ISAC. Computer Algebra für Brüche --- angepasst an Ausbildungszwecke

Transkript

1 ISAC Computer Alger für Brühe --- ngepsst n Ausildungszweke Stefn Krnel skrnel@ist.tugrz.t Institut für Mthemtik TU Grz Österreih July 0 00 Astrt Rehnen mit Brühen ist ein grundlegender Teil des Mthemtikunterrihts. Erklärungen zum Bruhrehnen eziehen sih dei huptsählih uf die eknnten Rehengesetze zum Kürzen zum Addieren usw. Computer Alger Systeme (CAS) verwenden jedoh zum 'Bruhrehnen' niht diese Gesetze sondern Verllgemeinerungen des euklidishen Algorithmus. Im multivriten Fll sind diese Algorithmen jenseits dessen ws im Mthemtikunterriht normlerweise gelehrt werden knn. Somit stehen die etlierten CAS - Algorithmen im Konflikt mit der Zielsetzung des ISAC - Projektes: Dieses zielt uf ein 'edutionl CAS' welhes in Shritten reitet die dem Benutzer uf Anfrge zur Erklärung mitgeteilt werden. Solhe Erklärungen sollen eim Bruhrehnen lso eknnte einfhe Rehengesetze etreffen. Der Vortrg präsentiert 'simuliertes Rewriting' ls Lösung des Prolems eim Bruhrehnen. Trotz Verwendung etlierter CAS Algorithmen werden dennoh die einzelnen Shritte die uf eknnte elementre Rehengesetze zurükzuführen sind ngeführt. Anforderungen seitens Interktivität n 'simuliertes Rewriting' werden diskutiert und die Implementierung dieser neu entwikelten Tehnik in ISAC demonstriert.

2 Rehnen mit Brühen Es git drei grundsätzlihe Opertionen die mn eim Bruhrehnen enötigt: Kürzen zw. uf einfhste Form ringen uf gleihen Nenner ringen zw. Brühe ddieren Ausmultiplizieren zw. uf einen Bruhstrih ringen Um einen Bruh uf seine einfhste Form zu ringen muss mn Zähler und Nenner durh den größten gemeinsmen Teiler (ggt) dividieren. ggt ( ) ggt ( ) Wenn mn zwei Brühe ddieren will so erehnet mn ds kleinste gemeinsme Vielfhe (kgv) der eiden Nenner. Durh Muliplizieren des Zählers mit geeigneten Fktoren knn mn die Summe der Brühe ls einen Bruh drstellen. d kgv ( d ) kgv ( d) d kgv ( d ) D ds kgv durh den ggt drgestellt werden knn siert die Bruhrehnung größtenteils uf der Berehnung des ggt. kgv ( ) ggt ( ) Ds uf einen Bruhstrih ringen erfolgt einfh durh Multiplizieren der rihtigen Fktoren nshließend sollte der Bruh wieder uf die einfhste Form gerht werden. d d Mn sieht dss die ggt-berehnung ds Shwierigste eim Bruhrehen ist. Wir etrhten im Folgenden ds Kürzen d es ls Demonstrtionseispiel usreihend ist. Grundsätzlihe Frgestellungen Wie rehnet mn mit Brühen per Hnd zw. wie stellt mn Bruhrehnen in der Shule vor? Ws mhen CAS mit Brühen? Wie knn mn diese Aspekte vereinigen?

3 Rehnen mit der Hnd Wenn mn Brühe per Hnd rehnet dnn geshieht ds meist durh intuitives Anwenden von eknnten Rehenregeln. D dies een meist intuitiv ist ist es für Shüler oft shwierig die Beispiele nhzuvollziehen. Außerdem muß der Shüler lle Regeln kennen um die Beispiele lösen zu können. Ds folgende Beispiel zeigt wie mn n ein einfhes Beispiel herngeht. (ls erfhrener Mthemtiker wird mn ntürlih einige Shritte üerspringen) Auf der linken Seite stehen die einzelnen Zwishenergenisse und uf der rehten Seite die ngewndten Regeln. ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 0 ) ( ) In der vorletzten Zeile sieht mn ds durh ds Kürzen gewisse Einshränkungen geliefert werden. Computer Alger Systeme Computer Alger Systeme (CAS) reiten etws nders. Sie verwenden Algorithmen die einem nderen oft viel kompleeren Weg folgen und niht solhe Zwishenshritte produzieren. Es werden komplizierte shwer verständlihe Algorithmen verwendet. Zum Berehnen vom ggt von zwei Polynomen knn mn eine Verllgemeinerung des reltiv einfhen euklid shen Algorithmus verwenden. Dies gilt er uh nur wenn mn unegrenzt große Zhlen zur Verfügung ht und mn sih uf univrite Polynome (d.h. uf Polynome mit einer Vrilen) eshränkt. Ahilfe shffen die sehr komplizierten modulren Algorithmen. (siehe [] und []) Eine ndere Methode um mit Brühen zu reiten ist mit Fktorisierung. Der Aufwnd zum Fktorisieren ist er sehr hoh. (Berlekmp-Algorithmus siehe []) 3

