Analysis I. Gunther H. Peichl. Institut für Mathematik Karl Franzens Universität Graz. Skriptum zur Vorlesung im SS 2011

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1 Anlysis I Gunther H. Peichl Skriptum zur Vorlesung im SS 20 Institut für Mthemtik Krl Frnzens Universität Grz

2 Inhltsverzeichnis Kpitel I. Reelle und komplexe Zhlen. Axiomtische Beschreibung der reellen Zhlen 2. Folgerungen us den Körperxiomen 3 3. Folgerungen us den Ordnungsxiomen 5 4. Die ntürlichen Zhlen 9 5. Die rtionlen Zhlen 5 6. Folgerungen us dem Vollständigkeitsxiom 6 7. Wurzeln Komplexe Zhlen 24 Kpitel II. Folgen und Reihen 29. Normierte Räume Konvergenz von Folgen Nützliche Grenzwerte Rechenregeln für konvergente Folgen Konvergenzkriterien Limes inferior und Limes superior Die erweiterten reellen Zhlen und uneigentliche Grenzwerte Doppelfolgen Reihen Reelle Reihen mit nicht negtiven Gliedern 59. Alternierende Reihen 6 2. Absolute und bedingte Konvergenz von Reihen Doppelreihen 68 Kpitel III. Stetige Funktionen 73. Der Grenzwert einer Funktion Stetigkeit Kompkte Mengen Stetigkeit und Kompktheit Gleichmäßige Stetigkeit Globle Stetigkeit 92 Kpitel IV. Reelle Funktionen 95. Zwischenwertstz Monotonie und Stetigkeit 96 i

3 ii INHALTSVERZEICHNIS 3. Funktionenfolgen und Funktionenreihen Potenzreihen Elementre Funktionen 7 Kpitel V. Differenzierbre Funktionen 35. Differenzierbrkeit Rechenregeln für differenzierbre Funktionen Ableitung der elementren Funktionen Lokle Extrem, Mittelwertstz Regel von de L Hospitl Differenzierbrkeit und gleichmäßige Konvergenz Tylorpolynome und Tylorreihen Konvexe Funktionen Ds Newton Verfhren Kurvendiskussion 82 Kpitel VII. Integrlrechnung 87. Treppenfunktionen, Regelfunktionen Ds Cuchy Integrl 9 3. Stmmfunktion Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtion und Grenzübergng Prmeterbhängige Integrle Uneigentliche Integrle Prmeterbhängige uneigentliche Integrle 238

4 KAPITEL I Reelle und komplexe Zhlen. Axiomtische Beschreibung der reellen Zhlen Ein streng xiomtischer Aufbu der Anlysis würde erfordern, ds System der reellen Zhlen von möglichst einfchen Busteinen usgehend, etw den ntürlichen Zhlen, zu entwickeln. Dieser Weg soll hier nicht beschritten werden, ht doch jeder einzelne bereits im Lufe der Zeit mühsm eine intuitive Vorstellung von den reellen (oder zumindest rtionlen) Zhlen entwickelt. Wir knüpfen n diese Vorstellung n und beschreiben die für ds weitere Rechnen grundlegenden Beziehungen zwischen reellen Zhlen durch eine Reihe sorgfältig gewählter Axiome. Wir gehen dvon us, dß uf der Menge R der reellen Zhlen zwei binäre Opertionen, Addition und Multipliktion erklärt sind. Somit wird jedem Pr (x, y) R R eindeutig eine reelle Zhl x + y (die Summe von x und y) und ebenso eindeutig eine weitere reelle Zhl xy, mnchml x y geschrieben (ds Produkt von x und y) zugeordnet. Wie diese Summen und Produkte zu bilden sind, spielt dbei keine Rolle. Wesentlich ist nur, dß sie folgenden Axiomen genügen. (A) Axiome für die Addition (A) x, y, z R : (x + y) + z = x + (y + z) Assozitivgesetz (A2) x, y R : x + y = y + x Kommuttivgesetz (A3) 0 R x R : x + 0 = x dditives Neutrlelement (A4) x R ξ R : x + ξ = 0 dditives inverses Element (M) Axiome für die Multipliktion (M) x, y, z R : (xy)z = x(yz) Assozitivgesetz (M2) x, y R : xy = yx Kommuttivgesetz (M3) R : ( 0 x R : x = x) multipliktives Neutrlelement (M4) x 0 x R : x x = multipliktives inverses Element Die nächsten Axiome verknüpfen Addition und Multipliktion: (D) Distributivgesetz x, y, z R : x(y + z) = xy + xz

5 2 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN (O) Ordnungsxiom: Auf R ist eine Totlordnung erklärt, welche mit der Addition und Multipliktion verträglich ist: (OA) x, y, z R: x y x + z y + z (OM) x, y, z R: x y 0 z xz yz } Monotoniegesetze Wir erinnern drn, dß jede Ordnung eine strikte Ordnung < in R induziert. D R liner geordnet ist, gilt in R die Trichotomie. Mn knn bei der xiomtischen Beschreibung von R uch dvon usgehen, dß in R eine strikte Ordnung < existiert. In diesem Fll muß mn llerdings die Monotoniegesetze durch ein weiteres Axiom ergänzen, ds die Gültigkeit der Trichotomie in R verlngt. Die strikte Ordnung < induziert dnn eine linere Ordnung uf R. Eine vollständige Chrkterisierung der reellen Zhlen erfordert ein weiteres Axiom, durch welches Lücken in der Menge der reellen Zhlen usgeschlossen werden. (V) Vollständigkeitsxiom (R. Dedekind) Zu jedem Pr von Teilmengen A, B von R mit i) A B ii) A B = R iii), b R : A b B < b gibt es genu ein ξ R, sodß ) R : < ξ A b) b R : ξ < b b B Mn nennt ds geordnete Pr (A, B) einen Dedekindschen Schnitt und die durch ihn eindeutig bestimmte Zhl ξ Schnittzhl. Wegen der Eigenschften eines Schnittes liegt die Schnittzhl ξ entweder in A oder in B. Gilt ξ A, so sind die Eigenschften ) und b) von ξ gleichwertig mit A = { R: ξ} und B = R \ A, liegt jedoch ξ in B, dnn ist B = {b R: b ξ} und A = R \ B. Insbesondere folgt lso ξ < b oder < ξ b für lle A und für lle b B. Bemerkung I-.. () Die Assozitivgesetze erluben es, die Ausdrücke x + y + z bzw. xyz sinnvoll zu interpretieren, d jede Klmmerung zum selben Ergebnis führt. (2) Die uffllende Ähnlichkeit der Axiome für die Addition und Multipliktion ist nicht zufällig. Allgemein nennt mn eine Menge in der eine binäre Opertion erklärt ist, welche den unter A ngegebenen Axiomen genügt, eine Abelsche Gruppe. Die Axiome A bringen somit zum Ausdruck, dß (R, +) eine dditive Abelsche Gruppe ist, M bedeutet, dß (R \ {0}, ) eine multipliktive Abelsche Gruppe drstellt. Jede Menge K, die diese beiden lgebrischen Strukturen ufweist und in der ußerdem ds Distributivgesetz D gilt, nennt mn Körper. Ist in K noch zusätzlich eine Totlordnung erklärt, welche den Monotoniegesetzen OA und OM genügt, spricht mn von einem geordneten Körper. Somit knn mn die Axiome A, M, D, O zusmmenfssen in der Feststellung: (R, +,, ) ist ein geordneter Körper. Gilt in einem geordneten Körper überdies ds Vollständigkeitsxiom V, spricht mn von einem vollständigen geordneten Körper.

