Grundlagen der Trigonometrie

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1 Grundlgen der Trigonometrie W. Kippels 24. Novemer 2013 Inhltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Die Definitionen Definitionen im Rechtwinkligen Dreieck Definitionen m Einheitskreis Definitionen für Sinus und Kosinus Definition des Tngens Funktionsgrphen der Winkelfunktionen Bogenmß Die Sinus-Funktion Die Kosinus-Funktion Die Tngens-Funktion Winkelfunktionen im Tschenrechner Sinusstz und Kosinusstz Der Sinusstz Der Kosinusstz Anwendungsufgen Berechnungen im Rechtwinkligen Dreieck Aufge 1: Aufge 2: Aufge 3: Aufge 4: Aufge 5: Aufge 6: Aufge 7: Aufge 8:

2 5.2 Berechnungen im elieigen Dreieck Aufge 1: Aufge 2: Aufge 3: Aufge 4: Aufge 5: Aufge 6: Aufge 7: Lösungen der Anwendungsufgen Lösungen der Berechnungsufgen im Rechtwinkligen Dreieck Aufge 1: Aufge 2: Aufge 3: Aufge 4: Aufge 5: Aufge 6: Aufge 7: Aufge 8: Lösungen der Berechnungsufgen im elieigen Dreieck Aufge 1: Aufge 2: Aufge 3: Aufge 4: Aufge 5: Aufge 6: Aufge 7:

3 1 Einleitung In der Geometrie efsst mn sich mit llerlei Zusmmenhängen diverser Figuren. Besonders wichtig sind dei die Dreiecke. Mn lernt unter nderem, wie mn Dreiecke konstruieren knn, wenn Seiten, Winkel oder ndere Dreiecks- Stücke eknnt sind. In der Trigonometrie geht es uch um Dreiecke. Ds sgt schon der Nme. Tri ist ds ltgriechische Wort für Drei und Gonos edeutet Winkel. Ein Geilde mit drei Winkeln nennt mn normlerweise Dreieck. Ds esondere in der Trigonometrie im Vergleich zur Geometrie liegt drin, dss hier nicht kostruiert, sondern erechnet wird. Dieses Dokument soll kein Lehruch ersetzen, ich möchte nur die wesentlichen Dinge kurz zusmmenfssen, um nschließend mit einigen Beispielen ds gnze nwendungsezogen verständlich zu mchen. 2 Die Definitionen Zunächst werden die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tngens im Rechtwinkligen Dreieck definiert, denn diese Definitionen sind reltiv einfch zu verstehen. Leider werden durch diese Definitionen nur Winkel im Bereich zwischen 0 und 90 erfsst. D es er uch größere und sogr negtive Winkel git, müssen diese Definitionen uf diese Winkelereiche erweitern. Dies geschieht dnn m Einheitskreis. 2.1 Definitionen im Rechtwinkligen Dreieck Gegeen ist ds Rechtwinklige Dreieck ABC. Der rechte Winkel liegt eim Punkt C. Die m Rechnen Winkel nliegenden Seiten nennt mn Ktheten, C die gegenüerliegende Seite Hypotenuse 1. Dnn git es noch den Winkel, mit dem die Winkelfunktionen definiert werden sollen. Er heißt hier ϕ. Zu diesem Winkel git es zwei verschiedene Ktheten. ϕ Die Ankthete liegt m Winkel ϕ n, sie A Hypotenuse B ist ein Schenkel dieses Winkels, die Gegenkthete liegt ihm gegenüer. Noch einml gnz deutlich, weil ds immer wieder flsch verstnden wird: Keine Kthete ist von ntur us Ankthete oder Gegenkthete, es kommt immer uf den etrchteten Winkel n! Von dem hier nicht ezeichneten Winkel eim Punkt B us würden Ankthete und Gegenkthete genu umgekehrt liegen. Mit dieser Plnskizze ergeen sich folgende Definitionen: Ankthete Gegenkthete 1 Eine Merkregel zur Rechtschreiung: Sowohl Kthete ls uch Hypotenuse schreit mn mit genu einem h. 3

4 sin ϕ = Gegenkthete Hypotenuse cos ϕ = Ankthete Hypotenuse tn ϕ = Gegenkthete Ankthete 2.2 Definitionen m Einheitskreis Nch der isherigen Definition im rechtwinkligen Dreieck können nur Winkel zwischen 0 und 90 für Winkelfunktionen zugelssen werden. Hier soll nun die Definition für elieige Winkel erweitert werden Definitionen für Sinus und Kosinus Neenstehend ist ein Einheitskreis drgestellt. Drunter versteht mn einen Kreis, dessen Rdius genu eine Längeneinheit misst. Dei spielt es keine Rolle, wie die Einheit genu heißt. Ds knn ein Zentimeter, ein Zoll, ein Meter oder uch eine Dumenreite des Zeichners sein völlig gleichgültig. Wichtig ist nur, dss in der gewählten Einheit die Rdiuslänge eine Längeneinheit ist. M ϕ cos ϕ A sin ϕ B Folgende Konstruktionseschreiung liegt nun der Definition der Sinus- und der Kosinusfunktion zugrunde: Der Punkt M ist der Mittelpunkt des Einheitskreises. Durch M wird eine wgerechte Gerde gezeichnet. Nun wird der gewünschte Winkel ϕ im Punkt M vom rechten Ast dieser Gerden in der mthemtisch positiven Dreh- Richtung eingetrgen. Unter der mthemtisch positiven Dreh-Richtung versteht mn eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. Der freie Schenkel dieses Winkels schneidet den Einheitskreis ei A. Von A us wird ein Lot uf die nfngs erwähnte Gerde gefällt, ds diese Gerde ei B schneidet. Die Länge der Strecke AB stellt den Sinuswert des Winkels dr. Die Länge der Strecke M B vom Kreis-Mittelpunkt M zum Fußpunkt des Lotes B stellt den Kosinuswert des Winkels dr. Diese Definition ist nun für jeden elieigen Winkel nwendr. Die Beschränkung uf den Bereich ist hiermit nicht mehr erforderlich. Sie ist jedoch nur dnn sinnvoll, wenn sie im Bereich zwischen 0 und 90 mit der Definition m Rechtwinkligen Dreieck üereinstimmt. Diese Üereinstimmung möchte ich zunächst für den Sinus eweisen. 4

