Klausur. Informatik 1 Wintersemester 2005/2006 Prof. Dr. Wolfgang May 4. April 2006, Uhr Bearbeitungszeit: 90 Minuten

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1 Klusur Informtik 1 Wintersemester 2005/2006 Prof. Dr. Wolfgng My 4. April 2006, Uhr Bereitungszeit: 90 Minuten Aufge erreichre erreichte Punkte Punkte 1 10 / / / (+8)* / 26(+8)* 5 12 / / 12 Gesmt: /90(+8)* Wir wünschen viel Erfolg! Bei der Klusur sind keine Hilfsmittel (Skripte, Tschenrechner etc.) erlut. Ppier wird gestellt. Benutzen Sie nur die usgeteilten, zusmmengehefteten Blätter für Ihre Antworten. Schreien Sie uf jedes Bltt oen Ihren Nmen und Ihre Mtrikelnummer. Schreien Sie mit luem/schwrzem Kugelschreier, Füller etc.; Bleistift ist nicht erlut. meine Note soll mit Mtrikelnummer so ld wie möglich uf der Vorlesungs-Weseite veröffentlicht werden. meine Note soll nicht veröffentlicht werden; ich erfhre sie dnn us Munopg/Wopg (zw. eim Prüfungsmt der Informtik). (zutreffendes itte nkreuzen) 1 von 12

2 Aufge 1 [Zhlendrstellung, Boolsche Audrücke] [10 Punkte] ) Addieren Sie die Zhlen 26 und 3 inär. [2 Punkte] ) Multiplizieren Sie die Zhlen 26 und 3 inär. [2 Punkte] c) Konvertieren Sie 136 in eine Hexdezimlzhl. [2 Punkte] d) Addieren Sie die eiden Hexdezimlzhlen 6B und 57 und wndeln Sie ds Ergenis in eine Dezimhlzhl um. [4 Punkte] Lösung: ) = = = ) = = = c) = = = d) = 6B = = C von 12

3 Aufge 2 [Grmmtik] [14 Punkte] ) Geen Sie eine Grmmtik in BNF für die Menge ller Plindrome us dem Alphet {, n (Plindrome sind Ausdrücke, die sowohl vorwärts ls uch rückwärts dssele Wort ergeen, z.b., ). [4 Punkte] ) Leiten Sie mit den Produktionsregeln Ihrer Grmmtik ds Wort us dem Strtsymol. [2 Punkte] c) Geen Sie einen deterministischen endlichen Automten n der lle Plindrome us dem Alphet {, mit einer Länge von mindestens 1 is mximl 4 Zeichen erkennt. [8 Punkte] Lösung: ) S = {S, T = {,, ɛ, N = {S, S := S S ɛ ) S S S S c) 3 von 12

4 Aufge 3 [Heps] [16 Punkte] Gegeen sei die Zhlenfolge 5, 10, 4, 7, 9, 17, 2, 6, 3, 18, 23, 16 ) Fügen Sie die Zhlen us der gegeenen Zhlenfolge ncheinnder in einen nfngs leeren Hep ein. Zur Erinnerung: ds kleinste Element efindet sich immer n der Wurzel. [6 Punkte] ) Erklären Sie kurz wie mn mit Hilfe eines Heps Zhlen sortiert (HepSort-Algorithmus). [5 Punkte] c) Führen Sie den HepSort-Algorithmus n oigem Hep durch, llerdings nicht komplett, sondern nur für die ersten 4 Zhlen. Achten Sie druf dss Ihr Vorgehen eim Lesen nchvollziehr ist. [5 Punkte] Lösung: ) Hep ls Arry (von oen nch unten und links nch rechts): 2,3,4,6,9,16,5,10,7,18,23,17 ) Wenn der Hep vollständig ufgeut ist, efindet sich ds kleinste Element in der Wurzel. Dieses Element entfernt mn und schreit es in ein Arry. An seine Stelle rückt nun ds letzte Element des Heps. Nch dem Einfügen wird sodnn die Hep- Eigenschft wieder hergestellt, indem ds neue Wurzelelement per Durchsickern n seine neue Position gercht wird. Beim Durchsickern vertuscht mn dei ds jeweilige Elter-Element mit dem kleineren der eiden Kind-Knoten. So verfährt mn, is der Hep vollständig gereitet ist. Ds Arry mit den herusgeschrieenen Wurzelelementen enthält die sortierte Folge in ufsteigender Reihenfolge. c) Oerstes Element entfernen und in ds Arry schreien: 2 Letztes Element (17) nch oen ziehen und Hep neu ufuen (durchsickern): 3,6,4,7,9,16,5,10,17,18,23 Oerstes Element entfernen und in ds Arry schreien: 2,3 Letztes Element (23) nch oen ziehen und Hep neu ufuen (durchsickern): 4,6,5,7,9,16,23,10,17,18 Oerstes Element entfernen und in ds Arry schreien: 2,3,4, Letztes Element (18) nch oen ziehen und Hep neu ufuen (durchsickern): 5,6,16,7,9,18,23,10,17 Oerstes Element entfernen und in ds Arry schreien: 2,3,4,5 Letztes Element (17) nch oen ziehen und Hep neu ufuen (durchsickern): 6,7,16,10,9,18,23,17 4 von 12

