und mit dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Satz 9 folgt (f (x)g(x) + f(x)g (x)) dx := f(b) f(a) a

Transkript

1 $Id: integrl.te,v.59 08/04/7 :5:0 hk Ep $ Integrlrechnung. Die Integrtionsregeln Wir hben nun schon einige Integrle berechnet und insbesondere die Stmmfunktionen der verschiedenen Grundfunktionen bestimmt. Ds weitere Vorgehen zur Berechnung llgemeinerer Integrle ist gnz ähnlich wie es bei der Behndlung von Ableitungen im letzten Semester wr. Dort htten wir die Ableitungen der Grundfunktionen bestimmt und Rechenregeln für Ableitungen hergeleitet, lso die Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel und so weiter, die es uns erlubten die Ableitungen von us den Grundfunktionen zusmmengesetzten Funktionen zu berechnen. Für Integrle werden wir entsprechende Integrtionsregeln herleiten. Diese sind nicht gnz so vollständig wie diejenigen für Ableitungen und entsprechend ist die Berechnung von Integrlen etws komplizierter ls die von Ableitungen. In gewissen Sinne reichen uch die Regeln für Integrle völlig us, es gibt einen Algorithmus der zu einer durch Formeln gegebenen Funktion entscheiden knn ob uch die Stmmfunktion sich durch eplizite Formeln beschreiben läßt und in diesem Fll eine solche Formel bestimmt, den sogennnten Risch Algorithmus. Wenn mn so will ist die Berechnung von Stmmfunktionen lso ein triviles Problem, der Algorithmus ist ber leider so ufwändig ds er sich nicht vernünftig per Hnd durchführen läßt. Für Computer ist er kein Problem, und er ist in diversen Progrmmen implementiert. Kommen wir jetzt zu den ngekündigten Integrtionsregeln, es ist einml eine Regel für Produkte, die sogennnte prtielle Integrtion, und einml eine Regel für Hintereinnderusführungen, die sogennnte Substitutionsregel. Wir werden diese beiden Regeln us den entsprechenden Ableitungsregeln herleiten. Dies ist einfch und für uns völlig usreichend, es gibt ber uch ndere Zugänge die etws bessere Ergebnisse liefern. Wir beginnen mit der prtiellen Integrtion. Stz. Prtielle Integrtion) Seien I R ein Intervll und f, g : I R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Weiter seien, b I. Dnn gilt f )g) d = fb)gb) f)g) f)g ) d. Beweis: Nch der Produktregel für Ableitungen hben wir fg) = f g + fg, 6-

2 und mit dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Stz 9 folgt fb)gb) f)g) = fg) ) d = = Dmit ist der Stz vollständig bewiesen. f )g) + f)g )) d f )g) d + f)g ) d. D die Differenzen fb) f) in diesem Zusmmenhng so häufig uftuchen, führt mn für diese die Abkürzung b f := fb) f) ein. In der typischen Anwendung der prtiellen Integrtion hben Sie ein Integrl f)g) d zu berechnen, und suchen erst eine Stmmfunktion u) von f). Schreiben wir noch v := g, so hben wir u = f, und ds obige Integrl wird zu u v = u v b Welcher der beiden Fktoren ls u und welcher ls v verwendet wird, hängt von der speziellen Sitution b. Zum einen muss ds Integrl uv irgendwie einfcher ls ds ursprüngliche Integrl sein, und zum nderen müssen wir überhupt in der Lge sein, eine Stmmfunktion des ls u gewählten Fktors zu finden. Wenn wir wollen, können wir die Produktregel uch für unbestimmte Integrle, lso für Stmmfunktionen formulieren. Wählen wir irgendeinen Punkt I, so hben wir für jedes I stets uv. f t)gt) = f)g) f)g) ft)g t), und d f)g) nur eine Konstnte ist, können wir dies ls f )g) d = f)g) f)g ) d schreiben. Erinnern Sie sich hierzu drn, dss in der Nottion des unbestimmten Integrls ds für ds Funktionsrgument steht, lso uch wie hier ußerhlb des Integrls uftuchen knn. Nehmen wir ls ein Beispiel einml cos d 6-