5 Nch der Definition im Einheitskreis gilt: sin ϕ = Gegenkthete Hypotenuse Ds Dreieck M AB in der vorliegenden Plnskizze ist ein Rechtwinkliges Dreieck. Der Rechte Winkel liegt ei B. Dnn ist die Strecke MA die Hypotenuse. D diese Strecke gleichzeitig den Rdius des Einheitskreises drstellt, ht sie die Länge eine Längeneinheit. Die Gegenkthete ist die Strecke AB. Diese Strecke ist von der neuen Definition ls sin ϕ ezeichnet worden. Wir setzen diese Werte in die oige Gleichung ein: Wir sehen, dss die Definition stimmt. sin ϕ = Gegenkthete Hypotenuse = AB MA = sin ϕ = sin ϕ 1 Nch der gleichen Methode können wir uch die erweiterte Definition von cos ϕ uf die Üereinstimmung mit der lten Definition untersuchen. Ds knn jeder schnell für sich untersuchen, ich spre mir ds n dieser Stelle, der Beweis ist ttsächlich fst identisch. Nch der Konstruktionseschreiung knn mn nun prolemlos uch Winkel üer 90 oder uch negtive Winkel eintrgen, jedes Ml erhlten wir einen Sinus- und uch einen Kosinus- Wert. Eingetrgen ist neen ϕ 1 der Winkel ϕ 2 mit etw 143. Die Strecke, die sin ϕ 2 drstellt, zeigt nch oen. Ds edeutet, der Sinuswert ist positiv. Dgegen zeigt die Strecke, die cos ϕ 2 drstellt, nch links, lso entgegen der ls positiv definierten Richtung. Der Kosinuswert ist lso negtiv. sin ϕ2 ϕ 2 ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3 ϕ 3 ϕ 4 cos ϕ 4 sin ϕ1 cos ϕ 1 sin ϕ3 sin ϕ4 Eingezeichnet ist uch der Winkel ϕ Hier zeigt die Sinus-Linie nch unten. Der Sinuswert ist lso eenso, wie der Kosinuswert im Bereich negtiv. Und zum Schluss sei noch der Winkel ϕ 4 erwähnt, der negtiv ist. Dher wird er in der nderen Richtung eingetrgen, in der mthemtisch negtiven Drehrichtung. Wie mn leicht sieht, wäre dieser Winkel von etw 53 identisch mit einem Winkel von Weiterhin erkennt mn, dss hier der Sinuswert negtiv ist, der Kosinuswert jedoch positiv. 5

6 2.2.2 Definition des Tngens Auch für die Tngens-Funktion können wir eine Definition im Einheitskreis ngeen, die dnn nicht mehr uf den Bereich eschränkt ist. Ntürlich muss uch diese für Winkel im Bereich mit der Definition m Rechtwinkligen Dreieck üereinstimmen. Zur Plnskizze gehört folgende Kostruktionseschreiung: Der Punkt M ist der Mittelpunkt des Einheitskreises. Durch M wird eine wgerechte Gerde gezeichnet. Eine weitere Gerde wird m rechten Rd des Einheitskreises A im Punkt B ls senkrech- te Tngente eingezeichnet. Nun wird der gewünschte Winkel ϕ im Punkt M vom rechten Ast der wgerechten Gerden ϕ in der mthemtisch positiven Dreh- Richtung eingetrgen. Unter der mthemtisch M B positiven Dreh-Richtung ver- steht mn eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. Der freie Schenkel dieses Winkels schneidet die senkrechte Gerde im Punkt A. Flls der freie Schenkel von ϕ diese Gerde nicht schneidet, weil er nch links in den 2. oder 3. Qudrnten zeigt, muss er rückwärts üer M hinus verlängert werden. Dnn stellt die Länge der Strecke AB den Tngenswert dr. Wir wollen prüfen, o diese Definition mit der Definition im Rechtwinkligen Dreieck üereinstimmt. Dzu sehen wir uns ds Dreieck MAB n. der Rechte Winkel liegt ei B. Dnn ist ezogen uf den Winkel ϕ die Strecke MB die Ankthete und die Strecke AB die Gegenkthete. D die Strecke M B den Rdius des Einheitskreises drstellt, ht sie die Länge 1. Dnn ergit die Definition us dem Rechtwinkligen Dreieck: tn ϕ = AB MB = AB 1 Also ist ttsächlich die Strecke AB = tn ϕ. Wenn der der freie Schenkel von ϕ genu senkrecht nch oen oder unten zeigt, git es keinen Schnittpunkt. Dher ist der Tngens von Winkeln mit 90, 270, 90, 270, usw. nicht definiert. Wie die Plnskizze für diverse Winkel in den verschiedenen Bereichen ussieht, möchte ich hier nicht usführlich drstellen. Die Konstruktionseschreiung sollte eigentlich usreichen. tn ϕ 6