5 Aufge 4 [Jv] [26(+8*) Punkte] Gegeen sei folgende Klsse Chrs zur Verwltung von Zeichenketten (ls Arrys von chrs): pulic oolen contins(chrs other) pulic clss Chrs {{ pulic chr[] rry; pulic Chrs(chr[] ) { rry = ; pulic Chrs(String s) { rry = s.tochrarry(); pulic int getlength() { return rry.length; pulic int getfirstindex(chr c) { //... pulic oolen equls(oject other) { //... pulic oolen contins(chrs other) { //... pulic oolen continsscttered(chrs other) { //... Chrs exmple = new Chrs("c"); erzeugt zum Beispiel ein Ojekt, ds die Zeichenkette [,,, c,, ] der Länge 6 repräsentiert. Die Arry-Indizes lufen hierei von 0 is 5. 5 von 12

6 ) Ergänzen sie die Klsse um folgende Methoden: getfirstindex(chr c) liefert den Index des ersten Vorkommens (von links ngefngen) eines Zeichens in einer Zeichenkette. Mit oigem Beispiel: exmple.getfirstindex( ) soll den Wert 1 zurück liefern [4 Punkte] equls(oject other) vergleicht zwei Zeichenketten. Zwei Zeichenketten sind gleich wenn sie (1) gleich lng sind und (2) die Zeichen n jeder Stelle üereinstimmen. [8 Punkte] contins(chrs other) üerprüft o eine Zeichenkette eine zweite Zeichenkette other zusmmenhängend enthält. [,,, c,, ] enthält zum Beispiel [,, ] und [ c, ], er nicht [,, c ]. [7 Punkte] continsscttered(chrs other) üerprüft o eine Zeichenkette eine zweite Zeichenkette other uch unzusmmenhängend enthält. [,,, c,, ] enthält zum Beispiel zeichenweise verteilt [,, c ]. [7 Punkte] ) (nur Zustzpunkte) Geen sie für die Methoden getfirstindex() contins() continsscttered() die symptotische Lufzeit n, hängig von der Länge der Zeichenketten. [8* Punkte] 6 von 12

7 Lösung: ) pulic clss Chrs { pulic sttic void min(string[] rgs) { Chrs exmple = new Chrs("c"); System.out.println("getFirstIndex( ): " +exmple.getfirstindex( )); System.out.println("getFirstIndex( k ): " +exmple.getfirstindex( k )); System.out.println("c == c?: " +exmple.equls(exmple)); System.out.println("c == c?: " +exmple.equls(new Chrs("c"))); System.out.println("c == cp?: " +exmple.equls(new Chrs("cp"))); System.out.println("c contins c?: " +exmple.contins(new Chrs("c"))); System.out.println("c contins* c?: " +exmple.continsscttered(new Chrs("c"))); pulic chr[] rry; pulic Chrs(chr[] ) { rry = ; pulic Chrs(String s) { rry = s.tochrarry(); pulic int length() { return rry.length; pulic int getfirstindex(chr c) { int i=0; while(i<length()) { if(c==rry[i]) rek; i++; if(i == length()) return -1; return i; 7 von 12

8 pulic oolen equls(oject other) { if(!(other instnceof Chrs)) return flse; Chrs o = (Chrs) other; if(length()!= o.length()) return flse; oolen result = true; for(int i=0;i<length();i++) { if(rry[i]!=o.rry[i]) { result = flse; rek; return result; pulic oolen contins(chrs other) { if(other.length() > length()) return flse; oolen result = true; for(int i=0; i<=length()-other.length(); i++) { result = true; for(int j=0; j<other.length();j++) { if(rry[i+j]!= other.rry[j]) { result = flse; rek; if(result==true) rek; return result; pulic oolen continsscttered(chrs other) { if(other.length() > length()) return flse; int i=0; int j=0;oolen result = flse; for(i=0; i<length() && result==flse; i++) { if(rry[i] == other.rry[j]) { j++; if(j==other.length()) result = true; return result; 8 von 12

