Analysis 2. Timo Weidl

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1 Anlysis 2 Timo Weidl INSTITUT FÜR ANALYSIS, DYNAMIK UND MODELLIERUNG FAKULTÄT MATHEMATIK UND PHYSIK UNIVERSITÄT STUTTGART 23

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3 Inhltsverzeichnis Kpitel 1. Reihen und uneigentliche Integrle Grundlegende Definitionen Wichtige Eigenschften von Reihen und uneigentlichen Integrlen Der Umordnungsstz. Summierung über llgemeine Indexmengen. Doppelreihen Konvergenzkriterien für Reihen nichtnegtiver Glieder und für uneigentliche Integrle nichtnegtiver Funktionen Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegtiven Gliedern in Limesform Absolute und bedingte Konvergenz Konvergenzkriterien für im Allgemeinen nicht bsolut konvergente Folgen Unendliche Produkte Die Summierung divergenter Reihen 37 Kpitel 2. Funktionenfolgen und -reihen. Prmeterbhängige Integrle Gleichmäßigkeit. Gleichmäßige Konvergenz Ds Vertuschen von Grenzwerten Zur Stetigkeit der Grenzfunktion von Funktionenfolgen. Ds Vertuschen der Grenzwerte lim n und lim x x Zur Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionen zweier Vriblen. Ds Vertuschen von lim x x und lim y y Ds Vertuschen von Grenzwert und Integrl Zum Vertuschen von Grenzwert und Ableitung Differenzieren und Integrieren von prmeterbhängigen Integrlen Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Integrlen mit prmeterbhängigen Integrtionsgrenzen Zum Vertuschen von Grenzwerten mit uneigentlichen Integrlen Kriterien zur gleichmäßigen Konvergenz Potenzreihen Die Eulerschen Integrle Der Stz von Weierstrss und Stone 8 3

4 Kpitel 3. Zur Differentilrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher Endlich- und Unendlichdimensionle Vektorräume Der Rum der stetigen lineren Opertoren Die Frechet-Ableitung Die Gteux-Ableitung Der Huptstz der Differentilrechnung Die schwche und die Frechet-Ableitung für Funktionen zwischen endlichdimensionlen Räumen Höhere Ableitungen Die Tylor sche Formel Der Fixpunktstz von Bnch Der Stz über implizite Funktionen Einige Folgerungen us dem Stz über implizite Funktionen Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher Extremwerte unter Nebenbedingungen Methode der Lgrnge-Fktoren für Extrem unter Nebenbedingungen 148 4

5 KAPITEL 1 Reihen und uneigentliche Integrle 1.1. Grundlegende Definitionen Reihen über N und uneigentlich Integrle uf [, + [. Es sei. : N K p, K = {R, C}, p N, eine Folge von Gliedern k K p, k N. Wir nennen n ( ) S n := die n-te Prtilsumme dieser Folge. DEFINITION Eine Reihe k konvergiert genu dnn, wenn die Folge {S n } n N der Prtilsummen ( ) konvergiert. Wir weisen dnn dem Symbol k den entsprechenden Grenzwert zu. k n := lim n S n = lim n Desweiteren sei f : [, + [ K p eine uf jedem Intervll [, r], r R, r > integrierbre Funtion. Es sei I r (f) := r f(x)dx, DEFINITION Ds uneigentliche Integrl + f(x)dx konvergiert genu dnn, wenn I r (f) einen Grenzwert für y besitzt. Wir weisen dnn dem Symbol + f(x)dx den Wert zu. + f(x)dx := lim I r(f) = r + n k r lim f(x)dx r + Diese Definitionen lssen sich leicht uf folgende Symbole übertrgen k, k k= k, k Z, k=k y f(x)dx, y f(x)dx, y R. 5

6 Reihen über Z und uneigentliche Integrle uf R. Es sei. : Z K p eine Folge von Gliedern k K p mit gnzzhligem Index k Z. DEFINITION Die Reihe k= k nennt mn genu dnn konvergent, wenn für gewisses k Z beide Reihen k=k k und k 1 k= k konvergieren. Mn setzt dnn k= k := k 1 k= k + k=k k. AUFGABE Zeigen Sie, dß die Konvergenz und der Wert von k= k unbhängig von der konkreten Whl von k Z sind! Wir betrchten nun eine Funktion f : R K p, welche uf jedem endlichen Intervll intergrierbr ist. DEFINITION Ds uneigentliche Integrl + f(x)dx nennt mn genu dnn konvergent, wenn für gewisses y R beide uneigentlichen Integrle y f(x)dx und + f(x)dx konvergieren. Mn setzt dnn y f(x)dx := y f(x)dx + y + f(x)dx. AUFGABE Zeigen Sie, dß in dieser Definition Konvergenz und Wert des uneigentlichen Integrles + f(x)dx unbhängig von der Whl von y R ist! Einige Beispiele. BEISPIEL Die geometrische Reihe. Es sei q C. Die Reihe k= q k = lim n n k= q k = lim n 1 q n+1 1 q, q 1, konvergiert für q < 1 gegen den Grenzwert k= q k = 1 1 q und divergiert für q 1. Für q = 1 ist die Reihe ebenflls divergent. 6

7 BEISPIEL Wir betrchten die Reihe ln ( 1 + k) 1. Wegen ( ln ) n ( ) k + 1 = lim ln k n k n (ln(k + 1) ln k) lim n und der Eigenschft einer sogennnten Teleskopsumme n (ln(k + 1) ln k) = ln(n + 1) ln n + ln n ln(n 1) ± ln 1 divergiert die untersuchte Reihe. = ln(n + 1) ln(1) BEISPIEL Ds uneigentliche Integrl e x dx konvergiert und besitzt den Wert 1. Ttsächlich, r e x dx = lim e x dx r = lim e x r = lim (1 t r e r ) = 1. BEISPIEL Wir berechnen ds uneigentliche Integrl + dx. Es 1+x 2 gilt + dx dx r2 = lim 1 + x 2 r 1 r x + lim dx 2 r x 2 = lim rctn r 1 x r 1 + lim rctn r 2 x r 2 ( = π ) + π 2 2 = π Uneigentliche Integrle uf endlichem Integrtionsbereich. Uneigentliche Integrle treten uch uf, wenn der Integrnd f Singulritäten in einem Punkt besitzt. Dzu betrchten wir Funktionen f :], b] K p, welche uf jedem Intervll [ + ε, b], ε >, integrierbr sind. AUFGABE Zeigen Sie, dß im Fll f R[, b] gilt ( ) b b f(x)dx := lim f(x)dx. ε + +ε 7

8 Ist f nicht uf dem gesmten Intervll [, b] integrierbr, so zieht mn die Identität ( ) ls Definition eines uneigentlichen Integrles hern: b + b f(x)dx := lim f(x)dx. ε + +ε Anlog definiert mn ds uneigentliche Integrl b f(x)dx. Oft benutzt mn uch einfch die Bezeichnung b f(x)dx für diese uneigentlichen Integrle; mn muß sich ber bewußt sein, dß es sich dbei für f R[, b] nicht um ein eigentliches Riemnn-Integrl hndelt. Besitzt die Funktion f : [, c[ ]c, b] K p eine Singulrität in einem Punkt c ], b[, so knn mn obige Definition wiefolgt modifizieren: Existieren die beiden uneigentlichen Integrle c f(x)dx sowie b c+ f(x)dx, unbhängig voneinnder, so setzt mn b f(x)dx := c f(x)dx + b c+ f(x)dx. Auch hier hndelt es sich für f R[, b] nicht um ein eigentliches Riemnn-Integrl, obwohl die Bezeichnung dies suggeriert. Gilt hingegen f R[, b], so führt die obige Definition uf ds übliche Riemnn-Integrl zurück. BEISPIEL Wir berechnen ds uneigentliche Integrl +1 dx. Es 1 x gilt ε1 dx = lim x ε x dx + 1 lim ε 2 + ε 2 dx x = lim 2 x 1 ε 1 + ε 1 + lim 2 x 1 ε 2 + ε 2 = 2 lim 2 ε 1 lim 2 ε 2 +2 = 4. ε 1 + ε }{{} 2 + }{{} = = Dbei ist es wichtig, dss beide Grenzwerte seprt konvergieren, d.h. ε 1 und ε 2 streben unbhängig voneinnder gegen Null. Dies ist im folgenden Beispiel nicht gegeben. 8

