5.2 Riemannintegral in mehreren Variablen

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1 9 Kpitel 5. Integrtion im Mehrdimensionlen 5.2 Riemnnintegrl in mehreren Vriblen Die Idee, die dem Riemnnschen Integrlbegriff (für Funktionen in einer Vriblen) zugrundeliegt, ist die Approximtion einer krummlinig begrenzten Fläche mithilfe geeigneter Rechtecksummen. Diese Idee knn mn uch uf reellwertige Funktionen in zwei (oder noch mehr) Vriblen übertrgen, und so Volumin von Körpern berechnen, die von einer gewölbten Fläche berndet werden, indem mn sie durch geeignete udersummen pproximiert. Hier zunächst einige Vorbereitungen: Unter einem uder in R n verstehen wir ein Produkt von n bgeschlossenen Intervllen der Form = [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ]... [ n,b n ] = {(x 1,...,x n ) R n j x j b j }, wobei j,b j R sind. Für n = 1 hndelt es sich um bgeschlossene Intervlle, für n = 2 um Rechtecke und für n = 3 um uder im gewöhnlichen inn. Ds n-dimensionle Volumen des uders definieren wir ls n Vol n () := (b j j ). j=1 Für n = 1 gibt diese Grösse die Länge des Intervlls, für n = 2 den Flächeninhlt des Rechtecks und für n = 3 den Ruminhlt des uders n. Der Durchmesser ist folgendermssen definiert n dim() = (b j j ) 2. Nch Pythgors gibt dieser Wert für n = 2 die Länge der Digonle des Rechtecks und für n = 3 die Länge der Rumdigonle des uders n. Unter einer Zerlegung Z eines uders verstehen wir eine Whl von Teilqudern 1,..., m, die überdecken, ohne sich zu überlppen. Ds heisst, es soll gelten = m k=1 k und k l = k l für lle k,l. Im eindimensionlen Fll sind die Zerlegungen gerde die Teilungen eines bgeschlossenen Intervlls in Teilintervlle. Im zweidimensionlen Fll geht es um die Zerlegung eines Rechtecks in Teilrechtecke. Dbei knn mn entweder ein gemeinsmes Rster für die Unterteilung in x und y-richtung wählen, oder mn wählt individuelle Teilrechtecke us, die insgesmt ds gesmte Rechteck pflstern. Als Mss für die Feinheit der Zerlegung verwenden wir den mximlen Durchmesser der Teilquder: Z := mxdim( k ). k ei jetzt f: R eine beschränkte, reellwertige Funktion uf einem uder undseiz einezerlegungvoninteilquder 1,..., m.jedewhlvontützstellen ξ k k liefert eine Riemnnsumme für f, nämlich m R Z (f) = f(ξ k )Vol n ( k ). k=1 j=1

2 5.2. Riemnnintegrl in mehreren Vriblen 91 Für n = 1 sind dies die beknnten Riemnnschen Rechteckflächensummen. Ist n = 2, so gibt der k-te ummnd jeweils den Ruminhlt des uders mit Grundfläche k und Höhe f(ξ k ) n. Die Riemnnsumme ist lso eine umme von udervolumin. Ist zusätzlich f(x,y) für lle (x,y), so liegt der Grph von f gnz oberhlb der x-y-ebene und berndet einen Körper K mit Grundfläche. Ds Volumen dieses Körpers wird offenbr durch die Riemnnsummen pproximiert, wenn wir die Zerlegung immer weiter verfeinern. Liefert dieser Prozess einen eindeutig bestimmten Grenzwert, unbhängig von der Whl der Zerlegungen und der tützstellen, so betrchten wir f ls integrierbr. Dies gelingt, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Definition Eine beschränkte Funktion f: R uf einem uder in R n ist integrierbr, flls zu jedem ǫ > eine Zerlegung Z von in Teilquder 1,..., m existiert, so dss m k=1 (sup k f inf k f) Vol n ( k ) < ǫ. Ist dies der Fll, so konvergieren für jede Folge (Z j ) j N von Zerlegungen von mit lim j Z j = die entsprechenden Riemnnsummen R Zj (f) gegen denselben Grenzwert(und zwr unbhängig von der Whl der tützstellen). Mn schreibt dfür lim R Z j (f) = f. j Um die Dimension zu betonen, schreibt mn gelegentlich uch f(x)d n x tz tetige reellwertige Funktionen uf udern in R n sind integrierbr. Dies ergibt sich gnz ähnlich wie im eindimensionlen Fll us der Ttsche, dss stetige Funktionen uf kompkten Teilmengen (hier udern) gleichmässig stetig und beschränkt sind. Die folgenden Eigenschften lssen sich schliessen, indem mn entsprechende Aussgen für die jeweiligen Riemnnsummen formuliert und überprüft tz ei R n und seien f,g: R integrierbr. Dnn gilt: Linerität: Auch αf +βg ist integrierbr für lle α,β R und (αf +βg) = α( f)+β( g). Monotonie: Ist f(x) g(x) für lle x, so ist f g.