6 2. FOLGERUNGEN AUS DEN KÖRPERAXIOMEN 3 (3) R + := {x R : x 0} ist die Menge der nicht negtiven reellen Zhlen, R := {x R : x 0} die Menge der nicht positiven reellen Zhlen, R + \ {0} bzw. R \ {0} bezeichnet die Menge der positiven bzw. negtiven reellen Zhlen. (4) Für die zur Ordnungsreltion inverse Reltion ist ds Symbol gebräuchlich. Anlog ist > erklärt. Anstelle von x y y z schreibt mn oft x y z. (nlog für <.) Ohne Beweis teilen wir folgenden Stz mit Theorem I-.2. Es gibt eine Menge R, welche den Axiomen A, M, D, O und V genügt. Es ist llerdings denkbr, dß es verschiedene vollständige geordnete Körper gibt, etw (R, +,, ) und ( R,,, ). Mn knn jedoch zeigen, dß es eine Bijektion f : R R gibt, die mit der lgebrischen Struktur und der Ordnungsstruktur in R verträglich ist, d.h. für lle x, y R gilt f(x + y) = f(x) f(y) f(x y) = f(x) f(y) x y f(x) f(y). Vom mthemtischen Stndpunkt us ist es lso nicht notwendig, verschiedene Modelle von R zu unterscheiden. 2. Folgerungen us den Körperxiomen Aus der Bedeutung der Gleichheit ergibt sich unmittelbr folgendes einleuchtende Resultt. Theorem I-2.. Es seien x, y reelle Zhlen und x = y. Dnn gilt x + z = y + z und xz = yz für lle z R. Theorem I-2.2. i) Ds Neutrlelement der Addition ist eindeutig bestimmt. ii) Für jede reelle Zhl ist ds dditive inverse Element ξ eindeutig bestimmt. Beweis. i) Es seien 0 und 0 Neutrlelemente der Addition. Setzt mn in (A3) für x ds Element 0 ein, folgt = 0. D 0 ein weiteres Neutrlelement bezüglich der Addition ist, gilt x R : x + 0 = x, somit uch = 0. Mit (A2) schließt mn = 0 und wegen = 0 folgt 0 = 0. ii) Wir nehmen n, ξ und ξ seien zu x inverse Elemente bezüglich der Addition, d.h. x + ξ = 0 und x + ξ = 0. Addiert mn zu der ersten Gleichung ξ, folgt (x + ξ) + ξ = 0 + ξ = ξ + 0 = ξ. Andererseits findet mn für (x + ξ) + ξ uch die Drstellung Somit gilt ξ = ξ. (x + ξ) + ξ = x + (ξ + ξ) = x + ( ξ + ξ) = (x + ξ) + ξ = 0 + ξ = ξ. Wir bemerken, dß der Beweis des Stzes nur die Axiome A benützt. Die Aussge des Stzes trifft somit uf jede Abelsche Gruppe (vgl. Bemerkung I-.) zu, insbesondere uch uf (R \ {0}, ). Es gilt somit uch folgender Stz: Theorem I-2.3. i) Ds Neutrlelement der Multipliktion ist eindeutig bestimmt. ii) Für jede Zhl x 0 ist ds multipliktive inverse Element x eindeutig bestimmt. Es ist somit gerechtfertigt, die Neutrlelemente mit 0 bzw. zu bezeichnen. Ds dditive Inverse von x bezeichnet mn mit x, ds multipliktive Inverse mit x. Ferner schreibt mn oft x y, x y nstelle von x + ( y) und xy. Es gilt uch eine teilweise Umkehrung von Stz I-2.. Theorem I-2.4. Für lle reellen Zhlen x, y und z gelten folgende Kürzungsregeln:

7 4 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN i) Aus x + z = y + z folgt x = y. ii) Aus xz = yz und z 0 folgt x = y. Beweis. Wir zeigen nur die zweite Regel. Es sei x, y, z R, z 0 und xz = yz. Nch M4 existiert ds multipliktive inverse Element z und es gilt zz =. Aus xz = yz folgt mit Stz I-2. (xz)z = (yz)z. Dies ergibt wegen M x(zz ) = y(zz ), lso x = y. Wegen M2 ist dies gleichwertig mit x = y und mit M3 schließen wir uf x = y. Nun können wir bereits zeigen, dß die Gleichungen + x = b und cy = d, c 0, in R die eindeutigen Lösungen x = b bzw. y = d besitzen. Mn bechte, dß zwei Behuptungen zu beweisen sind: nämlich die Eindeutigkeit c einer Lösung und dß die ngegebenen Zhlen ttsächlich die Gleichungen lösen. Wir beginnen mit der Eindeutigkeit einer Lösung von + x = b. Wir gehen von der Annhme us, x sei eine Lösung, und zeigen, dß notwendigerweise x = b folgt. Addiert mn zu + x = b ds dditive inverse Element, erhält mn ( + x) + ( ) = b + ( ). Für die linke Seite ergibt sich ( + x) + ( ) = (x + ) + ( ) = x + ( + ( )) = x + 0 = x, wobei wir der Reihe nch A2, A, A4 und A3 verwendet hben. Es fehlt noch der Nchweis, dß x = b Lösung ist. Dzu berechnen wir + x und erhlten +x = +(b ) = +(( )+b) = (+( ))+b = 0+b = b. Dieser Beweis verwendet nur Gruppenxiome, ds Resultt gilt dher in jeder Abelschen Gruppe, insbesondere in (R \ {0}, ). Eine eigene Diskussion der Gleichung cy = d ist dher nicht notwendig. Theorem I-2.5. Für lle x, y, z, w R, z 0 und w 0 gilt: ) 0x = 0 f) ( x) + ( y) = (x + y) b) ( x) = x g) ( x)( y) = xy c) (w ) x y = w h) z w = xy zw x d) ( )x = x i) z + y w = xw+zy zw e) x( y) = (xy) = ( x)y Beweis. ) Aus = 0 folgt mit Stz I-2. (0 + 0)x = 0x für lle x R. Ds Distributivgesetz D ergibt 0x + 0x = 0x, mit A3 folgt 0x + 0x = 0x + 0 = 0 + 0x und schließlich mit Stz I-2.4 0x = 0. b) Ds dditive inverse Element zu x bzw. x erfüllt x + ( x) = 0 bzw. ( x) + ( ( x)) = 0. Mit Hilfe von A2 folgert mn x + ( x) = ( ( x)) + ( x). Dies ergibt mit Stz I-2.4 x = ( x). c) nlog zu b). d) Wir zeigen: ( )x ist ds dditive inverse Element zu x, d.h. ( )x + x = 0. Dies folgt us ( )x + x M3 = ( )x + x D = ( + )x A4 = 0x ) = 0. e) Mit Hilfe des Assozitivgesetzes M und der bereits bewiesenen Regel d) schließt mn und weiter x( y) d) = x(( )y) M = (x( ))y M2 = (( )x)y d) = ( x)y ( x)y d) = (( )x)y M = ( )(xy) d) = (xy). f) Wir zeigen, ( x) + ( y) ist ds dditive inverse Element zu x + y. Dies folgt us (x + y) + (( x) + ( y)) A2 = (x + y) + ( ( y) + ( x) ) g) Die Behuptung folgt us A = ( (x + y) + ( y) ) + ( x) A = ( x + (y + ( y)) ) + ( x) A4 = (x + 0) + ( x) A3 = x + ( x) A4 = 0. h) Wir zeigen zuerst: z w = zw, d.h. z w = (zw) Dies folgt us Somit gilt: ( x)( y) e) = ( ( x)y ) e) = ( ( x) ) y b) = xy. (zw) (z w ) M2 = (wz)(z w ) M = w(zz )w M4 = w(w ) M3 = ww M4 =. x y z w = (xz )(yw ) = x(z y)w = (xy)(z w ) ( ) = xy(zw) = xy zw. ( )

8 3. FOLGERUNGEN AUS DEN ORDNUNGSAXIOMEN 5 i) Mit Hilfe von h) ergibt sich x z + y w = x z + y w = x w z w + y z w z h) = xw zw + yz D = (xw + yz)(zw) xw + yz = wz zw Theorem I-2.6. Ds Produkt von zwei reellen Zhlen ist genu dnn ungleich Null, wenn beide Fktoren ungleich Null sind, d.h. xy R: xy 0 x 0 y 0. Beweis. i) Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen es gäbe x, y R mit x 0, y 0 und xy = 0. Dnn existiert ds multipliktive inverse Element x zu x. Aus xy = 0 folgt einerseits x (xy) = x 0 = 0, ndererseits x (xy) = (x x)y = y = y und somit y = 0 im Widerspruch zur Vorussetzung y 0. ii) Wir führen den Beweis indirekt und zeigen: x, y R : x = 0 y = 0 xy = 0. Dies folgt jedoch unmittelbr us I-2.5 (). Bemerkung I-2.7..) Stz I-2.6 ist äquivlent zu der Feststellung, dß ds Produkt zweier reeller Zhlen genu dnn Null ist, wenn mindestens einer der beiden Fktoren Null ist. In den Anwendungen führt diese Sitution häufig zu einer Fllunterscheidung. 2.) Die Beweise dieses Abschnittes verwenden nur die Axiome A, M, D. Die Behuptungen treffen dher in jedem Körper zu. 3.) Wir vereinbren vorerst nur ls Schreibweise: () (2) 2 := +, R: 2 :=. 3. Folgerungen us den Ordnungsxiomen Wir erinnern drn, dß eine Ordnung eine strikte Ordnung < induziert, welche durch x < y x y x y definiert ist. Geht mn umgekehrt von einer strikten Ordnung us, wird durch x y x < y x = y eine Ordnung erklärt. Diese Ordnung ist totl, flls zusätzlich gefordert wird, dß für lle x, y R genu eine der drei Alterntiven x < y, x = y, y < x zutrifft. Ds Ordnungsxiom O knn dher durch folgendes gleichwertige Axiom ersetzt werden: (O ) Ordnungsxiom: In R ist eine strikte Ordnung < erklärt, welche mit der Addition und Multipliktion verträglich ist: } (OA ) x, y, z R: x < y x + z < y + z (OM Monotoniegesetze ) x, y, z R: x < y 0 < z xz < yz Es gilt die Trichotomie: für lle x, y R trifft genu eine der drei Alterntiven x < y, x = y, y < x zu. Wir überlssen es dem Leser, die folgenden Resultte für die strikte Ordnung < uf die Ordnung zu übertrgen. Theorem I-3.. Für lle x, y R gilt ) x < 0 x > 0 c) x < y y x > 0 b) x > 0 x < 0 d) x < y y < x.