3 Hier ist die Whl von u und v ziemlich nheliegend, durch Ableiten wird die Funktion zu und verschwindet somit, d.h. wir sollten wohl v) = verwenden. Für den nderen Fktor cos sehen wir die Stmmfunktion u) = sin, und rechnen somit cos d = sin sin d = sin + cos. Für die bestimmten Integrle wird diese Rechnung zu cos d = b sin b sin + cos b cos. Gelegentlich erfordert die Anwendung der prtiellen Integrtion ds wir den Integrnden etws umformen, um ihn überhupt ls Produkt zu schreiben. Ein einfches solches Beispiel ist die Stmmfunktion des Logrithmus ln d. Diese ist uns zwr schon beknnt, wir wollen sie ber noch einml mittels prtieller Integrtion berechnen. Hier schreiben wir ln = ln, nehmen ls Stmmfunktion der konstnten Funktion, und leiten ln zu / b. Dmit wird erneut ln d = ln d = ln. Wir wollen uns ein weiteres Beispiel nschuen bei dem nicht die offensichtliche Produktzerlegung verwendet wird, hierzu verwenden wir ds unbestimmte Integrl e d. Wollen wir den Fktor e ls v verwenden, so mcht die Ableitung e ) = e unser Integrl nur komplizierter. Wird e dgegen ls u verwendet so hben wir keine gute Formel für u. Unsere Berechnung der Ableitung von e ht uns dgegen eine Stmmfunktion von e gegeben, wir können lso die Zerlegung e = e versuchen. Erweitern wir noch mit so wird die entstehende Rechnung zu e d = d = e e e d = e = e e. Ein weiterer Typ der Anwendung der Produktregel wird durch ds folgende Beispiel dokumentiert, wir wollen e sin d rechnen. Diesml wollen wir dies für bestimmte Integrle vorführen e sin d = e b sin b e sin e cos d = e b sin b e sin e b cos b + e cos e sin d. 6-

4 Hier scheinen wir zunächst nichts gewonnen zu hben, wir sind j wieder bei dem Integrl ngelngt bei dem wir gestrtet sind. Wir können dies ber uch ls eine glücklicherweise sehr einfch zu lösende Gleichung für dieses Integrl nsehen, denn bringen wir die beiden Integrle uf eine Seite so wird e sin d = e b sin b e sin e b cos b + e cos und wir erhlten beziehungsweise e sin d = e b sin b cos b) + e cos sin ) ), e sin d = e sin cos ) für ds unbestimmte Integrl. Dmit hben wir die drei typischen Rechentechniken bei Anwendung der prtiellen Integrtion gesehen, nämlich:. Direktes Einsetzen, wie im Beispiel cos d.. Trickreiches Herstellen einer Produktform, wie in den Beispielen ln d und e d.. Herleiten einer Gleichung für ds gesuchte Integrl durch in der Regel mehrfche Anwendung der Produktregel wie im Beispiel e sin d. Wir kommen jetzt zur zweiten und vielleicht noch wichtigeren Integrtionsregel, die sogennnte Substitutionsregel, die mn us der Kettenregel gewinnen knn. Stz.4 Substitutionsregel) Seien I, J R zwei Intervlle, ϕ : J I eine stetig differenzierbre Funktion und f : I R eine stetige Funktion. Dnn gilt für lle, b J die Gleichung fϕ))ϕ ) d = ϕb) ϕ) f) d. Beweis: Sei F : I R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt F ϕ) = F ϕ) ϕ = f ϕ) ϕ, und der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung liefert fϕ))ϕ ) d = F ϕb)) F ϕ)) = ϕb) ϕ) f) d. Dbei wird der Huptstz zuerst uf F ϕ und dnn noch einml uf f selbst ngewn. Einige einfche Anwendungen sind e d = ) e d = 6-4 b e d = e e b,