4 Vorteile von CAS: Rehnen sehr shnell Nhteil: liefern keine Zwishenergenisse Erklären niht wie sie uf ds Ergenis kommen Liefern KEINE Einshränkungen Als Beispiel wird hier eine Berehnung von Mthemti gezeigt: Es demonstriert die Vereinfhung des gleihen Bruhes die oen shon per Hnd durhgeführt wurde. Mn sieht ds Ergenis ist gleih er es werden keine Zwishenshritte die zum Nhvollziehen für Shüler und Studenten hilfreih wären ngezeigt. Außerdem wo ist die Restriktion 0? Drus folgt mn sollte sih niht lind uf ein CAS-System verlssen wenn mn niht weiß ws drin geshieht. Vereinigung von CAS und Intuition Ds ISAC-Projekt versuht die zwei vorhndenen Aspekte zu vereinen. Dies geshieht indem mn im ersten Shritt mit einem Algorithmus ds Ergenis erehnet und dnh mit Hilfe von Rewriting wieder uf ds Prolem zurükrehnet. Für unser Beispiel Kürzen heißt ds: Gegeen sei ein Bruh Bringe Bruh uf einen Bruhstrih durh Rewriting Berehne mit Hilfe des modulren ggt-algorithmus den gemeinsmen Fktor us Zähler und Nenner durh den gekürzt wird Bringe den neuen Bruh durh Rewriting wieder uf die lte Form Zeige die einzelnen Rewritingshritte in der rihtigen Reihenfolge n Kernstük des Bruhrehnens im ISAC-Projekt ist der ggt-algorithmus. D niht nur univrite Polynome vorrusgesetzt werden können und eine Verllgemeinerung des euklid shen Algorithmus uf multivrite Polynome niht möglih ist (weil der Rum der multivriten Polynome kein euklid sher Rum ist) wird der modulre Zugng zum Berehnen des ggts verwendet. Der Algorithmus löst ds Prolem indem er Polynome mit n Vrilen durh Einsetzen von Werten für die Huptvrile uf Polynome mit n- Vrilen reduziert is mn shließlih zum univriten Fll kommt. Der univrite Fll knn durh den verllgemeinerten euklid shen Algorithmus erehnet werden dei knn es er uh 4

5 zu Prolemen mit zu großen Werten kommen dher wird im ISAC-Projekt uh für den univriten Fll ein modulrer Zugng verwendet. Mit Hilfe des hinesishen Reststzes zw. durh Interpoltion werden die einzelnen Zwishenergenisse zum ggt zusmmengefügt. Der Algorithmus siert uf folgenden Lemm: Sei Ζ[... n ][ y][ ] und r Ζ so dss niht die Leitkoeffizienten der eiden Polynome teilt. Weiters sei ) deg(gd( ) Wenn niht die Resultnte von teilt dnn gilt gd( )) deg(gd()) ) gd(). Weitere Informtion zum Algorithmus entnehme mn den zwei Bühern [] und [] und den eiden Artikeln [3] und [4]. und Beispiel zum ISAC-Projekt: Berehnung des ggts üer den modulren ggt-algorithmus und der Zwishenshritte mittels Rewriting in umgekehrter Reihenfolge: Rehenshritt Rewriting - Regeln Modulrer ggt-algorithmus 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 * () ( ) () ( ) * 5

6 Umkehrung der Rewriting-Regeln Drstellung in der rihtigen Reihenfolge und Kürzen des ggts : Rehenshritt Rewriting - Regeln * * () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * flls 0 Zusmmenfssung Wie mn hier leiht erkennen knn ruht Computer-Alger ein sehr tiefgreifendes Wissen sowohl von Mthemtik ls uh von Didktik. D die Algorithmen immer llgemeiner werden ds heißt immer kompleere Aufgen lösen können gerten die einfhen Rehenwege wie sie in Shulen unterrihtet werden immer mehr in den Hintergrund. Dher stellt die Präsenttion von Berehnungen mit CAS so dss sie von jedermnn verstnden werden können eine esondere Herusforderung dr. Ds ISAC- Projekt ist der erste Shritt in diese neue Rihtung. Mn sollte sih immer ewusst sein ds CAS niht immer genu ds tun ws mn von ihnen erwrtet. Wenn mn sih nur uf CAS verlässt dnn ist mn immer der Gefhr usgesetzt dss niht ds gesmte Prolem gelöst wird und ds mn niht nhvollziehen knn o ds Ergenis stimmt. Ds ISAC Projekt versuht diesem Prolem entgegen zu wirken indem es den gnzen Rehenvorgng durh kleine verständlihe Rehenshritte drstellt. Für Shüler sollte so ein Tool geshffen werden mit dem sie eperimentell lernen können. Außerdem sollte im Unterriht uf die Gefhren ei der Verwendung von CAS hingewiesen werden. Für die Lösung von Mthemtishen Prolemen sollte mn sih vorher genu üerlegen welhes Tool mn verwendet zw. welhem Tool mn vertrut. 6

7 Litertur [] Frnz Winkler Polynomil lgorithms in omputer lger Springer Verlg 996 [] Attil Pethö Algerishe Algorithmen Vieweg Verlg 999 [3] W.S. Brown On Eulid s Algorithm nd the Computtion of Polynomil Gretest Common Divisors Journl of the ACM Volume 8 97 [4] W.S. Brown On Eulid s Algorithm nd the Theory of Suresulnts Journl of the ACM Volume