9 dx 1 x 1 BEISPIEL Ds unbestimmte Integrl +1 ( ) 1 1 dx x = lim ε 1 + ε1 1 dx x + lim ε 2 + ε 2 divergiert.ttsächlich, dx x = lim (ln ε 1 ln 1) + lim (ln 1 ln ε 2) ε 1 + ε 2 + = lim ln ε 1 lim ln ε 2. ε 1 + ε }{{} 2 + }{{} divergent divergent Der Cuchysche Huptwert. Ds uneigentliche Integrl im letzten Beispiel divergiert, d die Grenzwerte für ε 1 und ε 2 seprt nicht existieren Würde mn hingegen ε = ε 1 = ε 2 setzten und beide Grenzwerte in ( ) zu ε + zusmmenfssen, so konvergiert dieser Ausdruck gegen, die beiden unendlichen Anteile löschen einnder us, wenn mn sich von beisen Seiten mit gleicher Geschwindigkeit der Singulrität nähert. Dies motiviert folgende Definition des Huptwertes nch Cuchy: DEFINITION Die Funktion f : [, c[ ]c, b] K p sei für beliebiges ε > integrierbr uf [, c ε] und [c + ε, b]. Wir sgen, dß ds uneigentliche Integrl v.p. b f(x)dx im Sinne des Cuchyschen Huptwertes konvergiert, wenn der Grenzwert b ( b ε c ) v.p. f(x)dx = lim f(x)dx + f(x)dx ε + existiert. AUFGABE Existiert ds uneigentliche Integrl c f(x)dx, so existiert uch der Cuchysche Huptwert v.p. b f(x)dx und v.p. b BEISPIEL Es gilt v.p. 1 v.p. 1 1 dx x = lim ε + ( ε 1 f(x)dx = 1 dx x dx x + b =, d 1 ) dx x ε f(x)dx. b+ε = lim ε (ln ε ln ε) =. Wir betrchten nun Funktionen f : R K p, welche uf jedem beschränkten Intervll integrierbr sind. DEFINITION Ds uneigentliche Integrl v.p. + f(x)dx konvergiert im Sinne des Huptwertes nch Cuchy, wenn der Grenzwert + ( r ) v.p. f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx existiert. lim r + 9 r

10 AUFGABE Konvergiert ds uneigentliche Integrl + f(x)dx, so existiert uch v.p. + f(x)dx und v.p. + f(x)dx = + f(x)dx. Finden Sie umgekehrt Beispiele für Funktionen, für welche f(x)dx divergiert, ber v.p. + f(x)dx existiert. Jede Reihe k knn mn uch ls uneigentliches Integrl + f(x)dx mit dem Integrnden f(x) = k für x [k 1, k[, k N, verstehen. Offensichtlich konvergieren k und + f(x)dx gleichzeitig und nehmen dnn ein und denselben Wert n, denn k = lim n S n = lim n,n N n r f(x)dx = lim f(x)dx = r f(x)dx. Diese Idee läßt sich direkt uf Reihen + k= k übertrgen. Konvergiert ds dbei entstehende Integrl + f(x)dx nur im Sinne des Cuchyschen Huptwerkes, so erhält mn uch die Definition des Huptwertes einer Reihe über Z + n v.p. k := lim k. k= n + k= n Alle hier ngeführten Definitionen lssen sich sofort uf Folgen mit Werten in llgemeinen normierten Räumen verllgemeinern Wichtige Eigenschften von Reihen und uneigentlichen Integrlen Ds Cuchy-Kriterium. Aufgrund der Vollständigkeit von R p bzw. C p knn mn ds Cuchy-Kriterium für Reihen und uneigentliche Integrle modifizieren: SATZ Die Reihe k konvergiert genu dnn, wenn ( ) ε> N> m,n N n k=m+1 k < ε. Ds unbestimmte Integrl f(x)dx konvergiert genu dnn, wenn x ( ) ε> c> x,x c f(x)dx < ε. 1 x

11 Wir beweisen ( ) und wenden ds Cuchy-Kriterium zur Konvergenz von Folgen uf die Folge der Prtilsummen S n = n k n. D S n S m = n k=m+1 k, so gilt S n S m = n k=m+1 k, womit dieses Kriterium in ( ) übergeht. AUFGABE Beweisen Sie den zweiten Teil ( ) des Stzes. Aus ( ) folgt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe: SATZ Konvergiert die Reihe k, so gilt lim k =. k Die Aussge folgt us ( ) mit n = m + 1. AUFGABE Zeigen Sie, dß nloge die Aussge für uneigentliche Integrle, d.h. us der Konvergenz von f(x)dx folgt der Grenzwert nicht gilt. lim f(x) = x Eine hinreichende Bedingung. Es sei : N K p eine Folge und die Funktion f : [, + [ K p sei uf jedem Intervll [, c], c >, integrierbr. Folgender Stz ist nützlich für die prktische Untersuchung der Konvergenz von Reihen und uneigentlichen Integrlen: SATZ Angenommen die Reihe k=k k konvergiert für gewisses k N, so konvergiert uch die Reihe k. Konvergiert ds uneigentliche Integrl + f(x)dx für gewisses c >, so c konvergiert f(x)dx. Wir beweisen den ersten Teil des Stzes. Dnn gilt ( n k ) 1 n k = lim k = lim k + n n = k 1 k + lim n k=k k n k=k k = k 1 k + AUFGABE Beweisen Sie den zweiten Teil dieser Aussge! 11 k=k k.

12 Die Linerität von Reihen und uneigentlichen Integrlen. Es seien, b : N K p Folgen und die Funktionen f, g : [, + [ K p seien uf jedem Intervll [, c], c >, integrierbr. SATZ Angenommen die uneigentlichen Integrle fdx und gdx konvergieren. Dnn konvergiert uch ds uneigentliche Integrl h(x)dx für h(x) = αf(x) + βg(x); α, β K und ( ) (αf(x) + βg(x))dx = α f(x)dx + β g(x)dx. Angenommen, die Reihen k und b k konvergieren. Dnn konvergiert die Reihe c k für c k = α k + βb k ; α, β K und ( ) (α k + βb k ) = α k + β b k. Wir beweisen ( ). Für n S n = k, S n = n b k, S n = n (α k + βb k ) gilt S n = αs n + βs n, n N, und wegen der Linerität des Grenzwertes in K p (α k + βb k ) = lim S n = lim (αs n + βs n n n) = α lim S n + β lim S n = α n n AUFGABE Beweisen Sie ( )! k + β b k Der Umordnungsstz. Summierung über llgemeine Indexmengen. Doppelreihen. Wir betrchten in diesem Punkt Reihen, welche us Folgen nichtnegtiver Zhlen k gebildet werden. Dnn ist die Folge der Prtilsummen n (1.3..3) S n = eine monoton wchsende Folge. Diese konvergiert dmit entweder gegen eine reelle Zhl oder divergiert bestimmt gegen k

13 Die Monotonität. SATZ Es gelte k b k, k N. Divergiert die Reihe k, so divergiert uch die Reihe b k. Konvergiert ndererseits die Reihe b k, so konvergiert uch die Reihe k und ( ) k b k. Es sei S n = n k und S n = n b k und dmit nch Vorussetzung ( ) S n S n für lle n N. Divergiert S n gegen +, so divergiert dmit uch S n gegen +. Konvergiert ndererseits S n gegen eine (endliche) reelle Zhl, so ist {S n} und dmit uch {S n } beschränkt. Aufgrund der Monotonität besitzt {S n } einen Grenzwert. Geht mn jetzt in der Ungleichung ( ) zum Grenzwert über, so erhält mn ( ). AUFGABE Formulieren und beweisen Sie die nloge Aussge für uneigentliche Integrle mit nichtnegtiven Integrnden Der Umordnungsstz. Der folgende Stz sgt us, dß Konvergenz und Wert einer Reihe us nichtnegtiven Gliedern nicht von der Anordnung der Summnden bhängt. SATZ Es sei ϕ : N N eine bijektive Abbildung, k sowie b k = ϕ(k), k N. Dnn konvergiert die Reihe b k dnn und nur dnn, wenn die Reihe k konvergiert. Dbei gilt ( ) b k = k. Fll 1: Angenommen, die Reihe S = k konvergiert. Es sei S n := n k, T k = n b k und m = mx{ϕ(1),..., ϕ(n)}. Dnn gilt n m T n = ϕ(k) k = S m S. Dmit ist die Folge {T n } beschränkt. Aufgrund der Monotonität besitzt diese Folge einen Grenzwert T = lim n T n S, d.h. b k = T S = k. Umgekehrt betrchten wir k = b ϕ 1 (k) und erhlten uf gleichem Wege S T. Drus folgt ( ). 13