5 oder cos e sin d = sin b sin e d = e sin b e sin. In diesen beiden Beispielen sieht mn direkt welche Funktion mn ls ϕ wählen sollte, d vor dem Eponentilterm im wesentlichen die Ableitung des Eponenten steht. Ein einfcher, ber besonders wichtiger, Spezilfll ist ds Umsklieren des Arguments, und dies meint ds die innere Funktion einfch ϕ) = + b mit, b R, 0 ist. Die Substitutionsregel erhält dnn die Form v u f + b) d = v u f + b) d = Für jedes α R\{0} erhlten wir dmit beispielsweise v+b u+b f) d. sin α d = α αb α sin d = cos α cos αb α und cos αt = sin αb sin α. α Für die unbestimmten Integrle schreibt sich dies ls sin α d = α cos α, cos α d = sin α. α Auch die bereits in der letzten Sitzung behndelte Regel f f = f / läßt sich ls eine Anwendung der Substitutionsregel interpretieren, und mit dieser htten wir beispielsweise sin cos d = sin gesehen. Alterntiv können wir dies uch über die trigonometrischen Additionstheoreme einsehen sin cos d = sin) d = 4 cos) = 4 + sin und über diesen Weg lssen sich uch die beiden nderen Produkte von Sinus und Cosinus integrieren + cos) cos d = d = + 4 sin) = + sin cos sowie sin d = cos ) d = cos d = sin cos. 6-5

6 Die typische Rechentechnik bei der Anwendung der Substitutionsregel verwendet formle Rechnungen mit Differentilen, die wir uns einml n einem Beispiel nschuen wollen. Wie in diesem Beispiel muss bei diesen Rechnungen zur Anwendung der Substitutionsregel zuerst der Integrnd uf die Form fϕ))ϕ ) gebrcht werden. Zu berechnen sei ds unbestimmte Integrl d mit einer reellen Konstnten > 0. Um den Integrnden in die Form der Substitutionsregel zu bringen, schreibt mn dnn = sin t, und mcht die folgende formle Rechnung d = cos t = d = cos t. Setzt mn dies in ds Integrl ein, so wird cos d = sin t cos t = t cos t = cos t = t + sin t cos t) = t + sin t sin t) = rcsin + ) ) = ) rcsin +. Ds Teilergebnis cos t = t+sin t cos t)/ htten wir dbei bereits oben eingesehen. Bevor wir uns klrmchen ws diese Rechnung bedeutet und wrum sie funktioniert, schuen wir erst einml nch, ob überhupt ds richtige Ergebnis herusgekommen ist. Hierzu rechnen wir die Ableitung rcsin ) + ) = + = + =, und sehen, dss wir ttsächlich eine Stmmfunktion von berechnet hben. Überlegen wir uns nun, wie die obige Rechnung gemeint ist. Wie schon früher erwähnt, ht ds Symbol d in einem Integrl eine rein formle Bedeutung, es legt zum einen fest ws die Integrtionsvrible ist, und zum nderen beendet es den Integrlterm. Insbesondere wird ds Pr... d syntktisch wie eine öffnende und eine schließende Klmmer behndelt. Es gibt kein reles Objekt d. In heuristischen Überlegungen wird d oftmls ls ein kleines Inkrement des Arguments gedeutet, und dieser Stndpunkt knn zur Erklärung und Vernschulichung gewisser Ttschen durchus von Nutzen sein, ber wir wollen dies nicht verwenden. Insbesondere sind die obigen Rechnungen mit d und nicht wirklich ernst gemeint. 6-6