7 3 Funktionsgrphen der Winkelfunktionen 3.1 Bogenmß Die Winkelfunktionen lssen sich uch grphisch drstellen. Dei ist es notwendig, die Winkel im Bogenmß nzugeen. Ws er ist ds Bogenmß? Als vor weit üer 1000 Jhren ds Grdmß eingeführt wurde, g es noch keine Dezimlzhlen. Dher ht mn den Vollkreis willkürlich in 360 Aschnitte eingeteilt, weil die Zhl 360 durch sehr viele Zhlen teilr ist. Ds System ht sich ewährt, er es leit ein willkürliches System. Zeichnet mn einen Winkel in einen Kreis ein, dnn ist ds Verhältnis zwischen Bogenlänge und Rdius immer gleich, egl, welchen Rdius der Kreis ht. Ds knn mn nun nutzen, um drus eine Winkeldefinition zu erstellen. Wenn ein Winkel im Bogenmß gemessen wird, dnn verwendet mn ülicherweise kleine Lteinische Buchsten wie ds x ls Vrilennmen. (Die Griechischen Buchsten verwendet mn für Winkel im Grdmß.) Die Bogenlänge ezeichne ich mit und den Rdius mit r. Dmit kommt mn dnn für den Winkel x gemessen im Bogenmß zu folgender Definition: x r x = r Bei Bedrf knn mn ntürlich Winkel vom Grdmß ins Bogenmß umrechnen und umgekehrt. Ds geht so: Der Umfng eines Voll-Kreises eträgt eknntlich: U = 2 π r Berechnen wir dmit den zugehörigen Vollwinkel x (im Grdmß 360 ): x = U r = 2 π r = 2 π r Dmit kennen wir die Bezugsgleichung für die Umrechnung: 360 = 2 π 7

8 Beispielsweise mit Hilfe der Dreistzrechnung knn nun jeder elieige Winkel umgerechnet werden. Hier folgt eine Telle mit einigen wichtigen Winkeln. Dei sollte mn nicht uf dezimle Näherungen zurückgreifen. Besser (und genuer!) ist es, wenn mn die Winkel ls Vielfche von π drstellt. Grdmß: Bogenmß: 0 π 1 π 1 π 1 π 2 π 3 π 5 π π 3 π 2π Mn knn drus uch eine Formel mchen, die zur Umrechnung von Grdmß in Bogenmß (und umgekehrt) verwendet werden knn. In eiden umgestellten Vrinten sieht die Formel dnn so us: x = π 180 α und α = 180 π x Hierei steht x für den Winkel im Bogenmß und α für den Winkel im Grdmß. Bechte: An der Einheit knn mn erkennen, o ein Winkel im Grdmß oder im Bogenmß ngegeen ist. Ds Grdmß ht die Einheit, ds Bogenmß ist dimensionslos. Schreie ich eispielsweise: α = 5, dnn messe ich den Winkel im Bogenmß. Anderenflls müsste ich schreien: α = Die Sinus-Funktion Nchfolgend ist die Funktion f(x) = sin x drgestellt. Die x-achse ist im Bogenmß skliert. y 1 sin x π 2π x 1 Wenn mn sich diese Sinus-Kurve genu nsieht, dnn knn mn einige Symmetrieen erkennen. Beispielsweise ist die Kurve punktsymmetrisch zum Koordintenursprung. Ds edeutet, mn knn die Kurve um den Punkt P (0 0) einml um 180 (oder um den Winkel π im Bogenmß) drehen, so dss sie wieder mit sich selst zur Deckung kommt: sin( x) = sin x 8

9 Mn knn uch eine vertikle Spiegelchse ei 1 2 π (entsprechend 90 ) einzeichnen. (Diese ist grün gestrichelt im Funktionsdigrmm mit eingezeichnet.) Ds führt zu der Formel: sin x = sin( 1 2 π x) oder: sin ϕ = sin(90 ϕ) Noch einen weiteren Zusmmenhng knn mn us dem Digrmm erkennen. Nch einem Vollwinkel (2π oder entsprechend 360 ) wiederholt sich der Kurvenverluf. Ds ist uch direkt us der Plnskizze für die Definition im Einheitskreis ersichtlich. Addiert mn zu einem elieigen Winkel einen Vollwinkel, dnn mcht der freie Schenkel des Winkels eine volle Umdrehung im Einheitskreis und kommt genu uf der ursprünglichen Position wieder zum Liegen. 2 Nchfolgende Formel drückt diesen Zusmmenhng us: sin x = sin(x + 2z π) mit z Z Die Formel knn ntürlich uch mit dem Grdmß geschrieen werden: 3.3 Die Kosinus-Funktion sin ϕ = sin(ϕ + z 360 ) mit z Z Nchfolgend ist die Funktion f(x) = cos x drgestellt. Vergleicht mn diese Kurve mit der Sinus-Kurve, so sieht sie uf den ersten Blick genu so us, wie die Sinusfunktion, jedoch ist sie um π 2 (entsprechend 90 ) dgegen verschoen. 1 y cos x π 2π x 1 Hier hen wir keine Punktsymmetrie zum Koordintenursprung, sondern eine Spiegelsymmetrie zur y-achse: cos( x) = cos x 2 In diesem Zusmmenhng wird oft die Frge gestellt, o ds denn dnn üerhupt zwei verschiedene Winkel sind, o ds lso technisch sinnvoll zu unterscheiden ist. Die Antwort ist ein gnz klres: J! Wrum? Es ist eispielsweise sofort erkennr, dss ein Auto gnz nders fährt, wenn ich ds Lenkrd nur um 10 nsttt um 370 drehe. 9