14 Fll 2 :Angenommen, die Reihe k divergiert, d.h. S n +. Dmit existiert für jedes gegebene C > ein N N mit N S N = k C. Es sei m = mx{ϕ 1 (1),..., ϕ 1 (N)}. Dnn gilt N N m C S N = k = b ϕ 1 (k) b l = T m. Also divergiert uch die Folge {T m } und dmit die Reihe b k Der Riemnnsche Umordnungsstz. Die Bedeutung des oben formulierten Umordnungsstzes unterstreicht mn m besten mit einem konträren Beispiel. Dzu betrchten wir eine Folge reeller (positiver und negtiver) Zhlen { k } k N und setzen + k = mx{ k, } sowie k = min{ k, }. Dnn gilt folgender Riemnnscher Umordnungsstz für Reihen mit indefiniten Summnden, nch dem mn durch geeignete Umordnung der Summnden der Reihe j=1 ϕ(j) jeden beliebigen vorgegebenen Wert geben knn: SATZ Es gelte lim n k = j und die beiden Reihen + k sowie k seien divergent. Dnn gibt es für jedes Element r R {+ } { } eine Umordnung von N, d.h. eine bijektive Abbildung ϕ : N N, so dß die Reihe ϕ(k) gegen r R konvergiert bzw. gegen r {+ } { } bestimmt divergiert. Wir skizzieren den Beweis. Es seien k + l und k l die streng monoton wchsenden Folgen ller solcher Indizes, für welche k + bzw. l k < l gilt. Es sei o.b.d.a. r >. Wir konstruieren nun die gesuchte Umordnung ϕ : N N. Zunächst wählen wir l=1 ϕ(1) = k 1 +,..., ϕ(l 1 + ) = k +, l + 1 so dß l j=1 ϕ(j) < r und l 1 + ϕ(j) r. bestimmt ge- Dies ist immer möglich, d die Reihe + k = j=1 k + j gen + divergiert. Dnch wählen wir j=1 ϕ(l ) = k1,..., ϕ(l l1 ) = k, l 1 so dß l + 1 +l 1 1 j=1 ϕ(j) r und l + 1 +l 1 j=1 ϕ(j) < r. 14

15 Dies ist wiederum möglich, d die Reihen ( + k ) = j=1 k bestimmt gegen divergiert. Diese Prozedur wird dnn itertiv mit b- j wechselnd positiven Summnden für ϕ(j) = k + l l+ n +m, j = l+ 1 + l l + n + l n + m, 1 m l + n+1, und negtiven Summnden für ϕ(j) = k l 1 + +l n 1 +m, j = l+ 1 + l l + n + m, 1 m l n, mit den Bedingungen m + n+1 1 j=1 m n 1 j=1 ϕ(j) < r, ϕ(j) r, wiederholt. Dmit gilt m + n+1 j=1 ϕ(j) r, m + n+1 = l l l + n + l n + l + n+1, m n ϕ(j) < r, j=1 m n = l l l + n + l n. m n r ϕ(m n ) < ϕ(j) j=1 mn+1 r ϕ(m n+1 < ) ϕ(j) j=1 p j=1 ϕ(j) p j=1 ϕ(j) m + n+1 j=1 m + n+1 j=1 ϕ(j) r + ϕ(m + n+1 ), ϕ(j) r + ϕ(m + n+1 ), für m n p m + n+1 bzw. m + n+1 p m n+1. D nch Konstruktion ϕ(j) für j sowie m ± n für n, so folgt us der Vorussetzung k für k dmit uch p ϕ(j) r für p. j=1 AUFGABE Vervollständigen Sie den Beweis für die Fälle r <, r = +, r = Allgemeine Reihen mit nichtnegtiven Gliedern. Wir wenden uns jetzt wieder den Eigenschften von Reihen mit nichtnegtiven Gliedern und insbesondere den Anwendungen von Stz zu. Es sei A eine bzählbre Menge (crd(a) = ℵ ) und eine Abbildung : A [, + [. Wir schreiben α = (α) für α A. 15

16 DEFINITION Es sei ϕ : A N eine Bijektion zwischen A und N. Wir sgen, die Reihe α A α konvergiert genu dnn, wenn die Reihe ϕ 1 (k) konvergiert und setzen α := α A ϕ 1 (k). Diese Definition ist nch dem Umordnungsstz unbhängig von der Whl der konkreten Bijektion ϕ : A N. Ttsächlich, es sei ψ : A N eine weitere Bijektion. Dnn ist uch γ = ϕ 1 ψ : N N eine bijektive Abbildung uf N und nch Stz gilt ψ 1 (k) = b k = b γ(k) = ϕ 1 (k), b k = ψ 1 (k), k N. Auf einem nlogen Argument bsiert der verllgemeinerte Umordnungsstz: SATZ Es seien A, B zwei bzählbre Mengen und γ : A B eine Bijektion. Für : A R mit α = (α), α A, konvergiert die Reihe α A α genu dnn, wenn die Reihe β B γ 1 (β) konvergiert. Dbei gilt A α = β B γ 1 (β). Wir setzen b k = ϕ 1 (k), k N und c β = γ 1 (β) für β B. Es seien ϕ : A N und ψ : B N bijektive Abbildungen. Dnn ist η = φ γ 1 ψ 1 : N N eine Bijektion und nch Stz gilt α = ϕ 1 (k) = b k = b η(k) = α A = γ 1 (ψ 1 (k)) = ϕ 1 (η(k)) c ψ 1 (k) = c β = γ 1 (β). β B β B Wichtige Eigenschften von verllgemeinerten Reihen mit nichtnegtiven Gliedern. Folgende Aussge ist eine direkte Verllgemeinerung von Stz (Additivität) und Stz (Monotonität). SATZ Es sei A eine bzählbre Menge,, b : A N sowie α = (α), b α = b(α). Aus α b α für lle α A folgt α A α α A 16 b α.

17 Aus der Konvergenz von α A b α folgt die Konvergenz von α A α; us der Divergenz von α A α folgt die Divergenz von α A b α. Konvergieren beide Reihen α A α und α A b α, so konvergiert uch die Reihe α A ( α + b α ) und α + b α ) = α A( α + b α. α A α A Für verllgemeinerte Reihen mit nichtnegtiven Summnden gilt zudem eine Monotonitätseigenschft bezüglich des Summtionsbereiches: SATZ Es sei A eine bzählbre Menge, A A und α für α A. Dnn folgt α α α A A Es sei α := { α für α A für α A \ A, und dmit α α für lle α A. Dnn folgt nch der oben bewiesenen Monotonität α = α = α α. α A α A α A α A AUFGABE Anlysieren Sie im obigen Beweis den nschulich offensichtlichen Schritt α A α = α A α im Detil und führen Sie einen formlen Nchweis! Derselbe Schritt liegt uch dem Beweis der Additivität bezüglich des Summtionsbereiches zugrunde. SATZ. Es sei A eine bzählbre Menge, A = A 1 A 2 sowie A 1 A 2 =. Gilt α für α A und konvergieren beide Reihen α A 1 α sowie α A 2 α, so konvergiert uch α A α und α = α + α. α A 1 α A 2 Wir setzen b α = Dnn gilt α A { α für α A 1 für α A 2 und c α = b α = α α A 1 α A und 17 { α für α A 2 für α A 1. c α = α α A 2 α A