7 Aber wrum führen Sie dnn zum korrekten Ergebnis? Die Antwort druf wird die Substitutionsregel wie in Stz 4 sein, dies ist ber nicht unmittelbr klr. Überlegen wir uns lso einml ws in der obigen Rechnung geschh. Zu berechnen wr ein Integrl f) d. Dnn wurde ls eine Funktion von t geschrieben, lso = ϕt). Die nschließende Rechnung mit d und wird dnn zu d = ϕ t) = d = ϕ t). Drufhin wurden = ϕt), d = ϕ t) in ds zu berechnende Integrl eingesetzt f) d = fϕt))ϕ t) und rechts tucht hier genu der Integrnd us Stz 4 uf. Um zu sehen ws es mit dem finlen Rückeinsetzen von für t uf sich ht, sollte mn noch die Integrtionsgrenzen bechten. Wenn wir f über [, b] integrieren muss die rechte Seite über [ϕ ), ϕ b)] integriert werden. Ds unbestimmte Integrl, lso die Stmmfunktion, entsteht indem die obere Integrtionsgrenze ls Funktionsrgument t behndelt wird, und hierfür ϕ ) eingesetzt wird, ber dies bedeutet gerde t ls Funktion in zu schreiben. Die gnze d, Rechnung ist lso wirklich nur eine Nottion für die Anwendung der Substitutionsregel Stz 4, und es wird in Whrheit gr nicht mit d und gerechnet. Trotzdem so zu tun mcht die Rechnung ber in der Regel einfcher, und dher sollte mn sich nicht scheuen diese Rechenmethode zu verwenden. Außerdem sieht mn hiern weshlb dies lles ls Substitutionsregel bezeichnet wird, es wird eben = ϕt) eingesetzt und die entstehende Längenverzerrung durch d = ϕ t) beschrieben. In dieser Sichtweise lssen sich uch die im bestimmten Fll zu verwendenden Integrtionsgrenzen leicht merken, im Integrl fϕt))ϕ t) läuft t von bis b, lso läuft = ϕt) von ϕ) bis ϕb) und wir erhlten ϕb) ϕ) Ein nderes Beispiel ist ds Integrl Hier setzen wir t = e n, und hben d + e. f) d. lso uch d = e = t = d = t d + e = t + t) 6-7

8 Um letzteres Integrl zu berechnen, verwenden wir jetzt noch die sogennnte Prtilbruchzerlegung tt + ) = t t +, und erhlten Wegen d + e = t + t = ln t ln + t) = ln + e ). ln + e )) = e + e = + e ist uch dieses Ergebnis wieder eine korrekte Stmmfunktion. Diese Rechnung unterscheidet sich etws von unserem Vorgehen im vorigen Beispiel, d wir diesml t ls Funktion von und nicht ls Funktion von t schreiben. Dies ist in Whrheit ber wieder genu dsselbe, nstelle von t = e könnten wir genusogut = ln t nsetzen. Insbesondere ist uch diese Rechentechnik wieder nur eine Schreibweise für die Substitutionsregel des Stz 4. Trotzdem gibt es hier eine kleine Feinheit zu bechten. Substituieren wir t = ψ), so muss die Funktion ψ umkehrbr sein, wir müssen j in der Lge sein dies zu = ϕt) umzuschreiben. Streng genommen müsste sogr ψ wieder stetig differenzierbr sein, und wir müssten ψ ) > 0 oder ψ ) < 0 für lle vorussetzen, ber diese Feinheit spielt in der Regel keine prktische Rolle. Wir wollen uns zwei Beispiele für die Probleme nschuen die entstehen wenn eine nicht umkehrbre Substitution t = ψ) durchgeführt wird. Versuchen wir im bestimmten Integrl d mit t = zu substituieren, so wird und somit d = 4 d = = t = d = t t = t/ 4 = 7 ber d = = > 7. Die fehlerhfte Substitution führt hier lso zu einem völlig flschen Ergebnis. Bei unbestimmten Integrlen tritt ds Problem meist nicht so deutlich zum Vorschein d mn sich die Rechnung uf ein Teilintervll beschränkt denken knn uf dem unsere Substitution t = ψ) umkehrbr ist. In solchen Fällen knn es dnn pssieren ds die berechnete Stmmfunktion nur uf einem zu kleinen Intervll definiert ist. Ein solches Beispiel tritt beim unbestimmten Integrl d + sin uf. Der Integrnd ist hier eine uf gnz R definierte und stetige Funktion, Stmmfunktionen sind lso ebenflls uf gnz R definiert und stetig differenzierbr. Wir verwenden 6-8