9 6 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Beweis. c) : Aus x < y folgt mit OA x + ( x) < y + ( x), lso 0 < y x. : Es sei y x > 0. Mit OA folgt y + ( x) + x > 0 + x, somit y + 0 > x. Dies ht x < y zur Folge. ) Setze y = 0 in c). b) Ersetze x durch x in ) und verwende ( x) = x (Stz I-2.5-b). d) x < y c) y x > 0 x ( y) > 0 c) y < x. Theorem I-3.2. Für lle x, y, z, w R gilt ) x < y z < w x + z < y + w, b) 0 < x < y 0 < z < w xz < yw. Beweis. ) Es seien x, y, z, w R, x < y und z < w. Wegen OA gilt dnn uch x + z < y + z und y + z < y + w. D die strikte Ordnung < trnsitiv ist, folgt x + z < y + w. b) nlog. Stz I-3.2 stellt lso sicher, dß gleichsinnige Ungleichungen ddiert werden dürfen; gleichsinnige Ungleichungen, in denen sämtliche Glieder nicht negtiv sind, dürfen multipliziert werden. Theorem I-3.3. Ds Produkt zweier reeller Zhlen ist genu dnn positiv, wenn beide Fktoren ungleich Null sind und dsselbe Vorzeichen hben. Beweis. : Für x > 0 und y > 0 folgt die Behuptung us OM und Stz I-2.5. Flls x < 0 und y < 0 folgt x > 0 und y > 0. Nch dem vorhin Bewiesenen gilt dher ( x)( y) > 0. Nch Stz I-2.5 ist ber ( x)( y) = xy, somit gilt xy > 0. : Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit n, es gäbe relle Zhlen x, y mit xy > 0, x 0 und y > 0. Ist x = 0 ergibt sich ein Widerspruch zu Stz I-2.5 (). Es sei x < 0, lso nch Stz I-3. x > 0, und nch dem ersten Teil des Beweises ergibt sich Mit Stz I-3. folgert mn xy < 0. ( x)y = (xy) > 0. Korollr I-3.4. Für jede reelle Zhl x ungleich Null gilt x 2 > 0. Insbesondere folgt > 0. Theorem I-3.5. Für lle x, y, z R gilt i) x < y z < 0 yz < xz, ii) 0 < x 0 < x, iii) 0 < x < y 0 < y < x. Beweis. i) Es sei z < 0, lso z > 0. Multipliziert mn die Ungleichung x < y mit ( z), erhält mn x( z) < y( z), bzw. (xz) < (yz). Nch Stz I-3. ist dies gleichwertig mit yz < xz. ii) Aus dem Korollr I-3.4 ergibt sich 0 < = xx, wegen Stz I-3.3 und 0 < x muß uch 0 < x gelten. iii) Mn zeige x y > 0 und multipliziere 0 < x < y mit x y. Theorem I-3.6. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zhlen liegt stets eine weitere reelle Zhl, genuer, b R: < b < +b < b. 2 Die reelle Zhl +b heißt rithmetische Mittel von und b. 2 Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei < b, lso b > 0. Es folgt < + b = b ( + ) = (( ) + b) + (0 + b) = = b 2 = + b 2. = + + (b ) 2 Anlog zeigt mn +b 2 < b.

10 3. FOLGERUNGEN AUS DEN ORDNUNGSAXIOMEN 7 Insbesondere folgt us Stz I-3.6, dß es keine kleinste positive reelle Zhl gibt. Korollr I-3.7. Es seien, b R und < b+ε für beliebiges ε > 0. Dnn ist b. Beweis. Wir führen einen Beweis durch Widerspruch und nehmen n es gäbe reelle Zhlen, b mit > b und < b + ε für lle ε > 0. Dnn ist b > 0 und dher uch b < b + b = +b +b. Wegen Stz I-3.6 muß < gelten, dies widerspricht der Vorussetzung < b + ε für ε = b > 0. 2 Wir notieren den nützlichen Spezilfll 0 und b = 0: Korollr I-3.8. Es sei x 0 und für lle ε > 0 gelte x ε. Dnn ist x = 0. Definition I-3.9. Für jede reelle Zhl x heißt { x, x 0, x := x, x < 0, bsoluter Betrg (Betrg) von x und, x > 0, sign x := 0, x = 0,, x < 0 heißt Signum (Vorzeichen) von x. Ds Vorzeichen und der Betrg einer reellen Zhl x sind dher verknüpft durch die Beziehung x = x sign x. Folgende Eigenschften des Betrges sind eine unmittelbre Konsequenz der Definition. Lemm I-3.0. Es seien x, b R und b 0. Dnn gilt ) x 0 b) x x c) x = x, d) x b b x b. Beweis. Wir zeigen nur die Eigenschft d). Es seien x, b R, b 0 und x b. Wir mchen eine Fllunterscheidung nch dem Vorzeichen von x. Ist x 0, dnn gilt x = x, lso uch x b. Die zweite Ungleichung x b folgt us der Trnsitivität der Ordnung. Ist x 0, lso x = x, ist die Ungleichung x b gleichwertig mit x b. Aus Stz I-3. folgt x b. Die Ungleichung x b ist wieder trivilerweise erfüllt. In jedem Flle gilt somit b x b. Gehen wir nun umgekehrt von den Ungleichungen x b und x b us. Für x 0 folgt direkt x b. Ist x 0 schließen wir von x b uf x b. Dies ist gleichwertig mit x b Theorem I-3.. Für lle x, y R gilt ) x = 0 x = 0 b) xy = x y c) x + y x + y Dreiecksungleichung d) x y x y e) 2 x y x 2 + y 2

11 8 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Beweis. ) Für x = 0 folgt us der Definition x = 0. Ist x 0, dnn ist uch x 0, somit ergibt sich ebenflls x 0. b) Wir mchen eine Fllunterscheidung und betrchten zuerst den Fll x 0 und y 0. Dnn gilt xy 0, x = x und y = y. Es folgt xy = xy = x y. Als zweiten Fll untersuchen wir x 0 und y 0. Nun ist xy 0, x = x und y = y. Es folgt xy = (xy) = x( y) = x y. Durch Vertuschen von x und y führt mn den Fll x 0 und y 0 uf die eben betrchteten Situtionen zurück. Es bleibt der Fll x 0 und y 0. Dnn ist nch Stz I-3.3 xy 0 und x = x, y = y. Aus Stz I-2.5-g folgt somit x y = ( x)( y) = xy = xy. c) Aus Lemm I-3.0 folgt x x x und y y y. Addiert mn die Ungleichungen ergibt sich lso x + y x + y nch I-3.0-d). ( x + y ) = x y x + y x + y, d) Mit Hilfe der Dreiecksungleichung ergibt sich x = (x y)+y c x y + y und somit x y x y. Vertuscht mn x und y erhält mn y x y x = x y und drus mit Stz I-3. x y ( y x ) = x y. Insgesmt finden wir lso x y x y x y, und dher x y x y. e) Mit Hilfe von Korollr I-3.4 schließen wir 0 ( x y )( x y ) = x 2 x y y x + y 2 = x 2 ( + ) x y + y 2 = x 2 2 x y + y 2. Wegen OA zeigt dies die behuptete Ungleichung. Bemerkung I-3.2. Die Beweise dieses Abschnittes stützen sich nur uf Eigenschften, die für jeden Körper zutreffen, und uf ds Axiom O. Die Behuptungen gelten demnch in jedem geordneten Körper. Definition I-3.3. Es seien, b R und b. i) [, b] := {x R: x b} heißt bgeschlossenes Intervll, ii) (, b) := {x R: < x < b} heißt offenes Intervll, (, b] := {x R: < x b} iii) heißen hlboffene Intervlle. [, b) := {x R: x < b} ist linker, b rechter Endpunkt des Intervlls. Ist = b, so ist [, b] = {}, die nderen Intervlle sind leer. D R liner geordnet ist, läßt sich R (wie jede liner geordnete Menge) mit Hilfe einer Gerden folgendermßen vernschulichen: Auf einer beliebigen Gerden in der Ebene werden zwei Punkte usgezeichnet, die wir mit den reellen Zhlen 0 und identifizieren. Es liege etw 0 links von. Jeder reellen Zhl entspricht ein eindeutig bestimmter Punkt uf dieser Zhlengerden. Es gilt < b genu dnn, wenn der Punkt links von b liegt. Den positiven reellen Zhlen entsprechen lso Punkte jenes Hlbstrhles, in dem der mit bezeichnete Punkt liegt. In dieser Phse der Diskussion von R können wir ber noch nicht sicherstellen, dß umgekehrt jedem Punkt der Gerden ttsächlich genu eine reelle Zhl entspricht. x negtive x 0 < b positive reelle Zhlen Reelle Zhlengerde

