VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG. 1. Bemerkungen: Klammern von innen nach aussen auflösen; Punkt vor Strich a) =
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- Benjamin Siegel
- vor 6 Jahren
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1 Lösngen Montg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Bemerkngen: Klmmern von innen nh ssen flösen; Pnkt vor Strih nd 0. / /. π d Bemerkng z d Geht h ohne TR! Kürzen Nenner: nd Zähler: Prodkt. 0. : Somit ist d ] [ ] 9 [ ] [. Tipp: -m 0 0 m Lösng: 00'000 0'000m 0'000m '000m 0m m
2 Lösngen Montg --. d d d d [ d d] d r r r r [r r ] r [r r 0] r r d n n [n ] n n n e r r r r r r r r r r r r r r r. im Zähler sklmmern! d 0 0 Hier wrde verwendet 9 eginnen Sie mit dem einfheren Term, lso mit dem Zähler, nd lssen Sie sih dvon inspirieren für die Fktorisierng des Nenners Erweiterngsfktor: 9?? 9 Erweiterngsfktor:?? Erweiterngsfktor: 0. * Zeigen Sie: Für lle m ist m m m eine gnze Zhl. Hinweis: Klmmern Sie s! m m m m m m m m m m m m. Im Zähler steht ein Prodkt von drei feinnderfolgenden Zhlen Der Zähler ist drh nd teilr, lso h drh. Ahtng! Der letzte Shritt wr nr erlt weil nd teilerfremd sind d.h.: ggt,. Ein Gegeneispiel: ist drh nd teilr, er niht drh.
3 Lösngen Montg -- Blok. Brühe ddieren / strhieren Oder elegnter: Den zweiten Brh mit erweitern: d e Den zweiten Brh mit erweitern: f nsttt n dieser Stelle lles szmltiplizieren: klmmert mn lieer - vor nd rehnet so : ] [. Brühe mltiplizieren / dividieren n m n m m n n m : d d d d :. Vermishtes.Binomishe Formel!
4 Lösngen Montg : 0 : Doppelrühe Idee: Den Doppelrh mit erweitern -. Mhen Sie den Nenner wrzelfrei nd vereinfhen Sie geshiktes Erweitern Anwendng der. Bin. Formel im Nenner:
5 Lösngen Montg -- Weitere Lösngsvrinte: geshiktes Erweitern nd Anwendng der Binomishen. Formeln: }. Berehnen Sie: 9 { {
6 Lösngen Montg -- Blok. Ahtng: / / ist flsh! So drf niht gekürzt werden! Die folgenden zwei Rehenwege sind hingegen korrekt : oder esser: d e.. Idee: Es kommen lter er-potenzen vor. Mit Umformen nd Eponentenvergleih findet mn die Lösng: 0.
7 Lösngen Montg --. Znähst die sführlihe Lösng, Shritt für Shritt erehnet:. Ds gnze etws knpper:. Viele Wege führen zr korrekten Lösng zerst in den Klmmern vereinfhen:.. [ 9 ] vereinfhen [ 9 ] weiter vereinfhen [ ] : 9 smltiplizieren 0 zsmmenfssen :
8 Lösngen Montg smltiplizieren / kürzen 9 Die Klmmern sind notwendig! 0 zsmmenfssen 0 : d dies gilt nr solnge ist! Für ergit sih nd somit.. > führt zr whren Assge: - > - ; Somit gilt: ; Somit gilt: { ; ; } 9. Antwort: Es ht gleihviel Weisswein im ersten wie Rotwein im zweiten! Die folgende Lösngsvrinte stmmt von einem Assistenten. Besten Dnk n Peter Jnkovis.
9 Lösngen Montg -9-
10 Lösngen Montg -0- Blok. Lösen Sie die folgenden Gleihngen in der Grndmenge nd geen Sie jeweils die Definitionsmenge n. \ {0; -; } smltipl izieren zsmmenf ssen nd ordnen 0 L {} d Drh erweitern des Brhes f der rehten Seite erkennt mn den Hptnenner!
