Maschinendynamik Formelsammlung Prof. Dr.- Ing. H. Bräutigam SS 2000 Seite 01. Coulombsche Reibungskraft : F R = µ * F N ( Rutschen ) c =
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- Michael Gehrig
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1 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Käftegeihungen : Couobshe Reibungskft : F R µ F N ( Rutshen ) Roen : Reibungskft R Gewihtskft : G g Seieibungskft : Fedekäfte : µ α F e F Gede Fede F x Dehfede Fd d ϕ [ ] N Däpfungskft : F d k x& [] k > N s Tägheitskäfte : D`Aebet fü Tnstion : F T & x Rottion : M T ϕ& Dehung u eigene Ahse Wenn Dehittepunkt niht Shwepunkt ist : ( Stz von Steine ) S Fiehkft ( Dehittepunkt weit ußehb von Shwepunkt ) : F z ϕ& Bedingungen fü Roen : x ϕ x& ϕ& && x ϕ&& Enegie : potentiee Enegie : Lge : W pot g h Fede : W x Kinetishe Enegie : Tnstion:Wkin x& Rottion:Wkin ϕ& Fnk Goh.
2 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Ageeine Geihungen fü Shwingungen : x(t) A sin( t) und x(t) B os( t) it π π f T Andee Fo : x(t) C sin( t α) Entspiht uh : Mit : x (t) { sin( t) osα os( t) α } C sin A osα und B sinα A B und tnα B A Feiheitsgde Anzh de Bewegungsögihkeiten Lineisieung von Diffeentigeihungen : In Diffeentigeihungen weden qudtishe und höhee Tee de Bewegungskoodinten und ihe Abeitungen venhässigt!!! Beispie : ϕ ϕ& ϕ& & ϕ usw. Dus fogt : 5 ϕ ϕ sinϕ ϕ! 5! sinϕ ϕ ϕ ϕ osϕ!! 5 ϕ ϕ tnϕ ϕ 5 os ϕ tnϕ ϕ Fnk Goh
3 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Systee it Feiheitsgd : Linees Ein- Mssen Shwinge it Däpfung : Bewegungsgeihung : & x k { x& { x P(t) { Tägheit Däpfung Rüksteung des Systes Eegung Feie, ungedäpfte Shwingung : P(t) und k x& Bewegungsgeihung : && x x & x x Ode & x x it Lösung de Dg. : x(t) C sin( t) x(t) & C os( && x(t) C sin( t) t) Ageeine Lösung von Dg.. Odnung : x(t) C sin( t) C os( t) ( geeine honishe Shwingung ) Bewegungsgeihung : ϕ& & [...] ϕ Vozeihen de ekigen Ke entsheidet übe Lösungsvehten!! [ ] A ) ϕ& &... ϕ : Honishe Shwingung!! ϕ ( t) A os( t) B sin( t) B ) ϕ& &, d.h. die ekige Ke nit den Wet ein, dnn ist beibt so in usgeenkte Lge stehen! ϕ( t) onst. [ ] C ) ϕ& & η ϕ ; d.h. ds Vozeihen de ekigen Ke ist negtiv! Exponentinstz C und C us Anfngsbedingungen Keine Shwingung!!!!! ηt ηt ϕ(t) C e C e Fnk Goh
4 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Fedeshtungen : ) Längsshwingungen Stbfede : y F E I y F y y && y y E I Zusengesetzte Feden : Fedekäfte geih! x x x F C x F C x Cges C C Cges p C, C Reihenshtung Peshtung Fedewege geih! F C x F C x C C C ges Cges f C, C Fede wid ``häte `` Fede wid ``weihe `` In sttishe Ruhege : y Ausenkung ( Bewegung ) y > Veeinfhung : Bogen Winke δ` Tngentenwinke δ Fedekft Fedevospnnung Fedeweg F C x C (x x) B ) Dehshwingungen : Sttishe Ruhege : Fede vogespnnt Vospnnung knn Einfuß uf Eigenkeisfequenz usüben. Eigenkeisfequenz : Fnk Goh
5 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite 5 Feie, gedäpfte Shwingungen : Dg. : k & x x& x Mit : k δ Abkingkons tn te und Eigenkeisfequenz Dg. : && x δ x& x Lösung de Dg. it Exponentinstz : λt x A e t x& λ Eingesetzt in Dg. : A λ e λ λ δ && λt x A λ e λ/ δ ± δ ( Lösungen ) zu jede λ gehöt eine Lösung de Dg. : λ t λ t x(t) A e A e A und A sind Integtionskonstnten, die us den Anfngsbedingungen beehnet weden : x (t ) x und x(t & ) v Funtesheidung : A ) δ f stke Däpfung! λ, λ p bkingende Exponentifkt. t δ δ δ x(t) A e A e Knikbewegung ; x (t ) δ t B ) δ peiodishe Genzf! λ / δ p, ee, zusenfende Lösungen x(t) δ t ( A A t) e Knikbewegung, d x (t ) Fnk Goh
6 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite 6 C ) δ p gedäpfte Shwingungen! λ / δ ± i δ ; i x(t) e δ t C os δ t C sin δ t Ode : δt x(t) X e sin δ t α C Mit : X C C ( Apitude ) und tn α ( Phse ) C Shwingung tendiet gegen Nu wegen e δt Keine peiodishe Shwingung, d Apitudenodution e δt Däpfungsße : Logithishes Dekeent Λ : x(t) Λ δ T n Λ Mß fü Däpfung! x(t T) Lehshes Däpfungsß D : D wenn : D ungedäpft ( δ ) δ D peiodishe Genzf δ Zusenhng : Λ δ T D π δ δ π δ π D D Häufig in Tehnik : D pp ; Λ π D Begiffe Eigenkeisfequenz δ Abkingkonstnte δ k λ Lösungsnstz ( feie, gedäpfte Shwingung.) λ δ± δ X h X p η Lösung de feien Shwingung Lösung de ezwungenen Shwingung Fequenzvehätnis / η Λ δ T n x(t) x(t T) Λ Logithishes Dekeent ( ) D Lehshes Däpfungsß D δ Fnk Goh