12 4. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 9 4. Die ntürlichen Zhlen Wir sind von einer xiomtischen Beschreibung der reellen Zhlen usgegngen. Obwohl die ntürlichen Zhlen vertrute Objekte sind, müssen wir nun zeigen, wie sie mit Hilfe unseres Axiomensystems ls Teilmenge von R chrkterisiert werden können. Definition I-4.. ) Für jedes x R heißt x + Nchfolger von x. 2) Eine Teilmenge I R heißt induktiv Def i) I ii) x R: x I x + I. Beispielsweise sind die Mengen R und {x R : x } induktiv. Lemm I-4.2. Es sei A eine Fmilie induktiver Mengen. Dnn ist uch A induktiv. Beweis. D A für jedes A A gilt, folgt A. Es sei nun x A, d.h. x A für lle A A. D jede Menge A in A induktiv ist, folgt x + A für jedes A A, d.h. x + A. Es bezeichne J ds System ller induktiven Mengen. Wir hben uns bereits von J überzeugt. Nch Lemm I-4.2 ist J selbst induktiv. Offenbr ist J die kleinste induktive Menge. Definition I-4.3. i) N := J heißt die Menge der ntürlichen Zhlen. Ferner setzen wir N 0 := N {0}. ii) n N heißt gerde Def m N: n = 2m n N heißt ungerde Def m N 0 : n = 2m + Es ist üblich und zweckmäßig, für folgende Nchfolger von spezielle Symbole zu verwenden: 2 := +, 3 := 2 +,..., 0 := 9 +. Wir werden später zeigen, dß wir mit den Symbolen (0,,..., 9, +,,, ) sämtliche reellen Zhlen drstellen können. Aus der Definition I-4.3 ergibt sich für jede induktive Menge A, N A. Dieser Umstnd ist die Grundlge für ds überus nützliche Induktionsprinzip. Theorem I-4.4 (Prinzip der vollständigen Induktion). Es sei P (n) eine Aussgeform über N und es gelte i) P (), ii) n N: P (n) P (n + ). Dnn gilt P (n) für lle n N, d.h. n N: P (n). Beweis. Es sei E = {n N: P (n)} N die Erfüllungsmenge von P. Wegen der Vorussetzungen ist E induktiv, dher gilt uch N E. Somit folgt N = E. Bemerkung I-4.5. Oft trifft eine Aussgeform P (n) erst für n 0 > zu. Mn überzeuge sich dvon, dß ds Prinzip der vollständigen Induktion uch für beliebigen Induktionsnfng n 0 N gilt. Mit Hilfe der Trnsformtion n = n 0 + k und P (k) = P (n 0 + k ) führt mn den Fll n 0 > uf Stz I-4.4 zurück.

13 0 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Theorem I-4.6. Es seien n, m N. Dnn gilt ) n, c) n + m N, b) n N 0, d) nm N. Beweis. ) Übung. b) Es sei G = {n N: n N 0 } N. Wir zeigen: G ist induktiv. Offensichtlich gilt G. Für n G schließt mn (n + ) = n + ( ) = n N 0, d.h. n + G. Es folgt G = N. c) Es sei P (n) die Aussgeform m N: n + m N. Wegen der Induktivität von N gilt m N: + m N, d.h. P (). Es gelte P (n), d.h. n + m N für jedes m N. Wir verwenden noch einml die Induktivität von N, und folgern (n + m) + = (n + ) + m N für lle m N, lso P (n + ). Wegen Stz I-4.4 trifft P (n) für lle n N zu. d) Übung. N ist somit bgeschlossen bezüglich der Addition und Multipliktion. Theorem I-4.7. Für ntürliche Zhlen n und m gilt n > m genu dnn, wenn n m N. Beweis. Es sei P (m) die Aussgeform n N: m < n n m N. Aus < n folgt mit (OA ) 0 < n. Nch Stz I-4.6 trifft n N 0 zu, lso n = 0 oder n N. Wegen n > 0 gilt zwngsläufig n N, d.h. P (). Es gelte nun P (m) und n N erfülle m + < n, (n sonst beliebig), d.h. m < n. Aus m < n schließen wir uf n N. Somit folgt us m < n wegen P (m) die Gültigkeit von (n ) m = n (m + ) N, lso von P (m + ). Es sei n m = l für ein l N. Die Behuptung folgt nun us n m = l > 0 durch Addition von m. Korollr I-4.8. Für ntürliche Zhlen n und m gilt n > m genu dnn, wenn n m +. Korollr I-4.9. Zwischen zwei unmittelbr ufeinnder folgenden ntürlichen Zhlen und zwischen Null und liegt keine weitere ntürliche Zhl. Beweis. Forml geschrieben lutet die Behuptung m N 0 : (m, m+) N =. Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen vorerst n, es gäbe n, m N mit m < n < m +. Wegen Stz I-4.7 gilt n m N, lso nch Stz I-4.6 n m. Aus n < m + ergibt sich der Widerspruch n m <. Für m = 0 erhlten wir einen Widerspruch zu I-4.6 (). Definition I-4.0. M R sei nicht leer. i) µ R heißt Minimum von M, µ = min M, Def µ M x M : µ x. ii) ν R heißt Mximum von M, ν = mx M, Def ν M x M : x ν. Nicht jede Teilmenge reeller Zhlen besitzt Minimum oder Mximum, z.b. R oder (0, ). Existiert ein Mximum (Minimum) einer Teilmenge reeller Zhlen, so ist diese Zhl wegen der lineren Ordnung in R ntürlich eindeutig bestimmt. Theorem I-4. (Wohlordnungsstz). Jede nicht leere Menge von ntürlichen Zhlen besitzt ein Minimum. Beweis. Nehmen wir n, es gäbe A P(N) \ { } und A besitze kein Minimum. Es sei S = {n N: ( A: n < )}. D A nicht leer ist, folgt S N. Wegen Stz I- 4.6 ) ist S, sonst wäre = min A. Es sei n S und somit nch Korollr I-4.8

14 4. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN n + für lle A. Wäre n + nicht Element von S, dnn gäbe es µ A mit n < µ n +. Wegen Korollr I-4.9 müßte µ = n + gelten. Dies hätte µ = min A zur Folge, im Widerspruch zur Whl von A. Also gilt n + S und somit S = N. Dies ist ein Widerspruch zu S N. Mnchml kommt es vor, dß für den Induktionsschritt nicht nur die unmittelbr vorngehende Aussge gebrucht wird, sondern lle vorusgehenden. Als Anwendung des Wohlordnungsstzes zeigen wir folgende Vrinte des Induktionsprinzipes. Theorem I-4.2. P (n) sei eine Aussgeform über N, n 0 N mit den Eigenschften: i) P (n 0 ), ii) n n 0 k N: (n 0 k n P (k)) P (n + ). Dnn gilt P (n) für lle n n 0. Beweis. Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen n, es gelte i) und ii), ber die Aussgeform P (n) trifft nicht für lle n n 0 zu. Dnn ist die Menge {n N: n n 0 P (n)} nicht leer und besitzt wegen des Wohlordnungsstzes ein Minimum m 0 N. Dnn gilt P (k) für lle n 0 k m 0 und somit wegen ii) uch für k = m 0. Dies ist wegen der Bedeutung des Index m 0 nicht möglich. Definition I-4.3. x R heißt gnze Zhl Def x N 0 x N 0. Die Menge der gnzen Zhlen wird mit Z bezeichnet. Es sei dem Leser überlssen, die Sätze I-4.6 c), d), I-4.7 und Korollr I-4.8, I-4.9 uf Z zu übertrgen. Ds Prinzip der vollständigen Induktion ist uch die Grundlge für sogennnte rekursive Definitionen, bei denen für lle n N Begriffe B(n) definiert werden, indem mn uf die bereits erklärten Begriffe B(),..., B(n ) zurückgreift. Betrchten wir zum Beispiel die Folge, 2, 4, 8, 6,... (der Begriff einer Folge wird später genuer definiert). Die Ellipsis... suggeriert ds Bildungsgesetz n = 2 n, n N. Dieselbe Folge knn jedoch uch rekursiv beschrieben werden. Dzu setzt mn = und n+ = 2 n für lle n N. Aus ergibt sich 2, us 2 wiederum 3 usw. Durch die Rekursionsvorschrift wird zumindest in diesem Beispiel eine Folge eindeutig bestimmt. Ds rekursive Vorgehen knn durch folgenden Stz gerechtfertigt werden. Theorem I-4.4 (Rekursionsstz). Es sei B eine nichtleere Menge und b B. Für jedes n N sei eine Abbildung F n : B n B gegeben. Dnn gibt es genu eine Abbildung φ: N 0 B mit den Eigenschften () φ(0) = b. (2) φ(n + ) = F n+ (φ(0),..., φ(n)) für lle n N 0. Ntürlich knn die Rekursion uch bei jedem n 0 N 0 beginnen.