10 Eine weitere Spiegelsymmetrie hen wir diesml nicht zu der Achse ei x = 1 π, sondern 2 ei x = π. (Diese ist grün gestrichelt im Funktionsdigrmm mit eingezeichnet.) Ds führt zu der Formel: cos x = cos(π x) oder: cos ϕ = cos(180 ϕ) Genuso wie für die Sinusfunktion gilt uch für die Kosinusfunktion die Periodizität: cos x = cos(x + 2z π) mit z Z Die Formel knn ntürlich uch mit dem Grdmß geschrieen werden: 3.4 Die Tngens-Funktion cos ϕ = cos(ϕ + z 360 ) mit z Z Nchfolgend ist die Funktion f(x) = tn x drgestellt. Vergleicht mn den Funktionsgrphen mit der Sinus- und der Kosinus-Funktion, erkennt mn keine Ähnlichkeiten. An den Stellen 1π, 3π, 5 π, usw. ist die Tngens-Funktion nicht definiert. Dort ht die Funktion Polstellen 3. 3 y 2 tn x 1 π 2π 3π x Ws genu Polstellen sind und wie sie ussehen, ist hier nchzulesen: 10

11 Vergleichen wir noch die Funktionsgrphen, ws die Periodizität ngeht. Sowohl ei der Sinus- ls uch ei der Kosinus-Funktion wiederholt sich der Verluf nch einem Winkel von jeweils 2π (entsprechend 360 ). Bei der Tngensfunktion findet die Wiederholung ereits nch einem Winkel von jeweils π (entsprechend 180 ) sttt. 3.5 Winkelfunktionen im Tschenrechner Unsere gängigen Tschenrechner eherrschen lle Winkelfunktionen. Die Bedienung ist jedoch leider Hersteller- und Typ-hängig etws unterschiedlich. Mn knn zu jedem elieigen Winkel den Sinus-, Kosinus- oder Tngenswert ermitteln und umgekehrt. Ws jedoch wichtig ist, wird leider recht oft vergessen: Zuerst muss der gewünschte Winkelmodus eingestellt werden! Die gängigen Tschenrechner eherrschen drei Mßsysteme für Winkel. Meist sind sie meriknisch eschriftet. Dnn gelten folgende Bedeutungen: Deg: Deg steht für Degree, ds englische Wort für Grd. Wird Deg usgewählt, dnn rechnet der Rechner sofort im Grdmß. An mnchen Tschenrechnern wird nicht Deg, sondern nur D ngezeigt. Rd: Rd ist die Akürzung von Rdient und steht für ds Bogenmß. Wird Rd usgewählt, dnn wird im Bogenmß gerechnet. An mnchen Tschenrechnern wird nicht Rd, sondern nur R ngezeigt. Grd: Auch wenn es so ussieht Grd steht nicht für ds deutsche Wort Grd. Hierei hndelt es sich um ds sogennnte Neugrd. Dieses Winkelmßsystem wird prktisch nur von den Lndvermessern verwendet. Mn ht den Vollkreis einfch in 400 gleiche Teile geteilt, dmit der Rechte Winkel 100 G ekommt. An mnchen Tschenrechnern wird nicht Grd, sondern nur G ngezeigt. Mn knn es nicht oft genug wiederholen: Erst dnn, wenn der richtige Winkelmodus eingestellt ist, ergeen lle Verwendungen der Winkelfunktionen sinnvolle Werte! Die Tste (oder der Schlter) zum Umstellen des Winkelmodus ist meist mit DRG ezeichnet. Es git er uch Rechner, ei denen ds nders gemcht wird. Hier hilft die (hoffentlich nicht gleich weggeworfene) Bedienungsnleitung weiter, uch wenn es in weiten Schülerkreisen ls uncool gilt, dort hineinzusehen. Bei der Einge git es zwei unterschiedliche Eingerten, je nch Firmenphilosophie des Rechnerherstellers. Die ältere Methode erwrtet erst den Zhlenwert und dnch die Tste mit der Winkelfunktion. Zunehmend wird die jedoch zweite Methode verwendet, die sich n die Schreiweise in der Mthemtik nlehnt. Hier wird zuerst die Funktionstste etätigt und dnch erst die Zhl eingegeen. Zum Aschluss der Zhl muss dnn noch die Tste = etätigt oder eine geöffnete Klmmer geschlossen werden. Welche Methode der eigene Rechner verwendet, zeigt ein Blick in die Bedienungsnleitung. Notflls muss mn es usproieren. Hier noch einml die Gegenüerstellung der eiden 11

12 Methoden n einem Beispiel. Gesucht ist: cos 60. Methode 1: 60 cos Methode 2: cos 60 = In eiden Fällen ergit sich der Wert cos 60 =0,5 Erhält mn sttt dessen den Wert 0, , dnn ist der Rechner uf ds Bogenmß eingestellt, ei 0, steht er uf Neugrd. Benötigt mn den zu einem Funktionswert zugehörigen Winkel, dnn enötigt mn die Umkehrfunktion der jeweiligen Winkelfunktion. Mn erhält diese je nch Rechnertyp entweder, indem mn die Tste Inv vor der Tste sin, cos oder tn drückt, oder ls Zweitfunktion ei der jeweiligen Tste. In letzterem Fll muss mn die Tste 2 nd oder Shift drücken. Die Winkelfunktionststen sind dnn meist mit sin 1, cos 1 tn 1 ls Zweitfunktion eschriftet. Wenn ich eispielsweise wissen möchte, welcher Winkel zu einem Sinus-Wert von 0,5 gehört, ergit sich je nch Rechner-Philosophie folgende Tstenfolge: Methode 1: 0,5 sin 1 oder 0,5 Inv sin Methode 2: sin 1 0,5 = oder Inv sin 0,5 = Als Ergenis kommt im Grdmß 30 oder im Bogenmß 0, zw. 33, G in Neugrd herus, je nchdem, welches Winkelmßsystem eingestellt ist. und 12