18 und ufgrund der Identität α = b α + c α, α A sowie der Additivität von Reihen c α = α + α. α A 1 α A 2 α A α = α A b α + α A Doppelreihen. Eine wichtige Anwendung von verllgemeinerten Reihen sind die sogennnten Doppelreihen. Sind A und B bzählbre Mengen, so ist uch ds krtesische Produkt A B bzählbr. Dmit ist für : A B R und α,β = (α, β), α A, β B, die Reihe (α,β) A B α,β wohldefiniert. Insbesondere knn mn mit A = Z p 1 und B = Z itertiv Reihen über ds Gitter Z p definieren. Eine Modifiktion dieser Idee führt zu einer wichtigen Verllgemeinerung von Stz Dzu betrchten wir eine bzählbre Fmilie bzählbrer Mengen {A β } β B, crd(a β ) = ℵ, crd(b) = ℵ, welche prweise disjunkt sind A β1 A β2 =, β 1 β 2, β 1, β 2 B. Wir setzen C = β B A β. 1 Es sei : C R mit γ γ C. Dnn gilt: = (γ) für SATZ Die Reihe γ C γ konvergiert genu dnn, wenn die Reihe β B b β mit b β = α A β α konvergiert. Dbei gilt α. α Aβ γ C γ = β B Führen Sie mit Hilfe bijektiver Abbildungen ϕ β : A β N {β} sowie ψ : B N den Beweis von Stz uf folgende Aussge zurück: SATZ Es sei k,m für k, m N. Dnn konvergieren die Reihen in der folgenden Identität gleichzeitig und es gilt ( ) k,m = ( ) k,m = ( ) k,m. (k,m) N N k N m N m N k N 1 Ds krtesische Produkt A B läßt sich in dieser Nottion ls C = A B = β B A β mit A β = A {β} (α, β) relisieren. 18

19 Wit nehmen zunächst n, dß die Reihe (k,m) N N k,m konvergiert. Wegen N {m} N N konvergiert nch Stz jede der Reihen k N k,m. D ußerdem n N {1,..., n} = N {m} N N, m=1 so folgt mit Hilfe der vollständigen Induktion us Stz ( ) n k,m = k,m, m=1 k N sowie nch Stz desweiteren ( ) n k,m m=1 k N (k,m) N {1,...,n} (k,m) N N k,m, n N. Folglich konvergiert die Reihe uf der linken Seite und es gilt ( ) ( ) k,m k,m. m N k N (k,m) N N Nch der Definition der Konvergenz verllgemeinerter Reihen gilt S := k,m = (k,m) N N j=1 η 1 (j) für eine Bijektion η : N N N. Für jedes ε > existiert dmit ein N ε <, so dß N ε j=1 η 1 (j) = (k,m) Θ ε N N k,m > S ε. Hier ist Θ ε := η 1 ({1,..., N ε }) eine endliche Menge. Es sei weiterhin M ε = {m N k N (k, m) Θ ε } N, K ε = {k N m N (k, m) Θ ε } N. Wegen Θ ε K ε M ε gilt für die (endlichen) Summen S ε < ( k,m k,m = (k,m) Θ ε (k,m) M ε ( ) k K ε ( m N Im Grenzwert ε + folgt ( ) ( ) k,m m N k N 19 k,m ) (k,m) N N k K ε k N k,m. m M ε k,m ) ( ) k,m. m N

20 Aus ( ) und ( ) folgt die erste (und uf gleichem Wege uch die zweite) Identität in ( ). Zum Abschluß ( bleibt zu zeigen, dß us der Konvergenz der Reihe k N m N ) k,m uch die Konvergenz von (k,m) N N k,m folgt. Angenommen, die Reihe (k,m) N N k,m ist nicht konvergent. Dnn divergiert diese bestimmt gegen + und für jedes ε > existiert ein N ε mit N ε j=1 η 1 (j) = (k,m) Θ ε N N Ebenso wie in ( ) sieht mn, dß ε < ( ) k,m k N m N k,m > ε. und im Grenzwert ε + folgt die Divergenz von k N ( m N k,m) Multipliktion von Reihen mit nichtnegtiven Gliedern. SATZ Es sei k, b k für k N und die Reihen k und b k konvergieren. Dnn gilt ( ) ( ) ( ) k b m = k b m. m=1 (k,m) N N Konvergiert die Reihe uf der rechten Seite von ( ) und ist mindestens je einer der Summnden k sowie b m verschieden von Null, so konvergieren beide Reihen k und b k. Es sei S b = b k. Dnn gilt nch Stz ( ) k b m = k b m (k,m) N N = m=1 ( ) k b m = m=1 k S b ( ) ( ) = S b k = b m k. 2 m=1

21 1.4. Konvergenzkriterien für Reihen nichtnegtiver Glieder und für uneigentliche Integrle nichtnegtiver Funktionen Ds Vergleichskriterium. Alle folgende Konvergenzkriterien bsieren im wesentlichen uf Stz und Aufgbe , welchen wir hier nochmls in leicht modifizierter Form nführen. Wir überlssen dem Leser die Adption der Beweise. SATZ Es gelte k Cb k, für k k, k N und geeignetes C >. Divergiert die Reihe k, so divergiert uch die Reihe b k. Konvergiert ndererseits die Reihe b k, so konvergiert uch die Reihe k und es gilt k C b k. k=k k=k SATZ Es seien f, g : [, + [ [, + [ Funktionen, welche uf jedem endlichen Intervll [, c] integrierbr sind. Es gelte f(x) Cg(x) für x x, und geeignetes C >. Divergiert ds Integrl f(x)dx, so divergiert uch g(x)dx. Konvergiert ndererseits ds uneigentliche Integrl g(x)dx, so konvergiert uch f(x)dx und es gilt ( ) x f(x)dx C x g(x)dx. Für Reihen erweist sich oft folgende Vrinte dieses Kriteriums ls nützlich. SATZ Es gelte k > und b k > für k k sowie ( ) k+1 k b k+1 b k für lle k k. Konvergiert die Reihe b k, so konvergiert uch k. Divergiert die Reihe k, so divergiert uch die Reihe k 1 b k. Wegen n = n n 1 n 1 n 2... k +1 k k, b n = b n b n 1 bn 1 b n 2... bk +1 b k b k, folgt ufgrund von ( ) die Ungleichung n b k k b n = Cb n für lle n k. Es verbleibt die Anwendung von Stz

22 Ds Wurzelkriterium von Cuchy. SATZ Es gelte k für k k. Gilt k k q für ein gewisses q ], 1[ sowie lle k k, so konvergiert die Reihe k. Ist hingegen k k 1 für unendlich viele k k, so divergiert die Reihe k. Für den ersten Teil der Aussge wenden wir ds Vergleichskriterium von Stz mit der geometrischen Reihe b k = q k für q ], 1[ n. Der zweite Teil der Aussge gilt, d us k k 1 uch k 1 für unendlich viele k k folgt, ws dem notwendigen Bedingung k für k widerspricht (vgl. Stz ). BEISPIEL Wir betrchten die Reihe 1 k=2. Für (ln k) k k = 1 (ln k) k folgt 1/k k = 1 ln k < 1 2 für k k = e 2 9, und dmit konvergiert die untersuchte Reihe nch dem Wurzelkriterium Ds Quotientenkriterium von d Almbert. SATZ Es sei k, b k > für k k. Gilt k+1 k q für gewisses q ], 1[ sowie lle k k, so konvergiert die Reihe k 1 k. Gilt hingegen so divergiert die Reihe b k. b k+1 b k 1 für lle k k, Die Aussgen folgen direkt us Stz im Vergleich mit der geometrischen Reihe k qk, welche für q ], 1[ konvergiert bzw. für q = 1. BEISPIEL Wir betrchten die Reihe 1. Für k! k = 1 k! folgt k+1 k = 1 k , k 1. Dmit konvergiert 1. Die Konvergenz dieser Reihe hben wir ntürlich bereits uf nderem Weg bewiesen, und es k! gilt 1 k! = e 1. 22