9 die Substitution t = tn lso d = + tn ) = + t = d = + t. Wegen sin = sin ) = sin cos = sin cos cos = tn + tn = t + t ist uch und es wird d + sin = + t + t = = 4 + sin = + t + t + t ) + t t + ) ) = rctn t + )), lso hben wir d + sin = rctn tn + )) =: f). Dies knn llerdings nicht die gnze Stmmfunktion sein, d der rechts stehende Term nur für R\Zπ definiert ist. Wegen lim π f) = π und lim π f) = π springt f in diesen Punkten und knn uch nicht einfch stetig ergänzt werden. Dieses Problem wird verurscht d t = tn/) nur etw für < π umkehrbr ist, und entsprechend ist f uch uf π, π) eine Stmmfunktion, ber nicht drüber hinus. Die Rechnung wr ber nicht gnz vergebens, usgehend vom bereits berechneten Teilstück knn mn eine uf gnz R definierte Stmmfunktion F finden. Bechte dzu ds unser Integrnd die Periode π ht, lso wird für jedes R uch F + π) F ) = π +π π + sin t = π + sin t gelten, und um ds rechts stehende Integrl zu berechnen reicht ds bisherige Ergebnis us, es ist π + sin t = lim π ft) lim ft) =. t π t π 6-9

10 Für lle R gilt lso F + π) = F ) + π. Dieses π/ ist genu der Sprung den unsere Funktion f bei den gnzzhligen Vielfchen von π ht. Die für R ls G) := F ) definierte Funktion G ht lso die Periode π. Dmit sollte sich die Funktion f) = rctn tn + )) ) zu einer uf gnz R stetig differenzierbren Funktion fortsetzen lssen. Um diese zu berechnen bechte zunächst ds für lle, y R mit, y, + y / π/ + Zπ stets tn + y) = sin + y) cos + y) = sin cos y + cos sin y cos cos y sin sin y = tn + tn y tn tn y gilt, dies ist ds sogennnte Additionstheorem des Tngens. Wenden wir dieses Additionstheorem für, y R mit rctn + rctn y < π/ uf rctn und rctn y n, so ergibt sich tnrctn + rctn y) = + y y ) + y lso rctn + rctn y = rctn. y Setzen wir dies in die Formel für f) / ein so wird für usreichend kleine R f) = rctn tn + )) rctn tn ) ) = tn + rctn tn + tn + tn = ) tn rctn + ) + tn + ) tn und erweitern wir den Bruch im Argument des Arcustngens mit cos /) so wird dieser zu ) tn + + tn + ) tn = ) sin cos + cos cos + sin + cos ) sin ) sin + +cos = = +cos + cos + sin ) sin + cos + sin ) cos + +. Für jedes R ist sin ) cos < < +, lso ist der Nenner des obigen Bruchs stets positiv. 6-0

11 g) = +sin f) = rctn.5 tn + ) ) Stmmfunktion von g 4 Die korrekte für lle R gültige Formel für unsere Stmmfunktion ist dmit d + sin = )) ) sin + cos + + rctn sin ) cos + +. Streng genommen hben wir ds noch nicht vollständig bewiesen d unsere Umformung zunächst nur in einem geeigneten Intervll um Null funktioniert. Dies ist ber unproblemtisch, dss die Formel ttsächlich für lle R eine Stmmfunktion von / + sin ) definiert, läßt sich jetzt einfch durch Ableiten der rechten Seite verifizieren, wir wollen hier ber druf verzichten diese Rechnung vorzuführen. Wir wollen noch zwei weitere Anmerkungen zur Substitutionsregel mchen. Der letzte Schritt bei der Berechnung eines unbestimmten Integrls mittels der Substitutionsregel ist ds Rücksubstituieren lso ds Ersetzen von t durch eine Funktion in. Bei der Berechnung bestimmter Integrle ist dieses Einsetzen ber nicht nötig. Zum Beispiel hben wir in unserem obigen Beispiel ln d 0 + e = tt + ) = ln t ) ln + t) 4 = ln ln + ln = ln. Die Änderung der Grenzen bei Substitution ist dbei wie in Stz 4 ngegeben, wenn von = 0 bis = ln läuft, so durchläuft t = e die Werte von t = e 0 = bis t = e ln =. 6-