13 4 Sinusstz und Kosinusstz Will mn im nicht-rechtwinkligen Dreieck Berechnungen mit Winkeln und Dreieckseiten vornehmen, dnn kommt mn nicht mehr mit den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck oder im Einheitskreis us. Für diese Zwecke knn mn den Sinusstz und den Kosinusstz verwenden. Beide Lehrsätze werden (ohne Beweis) im folgenden drgestellt. 4.1 Der Sinusstz Der Sinusstz esgt: In einem elieigen Dreieck ist ds Verhältnis der Sinuswerte zweier Winkel genu so groß, wie ds Verhältnis der gegenüerliegenden Seiten. Dies knn mn uch durch Formeln usdrücken, wenn mn sich uf die Beschriftung in der oen drgestellten Plnskizze ezieht. sin α sin β = Alle drei Formeln sind gleichwertig. sin α sin γ = c A α sin β sin γ = c Achtung! Der Sinusstz lässt sich nur dnn zu Berechnungen verwenden, wenn mindestens ein Winkel sowie die diesem Winkel gegenüerliegende Seite eknnt ist! 4.2 Der Kosinusstz Sind die oen ngegeenen Bedingungen für den Sinusstz nicht gegeen, dnn knn der Kosinusstz weiter helfen. Er wird jedoch nicht gnz so gern enutzt, wie der Sinusstz, weil er etws komplizierter ist. Der Kosinusstz lutet: Ds Qudrt einer Seite ist gleich der Summe der Qudrte der eiden nderen Seiten vermindert um ds doppelte Produkt dieser Seiten, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Auch den Kosinusstz knn mn mit einer Formel usdrücken. Bezogen uf die oige Plnskizze ergeen sich drei Formen: 2 = 2 + c 2 2 c cos α c 2 = cos γ 2 = 2 + c 2 2 c cos β Hierei ist stets zu echten, dss der Winkel zwischen den Dreieck-Seiten uf der rechten Seite des Gleichheitszeichens liegt! c γ C β B 13

14 5 Anwendungsufgen 5.1 Berechnungen im Rechtwinkligen Dreieck Aufge 1: In neenstehenden Rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α ls rechtem Winkel ist eknnt: β = 30 c = 5 cm C γ Berechnen Sie lle nicht ngegeenen Winkel und Seiten des Dreiecks! A c β B Aufge 2: In neenstehenden Rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α ls rechtem Winkel ist eknnt: γ = 65 = 8 cm C γ Berechnen Sie lle nicht ngegeenen Winkel und Seiten des Dreiecks! A c β B Aufge 3: In neenstehenden Rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α ls rechtem Winkel ist eknnt: = 5 cm c = 12 cm C γ Berechnen Sie lle nicht ngegeenen Winkel und Seiten des Dreiecks! A c β B Aufge 4: In neenstehenden Rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α ls rechtem Winkel ist eknnt: = 17 cm = 8 cm C γ Berechnen Sie lle nicht ngegeenen Winkel und Seiten des Dreiecks! A c β B 14

15 5.1.5 Aufge 5: Ein Turm von 40 m Höhe wirft einen 67 m lngen Schtten. Um wieviele Winkelgrde steht die Sonne üer dem Horizont? Aufge 6: Eine Leiter soll nch einer gängigen Sicherheitsregel mit einem Anstellwinkel von etw 75 n eine senktechte Huswnd ngelehnt werden. ) Wie weit von der Huswnd entfernt muss dzu die Leiter ufgestellt werden, wenn sie 6, 00 m lng ist? ) Wie hoch reicht die Leiter? Aufge 7: Der Rdius der Erde eträgt km. Wie weit knn mn von einem 30 m hohen Leuchtturm üer ds Meer licken? Aufge 8: Ein 20 m hoher Mst wird mit vier Aspnnseilen n seiner Spitze gesichert. Welcher Winkel ergit sich zwischen zwei gegenüerliegenden Seilen, wenn lle Seile 22 m lng sind? 5.2 Berechnungen im elieigen Dreieck Aufge 1: Zwei Metllstreen sind wie neenstehend drgestellt n einer Wnd efestigt. Sie ilden miteinnder einen Winkel von ϕ = 25. Ihre Längen etrgen l 1 = 3 m und l 2 = 4 m. ) Welchen Astnd hen die Befestigungspunkte A und B voneinnder? B l 1 l 2 ϕ S ) Welchen Astnd ht die Verindungsstelle S der Streen von der Wnd? A 15

16 5.2.2 Aufge 2: Zwei Leuchttürme L 1 und L 2 hen voneinnder einen Astnd von = 13 km. Ihre Verindungslinie ist gegen Norden um einen Winkel von δ = 105 geneigt. Am Punkt S efindet sich ein Schiffer mit seinem Boot. Zur Positionsestimmung misst er die Sehwinkel α = 30 und β = 70 gegenüer der Nordrichtung. Wie groß ist seine Entfernung e 1 zum Leuchtturm L 1 und seine Entfernung e 2 zum Leuchtturm L 2? S Norden δ L 1 L 2 α β e 1 e Aufge 3: Ein Dreieck ht die Seitenlängen: = 12 cm = 5 cm c = 13 cm Bestimmen Sie die Winkel α, β und γ! A α c C γ β B Aufge 4: Im Dreieck sind folgende Größen gegeen: = 10, 5 cm = 3, 8 cm γ = 110 Bestimmen Sie die Winkel α und β sowie die Seite c! A α c C γ β B Aufge 5: Vom Ufer eines Bergsees us gesehen spiegelt sich ein Berg im Wsser. Von dem 3 m üer dem Wsserspiegel gelegenen Stndort des Betrchters us erscheint der Berggipfel unter einem Erheungswinkel von α = 16, 4 ; ds Spiegelild im Wsser wird unter einem Neigungswinkel von β = 17, 1 gesehen 4. Wie hoch liegt der Berggipfel üer dem Wsserspiegel? 4 Erheungswinkel und Neigungswinkel werden gegenüer der Horizontlen nch oen zw. nch unten gemessen. 16

