3.1 Nullstellensuche mit Newton und anderen Folgen. n, y n ) u y (x n, y n ) u (xn, y n ) vy (x. v x (x n, y n ) v y (x n, y n ) v (x n, y n )

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1 Funktionentheorie, Woche 3 Frktle und Kurven 3. Nullstellensuche mit Newton und nderen Folgen Für f : R R knn mn Nullstellen finden mittels des Newton-Verfhrens. Mn wählt geschickt einen Anfngswert x R und pproximiert die Nullstelle durch x n+ = x n (f (x n )) f(x n ) für n N. Eine ähnliche Prozedur könnte mn uch für f : C C versuchen. Mn wählt geschickt einen Anfngswert z C und pproximiert die Nullstelle durch z n+ = z n (f (z n )) f(z n ) für n N. Nimmt mn den Relteil und den Imginärteil, findet mn vi u = Re f und v = Im f x n+ + iy n+ = x n + iy n f (x n + iy n ) f (x n + iy n ) f(x n + iy n ) und mit Cuchy-Riemnn, dss ( ) ( ) xn+ xn = + y n+ y n ( ) ( ) ux (x + n, y n ) v x (x n, y n ) u (xn, y n ) f (x n + iy n ) = (3.) v x (x n, y n ) u x (x n, y n ) v (x n, y n ) ( ) ( ) ( ) xn vy (x = n, y n ) u y (x n, y n ) u (xn, y n ) y n u x (x n, y n ) + v x (x n, y n ) = v x (x n, y n ) u x (x n, y n ) v (x n, y n ) ( ) ( ) ( ) xn ux (x = n, y n ) u y (x n, y n ) u (xn, y n ). v x (x n, y n ) v y (x n, y n ) v (x n, y n ) y n Ds ist wieder genu die Definition vom Newton-Verfhren in Dimensionen. Bemerkung 3.. Mn knn sich diese Formel uch noch nders erklären. Wenn wir eine Nullstelle einer differenzierbren Funktion f : C C suchen, entspricht ds die Nullstelle suchen von u + v : R R mit u(x, y) = Re f(x+iy) und v(x, y) = Im f(x+iy). Die Drstellung der Funktion u + v : R R nennt mn die Funktionenlndschft. Wenn mn in die Berge wndert und mn möchte den kürzesten Weg hinunter nehmen, dnn gehe mn gerde den Hng hinuter. Eine mthemtische Wnderung in der Funktionenlndschft gibt d ls Richtung (u + v ). Bemerke, dss für u + v sowohl 7

2 8. Mi 8 Woche 3, Frktle und Kurven (u + v ) ls uch u + v die gleiche Richtung liefern. Mit Cuchy-Riemnn finden wir ( u + v ) ( ) ( ) ( ) ux u + v = x v ux v = x u. u y u + v y v v x u x v Diese gleiche Richtung findet mn in (3.). Dieses sogennnte Verfhren des steilsten Abstiegs, uch Grdientenverfhren gennnt, findet breite Anwendung in der numerische Mthemtik. Abbildung 3.: Die Funktionenlndschft zu sin oder die Skizze zu z sin z. Jedes Polynom von Grd n ht n komplexe Nullstellen ber leider bekommt mn nicht bei jedem Anfngswert eine Nullstelle. Zum Beispiel könnte mn mit diesem Newton- Verfhren eine Nullstelle von p(z) = z + suchen. Wenn mn nfängt mit z R und pproximiert durch z n+ = z n z n + für n N, z n dnn gilt z n R (oder die Approximtion ist zusmmengebrochen weil z n = erreicht worden ist). Mn knn sich die Frge stellen, für welche Anfngswerte diese Itertion zu welcher Nullstelle konvergiert. Mehr llgemein knn mn sich frgen: Für welche z ist die Folge {z n } n N definiert durch z n+ = p (z n ) beschränkt? Diese Frge ist nicht einfch ohne Rechner zu lösen. Mnchml lssen sich durch d-hoc Beweise Gebiete festlegen für z, wo die Folge nicht oder gerde beschränkt ist. Beispiel 3. Betrchten wir p(z) = z. Für z C mit z zeigt mn mit vollständiger Induktion, dss z n n +. Denn z und ngenommen es gilt z n n +, folgt z n+ = z n z n (n + ) = n + 4n + 3 n + 3. Ds Verfhren des steilsten Abstiegs heißt uf Englisch the method of steepest descent oder uch grdient descent.

3 3. Nullstellensuche mit Newton und nderen Folgen. Mi 8 9 Also ist die Folge nicht beschränkt. Für z C mit z zeigt mn mit vollständiger Induktion, dss z 3 n. Denn 3 z und ngenommen es gilt z 3 n, folgt 3 z(n+) = z n+ ( = z n ) = z 4 n zn = zn z n z n ( z n + ) ( 3) ( ( 3 ) + ) = Für den ungerden Terme gilt z n+ = zn z n + + =. Also ist 9 9 {z n } n N beschränkt. Gston Juli und Pierre Ftou bemerkten in 98, dss die Menge der Anfngswerte, bei deren so eine Folge beschränkt bleibt, sehr wild sein knn. Für p(z) = z.5 sieht diese Menge wie folgt us. Der Rnd einer solchen Menge wird Juli-Menge gennnt. Für p(z) = z c ht diese Juli-Menge fst immer eine frktle Struktur. Frktl bedeutet die Husdorf-Dimension liegt nicht in N. Abbildung 3.: Ein Bild zur Juli-Menge der Anfngswerte wobei z n+ = z n.5 beschränkt bleibt. Abbildung 3.3: Ein Bild zur Mndelbrot-Menge hergestellt durch ein Jv-pplet uf Die Menge der c C für den die Juli-Menge zusmmenhängend ist, nennt mn die Mndelbrot-Menge. Auch der Rnd der Mndelbrot-Menge ist frktl. Es führt zu weit dieses Them hier usgiebig mthemtisch (oder künstlerisch) n zu gehen.

4 . Mi 8 Woche 3, Frktle und Kurven 3. Kurven Definition 3. Eine stetige Abbildung : [, b] R C nennt mn eine (komplexe) Kurve; () heißt Anfngspunkt und (b) Endpunkt. Beispiel 3.3 Die Kurve : [, ] C, definiert durch (t) = ( t ) ( e (3+i)t + i ), verbindet + i mit. 4 i 3 i i i 3 4 i i Abbildung 3.4: Eine Skizze der Kurve us Beispiel 3.3. Definition 3.4 Einige spezielle Kurven : [, b] R C sind wie folgt definiert. Wenn stetig (reell) differenzierbr ist und (t) =, dnn nennt mn eine gltte Kurve. Wenn () = (b) nennt mn die Kurve geschlossen. 4 INLEIDING Wenn : (, smenvllende b] R eindpunten C und [, geen b) zelfdoorsnijding R C heeft; injektiv dwz. sind, heißt sie einfch. : (, b] C, : [, b) C Wenn sie geschlossen und einfch ist, nennt mn sie eine Jordn-Kurve. zijn beide injectief. beeld vn een enkelvoudige resp. niet-enkelvoudige kromme Abbildung 3.5: Eine einfche und eine nicht-einfche Kurve I gesloten de kromme ( ) heet gesloten ls () = (b). kromme I Jordnkromme de kromme ( ) heet een Jordn-kromme ls deze enkelvoudig en gesloten is. Bemerkung 3.4. Die Abbildung : [, b] R C ist stetig differenzierbr, wenn Re : [, b] R und Im : [, b] R stetig sind, differenzierbr uf (, b), rechter door een Jordn-kromme : [, b] C wordt C\ [, b] in twee de- linker verdeeld, Ableitung het inwendige en b existieren het uitwendigeund vn de diese beeldverzmeling Ableitungen zusmmen stetige Ableitung in undlen Funktionen uf [, b] [, bilden. b]. OKeine Doppelpunkte Opgve mit Onderzoek Ausnhme, tot welke klssen dss Endpunkt de kromme und :[, π] Anfngspunkt C behoort identisch sein dürfen. ls (t) =x (t)+iy (t) met x (t) = cost cos t, y (t) = sint +sint. Als hulp volgen enkele schetsen.

5 3. Kurven. Mi 8 Bemerkung 3.4. Sei : [, b] C eine Jordn 3 -Kurve. Der Jordnsche Kurvenstz besgt, dss C\ [, b] zwei Komponenten ht: Ds beschränkte Innengebiet und ds unbeschränkte Aussengebiet. Bemerkung In Anlysis hben wir gesehen, dss mn eine Tngentilrichtung n einer Kurve x : [, b] R n der Stelle x(t) findet durch x (t). Wendet mn dies n uf x(t) = (Re (t), Im (t)), dnn folgt x (t) = (Re (t), Im (t)). Anders gesgt, die Tngentilrichtung n der Kurve n der Stelle (t) ist die (komplexe) Zhl (t). Lemm 3.5 Sei f : C C eine holomorphe Abbildung und seien und ζ zwei Kurven, die sich in α = (t ) = ζ(s ) schneiden. Nehme n, dss f (α). Die Bildkurven f und f ζ schneiden sich n der Stelle f(α) mit dem gleichen Winkel und mit gleicher Orientierung ls und ζ n der Stelle α. Beweis. Die Ableitung (t ) gibt die Richtung der Kurve. Der Winkel und die Orientierung in α zwischen und ζ wird lso bestimmt durch ( ) (t ) Arg ζ = Arg ( (t )) Arg (ζ (s )) + kπ. (s ) Weil folgt (f ) (t ) (f ζ) (s ) = (f (t )) (t ) (f ζ(s )) ζ (s ) = f (α) (t ) f (α) ζ (s ) = (t ) ζ (s ), Arg und ds gewünschte Ergebnis. ( (f ) ) (t ) (f ζ) = Arg (s ) ( ) (t ) ζ, (s ) Definition 3.6 Eine Kurve : [, b] C nennt mn eine stückweise gltte Kurve, wenn es endlich viele i R gibt mit = < < < < n < n = b derrt, dss [i, i+ ] : [ i, i+ ] C für jedes i {, n } eine gltte Kurve ist. Es wird nützlich sein, wenn wir Kurven uch in umgekehrter Richtung folgen können oder uch zwei Kurven verknüpfen können. Für eine Kurve : [, b] C definieren wir die Kurve : [, b] durch (t) = (b + t). 3 Felix Klein (849 bis 95) pflegte in seiner Vorlesung über Gruppentheorie folgende Geschichte seinen Zuhörern zum besten zu geben: Auf dem denkwürdigen Priser Mthemtikerkongreß im Jhre 9 wurde in einer schlichten Feierstunde ller bedeutenden Mthemtiker gedcht. U.. wurde der Gruppentheoretiker Cmille Jordn, Professor n der École Polytechnique, geboren 838, gestorben m , gennnt. D erhob sich in den letzten Reihen eine hgere Gestlt, um der Versmmlung zu verkünden, dß n der Angbe seines Todesdtums wenigstens die Jhreszhl nicht stimmen könne, d er noch m Leben sei. (us Johnnes Lehmnn Kurzweil durch Mthe, Urni-Verlg Leipzig 985)

6 . Mi 8 Woche 3, Frktle und Kurven Für zwei Kurven : [, b] C und ζ : [c, d] C mit (b) = ζ(c) definieren wir die Kurve + ζ : [, b c + d] durch { ( + ζ) (t) = (t) für t [, b], ζ(t b + c) für t (b, b c + d]. Für eine geschlossene Kurbe : [, b] C ist uch n : [, n (b ) + b] mit n N definiert (n) (t) = (t k (b )) für t [ + k (b ), b + k (b )]. 3.3 Kurvenintegrle Ds Integrl über eine komplexwertige Funktion ist definiert durch g(t) dt = Re (g(t)) dt + i Im (g(t)) dt, flls beide Integrle uf der rechten Seite definiert sind. Elementre Eigenschften für (Riemnn-)Integrle bleiben erhlten. Wenn g und g (Riemnn-)integrierbr sind über [, b], dnn ist uch c g + c g (Riemnn-)integrierbr über [, b] und es gilt (c g (t) + c g (t)) dt = c g (t) dt + c g (t)dt für c, c C. Auch der Huptstz der Integrlrechnung ist gültig. Wenn F : [, b] C eine stetig differenzierbre Funktion ist mit F (t) = f(t), dnn gilt f(t) dt = F (b) F (). Dieses Ergebnis folgt sofort, wenn mn sich überlegt dss, flls g differenzierbr ist, t (Re (g(t)) + i Im (g(t))) = Re (g (t)) + i Im (g (t)). Nchdem wir komplexwertige Integrle definiert hben, können wir den nächsten Schritt mchen und Kurvenintegrle in C definieren. Definition 3.7 Sei f : U C C eine stetige Funktion mit U offen und sei : [, b] C mit [, b] U eine stetig differenzierbre Kurve. Mn definiert f(z)dz := f (t) (t) dt. Bemerkung 3.7. Für eine stückweise differenzierbre Kurve ls in Definition 3.6 definiert mn n f(z)dz = f(z)dz. i= [i, i+ ]