15 2 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Beweis. Wir zeigen zunächst durch vollständige Induktion, dß es höchstens eine derrtige Abbildung φ geben knn. Angenommen es gäbe zwei Abbildungen φ und ψ : N 0 B mit φ(0) = ψ(0) = b und φ(n + ) = F n+ (φ(0),..., φ(n)) ψ(n + ) = F n+ (ψ(0),..., ψ(n)) für n N 0. Dnn gilt φ(0) = ψ(0). Aus der Induktionsnnhme φ(k) = ψ(k) für 0 k n folgt φ(n + ) = ψ(n + ) und dher φ = ψ nch dem Induktionsprinzip in der Form von Stz I-4.2. Für die Konstruktion von φ benötigen wir Hilfsfunktionen φ n : {0,..., n} B, n N 0, mit folgenden Eigenschften ( ) Definiert mn nun φ: N 0 B durch folgt us den Eigenschften von φ n φ n (0) = b, φ n (k) = φ k (k), φ n(k + ) = F k+ (φ n(0),..., φ n(k)), 0 k n. φ(n) = { b, n = 0, φ n (n), n N, φ(n + ) = φ n+ (n + ) = F n+ (φ n+ (0),..., φ n+ (n)) = F n+ (φ 0 (0),..., φ n(n)) = F n+ (φ(0),..., φ(n)), d.h. φ ist die gesucht Funktion. Wir zeigen nun induktiv die Existenz der Hilfsfunktionen φ n. Für n = 0 ist φ 0 llein durch φ 0 (0) = b bestimmt. Die beiden zusätzlichen Eigenschften in ( ) sind trivil erfüllt, d es keine ntürliche Zhl 0 k < 0 gibt, für welche sie nicht zutreffen könnten. Für den Induktionsschritt nehmen wir n, es seien bereits Funktionen φ 0,..., φ n mit den in ( ) geforderten Eigenschften konstruiert und setzen { φ n (k) 0 k n φ n+ (k) = F n+ (φ n(0),..., φ n(n)) k = n +. Verwendet mn für 0 k < n die Induktionsvorussetzung und für k = n die Definition von φ n+, erhält mn φ n+ (k) = φ n (k) = φ k (k), 0 k n. Für 0 k < n + schließt mn wieder mit Hilfe der Induktionsvorussetzung uf Für k = n ergibt sich φ n+ (k + ) = φ n(k + ) = F k+ (φ n(0),..., φ n(k)) = F k+ (φ n+ (0),..., φ n+ (k)), 0 k n. φ n+ (n + ) = F n+ (φ n (0),..., φ n (n)) = F n+ (φ n+ (0),..., φ n+ (n)). Somit ist der Induktionsschritt bewiesen und die Existenz der Funktionen φ k gesichert. Definition I-4.5. Es sei x R. Wir definieren x := x, x n+ := x n x, n N, Mn nennt x n, n N 0, n-te Potenz von x, x heißt Bsis und n Exponent. Für x R \ {0}setzen wir x 0 :=, x n := (x n ), n N. Diese Definition knn folgendermßen uf den Rekursionsstz zurückgeführt werden: setze B = R, b = x und F n : R n R, F n (x..., x n ) = x n x. Die Funktion φ erfüllt dnn φ() = x und φ(n + ) = φ(n)x, n N. Anstelle von φ(n) schreibt mn x n. Lemm I-4.6. Es sei n N, x R und x 0. Dnn gilt x n = ( x )n bzw. (x n ) = (x ) n.

16 4. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 3 Beweis. Wir führen einen Induktionsbeweis. Für n = stimmt die Behuptung mit der Definition des multipliktiven inversen Elementes von x überein. Es gelte x n = ( x )n. Der Induktionsschritt ergibt sich us ( x )n+ = ( x )n x = x n x = x n x = x n+ = (xn+ ). Theorem I-4.7 (Potenzgesetze)..) Für x, y R \ {0}, n, m Z gilt ) x m x n = x m+n, b) x n y n = (xy) n, c) (x m ) n = x mn, Für n, m N gelten ) c) für x, y R. 2.) Für n N und x 0, y > 0 gilt x < y x n < y n. Beweis. Wir zeigen nur ), die übrigen Aussgen möge der Leser ls Übung beweisen. Für m = 0 oder n = 0 ist die Behuptung klr. Es sei m Z beliebig gewählt und P (n) ds Prädikt x m x n = x m+n für n N. Für m N ist P () äquivlent zur rekursiven Definition der Potenz. Für m < 0 ergibt sich x m x = x x m = x x m x = x m = x (m+) = xm+, d.h. es gilt P (). (Die zweite Gleichheit begründet mn mit der Definition I-4.5). Es gelte nun P (n). Verwendet mn die Definition I-4.5 und P (n), ergibt sich x m x n+ = x m (x n x) = (x m x n )x = x m+n x = x m+n+, lso P (n + ). Die letzte Gleichheit wird durch P () mit m + n nstelle von m gerechtfertigt. Schließlich seien n, m Z, n, m < 0. Dnn gilt x n x m = x n x m = x n x m = x n + m = x ( n + m ) = x n+m. Wir beenden diesen Abschnitt mit weiteren Beispielen zur vollständigen Induktion. Lemm I-4.8 (Bernoullische Ungleichung). Es sei x R und n N. Für x >, x 0 und n > gilt dnn ( + x) n > + nx. Beweis. i) Induktionsnfng: Für n = 2 gilt ( + x) 2 > + 2x. ii) Induktionsschritt: Es sei n N und es gelte (+x) n > +nx. Nch Vorussetzung ist +x > 0. Somit folgt us der Induktionsvorussetzung (+x) n+ > (+nx)(+x). Die Abschätzung ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 > + (n + )x ergibt wegen der Trnsitivität von > die gewünschte Ungleichung ( + x) n+ > + (n + )x. Ein weiteres Beispiel einer rekursiven Definition ist folgende kompkte Schreibweise für endliche Summen n und endliche Produkte 0 n. Die rekursive Definition präzisiert die Bedeutung der Ellipsis. Dzu setzen wir im Rekursionsstz I- 4.4 B = R, F n : B n B, F n (x 0,..., x n ) = x n n und erhlten so eine Funktion φ: N 0 B mit φ(0) = 0 und φ(n+) = φ(n) n+. Bezeichnet die Addition in R, schreibt mn n k=0 k für φ(n), steht für die Multipliktion, schreibt mn n k=0 k:

17 4 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Definition I-4.9. Es seien 0,,..., R. i) 0 j=0 j := 0 und n j=0 j := n j=0 j + n, n N. ii) 0 j=0 j = 0 und n j=0 j = n j=0 j n, n N. Für die leere Summe vereinbren wir den Wert 0, ds leere Produkt erhält den Wert. heißt Summenzeichen, der Buchstbe j ist ein (gebundener) Summtionsindex. Er knn beliebig umbennnt werden. Anloges gilt für ds Produkt. Definition I Die Zhlen i) 0! :=, n N 0 : (n + )! = n!(n + ) heißen Fkultäten. ii) Für n N 0 und 0 k n heißt ( n k ) := n! k!(n k)! Binomilkoeffizient ( ( n k) wird n über k gelesen). Es gilt lso n! = n i= i. Die Fkultäten wchsen sehr rsch n:! =, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 0! = Diese Zhlen werden bei Abzählproblemen verwendet. Beispielsweise ist n! die Anzhl der Möglichkeiten, n unterscheidbre Objekte in verschiedener Reihenfolge nzuordnen. Der Binomilkoeffizient ( n k) gibt die Anzhl der Teilmengen mit k Elementen in einer Grundmenge von n Elementen. Lemm I-4.2. Für lle n, k N 0, 0 k n gilt i) ( ( n k) N, n ( 0) = n n) =. ii) ( ( n k+) + n ) ( k = n+ k+), Beweis. Übung. Ordnet mn die Binomilkoeffizenten im sogennnten Psclschen Dreieck n, dnn sgt Lemm I-4.2-ii), dß mn die Binomilkoeffizienten der n+-ten Reihe ls Summe der beiden unmittelbr drüber stehenden Binomilkoeffizienten berechnen knn Theorem I-4.22 (Binomischer Stz). Es seien x, y reelle Zhlen. Dnn gilt für lle n N: n ( ) n (x + y) n = x n k y k. k k=0