17 5.2.6 Aufge 6: Im Dreieck sind folgende Größen gegeen: α = 30 = 15 cm c = 18 cm Bestimmen Sie die Winkel β und γ sowie die Seite! A α c C γ β B Aufge 7: Auf der Spitze eines Turmes steht eine 7 Meter lnge Stntenne. Ds oere Ende erscheint dem Betrchter unter einem Erheungswinkel von α = 55, 3, ds untere Ende unter einem Erheungswinkel von β = 51, 3. Die Augenhöhe des Betrchters efindet sich ei eiden Messungen 1, 5 m höher, ls der Fußpunkt des Turmes. Wie hoch ist der Turm (ohne Antenne) und wie weit ist der Betrchter vom Turm entfernt? (Mit Entfernung ist dei der Astnd des Betrchters von der Mittllinie des Turmes in der Verlängerung des Antennenstes gemeint.) α β 17

18 (Weitere Aufgen folgen später.) 18

19 6 Lösungen der Anwendungsufgen 6.1 Lösungen der Berechnungsufgen im Rechtwinkligen Dreieck Aufge 1: geg: ges: Lös: β = 30 c = 5 cm cos β = c = c cos β = 5 cm cos 30 5, 774 cm cos β tn β = c c tn β = = 5 cm tn 30 2, 887 cm c γ = 90 β = = 60 Ergenisse: 5, 774 cm 2, 887 cm γ = Aufge 2: geg: γ = 65 ges: = 8 cm Lös: cos γ = = cos γ = 8 cm cos 65 18, 93 cm cos γ tn γ = c tn γ = c c = 8 cm tn 65 c 17, 16 cm β = 90 γ = = 25 Ergenisse: 18, 93 cm c 17, 16 cm β = 25 19

20 6.1.3 Aufge 3: geg: = 5 cm ges: c = 12 cm Lös: 2 = 2 + c 2 = 2 + c 2 = (5 cm) 2 + (12 cm) 2 = 13 cm tn β = c β = rctn c β = rctn 5 cm 12 cm β 22, 62 tn γ = c γ = rctn c 12 cm γ = rctn 5 cm γ 67, 38 Ergenisse: = 13 cm β 22, 62 γ 67, Aufge 4: geg: ges: Lös: = 17 cm = 8 cm 2 + c 2 = 2 2 c 2 = 2 2 c = 2 2 c = (17 cm) 2 (8 cm) 2 c = 15 cm sin β = β = rcsin β = rcsin 8 cm 17 cm β 28, 07 20

21 cos γ = γ = rccos γ = rccos 8 cm 17 cm γ 61, 93 Ergenisse: c = 15 cm β 28, 07 γ 61, Aufge 5: Zur Berechnung der Lösung lege ich folgende Bezeichnungen fest: Turmhöhe : h Schttenlänge: s Erheungswinkel: ϕ Mit diesen Bezeichnungen knn der Winkel sofort üer die Definition der Tngensfunktion erechnet werden: h s ϕ tn ϕ = h s ϕ = rctn h s ϕ = rctn 40 m 67 m ϕ 30, 84 Ergenis: Die Sonne steht 30, 84 üer dem Horizont. 21

22 6.1.6 Aufge 6: Zur Berechnung der Lösung lege ich folgende Bezeichnungen fest: Leiterlänge : l Astnd von Wnd: erreichre Höhe: h Anstellwinkel: ϕ ) Mit diesen Bezeichnungen knn die Definition der Cosinusfunktion zur Berechnung des Astndes verwendet werden: l h ϕ = cos ϕ l = l cos ϕ l = 6, 00 m cos 75 1, 553 m ) Für die Höhe knn die Definition der Sinusfunktion verwendet werden: h = sin ϕ l h = l sin ϕ l h = 6, 00 m sin 75 h 5, 796 m Ergenisse: Die Leiter muss 1, 553 m von der Wnd entfernt ufgestellt werden. Die Leiter reicht is in eine Höhe von 5, 796 m. 22

23 6.1.7 Aufge 7: Neenstehend ist (nicht mßstälich!) ein Ausschnitt der Erde mit dem Leuchtturm drgestellt. M ist der Erdmittelpunkt. Die Höhe des Leuchtturmes ist mit h und der Erdrdius mit r ezeichnet. Mit eingezeichnet ist der Seh-Strhl von der Leuchtturmspitze, der die Meeresoerfläche im Punkt B ls Tngente erührt. Seine Länge von der Leuchtturmspitze is zum Berührpunkt uf der Meeresoerfläche ist die mögliche Sichtweite s. h r s r B Zur Berechnung der Sichtweite reicht der Stz des Pythgors us. Eine Verwendung von Winkelfunktionen ist nicht erforderlich. Hierei ist die Summe us r und h die Hypotenuse, r und M s sind die Ktheten, denn der Rechte Winkel liegt im Berührpunkt B des Seh-Strhls. r 2 + s 2 = (r + h) 2 r 2 s 2 = (r + h) 2 r 2 s = (r + h) 2 r 2 s = r 2 + 2rh + h 2 r 2 s = 2rh + h 2 s = km 0, 03 km + (0, 03 km) 2 s 19, 54 km Ergenis: Vom Leuchtturm us knn mn 19, 54 km weit sehen. 23