23 Ds Integrlkriterium von Cuchy. Wir hben bereits ngemerkt, dß mn Reihen ls Spezilfälle von uneigentlichen Integrlen uffssen knn. Dnn ist es ber uch möglich, us der Konvergenz gewisser Integrle uf die Konvergenz bestimmter Reihen zu schließen. SATZ Es sei k für k N. Die Funktion f : [, + [ [, + [ sei monoton fllend und es gelte f(k 1) = k, k N. Dnn konvergiert ds uneigentliche Integrl f(x)dx genu dnn, wenn uch die Reihe k= k konvergiert. Dbei gilt ( ) k f(x)dx k. k=2 Als monotone Funktion ist f uf jedem endlichen Intervll [, c] integrierbr. Es sei Dnn gilt g(x) = k für x [k 1, k[, k N, h(x) = k+1 für x [k 1, k[, k N. h(x) f(x) g(x), x, und dmit nch die chrkteristische Funktion des Intervlles [k 1, k[, k N. Wegen g(x)dx = k, h(x)dx = k, so konvergieren nch Stz und die Reihe k und ds uneigentliche Integrl f(x)dx gleichzeitig und es gilt ( ). Mit Hilfe der Ungleichung ( ) knn mn den numerischen Wert von Reihen durch den numerischen Wert von uneigentlichen Integrlen bschätzen. Dbei ist es oft nützlich, eine endliche Anzhl von Summnden direkt ufzusummieren und dnn ( ) uf den verbleibenden Rest der Reihe nzuwenden. BEISPIEL Die hrmonische Reihe 1 konvergiert für α > 1 k α und divergiert für α 1, d dß uneigentliche Integrl dx (1 + x) α = 1 dx x α = lim y y 1 dx x α = für α > 1 konvergiert und für α 1 divergiert. AUFGABE 1 k 2 k=2 { 1 α 1 (y1 α 1), α 1, ln y, α = 1, Schätzen Sie mit Hilfe von ( ) die Summe bis uf eine Genuigkeit von 1 2 b! 23

24 BEISPIEL Wir untersuchen die Reihe k=2 Die Anlysis der entsprechenden Integrls 1 dx (x + 1) ln(x + 1) = zeigt, dß diese Reihe divergiert. 2 dx x ln x = lim y y 2 1 k ln k Betrchtet mn hingegen ds modifizierte Problem k=2 1, so führt die entsprechende Rechnung uf 2 dx = lim x(ln x) 1+α y y 2 d ln x = lim (ln x) 1 1+α y α uf Konvergenz. d ln x ln x = lim ln ln x y 1 k(ln k) 1+α 1 (ln x) α y 2 y 2 mit α Letzterer Ausdruck konvergiert für α > 1 und divergiert für α < 1. Gleiches gilt dmit uch für die Reihe k=2 1. k(ln k) 1+α AUFGABE Für welche β konvergiert die Reihe 1 k ln k(ln ln k)? 1+β k=k. AUFGABE Es sei { k } eine monotone Folge positiver Zhlen und die Reihe S = k konvergiere. Beweisen Sie, dß dnn gilt. k = k 1 S, k N, Es gibt keine universelle Vergleichsfunktion. Ds Vergleichskriterium führt uf die Frge, ob eine universelle Vergleichsfolge existiert, n Hnd derer mn über die Konvergenz jeder gegebenen Reihe nichtnegtiver Summnden entscheiden knn. Der folgende Stz bentwortet diese Frge negtiv: SATZ Für jede konvergente Reihe p k positiver Glieder knn mn eine bestimmt gegen + divergente Folge positiver Zhlen {α k } k N finden, so dß die Reihe α kp k ebenflls konvergiert. Für jede divergente Reihe r k positiver Glieder knn mn eine gegen Null konvergente Folge positiver Zhlen {β k } k N finden, so dß die Reihe β kr k ebenflls divergiert. Wir beweisen die erste Aussge. Dzu setzen wir R n := p k und dmit p k = R k 1 R k. k=n+1 Die Folge {R n } n= ist streng monoton fllend. D die Reihe p k konvergiert, so gilt lim n R n =. Wir setzen p k = α k p k = R k 1 R k >, k 1. 24

25 Dnn folgt und wegen R n Gleichzeitig folgt n p k = R n + R konvergiert die Reihe n p k = n α kp k. α k = p k p k = Rk 1 R k R k 1 R k = 1 Rk 1 + R k. Ebenflls wegen R n divergiert die Folge {α k } bestimmt gegen +. AUFGABE Beweisen Sie den zweiten Teil der Aussge Ds Rbsche Kriterium. Wegen dem Fehlen einer universellen Vergleichsfunktion wird jeder uf dem Vergleichskriterium ufbuende Konvergenzstz nur gewisse Klssen von Reihen nwendbr sein. Die von uns formuliertenkonvergenzsätze müssen dher gegebenenflls verfeinert werden. Ein Beispiel für eine solche Verfeinerung ist ds Rbsche Kriterium. SATZ Es sei n >, n N, und wir setzen ( ) k R n := n 1, n N. k+1 Gilt R n r für geeignetes r > 1 und lle n n, so ist die Reihe k konvergent. Ist hingegen R n 1 für lle n n, so ist die Reihe k divergent. Wir zeigen zunächst, dß ( ( ) ) s < 1 + r n n, 1 < s < r, n N r,s, für geeignetes N r,s N. Dies folgt us der Definition der Ableitung der Funktion f(x) = x s im Punkt x = 1, denn ( s s = f (x) x=1 = lim n) 1 n 1 n und dmit wegen s < r uch (1+n 1 ) s 1 < r für n N n 1 r,s. Letzteres impliziert ( ). Nch Vorussetzung des Stzes gilt ( ) n R n = n 1 r und folglich n+1 25 n n r n, n n.

26 Zusmmen mit ( ) folgt drus n 1 + r ( n+1 n > 1 + n) 1 s = ( 1 ) s n+1 ( 1 n) s, n mx{n, N r,s }. Die Konvergenz von k folgt nun us dem Vergleichskriterium Stz mit b k = k s, d wie oben gezeigt die hrmonische Reihe k s für s > 1 konvergiert. AUFGABE Beweisen Sie die zweite Aussge des Stzes zur Divergenz! Ds Kummersche Kriterium. Ds Kummersche Kriterium ist eine weitere Verllgemeinerung des Rbschen Kriteriums, welches wir hier ohne Beweis nführen. SATZ Es sei {c k } eine monoton fllende Folge positiver Zhlen, so dß die Reihe c 1 k divergiert. Für positive Zhlen n > setzen wir n K n := c n c n+1, n N. n+1 Gilt K n δ für geeignetes δ > und lle n n, dnn konvergiert die Reihe k. Ist hingegen K n für lle n n, so divergiert diese Reihe. AUFGABE Erläutern Sie, wrum ds Rbsche Kriterium ein Spezilfll des Kummerschen Kriteriums ist! 1.5. Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegtiven Gliedern in Limesform Der obere und der untere Grenzwert. Wir betrchten eine Folge reeller Zhlen {x k } k N. Ist diese Folge nch oben beschränkt, so setzen wir y n := sup k n x k. Die Folge {y n } n N ist monoton fllend. Wir definieren den oberen Grenzwert der Folge {x k } k N ls lim sup x k = lim k x k := inf y n = lim y n, k n N n welches entweder eine reelle Zhl oder ls Wert nnimmt. Ist {x k } k N nch oben unbeschränkt, so setzen wir lim sup k x k = lim k x k := +. Ist die Folge {x k } k N nch unten beschränkt, so setzen wir z n := inf k n x k. Die Folge {z n } n N ist monoton wchsend. Wir definieren den unteren Grenzwert der Folge {x k } k N ls lim inf k x k = lim k x k := sup z n = lim z n, n N n 26