18 5. DIE RATIONALEN ZAHLEN 5 Beweis. ) Induktionsnfng: Für n = ergibt sich ( ) ( ) x + y = x y 0 + x 0 y = x + y. 0 2) Induktionsschritt: Sei n N und es gelte (x + y) n = n ( n ) k x n k y k. Durch Multipliktion mit x + y folgt n ( ) n (x + y) n+ = x n+ k y k + k k=0 = x n+ + k= 0 n+ ( n + k n k=0 k=0 ( ) n x n k y k+ k k=0 n ( ) n n ( ) n x n+ k y k + x n k y k+ + y n+. k k Ersetzt mn in der zweiten Summe den Summtionsindex k durch j, ergibt sich weiter n ( ) n n ( ) n (x + y) n+ = x n+ + x n+ k y k + x n+ j y j + y n+ k j k= j= n [( ) ( )] n n = x n+ + + x n+ k y k + y n+ k k k= ( ) I 4.2 n + n ( ) ( ) n + n + = x n+ + x n+ k y k + y n+ k n + = k=0 k= ) x n+ k y k Ohne Beweis notieren wir die Identitäten: Lemm I i) n N q R \ {}: n k=0 q k = qn+ q, ii) n N x, y R: x n y n = (x y) n x n i y i (Hornersche Regeln). i=0 Definition I Die rtionlen Zhlen Q := {x R : x = p, p Z, q N} q heißt die Menge der rtionlen Zhlen. R \ Q ist die Menge der irrtionlen Zhlen.

19 6 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Es knn leicht gezeigt werden, dß für x, y Q uch x, x + y, xy und, flls x 0, uch x zu Q gehören. Q erfüllt die Axiome A, M, D, O. Q ist somit ein geordneter Unterkörper von R, in dem lle bisher bgeleiteten Sätze gelten. Jedoch besitzen bereits sehr einfche Probleme keine Lösung in Q: Theorem I-5.2. Die Gleichung x 2 = 2 besitzt keine Lösung in Q. Beweis. Angenommen es gäbe ein x Q mit x 2 = 2. Es ist x = p, p Z, q N. q O.B.d.A. seien p und q nicht beide zugleich gerde. Aus p 2 = 2q 2 folgt p 2 und somit uch p sind gerde, d.h. es existiert eine gnze Zhl n mit p = 2n. Dies ht 4n 2 = 2q 2, lso q 2 = 2n 2 zur Folge. Somit ist uch q 2 und dmit uch q gerde. Dies ist ein Widerspruch zur Whl von p und q. In diesem Beweis hben wir folgende Eigenschft gnzer Zhlen verwendet, deren einfchen Nchweis wir dem Leser überlssen: p Z: p 2 gerde p gerde. Anlysieren wir diesen Schverhlt genuer: Es sei A = {p Q : p < 0 p 2 < 2} und B = {p Q : p 0, p 2 > 2}. Wir zeigen: A besitzt kein Mximum und B kein Minimum in Q. Zu diesem Zweck definieren wir für jedes rtionle p > 0 die Zhl q Q durch { q = p p2 2 > p für p A und p 0, p + 2 < p für p B. Eine einfche Rechnung zeigt q 2 2 = 2 p2 2 (p + 2) 2 { < 0 für p A, > 0 für p B. Aus diesen Beziehungen folgt für jedes nicht negtive p A einerseits p < q, ndererseits q 2 2 < 0, d.h. q A. Es gibt somit kein Mximum in A. Für jedes p B ergibt sich q < p und q 2 2 > 0, d.h. q B. B ht demnch kein Minimum. Andererseits ist A B = Q. Ds Pr (A, B) definiert einen Dedekindschen Schnitt in Q, ber es existiert keine Schnittzhl in Q. Ds System der rtionlen Zhlen ht lso Lücken, welche in R durch ds Vollständigkeitsxiom geschlossen werden. 6. Folgerungen us dem Vollständigkeitsxiom Definition I-6.. Es sei M R. () Eine reelle Zhl o heißt obere Schrnke für M Def x M : x o. M heißt nch oben beschränkt, wenn M eine obere Schrnke besitzt. (2) Eine reelle Zhl u heißt untere Schrnke für M Def x M : x u. M heißt nch unten beschränkt, wenn M eine untere Schrnke besitzt. (3) M R ist beschränkt Def M ist nch oben und unten beschränkt.

20 6. FOLGERUNGEN AUS DEM VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM 7 Definition I-6.2. ) Es sei M R nch oben beschränkt. α R heißt Supremum von M, α = sup M Def α ist die kleinste obere Schrnke. b) Es sei M R nch unten beschränkt. β R heißt Infimum von M, β = inf M Def β ist die größte untere Schrnke. Wegen der Trichotomie in R knn eine nichtleere Teilmenge von R höchstens ein Supremum bzw. Infimum besitzen. Ist ds Supremum einer Menge M selbst Element von M, gilt sup M = mx M. Umgekehrt, besitzt eine Menge M ein Mximum, so ist ntürlich uch mx M = sup M. Beispiel I-6.3. ) M = {x R : x } ist nicht nch oben beschränkt. M besitzt somit kein Supremum, M ist nch unten beschränkt (x ist untere Schrnke) und M. Somit gilt inf M = min M =. 2) Für N = (0, ] gilt sup N = mx N = N, inf N = 0 N. 3) Die leere Menge besitzt in R weder Supremum noch Infimum. Es sei α = sup M und x < α. D α die kleinste obere Schrnke von M ist, knn α keine obere Schrnke für M sein. Somit existiert y M mit x < y. Dies führt uf folgende Chrkterisieung des Supremums: Theorem I-6.4. Es sei = M R. Dnn ist α = sup M chrkterisiert durch i) x M : x α, ii) ε > 0 y M : α ε < y. Beweis. Die erste Eigenschft besgt, dß α eine obere Schrnke für M dstellt. Die Eigenschft ii) stellt fest, dß jede reelle Zhl z < α keine obere Schrnke für M sein knn. Dieser Stz ht ein merkwürdiges Häufungsphänomen zur Folge: Besitzt eine nicht leere Menge M ein Supremum, jedoch kein Mximum, so liegen für jedes ε > 0 unendlich viele Elemente von M zwischen sup M ε und sup M. Wir formulieren nun eine wichtige Konsequenz us dem Vollständigkeitsxiom: Theorem I-6.5 (Supremum Prinzip). Jede nicht leere, nch oben beschränkte Menge reeller Zhlen besitzt ein Supremum in R. Beweis. Es sei M R, M, nch oben beschränkt. Ferner sei B die Menge ller oberen Schrnken von M und A = R \ B. D M nicht leer ist, gibt es x M. Es folgt x A. Somit gilt A und B, A B = R. Es seien A und b B beliebig gewählt. Dnn ist keine obere Schrnke für M, lso gibt es x M mit < x b, d.h. es ist < b. Die Mengen A und B definieren lso einen Dedekindschen Schnitt. Ds Vollständigkeitsxioms V sichert die Existenz einer eindeutig bestimmten Schnittzhl ξ, welche entweder in A oder in B liegen muß. Wäre ξ A, lso ( ) A = {x R: x ξ}