24 6.1.8 Aufge 8: Neenstehend ist der Mst mit zwei gegenüerliegenden Aspnnseilen drgestellt. Die Msthöhe ist mit h ezeichnet und die Längen der Aspnnseile mit l. Mit ϕ ist der gesuchte Winkel zwischen den gegenüerliegenden Aspnnseilen ezeichnet. Wir erhlten zwei gleichgroße Rechtwinklige Dreiecke, die spiegelsymmetrisch zueinnder liegen. Jedes dieser Dreiecke enthält die Seiten l und h sowie ls Winkel dzwischen den ϕ Winkel. Als Lösungsnstz knn die Definition für den Kosinus dieses Winkels ϕ 2 2 verwendet werden. l h ϕ l cos ϕ 2 = h l ϕ 2 = rccos h l 2 ϕ = 2 rccos h l ϕ = 2 rccos 20 m 22 m ϕ 49, 24 Ergenis: Der Winkel zwischen zwei gegenüerliegenden Seilen eträgt 49, Lösungen der Berechnungsufgen im elieigen Dreieck Aufge 1: ) Im Dreieck ABS sind zwei Seiten (l 1 und l 2 ) sowie der eingeschlossene Winkel ϕ eknnt. Die gegenüerliegende Seite (Astnd ) ist gesucht. Dies ist die klssische Konstelltion für den Kosinusstz. B l 1 ϕ S 2 = l l l 1 l 2 cos ϕ = l l l 1 l 2 cos ϕ = (3 m) 2 + (4 m) m 4 m cos 25 1, 802 m A l 2 Ergenis: Der Astnd der Befestigungspunkte eträgt 1, 802 m 24

25 ) Zur Berechnung des Astndes wird der Winkel enötigt 5, der im Punkt A liegt. Ich nenne ihn α. Er knn üer den Sinusstz im Dreieck ABS estimmt werden. sin α sin ϕ = l 1 sin α = l 1 sin ϕ α = rcsin l 1 sin ϕ 3 m sin 25 α rcsin 1, 802 m α 44, 715 sin ϕ Im große Rechtwinkligen Dreieck mit den Eckpunkten B, S und dem Fußpunkt des Lotes knn die Definition des Sinus zur Berechnung von verwendet werden. l 2 = sin α l 2 = l 2 sin α 4 m sin 44, 715 2, 814 m Ergenis: Der Astnd zwischen der Wnd und dem Punkt S eträgt 2, 814 m Aufge 2: Für die Drstellung der weiteren Rechnungen ist es zunächst sinnvoll, in der Plnskizze noch einige Hilfswinkel (δ, γ, ϕ und ε) mit einzutrgen. Außerdem enenne ich den Hilfspunkt, n dem sich die Verindungslinie der Leuchttürme mit der Hilfslinie zur Kennzeichnung der Nordrichtung schneidet, mit dem Buchsten H. Ich möchte für ds Dreieck SL 1 L 2 die Winkel ϕ, γ und ε estimmen. Dzu eginne ich m Punkt H mit δ und δ : δ = 180 δ = = 75 H S Norden δ δ L 1 ϕ L 2 ε e 1 α β γ e2 Üer die Winkelsumme im Dreieck HSL 2 knn ε estimmt werden: ε = 180 δ β = = 35 5 Dieser Lösungsweg ist nicht der einzig mögliche. 25

26 Winkel γ knn direkt us α und β estimmt werden: γ = β α = = 40 Jetzt knn zur Bestimmung von e 1 der Sinusstz verwendet werden: e 1 = sin ε sin γ e 1 = sin ε sin γ 13 km sin 35 e 1 = sin 40 e 1 11, 6 km Entsprechend wird e 2 estimmt. Den dzu erforderlichen Winkel ϕ knn mn üer die Winkelsumme im Dreieck SL 1 L 2 estimmen: ϕ = 180 γ ε = = 105 e 2 = sin ϕ sin γ e 2 = sin ϕ sin γ 13 km sin 105 e 2 = sin 40 e 2 19, 54 km Ergenis: Die Leuchttürme sind e 1 = 11, 6 km und e 2 = 19, 54 km vom Boot entfernt Aufge 3: D kein Winkel, sondern nur drei Seiten eknnt sind, knn usschließlich der Kosinusstz zum Einstz kommen cos γ = c cos γ = c : 2 cos γ = c γ = rccos c γ = rccos (13 cm)2 (12 cm) 2 (5 cm) cm 5 cm γ = 90 Für die weiteren Winkel knn wiederum der Kosinusstz verwendet werden, d er jetzt schon mit γ = 90 ein Winkel eknnt ist, knn uch der (einfchere) Sinusstz verwendet werden. (Die gnz Pfiffigen werden hier sogr die Definitionen m Rechtwinkligen 26