3 92 Kpitel 5. Integrtion im Mehrdimensionlen Flls uch f integrierbr ist, so gilt f Die ttsächliche Berechnung eines Integrls über einen uder im R n lässt sich uf eindimensionle Integrtionen zurückführen, indem mn rekursiv über eine Vrible nch der nderen integriert. Ds ist die Aussge des tzes von Fubini: tz ei = [ 1,b 1 ]... [ n,b n ] ein uder in R n und f: R stetig. Dnn gilt: bn ( b2 ( b1 ) f =... f(x)dx 1 )dx 2...dx n. n 2 1 Dbei drf die Reihenfolge der Teilintegrtionen frei gewählt werden Beispiel ei n = 2, = [1,2] [,1] und f(x,y) = xexp(xy) für (x,y). Dnn ist f(x,y)d(x,y) = ( xe xy dy)dx = x 1 y=1 x exy dx = f. (e x 1)dx = e 2 e 1. Integriert mn erst über x und dnn nschliessend über y, erhält mn dsselbe Ergebnis. Beweis des tzes von Fubini. Zumindest für den Fll n = 2 soll hier die Idee eines Beweises des tzes von Fubini skizziert werden. Dzu betrchten wir spezielle Zerlegungen des Rechtecks durch Rster in x- und y-richtung. Ist genuer 1 = x < x 1 <... < x r = b 1 eine Teilung T x des Intervlls [ 1,b 1 ] und 2 = y < y 1 <... < y s = b 2 eine Teilung T y des Intervlls [ 2,b 2 ], so ergibt sich drus eine Zerlegung des Rechtecks = [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ] in r s Teilrechtecke der Form [x j 1,x j ] [y k 1,y k ]. Wählen wir nun ls tützstellen dieser Teilrechtecke jeweils immer die obere rechte Ecke (x j,y k ), so lutet die entsprechende Riemnnsumme für f: r s R Z (f) = f(x j,y k )(x j x j 1 )(y k y k 1 ). j=1 k=1 chuen wir uns nun genuer n, ws bei der sukzessiven Integrtion von f zunächst über x und dnn über y getn wird. Wir definieren g:[ 2,b 2 ] R durch g(y) := b1 1 f(x,y)dx für y [ 2,b 2 ]. Die Riemnnsumme von g zur Teilung T y von [ 2,b 2 ] zu den tützstellen y k lutet R Ty (g) = s g(y k )(y k y k 1 ). k=1 1 y=

4 5.2. Riemnnintegrl in mehreren Vriblen 93 Ausserdem wird der Wert von g n der telle y k seinerseits näherungsweise durch die Riemnnsumme der Funktion x f(x,y) zur Teilung T x mit tützstellen x j ngegeben: b1 r g(y k ) = f(x,y k )dx f(x j,y k )(x j x j 1 ). 1 etzen wir dies ein, so erhlten wir j=1 b2 2 g(y)dy R Ty (g) s r f(x j,y k )(x j x j 1 )(y k y k 1 ) = R Z (f). k=1 j=1 Durch Grenzübergng folgt nun die Behuptung. q.e.d. Bisher hben wir usschliesslich über uder in R n integriert. Jetzt wollen wir uns drüber Gednken mchen, welche nderen Teilmengen ls Integrtionsbereiche in Frge kommen. Zum Beispiel könnte mn über Kreisscheiben oder durch Gerden begrenzte Flächen in R 2 oder über Kugeln in R 3 integrieren. Ist R n eine beschränkte Teilmenge, so können wir einen uder in R n uswählen, der enthält, und eine gegebene Funktion f: R zu einer Funktion g: R fortsetzen, indem wir definieren { g(x) := f(x) flls x, sonst. Dbei spielt es keine Rolle, ob offen oder bgeschlossen ist, oder keines von beidem. Ds Integrl von f über definieren wir nun folgendermssen: f := g, flls g über integrierbr ist. Allerdings ht die Fortsetzung g von f jetzt möglicherweise längs des Rndes der Teilmenge Unstetigkeitsstellen. elbst wenn f uf stetig ist, knn g lso hochgrdig unstetig sein. Ob die Funktion g dennoch integrierbr ist, hängt nun uch dvon b, wie der Rnd der Teilmenge beschffen ist. Die Integrierbrkeit ist gewährleistet, wenn der Rnd eine sogennnte Nullmenge ist. Ds bedeutet nschulich, dss der Rnd nicht zu strk usgefrnst ist. Dies ist zum Beispiel der Fll, wenn die Menge ein Normlgebiet ist Definition Eine Teilmenge R 2 heisst Normlgebiet (bezüglich y), wenn es ein Intervll [,b] R und stetige Funktionen α:[,b] R und β:[,b] R gibt, so dss = {(x,y) R 2 x b,α(x) y β(x)}. Ein Normlgebiet (bezüglich x) ist entsprechend definiert, wobei die Rollen von x und y vertuscht sind. Von diesem Typ sind zum Beispiel uch Kreisscheiben oder Ellipsen. Nehmen wir n, ds Normlgebiet sei in einem Rechteck enthlten und f: R sei eine stetige Funktion. Dnn ist f über integrierbr und es gilt: f = b ( β(x) α(x) f(x,y)dy)dx.

