + 300j 600k} N, l = 1,2 m, h = 0, m, = 0,2 m ildung.2 l h ildung.0 200

12 ufgen u.2 is..3 estimmen Sie die kleinste Kft, die m Seil ufgeht weden muss, dmit de gekümmte Rundst mit einem Rdius n de Stüte vesgt. Du muss eüglih ein Moment vom etg M wiken. Gegeen: M = 80 Nm, = 0,5 m, = 0,6 m, = 0,7 m, = 0,5 m, = 60.6 n de Stee de Luke mit dem Rdius geift eine Kft in unkt n. estimmen Sie ds Moment diese Kft eüglih des Gelenkpunktes. Gegeen: = 50 N, = 0,5 m, = 30, = 30 ildung.3 *. m Rohveund geift eine Kft n. estimmen Sie ds Moment diese Kft eüglih des Einspnnpunktes. Gegeen: = 80 N, = 00 mm, = 300 mm, = 200 mm, d = 250 mm, = 0, = 30.5 m Rohveund geift eine Kft n. estimmen Sie ds Moment diese Kft eüglih. Gegeen: = 80 N, = 00 mm, = 300 mm, = 200 mm, d = 250 mm, = 0, = 30 ildung.6.7 Emitteln Sie mit Hilfe ktesishe Vektoen ds esultieende Moment de dei Käfte 1, 2 und 3 uf den uß de Säule in. Gegeen: 1 = {00i + 300j + 120k} N, 2 = {100i 100j 60k} N, 3 = { 500k} N, = 8 m, = m, = 1 m d E. ildung.7 ildung./.5 201

13 opight Dten, Tete, Design und Gfiken dieses eooks, sowie die eventuell ngeotenen eook-zustdten sind uheeehtlih geshütt. Dieses eook stellen wi lediglih ls pesönlihe Einelplt-Lien u Vefügung! Jede ndee Vewendung dieses eooks ode ugehöige Mteilien und Infomtionen, einshließlih de Repoduktion, de Weitege, des Weiteveties, de ltieung im Intenet, in Intnets, in Etnets, de Veändeung, des Weitevekufs und de Veöffentlihung edf de shiftlihen Genehmigung des Velgs. Insesondee ist die Entfenung ode Ändeung des vom Velg vegeenen sswot- und DRM-Shutes usdüklih untesgt! ei gen u diesem Them wenden Sie sih itte n: info@peson.de Zustdten Mögliheweise liegt dem gedukten uh eine D-RM mit Zustdten ode ein Zugngsode u eine elening lttfom ei. Die Zuvefügungstellung diese Dten uf unseen Wesites ist eine feiwillige Leistung des Velgs. De Rehtsweg ist usgeshlossen. Zugngsodes können Sie düehinus uf unsee Wesite käuflih eween. Hinweis Dieses und viele weitee eooks können Sie und um die Uh und legl uf unsee Wesite heuntelden: