1 Holomorphe Funktionen

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1 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 $Id: holo.tex,v.8 3/4/7 4:6:59 hk Exp $ $Id: cuchy.tex,v.3 3/4/7 5:59:7 hk Exp hk $ Holomorphe Funktionen.5 Konforme Abbildungen In diesem kurzen Abschnitt wollen wir eine weitere, eher geometrische, Interprettion holomorpher Funktionen besprechen. Wir orientieren uns dbei m Beispiel der Exponentilfunktion. In Stz htten wir eingesehen ds exp : C C\{} den Streifen R ( π, π) bijektiv uf die geschlitzte Ebene bbildet. Um die Exponentilfunktion besser zu verstehen stellen wir uns nun die Menge vor die entsteht indem im Streifen R [ π, π] die obere und untere Begrenzung miteinnder verklebt werden, uf diese Weise entsteht ein Zylinder und d die Exponentilfunktion uf den beiden Rndlinien von R [ π, π] dieselben Werte nnimmt können wir sie uns ls eine uf diesem Zylinder definierte Funktion denken. Die wgerechten Gerden Im z = const entsprechen dbei den Mntellinien des Zylinders und die Vertiklen Re z = const werden zu Kreisen. 6 4 Re=const Re=const Im=const Im=const Für jedes t R ist exp(t + iπ) = e t, lso werden uch die negtiven reellen Zhlen ls Werte ngenommen und wir können uns die Exponentilfunktion ls eine bijektive Abbildung von unserem Zylinders uf die punktierte Ebene C\{} denken. Um sich zu vernschulichen wie diese Bijektion funktioniert, denkt mn sich zunächst den oberen Deckel des Zylinders im Unendlichen zu einem Punkt zusmmengezogen, dbei entsteht ein Kegel dessen Spitze nicht zur Menge gehört, und dieser Kegel wird dnn zur punktierten Ebene ufgebogen. Die Wgerechten Im z = const entsprechen im Kegel weiterhin den Mntellinien und die Vertiklen sind weiterhin wgerechte Kreise. Beim 4-

2 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 Aufbiegen zur Ebene werden die Mntellinien dnn zu den vom Nullpunkt usgehenden Hlbgerden und die wgerechten Kreise werden zu Kreisen in der Ebene mit Mittelpunkt im Nullpunkt. Dieses Aufbiegen ist ttsächlich genu ds ws die Exponentilbbildung tut, ist c R, so ist für lle t R stets exp(t + ci) = e t exp(ic), d.h. die Menge exp(r + ic) ist die von Null usgehende Hlbgerde die zur x-achse den Winkel c ht, und ebenso ist für lle t R uch exp(c + it) = e c (cos t + i sin t), d.h. exp(c + ir) ist der Kreis mit Mittelpunkt Null und Rdius e c. Bechte ds die Bilder der Wgerechten und der Vertiklen im Zylinder, im Kegel und dnn uch in C\{} immer senkrecht ufeinnder stehen. Dies ist kein Zufll sondern eine llgemeine Eigenschft holomorpher Funktionen. Um genuer zu sgen ws hiermit gemeint ist, benötigen wir ein pr kleine Definitionen. Zunächst definieren wir den Winkel (z, w) zwischen zwei Vektoren z, w C\{} = R \{} durch die Formel z w cos (z, w) =. z w Hben wir weiter zwei differenzierbre Kurven : [, b] C, δ : [, b ] C mit, b,, b R, < b, < b und schneiden sich die beiden Kurven in einem Punkt p, lso p = (t) = δ(s) mit t [, b], s [, b ] und sind zusätzlich die beiden Tngentenvektoren (t) und δ (s) nicht Null, so sgen wir ds die beiden Kurven sich im Punkt p mit dem Winkel ( (t), δ (s)) schneiden. Sind jetzt weiter U C eine offene Menge, f : U R eine stetig differenzierbre Funktion mit det f (p) und verlufen die beiden Kurven, δ gnz in U, so schneiden sich die Bildkurven f und f δ in f(p) = f((t)) = f(δ(s)) mit den Tngentilvektoren (f ) (t) = f (p) (t) und (f δ) (s) = f (p)δ (s). Nun ist f (p) invertierbr und dmit sind uch diese beiden Vektoren von Null verschieden. Der Schnittwinkel der beiden Bildkurven ist dmit (f (p) (t), f (p)δ (s)). Wir nennen die Abbildung f jetzt eine konforme oder winkeltreue Abbildung, wenn sie Schnittwinkel erhält, wenn lso in der obigen Sitution immer (f (p) (t), f (p)δ (s)) = ( (t), δ (s)) gilt. D lle Vektoren ls Tngentilvektoren vorkommen gilt f ist konform Für jedes p U ist f (p) invertierbr und winkeltreu. Ob eine Abbildung konform ist können wir lso n ihren Ableitungen sehen, und dher ist es sinnvoll erst einml linere Abbildungen zu betrchten. Ws sind jetzt lso die 4-

3 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 winkeltreuen lineren Abbildungen? Eine invertierbre Mtrix T R ist winkeltreu wenn für lle u, v R \{} stets (T u, T v) = (u, v) lso T u T v T u T v = u v u v gilt. Um diese Bedingung besser uszuwerten, schreiben wir sie komplex. Sind z = x+iy und w = u + iv zwei komplexe Zhlen, so hben wir zw = (x+iy) (u iv) = xu+yv+i(yu xv), zw = (x iy) (u+iv) = xu+yv+i(xv yu), lso wird ds Sklrprodukt zu z w = zw + zw. Dmit ist unsere linere Abbildung T genu dnn winkeltreu wenn T zt w + T zt w T z T w = zw + zw z w für lle z, w C\{} gilt. D diese Bedingung noch immer ziemlich unübersichtlich ist, schreiben wir uch die linere Abbildung T in einer komplexen Form. Lemm.8: Sei T : C C eine über R linere Abbildung. Dnn existieren eindeutig bestimmte, b C mit T z = z + bz für lle z C. Beweis: Schreibe u := T () C und v := T (i) C. Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Seien lso, b C mit T z = z + bz für lle z C. Dnn sind insbesondere u = T () = + b = b + und v = T (i) = i bi = ( b)i, d.h. b = i v = iv und es folgen Dmit sind und b eindeutig ls b = u + iv und = u iv. = u iv und b = u + iv festgelegt. Um uch die Existenz einzusehen definieren wir, b C durch diese beiden Gleichungen. Sei z C und schreibe z = x + iy mit x, y R. Dnn hben wir z + bz = (u iv) (x + iy) + (u + iv) (x iy) = (xu + yv + yiu xiv + xu + yv yiu + xiv) = xu + yv = xt () + yt (i) = T (x + iy) = T z, 4-3

4 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 und somit hben, b die verlngte Eigenschft. Setzen wir jetzt unsere Überlegung zur Bestimmung winkeltreuer linerer Abbildungen fort, so schreiben wir T in der Form des Lemms ls T z = z + bz für lle z C, wobei, b C zwei komplexe Konstnten sind. Setzen wir diese Drstellung in die linke Seite der die Winkeltreue kennzeichnenden Formel ein, so wird für lle z, w C\{} T zt w + T zt w T z T w = (z + bz)(w + bw) + (z + bz)(w + bw) z + bz w + bw (zw + zw) + b (zw + zw) + bzw + bzw z + bz w + bw und dmit ist T genu dnn winkeltreu wenn = = ( + b ) z w + 4 Re(bzw) z + bz w + bw ( + b ) z w + 4 Re(bzw) z + bz w + bw = z w z w für lle z, w C\{} gilt. Ist z C\{} und setzen wir speziell w = iz, so ist z w = und wir erhlten die Bedingung Re(ibz ) = für lle z C\{}. Mit z = besgt dies Im(b) = und mit z = i ergibt sich uch Re(b) =, es muss lso b = sein, und dies bedeutet = oder b =. Umgekehrt impliziert = oder b = uch die Winkeltreue von T, d.h. insgesmt hben wir eingesehen { Es gibt ein C\{} mit T z = z für T ist winkeltreu lle z C oder T z = z für lle z C. Wir können dieses Ergebnis uch noch etws weiter interpretieren. Hierzu schreiben wir in der obigen Drstellung von T die Konstnte C\{} ls = u + iv. Wie bereits gesehen ist die Mtrix der lineren Abbildung T : C C; z z bezüglich der reellen Bsis, i von C dnn gegeben ls ( ) u v T =, v u und geometrisch ist dies die Kombintion der Drehung um ds Argument von und der Streckung um den Betrg von, eine sogennnte Drehstreckung. Als Determinnte von T ergibt sich det T = u + v >. Die ndere der beiden lineren Abbildungen, lso T : C C; z z, ht die Mtrix ( ) u v T = v u ( ) ( u v = v u und geometrisch ist dies zuerst eine Spiegelung n der x-achse gefolgt von einer Drehstreckung. Als Determinnte ergibt sich diesml det T = (u + v ) <. Die winkeltreuen lineren Abbildungen sind lso genu diejenigen die mn gleich sind, lso 4-4 ),

5 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 Kombintionen von Streckungen, Drehungen und eventuell noch einer Gerdenspiegelung. D die Ableitung einer holomorphen Funktion in jedem Punkt die Multipliktion mit einer komplexen Zhl ist, sind holomorphe Funktionen mit nullstellenfreier Ableitung dmit immer uch konforme Abbildungen. Es gibt ber uch ndere konforme Funktionen deren Ableitungen uch einen Spiegelungsnteil enthlten, zum Beispiel die komplexe Konjugtion. Um uch diesen Typ konformer Abbildungen zu erfssen, führt mn die sogennnten ntiholomorphen Funktionen ein. Definition.5 (Antiholomorphe Funktionen) Sei U C eine offene Menge. Eine Funktion f : U C heißt dnn ntiholomorph wenn die Funktion f : U C; z f(z) holomorph ist. Diese Bedingung können wir uch in Termen der Wirtinger-Ableitungen usdrücken, ist f : U C stetig reell differenzierbr so wissen wir bereits f z = f z. D mit f uch f stetig reell differenzierbr ist, ist f dmit genu dnn ntiholomorph wenn f stetig reell differenzierbr mit f/ z = ist, wenn f lso sozusgen nur von z bhängt. Die holomorphen und die ntiholomorphen Funktionen sind nun genu die konformen Abbildungen. Stz.9 (Bestimmung der konformen Abbildungen) Seien U C offen und zusmmenhängend und f : U C eine reell stetig differenzierbre Funktion mit det f (z) für lle z U. Dnn ist f genu dnn konform wenn f holomorph oder ntiholomorph ist. Beweis: = Sei z U. Dnn ist die Ableitung f (z) winkeltreu, und wie wir uns bereits überlegt gibt es dmit eine komplexe Zhl (z) C\{} so, dss entweder f (z)w = (z)w für lle w C oder f (z) = (z)w für lle w C gilt. Im ersten Fll ist dbei det f (z) > und im zweiten Fll hben wir det f (z) <. D die Funktion f ls stetig differenzierbr vorusgesetzt ist, ist die Ableitung f stetig und dmit ist die Determinnte det f : U R ebenflls stetig. Folglich sind die Mengen U := {z U det f (z) > } und U := {z U det f (z) < } beide offen, und d U zusmmenhängend ist und U = U U mit U U = gilt, ist entweder U = U oder U = U. Im Fll U = U gilt f (z)w = (z)w für jedes z U und lle w C, lso ist f nch Stz in jedem Punkt z U komplex differenzierbr und somit holomorph. Nun nehmen wir U = U n und betrchten die stetig reell differenzierbre Funktion g := f. Ist dnn z U = U, so folgt mit der Kettenregel II. 8.Stz 7 g (z)w = f (z)w = (z)w = (z)w, 4-5

6 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 d.h. g ist wieder nch Stz in jedem Punkt z U komplex differenzierbr und somit holomorph. Diese bedeutet ber gerde ds f ntiholomorph ist. = Zunächst sei f ls holomorph vorusgesetzt. Wir müssen zeigen, dss die reelle Ableitung f (z) für jedes z U winkeltreu ist. Sei lso z U und bezeichne C die komplexe Ableitung von f in z. Für lle w C ist dnn f (z)w = w und d f (z) invertierbr ist muss insbesondere gelten. Dmit ist f (z) für jedes z U winkeltreu und f ist eine konforme Abbildung. Nun nehmen wir n, dss f ntiholomorph ist ds lso g := f holomorph ist. Sei dnn wieder z U und bezeichne die komplexe Ableitung von g in z. Für jedes w C gilt dnn g (z)w = w und eine erneute Anwendung der Kettenregel uf f = g liefert f (z) = g (z)w = w für lle w C. D f (z) invertier ist, ist und f (z) winkeltreu. Also ist f uch in diesem Fll eine konforme Abbildung. Es ist in diesem Stz ttsächlich nötig die Menge U ls zusmmenhängend nzunehmen, sonst könnten wir U = U U disjunkt in zwei offene Teilmengen zerlegen und eine konforme Abbildung f : U C ist eventuell uf U holomorph ber uf U ntiholomorph..5.5 y Plot von sin z 3 x Konformer Plot des Sinus Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir noch zwei der möglichen grphischen Drstellungen holomorpher Funktionen erwähnen. Konkret wollen wir uns diese m Beispiel der komplexen Sinus Funktion nschuen. Die erste Möglichkeit ist es ds sogennnte nlytische Gebirge zu zeichnen, dies meint einfch den Grphen des Betrgs der Funktion. Wie dies für den Sinus ussieht ist oben links gezeigt, ds Tl entspricht dbei einer Nullstelle des Sinus. Die zweite Möglichkeit ist die konforme Drstellung. Hier werden die Bilder der wgerechten Gerden zu konstnten Imginärteil und der vertiklen Gerden zu konstnten Relteil gezeichnet, d holomorphe Funktionen winkelerhltend sind, stehen diese senkrecht ufeinnder. Für den Sinus ist dies oben rechts 4-6

7 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 gezeigt. Sei nämlich c R. Um zu sehen wie die wgerechten Gerden bgebildet werden, rechnen wir sin(t + ic) = sin t cos(ic) + cos t sin(ic) = cosh(c) sin t + i sinh(c) sin t, d.h. die wgerechten Gerden werden uf Ellipsen mit Hlbchsen der Länge cosh(c) und sinh(c) bgebildet. Für die vertiklen Gerden hben wir dgegen sin(c + it) = sin(c) cosh t + i sin(c) sinh t, diese werden lso uf Hyperbeläste bgebildet. Der Cuchysche Integrlstz Im ersten Kpitel hben wir die Elemente der Funktionentheorie bereitgestellt, lso den Begriff einer holomorphen Funktion eingeführt, komplexe Logrithmen, Potenzen und Wurzeln behndelt und die verschiedenen Grundfunktionen im Komplexen definiert. Dies sind die Grundobjekte von denen die Funktionentheorie hndeln wird. Zur Begründung der eigentlichen Theorie der holomorphen Funktionen gibt es verschiedene mögliche Angriffsrichtungen. Mn knn die konformen Abbildungen ls Strtpunkt verwenden, dies wird gelegentlich ls Riemnnsche Funktionentheorie bezeichnet, mn knn die Potenzreihen ls die zentrlen Objekte verwenden, der sogennnte Weierstrsssche Zugng, oder schließlich den Weg über die nun einzuführenden komplexen Kurvenintegrle gehen, dies ist dnn die Cuchysche Funktionentheorie. Komplexe Kurvenintegrle sind eine kleine Vrinte der im vorigen Semester in III. 7.3 behndelten vektoriellen Kurvenintegrle. Ttsächlich hängen die komplexen Kurvenintegrle und diese vektoriellen Kurvenintegrle eng miteinnder zusmmen und wir werden diesen Zusmmenhng benutzen um einige der Huptsätze über komplexe Kurvenintegrle zu beweisen. Wir beginnen mit einem Abschnitt in dem die komplexen Kurvenintegrle definiert und ihre Grundeigenschften bewiesen werden.. Komplexe Kurvenintegrle Bei einem komplexen Kurvenintegrl wird eine komplexwertige stetige Funktion f : U C definiert uf einer offenen Menge U C längs einer in U verlufenden Kurve integriert und ds Ergebnis ist eine komplexe Zhl. Die genue Definition erfolgt in zwei Schritten, zuerst wird eine uf einem Intervll definierte komplexwertige Funktion integriert und im zweiten Schritt wird die Prmetrisierung der Kurve eingesetzt um zum komplexen Kurvenintegrl zu kommen. Im ersten Schritt könnten wir uns uf stetige Integrnden beschränken, d etws nderes gr nicht vorkommen wird, d ber beweistechnisch keine grossen Unterschiede uftreten behndeln wir gleich llgemeine Riemnn-integrierbre Funktionen. 4-7

8 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 Definition. (Komplexe Integrle) Seien, b R mit < b und eine Funktion f : [, b] C gegeben. Dnn heißt f Riemnn-integrierbr wenn sowohl der Relteil Re f ls uch der Imginärteil Im f beide Riemnn-integrierbr sind. In diesem Fll definieren wir ds Integrl von f ls f(t) dt := Re f(t) dt + i Im f(t) dt. Wir schuen uns einml zwei kleine Beispiele n und beginnen mit dem Integrl π/ e it dt. Der Integrnd zerlegt sich hier für lle t R ls in Rel- und Imginärteil und somit wird π/ e it dt = π/ e it = cos t + i sin t cos t dt + i π/ sin t dt = + i. Ds zweite Beispiel ist schon etws komplizierter, hier berechnen wir ds Integrl dt t + i. Zerlegen wir den Integrnden in Rel- und Imginärteil, so wird für jedes t R t + i = t i t + = t t + t + i. Als Integrl ergibt sich dmit dt t + i = t t + dt i dt t + = ln(t + ) i rctn(t) = ln iπ 4. Auch für ds komplexe Integrl gelten die üblichen Grundeigenschften des Riemnn- Integrls. Lemm. (Grundeigenschften des komplexen Integrls) Seien, b R mit < b gegeben. Dnn gelten: () Sind f, g : [, b] C beide Riemnn-integrierbr so ist uch f + g : [, b] C Riemnn-integrierbr und es gilt (f(t) + g(t)) dt = f(t) dt + g(t) dt. 4-8

9 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 (b) Sind f : [, b] C Riemnn-integrierbr und z C ein komplexer Sklr, so ist uch die Funktion zf : [, b] C Riemnn-integrierbr mit zf(t) dt = z f(t) dt. (c) Sind f : [, b] C eine Funktion und c R mit < c < b, so ist f genu dnn Riemnn-integrierbr wenn die Einschränkungen f [, c] und f [c, b] beide Riemnn-integrierbr und in diesem Fll gilt f(t) dt = c f(t) dt + c f(t) dt. (d) Sind f : [, b] C stetig und F : [, b] C stetig differenzierbr mit F = f, so ist f : [, b] C uch Riemnn-integrierbr mit f(t) dt = F (b) F (). (e) Ist f : [, b] C Riemnn-integrierbr, so ist uch der Betrg f : [, b] R Riemnn-integrierbr und es gilt die Dreiecksungleichung f(t) dt f(t) dt. Beweis: () Dies ist klr indem wir die entsprechende reelle Eigenschft II..Lemm 5.() uf Rel- und Imginärteil von f nwenden. (b) Wir schreiben z = c + id mit c, d R und f = u + iv lso u = Re f und v = Im f. Für jedes t [, b] gilt dnn zf(t) = (c + id) (u(t) + iv(t)) = cu(t) dv(t) + i (cv(t) + du(t)), es sind lso Re(zf) = cu dv und Im(zf) = cv + du. Nch II..Lemm 5,b sind Rel- und Imginärteil von zf dmit beide Riemnn-integrierbr und es gelten Re(zf(t)) dt = c Im(zf(t)) dt = c u(t) dt d v(t) dt + d Dmit ist uch zf Riemnn-integrierbr und wir hben ( ) ( zf(t) dt = c u(t) dt d v(t) dt + i c ( = (c + id) u(t) dt + i 4-9 v(t) dt, u(t) dt. ) v(t) dt + d u(t) dt ) v(t) dt = z f(t) dt.

10 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 (c) Dies ist klr indem wir die entsprechende reelle Eigenschft II..Lemm 4.(c) uf Rel- und Imginärteil von f nwenden. (d) Dies ist klr indem wir den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung in der Form des II..Korollr uf Rel- und Imginärteil von f nwenden. (e) Wir zeigen zunächst, dss der Betrg f überhupt Riemnn-integrierbr ist. Sei ɛ > gegeben. D die beiden Funktionen u := Re f und v := Im f beide Riemnnintegrierbr sind, gibt es nch II..Lemm 3 Konstnten δ, δ > mit S(u; α) S(u; α) < ɛ für jede Zerlegung α von [, b] mit δ(α) < δ und S(v; α) S(v; α) < ɛ für jede Zerlegung α von [, b] mit δ(α) < δ. Wähle jetzt eine Zerlegung α = (t,..., t r ) von [, b] mit δ(α) < min{δ, δ }. Ist j r, so gilt für lle t, s [t j, t j ] stets f(t) f(s) f(t) f(s) u(t) u(s) + v(t) v(s) lso ist uch ( f ; [t j, t j ]) = sup t,s [t j,t j ] Mit III. 4.Lemm.(f) ergibt sich dmit S( f ; α) S( f ; α) = (u; [t j, t j ]) + (v; [t j, t j ]), f(t) f(s) (u; [tj, t j ]) + (v; [t j, t j ]). r ( f ; [t j, t j ]) (t j t j ) j= r (u; [t j, t j ]) (t j t j ) + j= r (v; [t j, t j ]) (t j t j ) j= = S(u; α) S(u; α) + S(v; α) S(v; α) < ɛ. Nch II..Lemm 3 ist f dmit eine Riemnn-integrierbre Funktion, und es verbleibt nur noch die Dreiecksungleichung einzusehen. Zu diesem Zweck wähle ein z C mit z = und z f(t) dt R. Dnn hben wir nch (b) f(t) dt = z f(t) dt = zf(t) dt, und d dies eine reelle Zhl ist folgt weiter ( ) f(t) dt = Re zf(t) dt = 4- Re(zf(t)) dt.

11 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 Für jedes t [, b] gilt nun Re(zf(t)) Re(zf(t)) zf(t) = z f(t) = f(t), und somit liefert II..Lemm 5.(c) schließlich f(t) dt = Re(zf(t)) dt Dmit hben wir uch die Dreiecksungleichung bewiesen. f(t) dt. Teil (d) dieses Lemms erlubt es uns uch die komplexen Integrle wie gewohnt mittels Stmmfunktionen zu berechnen, und dmit knn oftmls vermieden werden die Zerlegung in Rel- und Imginärteil wirklich durchzuführen. Um uns dieses Vorgehen einml nzuschuen, rechnen wir die beiden obigen Beispiele noch einml, diesml über die jeweiligen Stmmfunktionen. Die Rechnung im ersten Beispiel wird dnn zu π/ e it dt = i eit π/ = i i = + i. Für ds zweite Beispiel bechten wir ds für jedes t stets t + i C gilt, und somit wird d ln(t + i) = dt t + i, lso erhlten wir erneut dt t + i = ln(t + i) = ln( + i) ln(i) = ln + i π 4 iπ = ln iπ 4. Nch diesen Vorbereitungen können wir schließlich uch ds komplexe Kurvenintegrl definieren Definition. (Komplexe Kurvenintegrle) Seien U C offen, f : U C eine stetige Funktion und : [, b] U eine stückweise C -Kurve in U. Dnn heißt f(ζ) dζ := f((t)) (t) dt C ds komplexe Kurvenintegrl der Funktion f längs der Kurve. Meist ist us dem Kontext herus klr ds wir komplexe Kurvenintegrle betrchten und dnn lssen wir den Zustz komplex einfch weg. Im obigen Integrnden steht ntürlich für die Multipliktion komplexer Zhlen. Ist (t,..., t r ) eine C -Zerlegung von, so ist i := [t i, t i ] für jedes i r stetig differenzierbr und dmit sind Rel- und Imginärteil von r ti f(ζ) dζ = f( i (t)) i(t) dt t i i= 4-

12 Mthemtik für Physiker IV, SS 3 Mittwoch 7.4 jeweils Riemnn-Integrle stetiger Funktionen. Wir rechnen zunächst einige kleine Beispiele. Im ersten Beispiel verwenden wir ls Integrtionsweg ds Gerdenstück vom Nullpunkt zum Punkt + i, lso (t) = t + ti = ( + i)t für t. Die Ableitung von ist dnn konstnt (t) = + i für lle t. Integrieren wollen wir die Funktion f(z) = z und erhlten ζ dζ = ( + i) t dt = ( + i) t dt = (4i 3) = i 3. Im zweiten Beispiel verwenden wir für die Kurve einen Hlbkreis mit Rdius r > und Mittelpunkt, lso (t) = re it für t π. Die Ableitung ist (t) = ire it für lle t π und dmit wird wieder mit dem Integrnden f(z) = z π π ζ dζ = re it ire it dt = ir e it dt = ir π =. i eit Nehmen wir nstelle dessen für nur den Viertelkreis, schränken lso den Prmeter uf t π/ ein, so wird ζ dζ = r eit π/ = r (eiπ ) = r. Wir kommen zum dritten und wichtigsten Beispiel. Wir geben uns einen Punkt C und einen Exponenten n Z vor und betrchten die Funktion f(z) = (z ) n definiert für z C\{}. Weiter sei r > und bezeichne den Kreis mit Rdius r und Mittelpunkt, lso (t) = + re it für t π. Die Ableitung ist (t) = ire it für t π und somit π ( (ζ ) n dζ = ) π re it n ire it dt = ir n+ e i(n+)t dt. Nun können zwei verschiedene Fälle uftreten. Fll. Zunächst sei n, lso n +. Dnn hben wir d e πi(n+) = ist. Fll. Ist dgegen n =, so wird (ζ ) n dζ = rn+ n + ei(n+)t π = dζ π ζ = (ζ ) n dζ = i dt = πi. 4-