21 8 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN gäbe es (wie vorher) x M, sodß ξ < x. Wegen Stz I-3.6 würde uch ξ < ξ+x < x 2 gelten, d.h. ξ+x A. Diese Ungleichung ist ein Widerspruch zu ( ). Es folgt ξ = B 2 und dher ( ) B = {x R: ξ x} Somit ist ξ eine obere Schrnke für M und wegen ( ) sogr die kleinste, d.h. ξ = sup M. Korollr I-6.6. Jede nicht leere, nch unten beschränkte Menge reeller Zhlen besitzt ein Infimum in R. Beweis. Es sei N R, N, nch unten beschränkt und U die Menge der unteren Schrnken. Somit ist U und jedes Element us N ist eine obere Schrnke für U. Wegen Stz I-6.5 existiert s = sup U. Wir behupten s = inf N. Dies folgt us s U, d dnn s = mx U gilt. Angenommen, es wäre s U, dnn gäbe es x N, sodß x < s = sup U. D s die kleinste obere Schrnke von U ist, knn x nicht obere Schrnke von U sein. Somit existiert y U mit x < y. Wegen x N knn y keine untere Schrnke von N sein. Dies führt uf den Widerspruch y / U. Ein einfcherer Beweis knn uf die Beobchtung ufgebut werden, dß N R genu dnn nch unten beschränkt ist, wenn N := {t R: t N} nch oben beschränkt ist. Die ngegebene Beweisvrinte verwendet keine speziellen Eigenschften von R. In jeder liner geordneten Menge folgt dher us dem Supremumprinzip ds Infimumprinzip und umgekehrt. Theorem I-6.7. N ist nicht nch oben beschränkt. Beweis. Angenommen, N ist nch oben beschränkt. Nch Stz I-6.5 existiert dnn α = sup N. D α keine obere Schrnke für N sein knn, existiert n N, sodß α < n. Es folgt α < n +, ein Widerspruch zu m N : m α. Korollr I-6.8. R ist rchimedisch geordnet, d.h. für lle, b R, > 0, existiert n N, sodß n > b. Beweis. D N nicht nch oben beschränkt ist, gibt es n N, sodß b < n. Korollr I-6.9. ε > 0 n N: n < ε. Beweis. Wähle b =, = ε in Korollr I-6.8. Theorem I-6.0. Es sei x R. Dnn gibt es eine eindeutig bestimmte gnze Zhl g, sodß ( ) g x < g +, ( x < g x). Mn nennt g Größtes Gnzes von x und bezeichnet diese Zhl mit x. Beweis. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit und nehmen n, es gäbe zwei verschiedene Zhlen g, g Z, o.b.d.a. g < g, sodß ( ) gilt. Es folgt 0 < g g N und g x < g +, d.h. g g <. Insgesmt gilt 0 < g g <, dies widerspricht

22 6. FOLGERUNGEN AUS DEM VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM 9 Korollr I-4.9. Die Menge {n N: x < n} ist nicht leer und besitzt dher ein kleinstes Element n 0 (Stz I-4.). Somit gilt n 0 x < n 0, flls x 0 und n 0 < x (n 0 ) flls x < 0. Wenn x 0, wähle g = n 0. Ist x < 0, setze g = n 0 flls x Z und g = n 0 + flls x Z. Wir zeigen nun, dß die rtionlen Zhlen dicht in R liegen. Theorem I-6.. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zhlen liegt stets eine rtionle Zhl. Beweis. Es seien x, y reelle Zhlen und x y. O.B.d.A. können wir x < y, lso y x > 0 nnehmen. Nch Korollr I-6.9 existiert n 0 N, sodß 0 < n 0 < y x, d.h. + n 0 x < n 0 y. Nch Stz I-6.0 (mit + n 0 x nstelle von x) folgt die Existenz von k 0 Z, mit n 0 x < k 0 n 0 x + < n 0 y. Für p 0 = k 0 n 0 Q gilt dnn x < p 0 < y. Theorem I-6.2 (Intervllschchtelung). Es sei {I n } n= eine Fmilie bgeschlossener Intervlle I n := [ n, b n ], n b n, in R mit folgenden Eigenschften: ) n N: I n+ I n, b) ε > 0 n N: b n n < ε. Dnn gibt es genu ein z R, sodß n= I n = {z}. Beweis. Wegen ) gilt: n n+ b n+ b n für lle n N. Dies ht () n, k N: n b k. zur Folge. Angenommen, es gäbe Indizes n 0, k 0 N mit b k0 < n0. Ist n 0 k 0, müßte uch b k0 < n0 k0 gelten, im Widerspruch zu k0 b k0. Ist k 0 < n 0, dnn folgt b n0 b k0 < n0 im Gegenstz zu n0 b n0. Setzt mn A = { n : n N} und B = {b n : n N}, ergibt sich us (), dß jedes b n eine obere Schrnke für A, und jedes n eine untere Schrnke für B drstellt. Somit existieren α = sup A und β := inf B und es gilt α b n für lle n N. Es ist lso α eine untere Schrnke für B, ws α β zur Folge ht. Ferner gilt n α β b n für lle n N, d.h. [α, β] n= I n. Es folgt n= I n. Es gilt ber uch n= I n [α, β] und dher uch n= I n = [α, β]. Denn x n= I n ist gleichwertig mit n N: n x b n. Somit ist x eine obere Schrnke für A und gleichzeitig eine untere Schrnke für B. Es folgt α x β, lso x [α, β]. Wäre α < β, dnn müßte uch b n n β α für lle n N gelten. Dies widerspricht jedoch der Vorussetzung b). Es gilt somit n= I n = [α, α] = sup A = inf B. Bemerkung I-6.3..) Setzt mn den Begriff einer Nullfolge vorus, verlngt die Vorussetzung b), dß die Folge der Intervlllängen eine Nullfolge drstellt. 2.) Mn knn zeigen, dß ds Vollständigkeitsxiom, ds Supremumprinzip und der Stz über die Intervllschchtelung äquivlent sind.

23 20 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Definition I-6.4. Es seien A, B R nicht leer und r R. Wir definieren A + B := { + b : A, b B}, AB := {b : A, b B}, ra := {r : A}. Theorem I-6.5. A, B R seien nicht leer und nch oben beschränkt. Dnn gilt i) Flls A B, dnn gilt sup A sup B, ii) sup(a + B) = sup A + sup B, iii) r 0 : sup(ra) = r sup A, iv) r 0 : inf(ra) = r sup A, v) A R + B R + sup AB = sup A sup B. Sind A und B nch unten beschränkt, so gilt ein entsprechender Stz für ds Infimum. Der Beweis sei dem Leser ls Übung überlssen. 7. Wurzeln Mit Hilfe des Supremumprinzips knn mn die Existenz n-ter Wurzeln us nichtnegtiven Zhlen zeigen. Wir benötigen folgende Hilfsresultte. Lemm I-7.. Für lle 0 < x < y und lle ntürlichen Zhlen n 2 gilt y n x n < n(y x). Beweis. Der Beweis ergibt sich us den Hornerschen Regeln Lemm I Lemm I-7.2. Für lle reellen Zhlen 0 < q < und ε > 0 existiert n N mit 0 < q n < ε. Beweis. Wir zeigen für ein geeignetes n N die gleichwertige Ungleichung 0 < ε < ( q )n. Dzu bechte mn >, lso = +x für ein x > 0. Aus der Bernoulli Ungleichung q q I-4.8 ( q )n = ( + x) n > + nx. Die Behuptung folgt nun us der rchimedischen Ordnung von R (Korollr I-6.8). Theorem I-7.3. Für lle ntürlichen Zhlen n 2 und lle reellen Zhlen 0 ht die Gleichung ξ n = genu eine nichtnegtive Lösung. Beweis. Die Eindeutigkeit folgt us Stz I Für = 0 setzen wir ξ = 0, für = ist die Lösung ξ =. Wir betrchten zuerst den Fll <. Mit vollständiger Induktion zeigt mn, dß n < für lle ntürlichen Zhlen n 2 gilt. Für 0 < x folgt dher x n n <. Somit muß die Lösung der Gleichung

24 7. WURZELN 2 ξ n = im Intervll (, ) liegen. Wir konstruieren nun mit vollständiger Induktion eine Intervllschchtelung I k = [ k, b k ] mit folgenden Eigenschften ( ) n k b n k, b k k = 2 k (b 0 0 ), k N 0. Für k = 0 setzen wir I 0 = [, ]. Dnn ist ( ) erfüllt. Es sei I k mit der Eigenschft ( ) bereits konstruiert. Für m = ( 2 k + b k ) setzen wir { [ k, m], flls m n, I k+ = [m, b k ], flls m n <. D wegen der Induktionsvorussetzung k b k gilt, folgt entweder n k mn oder m n b n k, lso [n k+, bn k+ ]. Es gilt uch b k+ k+ = 2 k (b 0 0 ), d I k+ durch Hlbierung des Intervlles I k entsteht. Somit gilt I k+ I k und I k+ besitzt die Eigenschft ( ). Wegen Lemm I-7.2 sind die Vorussetzungen von Stz I-6.2 erfüllt. Wir zeigen nun, dß uch die Intervlle J k = [ n k, bn k ], k N 0, eine Intervllschchtelung bilden. Aus I k+ I k folgt mit Stz I J k+ J k. Wegen Lemm I-7. gilt b n k n k < n(b k k ). D die Intervlle I k eine Intervllschchtelung bilden, gibt es für jedes ε > 0 einen Index l mit b l l < ε n. Somit folgt b n l n l < ε. Nch Stz I-6.2 gibt es dher eindeutig bestimmte Zhlen α, ξ R mit {α} = k N0 J k und {ξ} = k N0 I k. Dnn gilt ber uch ξ n k N0 J k und somit ξ n = α. Wegen ( ) muß uch k N0 J k und somit ξ n = gelten. Den Fll > führen wir mittels b = uf den Fll < zurück. Es sei β > 0 die eindeutige Lösung der Gleichung β n = b und ξ =. Dnn gilt β ξ n = ( β )n = β n = b =. Korollr I-7.4. Ist n N ungerde, dnn besitzt die Gleichung x n = für jedes R genu eine Lösung ξ R. Beweis. Es genügt, den Fll < 0 zu betrchten. Dnn ist > 0 und die Gleichung x n = ht nch Stz I-7.3 genu eine positive Lösung ξ. Setzt mn ξ = ξ, folgt d n ungerde ist. ξ n = ( ξ) n = ( ) n ξn = ( ) n ( ) = ( ) =,