7 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite 7 Reibungsdäpfung ( ezwungene Shwingungen ) : Bewegungsgeihung : && x x R R & x x R Dg. Inhoogen : hie : P(t) voständige hoogene x x h x p ( t) C sin( t) xh C os ptikuäe xp R R C it C voständige x C os( t) C sin( t) R Ezwungene Shwingungen!! Ezwungene Shwingungen : Dg. : && x k x& x P(t) P( t ) Eegekft P(t) P sin( t) ode P(t) P os( t) ; Eegekeisfequenz Lösung de Dg. : x x h x p Lösung de hoogenen Dg. de Fo : & x k x& x - siehe feie, gedäpfte Shwingungen - Lösung de inhoogenen Dg. de Fo : & x k x& x P(t) - siehe Reibungsdäpfung - - x h bei een Systeen stets bkingend, d.h. nh hineihend goße Zeit nu noh x p ßgebend! Fnk Goh
8 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite 8 Ungedäpfte, ezwungene Shwingung : && Dg. : x x P sin( t) ; Däpfung k x(t) xp X sin( t) X Zwngspitude Eegefequenz Fequenzvehätnis : η Vegößeungsfunktion : P X ( η ) ( D η) Vegößeungsfunktion V V Resonnz : Vegößeungsfunktion V ist xi bei η! R D XR P VR R Resonnzfequenz ; X R Resonnzpitude Resonnzfequenzvehätnis : ηr D Fü D > / R ist ds Syste niht eh esonnzfähig!! Resonnzvegößeungsfunktion : V R D D Bewegungsgeihung bei Rottion : ϕ && D ϕ & ϕ P sin( t) δ Fnk Goh
9 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite 9 Definition de Unwuhteegung : u u & x X u t o x x x& && x u u u x sin( t) x& os( t) && x sin( t) X Cx Kv o & x Bewegungsgeihung : k && x x& u u u x u sin( t) D P( ) geihfequente Lösungsnstz : x(t) X sin( t ε) Apitude : u X u η ( η ) ( D η) Phse : D η tnε η Resonnz : R D X R u o u D D Fnk Goh
10 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Fußpunkteegung : Bewegungsgeihung : k & x x& S x C k sin( t ψ) δ D P( ) S : Apitude de Eegung Apitude des eegten Köpes : X S ( D η) ( η ) ( D η) Vegößeungsfunktion V B Phse : tn γ D η it γ ε ψ η D ( ) Ceshe Rege : x x x x x x x x x ( n- Geihungen ) D D D X i Di Fnk Goh
11 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Systee it Feiheitsgden : Feie Shwingungen : Eigenwete : λ / ± ( ) Ezwungene Shwingungen : λ und λ Beispie : C C C x && x x { C C && x x x { { F sin( t) xp X sin( t) xp X sin( t) it Abeitungen und eingesetzt inobige Foe: ( ) X X X ( ) X F Lösung nhnd Ceshe Rege : D ( ) F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) ( ) F F D X D F ( ) X F D Fnk Goh
12 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite fü ehät n die beiden Resonnzfequenzen : / ± ( ) Nh Fundentstz de Ageb git fü ( ) ( ) : Tosionsshwingungen : Bewegungsgeihung : ψ& & d s ψ G, I t s ψ G It d G It s Systee it und Mssen : ϕ C d ϕ Feishnitt : ϕ& & M M M M C d ϕ& & M d ( ϕ ϕ ) Bewegungsgeihung : ϕ&& d ( ϕ ϕ ) ϕ&& d ( ϕ ϕ ) Fnk Goh
13 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite n ϕ & ϕ& bei n Mssen : j ϕ& j j Anstz : ϕ ϕˆ sin( t ε) ϕ ϕˆ sin( t ε) ϕ&& ϕ ϕ&& ϕ Bewegungsgeihungen : ( d ϕ ) ϕ ϕ d ϕ Lösung übe Ceshe Rege : d ( ) d ϕ d ϕ ϕ K K Punkt, de in Ruhe beibt : Shwingungsknoten!! D.h. Teisystee it Längen und, die i Shwingungsknoten fest eingespnnt sind. G I t G I t ( Ot von K ) ges Fnk Goh
14 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite Fnk Goh Reduzieung vesetzte Getiebe : Ausgngsode : eduzietes Mode : ) Reduzieung de Tägheitsoente : ) Reduzieung de Fedesteifigkeiten : ) Reduzieung de Längen : d ; d ; d ; p p p p d d I I d d I I
15 Mshinendynik Foesung Pof. D.- Ing. H. Bäutig SS Seite 5 Reduzietes Mode entspiht ``Syste it und Mssen `` : Duh Feishneiden : ϕ&& ( ϕ ϕ ) ϕ&& ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ϕ&& ( ϕ ϕ ) und ϕ&& ϕ&& ϕ&& Lösungsnstz : ϕ ϕˆ nog sin( t ϕ ϕ und ϕ ) ; ϕ& ϕ Eingesetzt in Geihung und ugefot fogt : b / ± b ; ) Beehnung des Neubeshen Genzwetes :... Neubeshe Genzwet : Fnk Goh
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