27 welches entweder eine reelle Zhl oder + ls Wert nnimmt. Ist {x k } k N nch unten unbeschränkt, so setzen wir lim inf k x k = lim k x k :=. Der obere und untere Grenzwert ist dmit für jede Folge reeller Zhlen bestimmt. SATZ Für jede Folge reeller Zhlen {x k } k N gilt ( ) lim inf k x k lim sup x k. k Weiterhin konvergiert die Folge {x k } k N gegen r R bzw. divergiert bestimmt gegen r = oder r = + genu dnn, wenn ( ) lim inf k x k = lim sup x k = r. k Wir beweisen zunächst ( ). Ist die Folge {x k } k N hlbbeschränkt, dnn ist die Ungleichung offensichtlich. Für eine beschränkte Folge gilt mit der oben eingeführten Nottion z n = inf x k sup x k = y n, k n worus ( ) im Grenzwert n folgt. 2 Wir betrchten den Fll r R. Konvergiert {x k } k N gegen r, so gilt für beliebiges ε > die Inklusion x k ]r ε, r + ε[ für k n ε und dmit uch [y n, z n ] [r ε, r + ε] für n n ε. Im Grenzwert n folgt drus [lim inf k k n x k, lim sup x k ] [r ε, r + ε] für beliebiges ε > k und dmit ( ). Umgekehrt folgt us ( ) die Inklusion [y n, z n ] [r ε, r + ε] für n n ε und wegen y n x n z n uch x n [r ε, r + ε], d.h. x n r für n. AUFGABE Vervollständigen Sie den Beweis für den Fll bestimmter Divergenz! AUFGABE Es sei {x k } k N eine Folge reeller Zhlen. Gilt s = lim sup k x k < 1, dnn existiert für jedes r ]s, 1[ ein N r,s N, so dß x k < r für lle k N r,s. Gilt s = lim inf k x k > 1, dnn existiert für jedes r ]1, s[ ein N r,s N, so dß x k > r für lle k N r,s. Gilt s = lim sup k x k > 1, dnn existiert für jedes r [1, s[ eine unendliche Teilfolge x kl (r,s) > r. 2 Diese Argumenttion gilt uch, wenn eine oder beide der Folgen {y n } bzw. {z n } bestimmt divergiert. 27

28 Ds Vergleichskriterium in Limesform. SATZ Es sei k und b k > für k N und lim sup k k b k < +. Dnn folgt us der Konvergenz der Reihe b k die Konvergenz der Reihe k und dmit us der Divergenz der Reihe Reihe k uch die Divergenz er Reihe b k. Wegen lim sup k k b k < + ist die Folge k b k beschränkt, d.h. k Cb k für n N. Dmit sind die Vorussetzungen von Stz erfüllt Ds Wurzelkriterium in Limesform. SATZ Es sei k für k N. Gilt lim sup k k k < 1, dnn konvergiert die Reihe divergiert die Reihe k. Flls hingegen lim sup k k k > 1, dnn k. Aus s = lim sup k k k < 1 folgt k k < r für s < r < 1 und k N r,s. Flls hingegen lim sup k k k > 1, dnn existieren unendlich viele k mit k 1. Dmit folgen die Aussgen direkt us Stz Ds Quotientenkriterium in Limesform. SATZ Es sei k > für k N. Gilt lim sup k+1 k k konvergiert die Reihe k. Gilt hingegen lim inf k+1 k k divergiert die Reihe k. < 1, dnn > 1, dnn Flls s = lim sup k+1 k k < 1, dnn gilt k+1 k < r für s < r < 1 und k N r,s. Die erste Aussge folgt dmit us Stz Flls s = lim inf k+1 k k > 1, so gilt k+1 k > r für 1 < r < s und k N r,s, dmit ist der Fll der Divergenz uf Stz zurückgeführt. BEISPIEL Es sei β R und q >. Wir untersuchen die Reihe kβ q k uf Konvergenz. Für k = k β q k folgt 1/k k = qk β/k q für k. Nch dem Wurzelkriterium konvergiert kβ q k für q ], 1[ und divergiert für q > 1 unbhängig vom Wert von β. Für q = 1 liefert ds Wurzelkriterium keine Antwort. Die Reihe kβ q k geht dnn in die hrmonische Reihe kβ über, welche für β < 1 konvergiert und für β 1 divergiert. 28

29 1.6. Absolute und bedingte Konvergenz Definitionen. Wir betrchten Folgen { k } k N mit Gliedern k K p ls uch Funktionen f : [, + [ K p, welche uf jedem endlichen Intervll [, c] integrierbr sind. Konvergiert die Reihe k im Sinne von Definition bzw. ds uneigentliche Integrl f(x)dx im Sinne von Definition , so sprechen wir uch von bedingter Konvergenz. Wir übernehmen diese Sprchregelung uch für lle nderen Typen konvergenter uneigentlicher Integrle. DEFINITION Die Reihe k konvergiert bsolut genu dnn, wenn die Reihe k (bedingt) konvergiert. Ds uneigentliche Integrl f(x)dx konvergiert bsolut, genu dnn, wenn ds uneigentliche Integrl f(x) dx (bedingt) konvergiert. Diese Definition läßt sich offensichtlich uch für lle nderen Typen uneigentlicher Integrle modifizierten. Dies sei dem Leser überlssen. ANMERKUNG Zur Verifiktion der bsoluten Konvergenz einer Reihe k knn mn die oben formulierten Konvergenzkriterien uf die Reihe k nichtnegtiver Summnden nwenden Zum Zusmmenhng zwischen bsoluter und bedingter Konvergenz. SATZ Konvergiert die Reihe k bsolut, so konvergiert diese Reihe uch bedingt. Konvergiert ds uneigentliche Integrl f(x)dx bsolut, so konvergiert f(x)dx uch bedingt. Wir beweisen die Aussge im Fll der Reihe und verwenden ds Cuchy- Kriterium ( ). Aus der Dreiecksungleichung folgt n n n ( ) k k = k. k=m+1 k=m+1 k=m+1 Konvergiert k bsolut, d.h. konvergiert k, dnn wird die rechte Seite von ( ) nch ( ) kleiner ls jedes vorgegebene ε > für m n N ε. Gleiches gilt dmit für die linke Seite der Ungleichung, worus wiederum nch dem Cuchy-Kriterium die bedingte Konvergenz folgt. AUFGABE Führen Sie den Beweis für ds uneigentliche Integrl f(x)dx. Erstreckt sich der Stz uch uf lle nderen Typen unbestimmter Integrle? 29

30 AUFGABE Beweisen Sie, dß die Reihe ( 1) k+1 = 1 1 k ±... bedingt, ber nicht bsolut konvergiert. Anlysieren Sie die Tylorreihe für die Funktion f(x) = ln(1 + x) im Punkt x = und zeigen Sie, dß der Restterm r n (x, h) d ieser Reihe für x =, h = 1 und n verschwindet. Schließen Sie drus, dß ( 1) k+1 = 1 1 k ±... = f(1) = ln 2. 4 Wrum genügt es i.a. nicht, im letzten Schritt nur die Konvergenz der Tylorreihe festzustellen? Weitere elementre Kriterien für bsolute Konvergenz. SATZ Es sei { k } k N eine Folge nichtnegtiver Zhlen und {b k } k N eine Folge von Elementen us K p. Angenommen die Reihe k konvergiert und es gilt b k C k für lle k k. Dnn konvergiert die Reihe b k bsolut. Wie im Beweis von Stz folgt die Aussge us dem Cuchy- Kriterium und der Ungleichung n n b k C k. k=m+1 k=m+1 AUFGABE Formulieren und beweisen Sie die nloge Aussge für uneigentliche Integrle. SATZ Es sei k C, k N. Die Reihe k konvergiert genu dnn bsolut, wenn die beiden Reihen R k und I k bsolut konvergieren. Dbei gilt ( ) k = R k + i I k. Angenommen die Reihe k konvergiert bsolut Wegen R k k und I k k für k N konvergieren nch Stz die Reihen der Rel- und der Imginärteile bsolut. Umgekehrt folgt us der bsoluten Konvergenz der Reihen R k und I k wegen Stz die Konvergenz von ( R k + I k ). D k = R k 2 + I k 2 ( R k + I k ), k N, 3

31 so konvergiert nch Stz die Reihe k bsolut. Die Gleichung ( ) folgt nun us Stz SATZ Es sei k K p, k N. Die Reihe k konvergiert genu dnn bsolut, wenn für lle l = 1,..., p die Reihe π l k bsolut konvergiert. 3 Dbei gilt ( ) π l k = π l k, l = 1,..., p. AUFGABE Beweisen Sie diesen Stz selbständig! SATZ Es sei k R, + k = mx{, k}, k = min{, k}, k N. Die Reihe k konvergiert genu dnn bsolut, wenn die beiden Reihen + k und k konvergieren. Es gilt k = + k + k, + k k, k k, k N. Die Aussge folgt dmit direkt us Stz Der Umordnungsstz für bsolut konvergente Reihen. Für bsolut konvergente Reihen gilt der Umordnungsstz: Konvergenz und Wert der Reihe sind unbhängig von der Ordnung der Summnden. SATZ Es sei k K p für k N und ϕ : N N sei eine Umordnung (eine bijektive Abbildung uf N). Konvergiert die Reihe k bsolut, so konvergiert uch die Reihe ϕ(k) bsolut und es gilt ( ) k = ϕ(k). Nch dem Umordnungsstz für Reihen mit nichtnegtiven Summnden konvergieren k und ϕ(k) gleichzeitig; dmit sind die Reihen k und ϕ(k) gleichzeitig bsolut konvergent. Wir betrchten zunächst den Fll k R. Angenommen, die Reihe k konvergiert bsolut. Nch Stz konvergieren dmit uch + k und k 1 k. Auf diese Reihen ist Stz nwendbr und es gilt = + ϕ(k), = ϕ(k). + k k 1 k k 1 3 Hier bezeichnet π l : K p K die Projektion von x = (x 1,..., x p ) K p uf die l-te Komponente x l K in krtesischen Koordintion. 31