7 3.3 Kurvenintegrle. Mi 8 3 Lemm 3.8 Sei g : [, b] C derrtig, dss t Re (g(t)) und t Im (g(t)) (Riemnn-) integrierbr sind, dnn ist uch t g(t) (Riemnn-) integrierbr und ußerdem gilt g(t) dt g(t) dt. Bemerkung 3.8. Wenn wir dieses Ergebnis uf ein Kurvenintegrl für : [, b] C nwenden, folgt f(z)dz f (t) (t) dt =: f(z) dz. Der letzte Ausdruck ist nur eine Abkürzung. Beweis. Ds Bsteln mit Unter- und Obersummen um zu zeigen, dss die (Riemnn- )integrierbrkeit von Re g und Im g die (Riemnn-)integrierbrkeit von g ergibt, werden wir nicht durchführen. Angenommen, dss die Integrle existieren, setzt mn ω = g(t) dt und bemerkt, dss Dnn gilt ω ωg(t) dt = ω g(t) dt ω = = Re ωg(t) dt = g(t) dt = ω R + {}. ωg(t) dt = b g(t) dt = ωg(t) dt = Re ( ωg(t)) dt ω g(t) dt = ω g(t) dt. Entweder gilt ω = oder mn drf durch ω dividieren. Beide Fälle liefern ds Ergebnis. Lemm 3.9 Sei f : U C C eine stetige Funktion mit U offen. Wenn : [, b] U C und ζ : [c, d] U C einfche gltte Kurven sind mit gleichem Bild, ds in gleicher Richtung durchlufen wird, dnn gilt f(z)dz = f(z)dz. Gleiches Bild in gleicher Richtung durchlufen heißt, es gib eine bijektive Abbildung s : [, b] [c, d] mit [, t] = ζ [c, s(t)] für lle t [, b]. Beweis. Weil, knn mn mit t l (t) := t (s) ds uf Bogenlänge umprmetrisieren und es gilt l (t) = (t) =. Für diese Prmetrisierung nch Bogenlänge ν : [, L] C gilt ν(s) = l (s) und L = l (b). Es folgt us der Substitutionsregel, dss f (t) (t) dt = = l(b) l () Ähnliches gilt uch für ζ. ( f l l(b) l () ζ (f ) ( l ) (s) ( l (s) ) ( l (s) ) ( ) l (s) ds = ) L (s) ds = f ν(s) ν (s) ds.

8 4. Mi 8 Woche 3, Frktle und Kurven Lemm 3. Sei U offen, F : U C C holomorph und sei F = f uf U. Wenn : [, b] U eine stückweise gltte Kurve ist, dnn gilt f(z)dz = F ((b)) F (()). Beweis. Wenn F komplex differenzierbr ist in (t) und reell differenzierbr in t, dnn ist F uch reell differenzierbr in t und es gilt (F ) (t) = (F ) (t) (t). Aus der Definition und dem Huptstz der Integrlrechnung folgt f(z)dz = und dmit ds Ergebnis. (f ) (t) (t) dt = = (F ) (b) (F ) () (F ) (t) (t) dt = Korollr 3. Sei U C offen und α, β U. Wenn f uf U C eine Stmmfunktion F besitzt, dnn gilt für jede Kurve, die α ls Anfngspunkt ht, β ls Endpunkt und die innerhlb von U verläuft, f(z)dz = F (β) F (α). Beispiel 3. Nehmen wir α, β C\ {}. Dnn gilt für jede Kurve : [, b] C\ {} mit () = α und (b) = β, dss z dz = α β. Auf C\ {} ht f(z) = z eine Stmmfunktion, nämlich F (z) = z. Beispiel 3.3 Setze : [, π] C mit (t) = e it und : [, 3π] C mit (t) = e it. Beide Kurven verbinden mit. Es gilt π z dz = π π (t) (t) dt = e it ieit dt = i dt = πi, 3π z dz = 3π 3π (t) (t) dt = e it ieit dt = i dt = 3πi. Angeblich ht z z keine Stmmfunktion uf einer Umgebung von [, 3π] = {z C; z = }.