25 22 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN Definition I-7.5 (Wurzel). Es seien entweder n N gerde und R + oder n N ungerde und R. Dnn bezeichnet mn mit n die eindeutig bestimmte Lösung in R + (flls n N gerde), bzw. in R (flls n N ungerde) der Gleichung x n =. Mn nennt n die n-te Wurzel us. Anstelle von n schreibt mn uch n. Im Fll n = 2 ist die Nottion für 2 gebräuchlich. Bemerkung I-7.6. ) Wegen Stz I-7.3 gilt mit dieser Definition ( n ) n = für lle R im Fll n ungerde und für lle R + im Fll n gerde. 2) Ist n N gerde und > 0, dnn liefert n eine positive Lösung der Gleichung x n =. Ist n gerde und > 0, dnn ist n eine weitere Lösung der Gleichung x n =. Dies wird durch die Kurzschreibweise x,2 = ± n zum Ausdruck gebrcht. Dies drf keinesflls dhingehend missverstnden werden, n hbe zweierlei Vorzeichen. Es gilt stets n x 0 für lle x 0 und n N. 3)Ein häufig uftretender Fehler ist es, x 2 = x zu setzen. Richtig ist x 2 = x. 4) Die Definition der n-ten Wurzel ist nicht einheitlich: viele Autoren definieren n nur für 0 für lle n N. Korollr I-7.7..) Für lle positiven reellen Zhlen, b und n, m N gilt i) (b) n = n b n, ( b ) n = n, ii) ( n ) m = ( m ) n, iii) ( n ) m = ( m ) n = nm. 2.) Ist, b > 0, dnn gilt b n < b n < b n für lle n N. Für n ungerde gilt diese Beziehung für lle, b R. Beweis. i) ( n b n ) n = ( n ) n (b n ) n = b. Wegen der Eindeutigkeit der Wurzel folgt dher (b) n = n b n. ii) [( n ) m ] n = ( n ) mn = [( n ) n ] m = m. iii) [( n ) m ] nm = [[( n ) m ] m ] n = ( n ) n =. Dies zeigt ( n ) m = nm. Wegen der Symmetrie bezüglich n und m in nm folgt ( n ) m = ( m ) n. 2.) Für 0 < < b folgt die Behuptung us n < b n I 4.7 ( n ) n < (b n ) n I 7.3 < b. Es sei n ungerde und < b < 0. Dies ist gleichwertig mit 0 < b <. Aus dem eben Bewiesenen folgt 0 < b < ( b) n < ( ) n 0 < b n < n n < b n < 0. Die übrigen Fälle sind trivil. Die Drstellung rtionler Zhlen durch Brüche ist nicht eindeutig. Gilt etw p = r s = u v > 0 d.h. rv = us für r, s, u, v N und setzt mn für > 0 x = (r ) s, y = ( u ) v, folgt x sv = (x s ) v = ( r ) v = rv = us = ( u ) s = (y v ) s = y vs, wegen der Eindeutigkeit der Wurzel gilt dnn x = y. Bechtet mn noch Korollr I ergibt sich ( s ) r = ( r ) s = ( u ) v = ( v ) u. Es kommt somit uf die Reihenfolge des Potenzierens und Rdizierens nicht n. Somit ist folgende Definition sinnvoll:

26 7. WURZELN 23 Definition I-7.8 (Potenz mit rtionlen Exponenten). Es sei > 0 und r = p q > 0, p, q N. 0 r := 0, r := ( p ) q, r := r. Ntürlich hätte mn wegen Korollr I (ii) uch ( q ) p zur Definition von r verwenden können. Mn bechte, dß diese Definition für < 0 nicht immer sinnvoll ist. Als Beispiel betrchte mn 6 ( 27)2 = 3, ber 3 27 = 3. Aus diesem Grunde wird häufig die n-te Wurzel nur für nicht negtive reelle Zhlen definiert. Theorem I-7.9 (Potenzgesetze). Es seien, b R + und r, s Q. Folgende Regeln gelten, flls lle beteiligten Potenzen definiert sind. i) r s = r+s, ii) ( r ) s = rs, iii) r b r = (b) r, iv) > 0 r s = r s, v) b > 0 r b r = ( b )r. Beweis. Wir beweisen nur die erste Regel. Wir betrchten vorerst den Fll r, s > 0, lso r = p q, s = m n mit geeigneten ntürlichen Zhlen p, q, n und m. Wegen r = np mq und s = knn mn diesen Fll uf Stz I-4.7 nq qn zurückführen: r s = ( nq ) np ( nq ) mq = ( nq ) np+mq = np+mq nq = p q + m n = r+s. Es sei nun rs < 0 und ohne Beschränkung der Allgemeinheit r < 0, s > 0, lso r = p. Es folgt q r s = s ( nq ) mq = = ( r ( nq nq ) mq np ) np mq pn nq = m n p q = s+r mq pn 0, = = p ( nq ) pn mq q m = = n (r+s) r+s mq pn < 0. Schließlich betrchten wir noch den Fll rs > 0 und r < 0, und s < 0. Mn erhält r s = r s = r + s = r s = r+s. Theorem I-7.0. Es sei > 0, b > 0 und r Q. Dnn gilt i) < b r < b r, flls r > 0, ii) < b b r < r, flls r < 0. Beweis. i) folgt us I-7.7 iv) und Stz I ). Für den Nchweis von ii) bechte mn r = r. Theorem I-7.. Es sei R, > 0, r, s Q und r < s. Dnn gilt i) r < s >, ii) r > s <. Beweis. i) Wegen s r > 0 und s r = folgt ii) < >. > I 7.0 s r > s r > s > r.

27 24 I. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 8. Komplexe Zhlen Aus Korollr I-3.4 folgt, dß die Gleichung x 2 + = 0 keine reelle Lösung besitzt. Will mn erreichen, dß diese und viele ndere in R nicht lösbre Gleichungen lösbr werden, ist eine Erweiterung des reellen Zhlensystems erforderlich. Definition I-8.. i) z heißt komplexe Zhl Def z = (, b) R R. Die Menge der komplexen Zhlen bezeichnet mn mit C. ii) Auf C C erklärt mn Addition + und Multipliktion : Es sei z = (, b), w = (c, d): z + w := ( + c, b + d) z w = zw := (c bd, d + bc). C und R R sind lso ls Mengen identisch, chrkteristisch für C ist die durch Addition und Multipliktion ufgeprägte lgebrische Struktur. Theorem I-8.2. Ersetzt mn R durch C, 0 durch (0, 0), durch (, 0), dnn sind die Axiome A, M und D erfüllt. Ds Tripel (C, +, ) ist somit ein Körper. Beweis. Für z = (, b) C ist die dditive Inverse z = (, b), für z = (, b) (0, 0) ist die multipliktive Inverse ( z = 2 + b, 2 b 2 + b 2 Exemplrisch zeigen wir die Assozitivität der Multipliktion: Es sei x = (, b), y = (c, d) und z = (e, f). Dnn ist x(yz) = (, b)(ce df, cf + de) ). = ((ce df) b(cf + de), b(ce df) + (cf + de)) = (ce df bcf bde, bce bdf + cf + de) = (c bd, d + bc)(e, f) = (xy)z. Die Sätze us Abschnitt 2 sowie jene Resultte, welche nicht uf die Ordnung in R Bezug nehmen, gelten dher uch in C. Für die Pre (, 0), (b, 0) C gilt (, 0) + (b, 0) = ( + b, 0) (, 0) (b, 0) = (b, 0), (, 0) = (, 0), (, 0) = (, 0)