32 D offensichtlich ( ϕ(k) ) + = + ϕ(k) und ( ϕ(k)) = ϕ(k) sowie k = + k k ls uch ϕ(k) = ( ϕ(k) ) + ( ϕ(k) ) für lle k N, so gilt nch Stz k = + k = + ϕ(k) = ( ϕ(k) ) + k ( ϕ(k) ) = k 1 k 1 ϕ(k) ϕ(k). Im llgemeine Fll k K p folgt die Identität ( ) nun komponentenweise us Stz und BEISPIEL Die Riemnnsche Zetfunktion. Wir untersuchen die Reihe 1 ζ(s) = n, s C, s n=1 uf bsolute Konvergenz. mit der Nottion s = σ + it, σ = Rs, t = Is gilt n s = 1 n σ+it = 1 n σ n it = n σ. D die hrmonische Reihe n=1 n σ, σ R für σ > 1 konvergiert, so ist die Reihe n=1 n s, s C, für Rs = σ > 1 bsolut konvergent. Die Riemnnschen Zetfunktion ζ(s) spielt in den verschiedensten mthemtischen Teilgebieten eine zentrle Rolle. Mit ihr ist uch ds wohl gegenwärtig berühmteste offene mthemtische Problem verbunden, nchdem lle Nullstellen dieser Funktion uf der Gerde σ = Res = 1 liegen. Dies ist 2 eines der sieben sogennnten Millenium-Probleme, für deren Lösung ds Cly Mthemtics Institute einen Preis von jeweils 1.. US$ usgeschrieben ht Konvergenzkriterien für im Allgemeinen nicht bsolut konvergente Folgen Bei der prktischen Überprüfung von Reihen uf Konvergenz wird üblicherweise zunächst die bsolute Konvergenz verifiziert. Dzu werden die beknnten Kriterien 4 für Reihen mit nichtnegtiven Gliedern uf die Folge der Normen der Glieder ngewndt. Liegt bsolute Konvergenz nicht vor, so ist im nächsten Schritt die bedingte Konvergenz zu überprüfen. Diese beruht dnn uf Auslöschungseffekten von Summnden verschiedener Vorzeichen und nch dem Riemnnschen Umordnungsstz hängt Konvergenz und Wert der Reihe zudem von der Anordnung der Summnden bhängt. Dmit sind Kriterien für bedingte Konvergenz oft subtil und nur für eine reltiv beschränkte Klsse von Reihen 4 z.b. Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Kriteri von Rbe bzw. Kummer 32

33 nwendbr. Wir diskutieren im weiteren einige Beispiele für solche Kriteri Die Abelsche prtielle Summtion. Wir betrchten Summen vom Typ m S = A k β k = A 1 β A m β m, A k, β k R. Es sei α k = A k+1 A k für k 1. Dnn gilt A n = n 1 α k + A 1. Wir betrchten ußerdem die Prtilsummen B n = n β k. Wegen β k = B k B k 1 für k 2 sowie β 1 = A 1 knn mn die Summe S = m A kβ k wie folgt umschreiben: m S = A 1 B 1 + A k (B k B k 1 ) k=2 = A 1 B 1 + A 2 (B 2 B 1 ) A m (B m B m 1 ) = (A 1 A 2 )B 1 + (A 2 A 3 )B (A m 1 A m )B m 1 + A m B m m 1 = (A k A k+1 )B k + A m B m Die drus folgende Formel ( ) m S = A k β k = A m B m m 1 m 1 α k B k = A m B m + (A k A k+1 )B k ähnelt der Formel der prtiellen Integrtion, wenn mn die Folge {β k } mit g, {B n } mit g, {A k } mit f und {α k } mit f ssoziiert Ds Abelsche Kriterium. SATZ Es sei {b k } k N eine Folge reeller Zhlen, für welche die Reihe b k bedingt konvergiert. Desweiteren sei die beschränkte Folge { k } k N reeller Zhlen entweder monoton wchsend oder monoton fllend. Dnn konvergiert die Reihe kb k bedingt. Wir beweisen den Stz für den Fll einer monoton fllenden, beschränkten Folge { k } k N, k C, k N. D b k konvergiert, so existiert nch dem Cuchy-Kriterium für beliebiges ε > ein n ε N, so dß ( ) n+p k=n+1 b k < ε für n N ε, p N. 33

34 Wir setzen β l (n) = b n+l und B m n+l. Dnn gibt Formel ( ) = m l=1 β l = n+m k=n+1 b k sowie A l = ( ) n+p k=n+1 k b k = p 1 p A l β l = (A l A l+1 )B l + A p B p. l=1 l=1 Aus ( ) folgt ( ) B m = n+m k=n+1 k b k < ε für m N. Aufgrund der Monotonität der Folge { k } k N gilt zudem Drus folgt p 1 (A l A l+1 )B l l=1 A l A l+1 = n+l n+l+1. p 1 p 1 (A l A l+1 ) B l ε (A l A l+1 ) l=1 l=1 = ε(a 1 A p ) = ε( n+1 n+p ). Zusmmen mit ( ) und ( ) ergibt dies n+p p 1 k b k (A l A l+1 )B l + A p B p k=n+1 l=1 ε( n+1 n+p ) + ε n+p 3εC für n N ε, p N. Nch dem Cuchy-Kriterium konvergiert dmit die Reihe kb k bedingt. BEISPIEL Modifizieren Sie den Beweis für den Fll einer monoton wchsenden Folge { k }. Finden Sie ein Gegenbeispiel, flls die Folge { k } zwr beschränkt, ber nicht monoton ist! Ds Kriterium von Dirichlet. SATZ Die Folge reeller Zhlen { k } k N sei monoton und es gelte lim k k =. Desweiteren sei für b k R, k N die Folge der Prtilsummen B n = n b k, n N, beschränkt. Dnn ist die Reihe kb k konvergent. Wir betrchten den Fll einer monoton fllenden gegen Null konvergenten Folge k. Es sei B k C für k N. Mit der Nottion des Beweises 34

35 von Stz (und dmit B l+n = B l sowie A l A l+1 ) gilt n+p p 1 k b k (A l A l+1 )B l + A p B p k=n+1 l=1 p 1 (A l A l+1 ) B l + A p B p l=1 p 1 C (A l A l+1 ) + C A p l=1 = C( n+1 n+p + p ). D n für n, so folgt n+p k=n+1 kb k für n. Nch dem Cuchy-Kriterium konvergiert dmit die Reihe kb k Ds Leibnitz-Kriterium für lternierende Reihen. SATZ Es sei { k } k N eine monoton fllende Folge positiver Zhlen, welche gegen Null konvergiert. Dnn ist die Reihe ( 1)k k bedingt konvergent. Der Stz folgt us dem Kriterium von Dirichlet mit b k = ( 1) k, d dnn die Folge B 1 = 1, B 2 =, B 3 = 1 usw. beschränkt ist Ds Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrle. SATZ Es sei : [, + [ R eine nichtnegtive, monoton fllende Funktion und es gelte lim x + (x) =. Desweiteren sei b : [, + [ R eine reellwertige und uf jedem endlichen Intervll integrierbre Funktion. Es existiere eine Konstnte C < mit der Eigenschft B b(t)dt C für beliebige B A. A Dnn konvergiert ds uneigentliche Integrl (x)b(x)dx. Wir wenden ds Cuchy-Kriterium des Stzes zur Konvergenz uneigentlicher Integrle n. Nch dem zweiten Mittelwertstz der Integrlrechnung gilt A2 ξ A2 (x)b(x)dx = (A 1 ) b(t)dt + (A 2 ) b(t)dt A 1 A 1 ξ für geeignetes ξ [A 1, A 2 ]. D der Absolutbetrg der beiden Integrle ξ A 1 b(t)dt sowie A 2 b(t)dt durch die Konstnte C beschränkt ist und d ξ weiterhin (A) für A, so folgt für beliebiges ε > A2 (x)b(x)dx = C((A 1) + (A 2 )) < ε A 1 35