11 Lösngen Montg -- e f \ {; 9; -9; -}.
12 Lösngen Montg -- Ds Erweitern sämtliher Doppelrühe mit entshärft die Lge!.. Dmit der Brh eine gnze Zhl sein knn, mss der Zähler drh teilr sein, d.h., der Zähler mss gerdzhlig sein. Dmit der Zähler gerdzhlig sein knn, mss ngerdzhlig sein, weil ngerde ist die Smme zweier ngerden Zhlen ergit eine gerde Zhl. D siher gerdzhlig ist Vielfhes von, mss ngerdzhlig sein, sodss eine ngerde Zhl drstellt. D jede ngerde gnze Zhl qdriert ngerde ist ws leiht z eweisen ist, folgt, dss eine ngerde gnze Zhl sein mss.
13 Lösngen Montg --.. Es wird drf verzihtet, vor die Definitionsmengen z estimmen. Die Shlsskontrolle ist lso notwendig! 0 Isolieren der Wrzel Wrzel f die rehte Seite nehmen: Qdrieren ds " " vor der Wrzel wird somit z "" liefert: Nh flösen ergit eine qdrtishe Gleihng: 9 0 Fktorzerlegng m die Lösngen z estimmen: 9 0 ein Prodkt ist dnn 0, wenn einer der Fktoren 0 ist ; 9 Kontrolle: Für : 0 Niht o.k! Für 9 : 0 0 {-9} { 9 Qdrieren rehts Binomishe Formel nwenden! { 9 9 Zsmmenfssen nd isolieren der Wrzel: Nohmliges Qdrieren Liefert: Vereinfhen ergit die qdrtishe Gleihng: 0 0 sklmmern m die Lösngen z estimmen: 0 0 ein Prodkt ist dnn 0, wenn einer der Fktoren 0 ist ; 9 Kontrolle: 0! 9 Niht o.k.! {0} 0
14 Lösngen Montg -- Erinnert mn sih n die gene Definition einer Wrzel, rht mn hier niht weiter z rehnen. Der Wert einer Wrzel ist stets positiv! Somit gilt { }. d Qdrieren Nh flösen: 0 Kontrolle: 0 0 {0}. - 0; Sstittion: z : z z 0; z ; z ; Drs folgt: {; -; ; -} / - 0; Sstittion: z : /z z 0; z ; Drs folgt: {; -}., \ { ; -} smltiplizieren zsmmenfssen 0 Klmmernstz 0 ; {} gehört niht z! d qdrieren Binomishe Formel! "" 0 : qdrieren keine Bin. Formel! " " 9 ± ; {; -} Kontrolle drh einsetzen:
15 Lösngen Montg -- e smltiplizieren 0 Normlform herstellen { 0 Lösngsformel nwenden, ±, ± ± ± ± nd ; lso: {; }
Umstellen von Formeln und Gleichungen
Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG ( ) a) (4a 3b)(a + 2b)(5a + 6b) b) 1 x (1 x (1 x (1 x (1 x (1 x) ) ) ) ) b) ( m + 10) 5
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Blok Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeshltet!. Berehe Sie vo Hd: : 9 9. Berehe Sie vo Hd: / /. Zu welhe Zhleege ln,
5.6 Gleichsetzungsverfahren
.6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y
Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
1 Algebra. Addition und Subtraktion. Minuend. Differenz. Subtrahend. In einer Summe darf man die Summanden vertauschen. (Kommutativgesetz)
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 1 1 Alger Addition und Sutrktion In einer Summe drf mn die Summnden vertushen. (Kommuttivgesetz) + + Summnd Summ nd Beim ddieren drf mn die Summnden zu Teilsummen zusmmenfssen.
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6.1 Voremerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Oertionen. Sie heen sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG. 1. Berechnen Sie von Hand und Beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Block Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeschltet!. Bereche Sie vo Hd ud Bechte Sie dei die Reihefolge der Opertioe:
9 Vektorprodukt. Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen! Das ist allerdings nicht ganz einfach. Die Lösung lautet:
9 Vektorprodukt 9.1 Ds Vektorprodukt Gegeen seien zwei (komplnre) Vektoren und, die eine Eene ufspnnen. Suht mn einen Vektor n, der uf diese Eene senkreht steht, dnn muss n orthogonl zu und n orthogonl
A1 Bearbeite mit Derive folgende Ausdrücke!
Rechenregeln für ds Areiten mit Termen LP Nme: Dtm: Dieses Areitsltt soll Dir ds Areiten mit Termen näher ringen! Wie in der Mthemtik ülich git es ch hier estimmte Rechenregeln, mit denen mn zr Lösng gelngen
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7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
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Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
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Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
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