9 ) getfirstindex(): O(n) (2 Punkte*) contins(): O(n*m) (3 Punkte*) continsscttered(): O(n) (3 Punkte*) 9 von 12

10 Aufge 5 [Mster-Theorem] [12 Punkte] Betrchten Sie folgenden Algorithmus: pulic sttic int prity(int[] rry, int from, int to) { int result; if(from==to) result = rry[from]; else { int mid = (from+to) / 2; int left = prity(rry, from, mid); int right = prity(rry, mid+1, to); result = left + right - 2*left*right; return result; ) Vollziehen Sie den Aufruf int n = prity([1, 0, 1, 1], 0, 3) grfisch nch und erechnen Sie ds Ergenis. [4 Punkte] ) Stellen Sie eine Rekurrenzgleichung für oiges Code-Frgment uf. [4 Punkte] c) Berechnen Sie die symptotische Lufzeit mit Hilfe des Mstertheorems. [4 Punkte] Lösung: ) int n = prity([1,0,1,1],0,3); ==> mid = 1; ==> left = prity([1,0,1,1],0,1); ==> mid = 0; ==> left = prity([1,0,1,1],0,0); ==> return 1; ==> right = prity([1,0,1,1],1,1); ==> return 0; ==> return 1; ==> right = prity([1,0,1,1],2,3); ==> mid = 2; ==> left = prity([1,0,1,1],2,2); ==> return 1; ==> right = prity([1,0,1,1],3,3); ==> return 1; ==> return 0; ==> return 1; 10 von 12

11 ) Hier stellt sich erst die Frge nch dem Kostenmß. Vorschlg: Zuweisung = 1, lle rithmetisch und/oder ooleschen Opertionen = 1. Dmit ergit sich folgende Rekurrenzgleichung: T(1) = 1 (if-zweig) T(n) = 2 * T(n/2) + 3 (mid-berechnung) + 2 (left und right Zuw.) + 3 (result 1.) + 4 (result 2.) = 2 * T(n) c) Mit oiger Rekurrenzgleichung ergit sich = 2, = 2, k = 0. => = 2 > 1 = 2 0 = k. Ds entspricht dem 1. Fll. => T(n) = O(n log ) = O(n log 22 ) = O(n 1 ) = O(n). 11 von 12

12 Aufge 6 [Fioncci-Funktion] [12 Punkte] Gegeen sei die Fioncci-Funktion mit fi(0) := fi(1) := 1 fi(n + 1) := fi(n) + fi(n 1) n N, n > 1 ) Berechnen Sie f i(5). [3 Punkte] ) Wie lutet der größte gemeinsme Teiler (ggt) von fi(4) und fi(5)? [1 Punkt] c) Zwei ntürliche Zhlen x und y sind genu dnn teilerfremd, wenn der größte gemeinsme Teiler ggt(x, y) = 1 gilt. Beweisen Sie folgende Aussge mit Hilfe vollständiger Induktion: Zwei enchrte Fioncci Zhlen fi(n) und fi(n + 1) sind immer teilerfremd. Hinweis: k ist ein Teiler von x knn mn mthemtisch so ufschreien: i N k i = x (Flls k ein Teiler von x ist, dnn git es eine ntürliche Zhl i so dss x in die Fktoren k und i zerlegt werden knn). [8 Punkte] Lösung: ) fi(5) = fi(4)+fi(3) = fi(3)+fi(2)+fi(2)+fi(1) = fi(2)+fi(1)+fi(1)+ fi(0)+fi(1)+fi(0)+fi(1) = fi(1)+fi(0)+fi(1)+fi(1)+fi(0)+fi(1)+ fi(0) + fi(1) = 8 ) fi(5) = 8, fi(4) = 5 ggt(5, 4) = 1 fi(4) und fi(5) sind teilerfremd. c) Induktionsnfng: Die Aussge A2(1) ist richtig, d fi(1) = 1 und fi(2) = 2 teilerfremd sind. Induktionsvorussetzung: Sei die Aussge A2(n) ewiesen. Induktionsschritt: (A2(n) => A2(n + 1)) Widerspruchew. Wären fi(n + 1) und fi(n + 2) nicht teilerfremd, dnn gäe es eine ntürliche Zhl k > 1, so dss fi(n + 1) = k und fi(n + 2) = k mit, Element von n. D fi(n + 2) = fi(n) + fi(n + 1) nch Def. gilt, gälte dnn k = fi(n) + k, lso fi(n) = ( ) k. Dnn wären fi(n) und fi(n + 1) nicht teilerfremd, ws ein Widerspruch zur I.V. ist. 12 von 12