36 für lle A 2 A 1 A ε. Dies entspricht dem Cuchy-Kriterium für uneigentliche Integrle Unendliche Produkte Definition. Wir betrchten eine Folge { k } k N reeller oder komplexer Zhlen. Es sei n P n = k = 1 n ds Prtilprodukt us den ersten n Gliedern dieser Folge. DEFINITION Angenommes es gilt k für lle k N. Mn sgt, dß ds unendliche Produkt k konvergiert genu dnn, wenn die Folge der Prtilprodukte einen Grenzwert verschieden von Null besitzt. Dnn weist mn dem Symbol k den Wert k = lim P n n zu. Besitzt die Folge {P n } n N keinen Grenzwert, so sgt mn, dß k divergiert. Gilt lim n P n =, so sgt mn, dß k bestimmt gegen divergiert. Flls k = für gewisse k, so bestimmt mn, ob ds unendliche Produkt ohne diese Nullfktoren konvergiert. Flls j, so setzt mn k =. Flls nein, so divergiert ds Produkt Zusmmenhng zwischen Reihen und unendlichen Produkten. Aufgrund der Stetigkeit der Logrithmus-Funktion besteht folgender offensichtlicher Zusmmenhng zwischen Reihen und unendlichen Produkten: SATZ Es sei k für lle k N. Ds unendliche Produkt k konvergiert genu dnn, wenn die Reihe ln k gegen einen endlichen Wert konvergiert. Dbei gilt ln k = ln k. Aus diesem Stz folgt wegen Stz sofort folgende notwendige Bedingung für die Konvergenz unendlicher Produkte: SATZ Es sei k für lle k N. Flls ds unendliche Produkt k konvergiert, so gilt lim k k = 1. Die Untersuchung unendlicher Produkte knn dmit uf die Untersuchung von Reihen zurückgeführt werden. 36

37 1.9. Die Summierung divergenter Reihen Verllgemeinerte Summtionsmethoden. In den Anwendungen trifft mn häufig uf Reihen, welche im üblichen Sinne divergieren. Um mit diesem Objekten mthemtisch rbeiten zu können, wendet mn verllgemeinerte Summtionsmethoden n. Dbei hndelt es sich um Regeln, wie mn einem symbolischen Ausdruck, z.b. ( 1) k+1 = ±... einen Zhlenwert zuordnet. 5 Um von einer verllgemeinerten Summtion zu sprechen, sollen diese Methoden folgende zwei Prinzipien erfüllen: Die Linerität: Konvergieren die Reihen k und b k mit Summnden k, b k K p nch einer verllgemeinerten Summtionsmethode, so konvergiert uch die Reihe (α k + βb k ) nch dieser Methode und es gilt (α k + βb k ) = α k + β b k, α, β K. Die Regulrität: Konvergiert die Reihe k bedingt (im üblichen Sinne) gegen einen Wert A, so soll dieselbe Reihe k uch im Sinne der verllgemeinerten Summtionsmethode gegen A konvergieren. Die unterschiedlichen Summtionsmethoden lssen sich uf verschiedene Klssen von Reihen nwenden und verfügen dnn ber uch über unterschiedliche nlytische Eigenschften. Wir diskutieren hier kurz zwei der verbreitesten Methoden und formulieren die Resultte ohne Beweis. Der interessierte Leser sei uf G.M. Fichtenholz: Differentil- und Integrlrechnung Bnd II S hingewiesen Die Potenzreihenmethode von Poisson und Abel. Es sei { k } eine Folge reeller oder komplexer Zhlen. Dieser ordnet mn die Potenzreihe kx k 1 zu. Konvergiert diese Potenzreihe für < x < 1 (im üblichen Sinne) bedingt gegen einen Wert p(x) := k x k 1, < x < 1, 5 Auch bei der üblichen Definition der Reihe wird dem Symbol k nch einer vorgegebenen Regel ein Wert zugeordnet. Auch wenn diese Definition nschulich gut motiviert ist, so ist es doch nur nur eine spezielle Möglichkeit, den Begriff der endlichen Summe zu verllgemeinern. 37

38 und besitzt p(x) den linksseitigen Grenzwert A = lim p(x) = lim k x k 1, x 1 x 1 so konvergiert die Reihe k im Sinne von Poisson und Abel und nimmt dbei den Wert A n. BEISPIEL Es sei k = ( 1) k+1, k N. Dnn konvergiert die geometrische Reihe p(x) = ( 1) k+1 x k 1 = x, < x < 1, und p(x) = (1 + x) 1 besitzt für x 1 den linksseitigen Grenzwert A = lim p(x) = x 1 lim x x = 1 2. Dmit konvergiert die Reihe ( 1) k+1 = im Sinne von Poisson und Abel gegen den Wert A = 1 2. Die Linerität dieser Definition ist offensichtlich. Der folgende Stz von Abel, welchen wir ohne Beweis ngeben, sichert die Regulrität dieser Summtionsmethode. SATZ Konvergiert die Reihe k bedingt, so konvergieren die Reihen p(x) := k x k 1, für < x < 1 bedingt und es gilt lim p(x) = x 1 lim x 1 k x k 1 = k. Umgekehrt folgt us der Existenz des linksseitigen Grenzwertes k x k 1 = A lim x 1 im Allgemeinen nicht die Konvergenz der Reihe k im üblichen Sinne. Wir formulieren n dieser Stelle noch den Stz von Tuber, welcher ein hinreichendes Kriterium dfür liefert, wnn eine nch Poisson und Abel konvergente Reihe uch im üblichen Sinne konvergiert: 38

39 SATZ Die Reihen p(x) = kx k 1 seien für < x < 1 bedingt konvergent und es existiere der linksseitige Grenzwert lim p(x) = A. x 1 Gilt zudem n n lim =, n n dnn konvergiert die Reihe k = A uch im üblichen Sinne Die Methode der rithmetischen Mittel nch Cesro. Es sei { k } eine Folge reeller oder komplexer Zhlen. Wir betrchten die Folge der Prtilsummen S n = n k. Konvergiert die Folge der rithmetischen Mittel der Prtilsummen S S n lim = S, n n dnn konvergiert die Reihe k im Sinne der rithmetischen Mittel von Cesro und nimmt dbei den Wert S n. AUFGABE Beweisen Sie die Regulrität und die Linerität dieser Summtionsmethode! BEISPIEL Es sei k = ( 1) k+1, k N. Dnn gilt S 1 = 1, S 2 =, S 3 = 1, S 4 =,... und folglich S S n lim = 1 n n 2. Dmit konvergiert die Reihe ( 1)k+1 im Sinne der rithmetischen Mittel von Cesro und nimmt den Wert 1 n. 2 Im Vergleich mit Beispiel sehen wir, dß die untersuchte Reihe nch Poisson-Abel und nch Cesro den gleichen Grenzwert nnimmt. Dies illustriert den folgenden Stz von Frobenius, welcher die Theorie der Summierbrkeit nch Cesro mit der Summierbrkeit nch Poisson und Abel verbindet: SATZ Konvergiert die Reihe k im Sinne der rithmetischen Mittel von Cesro, so konvergiert diese Reihe ebenflls nch der Potenzreihenmethode von Poisson und Abel gegen denselben Grenzwert. AUFGABE Untersuchen Sie, ob die Reihe nch Cesro bzw. nch Poisson-Abel konvergiert und berechnen Sie gegebenenflls den Wert dieser Reihe. D Cesro-konvergente Reihen uch nch Poisson-Abel konvergieren, so läßt sich zur Überprüfung der gewöhnlichen Konvergenz ntürlich der Stz von Tuber nwenden. Mn knn diesen Stz ber unter der stärkeren Vorussetzung der Cesro-Konvergenz zum Stz von Hrdy verfeinern: 39