27 Dreieck verwenden, d sich γ j ls Rechter Winkel herusgestellt ht.) Ich leie hier er ml eim Sinusstz. sin α sin γ = c sin α = sin γ c α = rcsin sin γ c 12 cm sin 90 α = rcsin 13 cm α 67, 38 sin γ Den letzten Winkel erhlten wir m einfchsten üer die Winkelsumme im Dreieck. β = 180 α γ , = 22, 62 Ergenis: α 67, 38 β 22, 62 γ = Aufge 4: Gegeen ist der Winkel γ mit den n ihn nliegenden Seiten und. Dher knn hier nur der Kosinusstz verwendet werden. Mit ihm wird die fehlende Seite c estimmt: c 2 = cos γ c = cos γ c = (10, 5 cm) 2 + (3, 8 cm) , 5 cm 3, 8 cm cos 110 c 12, 328 cm Jetzt sind lle Seiten und ein Winkel eknnt. Der nächste Winkel eispielsweise Winkel α knn nun uch mit dem Kosinusstz, einfcher jedoch mit dem Sinusstz estimmt werden. sin α sin γ = c sin α = sin γ c α = rcsin sin γ c 10, 5 cm sin 110 α rcsin 12, 328 cm α 53, 164 sin γ Der Winkel β wird dnn m einfchsten üer die Winkelsumme im Dreieck estimmt: β = 180 α γ , = 16, 836 Ergenis: c 12, 328 cm α 53, 164 β 16,

28 6.2.5 Aufge 5: Neenstehend ist rechts der Berg mit der Bergspitze S sowie seinem Spiegelild S drgestellt. Links im Punkt B steht der Beochter. Eingezeichnet sind uch die Sehstrhlen des Beochters von B zur Bergspitze S und von B zum Spiegelild S der Bergspitze. Der ttsächliche Verluf des zweiten Sehstrhls ist mit einer durchgezogenen Linie, der scheinre Verluf unter der Wsseroerfläche mit einer gestrichelten Linie eingezeichnet. B β α S A C S Zusätzlich he ich noch die Hilfspunkte A und C eingezeichnet. Die Höhe der Bergspitze üer dem Wsserspiegel des Sees nenne ich (Strecke SC), die Höhe des Beochters üer dem Wsserspiegel des Sees nenne ich h (Strecke AC). Die (wgerecht gemessene) Entfernung vom Beochter is zum Berg ezeichne ich mit e (Strecke BA). Im Dreieck BAS gilt: tn α = SA BA tn α = h e e = h tn α Entsprechend gilt im Dreieck BAS : tn β = S A BA tn β = + h e tn β = + h e e = + h tn β e tn α e tn β 28

29 Diese eiden Gleichungen können nun gleichgesetzt werden. h tn α = + h tn β tn α tn β ( h) tn β = ( + h) tn α tn β h tn β = tn α + h tn α + h tn β tn α tn β tn α = h tn α + h tn β (tn β tn α) = h (tn α + tn β) : (tn β tn α) = h (tn α + tn β) tn β tn α = 3 m (tn 16, 4 + tn 17, 1 ) tn 17, 1 tn 16, 4 = 135, 5 m Ergenis: Der Berggipfel liegt 135, 5 m üer dem Wsserspiegel des Sees Aufge 6: Mit Hilfe des Sinusstzes knn der Winkel γ estimmt werden: sin γ sin α = c sin γ = c sin α γ = rcsin c sin α γ = rcsin γ 1 36, 87 γ 2 143, cm sin cm sin α D sowohl Winkel unter 90 ls uch Winkel üer 90 den gleichen Sinuswert hen, kommen hier zwei Lösungen in Frge. Zu jedem Wert von γ git es nun unterschiedliche Werte von β und! β 1 = 180 α γ , 87 = 113, 13 β 2 = 180 α γ , 13 = 6, 87 29

30 c = sin β sin γ = c sin β sin γ 1 = c sin β 1 sin γ cm sin 113, 13 sin 36, , 59 cm c 2 = c sin β 2 sin γ cm sin 6, 87 sin 143, , 588 cm 1. Lösungsvrinte: β 1 113, 13 γ 1 36, , 59 cm 2. Lösungsvrinte: β 2 6, 87 γ 2 143, , 588 cm 30

31 6.2.7 Aufge 7: Auf der Spitze eines Turmes steht eine 7 Meter lnge Stntenne. Ds oere Ende erscheint dem Betrchter unter einem Erheungswinkel von α = 55, 3, ds untere Ende unter einem Erheungswinkel von β = 51, 3. Die Augenhöhe des Betrchters efindet sich ei eiden Messungen 1, 5 m höher, ls der Fußpunkt des Turmes. Wie hoch ist der Turm (ohne Antenne) und wie weit ist der Betrchter vom Turm entfernt? (Mit Entfernung ist dei der Astnd des Betrchters von der Mittllinie des Turmes in der Verlängerung des Antennenstes gemeint.) A γ α β δ B l C h D Lösung: Zunächst lege ich einige Bezeichnungen fest. Es soll gelten: Astnd zwischen Betrchter und Turm: AD = Antennenlänge: BC = l Gesmthöhe des Turmes (ohne Antenne): h Rest -Höhe des Turmes üer Augenhöhe: CD = h Entfernung Betrchter-Dchspitze: AC = Winkel BAC = γ Winkel ABC = δ Aufgrund der Winkelsumme ei A gilt: γ = α β = 55, 3 51, 3 = 4 Aufgrund der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ABD gilt: δ = 90 α = 90 55, 3 = 34, 7 Im Dreieck ABC knn der Sinusstz ngewendet werden: = sin δ l sin γ = l sin δ sin γ 7 m sin 34, 7 = sin 4 57, 127 m l 31

32 Hiermit können im rechtwinkligen Dreieck ACD üer die Definitionen von Sinus und Kosinus die Längen und h estimmt werden: = cos β = cos β 57, 127 m cos 51, 3 35, 718 m h = sin β h = sin β h 57, 127 m sin 51, 3 h 44, 583 m Für die Gesmthöhe muss noch die Augenhöhe des Betrchters ddiert werden: h = h + 1, 5 m 44, 583 m + 1, 5 m = 46, 083 m Zusmmengefsste Ergenisse: Turmhöhe: h 44, 583 m Astnd vom Betrchter: 35, 718 m 32