5 94 Kpitel 5. Integrtion im Mehrdimensionlen Beispiel ei R 2 ds Gebiet, ds von den Gerden berndet wird, die durch die Gleichungen y =, x = und y = 2 2x gegeben sind. Dnn ist ein Dreieck, enthlten in dem Rechteck := [,1] [,2]. ei weiter f(x,y) = 1+(x+ y 2 )2 für (x,y). Um ds Integrl von f über zu bestimmen, wollen wir den tz von Fubini nwenden. Dfür schreiben wir in folgender Form: = {(x,y) x 1, y 2 2x.} = {(x,y) y 2, x 1 y 2 }. Nun integrieren wir zuerst über y und dnn über x und erhlten dbei folgendes: 1 ( 2 2x f = (1+(x+ y ) 1 2 )2 )dy dx = (y + 2(x+ y ) 2 )3 y=2 2x dx = 3 y= 1 (2 2x ) ( ) 8 x3 dx = 3 x x2 x4 1 = Dieser Wert gibt ds Volumen des Körpers n, der nch oben durch den Grphen von f und nch unten durch ds Dreieck in der x-y-ebene begrenzt wird. Der Grph von f sieht us wie ein onnensegel, und der drunter befindliche Bereich ist sozusgen der beschttete Bereich. 5.3 Volumenberechnungen Wir können die Vorbereitungen des letzten Abschnitts nun nwenden, um den Flächeninhlt einer krummlinig berndeten Teilmenge des R 2 oder ds Volumen eines Körpers in R 3 zu definieren. Noch llgemeiner trifft mn folgende Vereinbrung: Definition ei R n eine Teilmenge derrt, dss die konstnte Funktion f(x) = 1 (für lle x R n ) über integrierbr ist. Dnn nennt mn messbr und fsst ds Integrl der 1-Funktion über ls ihr n-dimensionles Volumen uf: Vol n () := 1d n x. Ist zum Beispiel R 2 die Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion f:[,b] R und der x-achse, so lässt sich ls Normlgebiet (bezüglich y) schreiben: = {(x,y) x b, y f(x)}. Nch dem tz von Fubini gilt dher wie gewünscht: b f(x) Vol 2 () = 1d 2 (x,y) = ( 1dy)dx= b f(x)dx. Entsprechend knn mn ds Volumen eines dreidimensionlen Körpers berechnen, indem mn den Körper mit prllelen Ebenen schneidet und über die dbei entstehenden uerschnittsflächen integriert. Dies ist ds sogennnte Cvlieri-Prinzip.

6 5.3. Volumenberechnungen tz ei ein Rechteck in R 2, I = [,b] R und sei A I R 3 eine messbre Teilmenge. Für z I sei A z := {(x,y) R 2 (x,y,z) A}. Ist der uerschnitt A z für jedes z I ebenflls messbr, so gilt: Vol 3 (A) = b Vol 2 (A z )dz. Beweis. Nch Definition ist Vol 3 (A) = A 1d3 (x,y,z) = I χ A. Hier bezeichnet χ A die sogennnte chrkteristische Funktion von A: Der tz von Fubini liefert I { χ A (x,y,z) = 1 flls (x,y,z) A sonst. χ A = b ( ) χ A (x,y,z)d 2 (x,y) dz. Für fest gewähltes z ist χ A (x,y,z) = χ Az (x,y) für lle (x,y), und drus folgt die Behuptung. q.e.d. Hier sind zwei klssische Volumenberechnungen: Beispiele Um ds dreidimensionle Volumen einer Kugel K von Rdius R zu bestimmen, wählen wir ds Koordintensystem so, dss der Nullpunkt im Zentrum der Kugel ist. Der chnitt K z der Kugel mit einer Ebene, prllel zur x-y-ebene uf Höhe z, ist dnn eine Kreisscheibe von Rdius R 2 z 2. Hier ist lso Vol 2 (K z ) = π(r 2 z 2 ), und drus folgt: Vol 3 (K) = R R Vol 2 (K z )dz = R R π(r 2 z 2 )dz = π(r 2 z z3 3 ) R R = 4 3 πr3. ei jetzt P eine Pyrmide mit qudrtischen Grundriss von eitenlänge und Höhe h. Wir wählen die pitze der Pyrmide ls Nullpunkt des Koordintensystems und lssen die z-achse senkrecht nch unten zeigen. Der chnitt P z der Pyrmide mit zur x-y-ebene prllelen Ebene uf Höhe z ist ein udrt, und für deren eitenlänge x gilt nch dem trhlenstz: Drus folgt x = z, und wir erhlten h Vol 3 (P) = h x = h z. Vol 2 (P z )dz = h 2 h 2z2 dz = h.