THEORIE DER DERIVATIONEN.

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1 151 THEORIE DER DERIVATIONEN. VON ANTON KKUG. (VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 17. OKTOBER 1889.) Einleitung. Der Gednke, die DiifereutilquotieDteii und vielfchen Integrle einer gegebenen Function fiz) ls Specilfälle eines llgemeineren Ausdruckes F{z, n), der von zwei Vriblen z und n bhängt, ufzufssen, ist sehr lt, doch ist Liouville der erste, der diesen Gednken weiter verfolgte und eine diesbezügliche Theorie usbildete. Seit dieser Zeit hben sich viele Mthemtiker mit diesem Gegenstnde beschäftigt, und es ist die Litertur beträchtlich ngewchsen. Wenn ich mich nun in der vorliegenden Abhndlung mit derselben Frge befsse, ohne mich uf irgend einen der Vorgänger zu beziehen, sondern vielmehr wieder von vorne beginne, die Theorie ufzubuen, so geschieht es, weil nch meiner Ansicht mit den bisherigen Ausführungen noch nicht ds gesgt ist, ws zu sgen ist, und wenn ich meiner Arbeit in dieser Beziehung einen Fortschritt vindicire, so ist es betreffs der Definition der Deiivtion (wie der Ausdruck F{z, ti) nch Herrn Grünwld bennnt ist) und der functionentheorcti.schen Grundlge der Entwicklungen. Einen Gednken Riemnn's benützend, gehe ich dvon us, der Derivtiou D"f{z) = F{z,n) die beiden Fundmentlforderungen ufzuerlegen F{z,n)z=zF{z,n+l) vz F{z, v) = f{z)dz' V gnz und positiv (dss dnn F(z, + v) Differentilquotienten werden, ist ohne Weiteres klr); dnn zeigt sich, dss hiedurch die Deiivtion noch nicht bestimmt ist, dss mn lso noch eine Forderung stellen knn. Für diese neue Forderung wählte ich die Reltion D^D''f{z) D'"+''f{z) ls dritte Fundmentleigenschft, und dnn ist die Derivtion F(z, n) vollkommen bestimmt und ich konnte sie durch ds verllgemeinerte Cuchy'sche Integrl usdrücken. Gnz von selbst stellten sich die Bedingung

2 152 Anton Krug der Deiivirbrkeit der Function f{z), sowie der Begriff des Intervlls, und endlich die Bedingung ein, unter der die dritte Fundmentleigeusclift besteht. Die EinfcLheit und Ntürlichkeit dieses Gednkengnges wird mn nicht verkennen; es frgt sich jetzt nur, ist die uf diesem Wege gefundene Derivtion uch identisch mit der bisher behndelten? Diese Frge ist zu bejhen; ds zeigt die Drstellung ^ r'c "^ ^^' J (^ O""*"' V gnz und positiv die sich im Wesentlichen überll findet (bei Liouville ist = oo, bei H. Grünwld und den Übrigen ist endlich, während Buchwldt beide Fälle zulässt). I. Definition der Derivtion mit endliclier unterer Grenze. 1. Wir bilden von einer vorgelegten Function f(z) der complexen Vribelen z successive die Differentilquotienten und vielfchen Integrle, dnn hben wir die beiden Reihen deren Glieder wir folgeweise mit F(z,0), F{z,l\ F{z,2)... F(^z,.)... Fiz-1), F{z-2).. F{z~.).. bezeichnen wollen. Dbei soll die untere Grenze der vielfchen Integrle endlich und sonst beliebig sein, jedoch von der Beschffenheit, dss die Function f(z) wirklieh zwischen den Grenzen und z integrirbnr ist. Wir können dnn sgen, dss die Differentilquotienten und vielfchen Integrle die specietlen Wcrtlie sind, welche die llgemeinere Function F{z,n) für gnze positive und negtive n, d. h. für «=; +v nnimmt. Diese llgemeinere Function F(z,)t), welche eine Function der beiden von einnder unbiiängigen complexen Vribelen z und n ist, möge Derivtion der vorgelegten Function f(^z) gennnt werden; in diesem Sinne sind lso die Opertionen des Differenzirens und Integrirens specielle Fälle einer llgemeinen Opertion, die wir dementsprechend ds Deriviren nennen wollen. Es ist nun zunächst zweckmässig, für ds Differenziren und Integriren ein gemeinsmes Zeichen einzuführen; dzu benützen wir vor der Hnd ds Zeichen D mit beigesetztem Index, nämlich fi-'^(z) = D'f{z) p z)dz^ = D-'f(z)

3 . D"f(z) TJieorie der Derivtionen. 153 dnn wird die nloge Bezeichnung für ds Deriviren luten: F{z,n)=D"f{z). Stellen wir diese Gleichung um, indem wir, wie gebräuchlich, die uszuführende Opertion linker Ilud nzeigen und rechter Hnd ds fertige Resultt ngeben, lso = F{z,n), so ist der Sinn dieser Gleichung derselbe wie etw der der Gleichungen 3.4 = 12, 1/9:= 3 etc. Es ist nun von vornherein leicht zu sehen, dss es uuendh'ch viele Functionen F(z,n) und dher uch unendlich viele Opertionen D" geben wird, welche für gnze, positive oder negtive n die Differentilquotienten und vielfchen Integrle liefern, und unter diesen verschiedenen Functionen F{z,n) werden wir im Folgenden eine möglichst einfche zu bestimmen suchen, und diese llein mit dem Nmen Derivtion und die dzu gehörige Opertion mit der Bezeichnung: deriviren belegen. Um nun diese Function F(^,«) durch einen nlytischen Ausdruck bestimmen zu können, mlissen wir eine Eigenschft, die dieselbe bei llen gnzen n ht, bei beliebigen n bestehen lssen, es ist dies die Eigenschft 8 fv,±v-) = i^(>,±v-+-l), die mn sofort us den Reihen 1) erkennt; und ihre Verllgemeinerung für beliebige n, welche zulässig ist, d von n unbhängig ist, lutet: 8 8 F{z,n):=F{z,n + l). 2) Zu dieser Gleichung, welche in Bezug uf z eine Differentilgleichung, in Bezug uf n ber eine Functionlgleichung ist, wo die V gnz, treten dnn die folgenden gleichsm ls Grenzgleichungen hinzu: mithin die rechten Seiten beknnt sind. F{z,±.) = D^'f{z) 3) Aus diesen Gleichungen 2) und 3), welche wir die Fundmcntlfordcrungen für die Derivtion nennen wollen, soll nun F{z,ii] bestimmt werden. Wir müssen zu diesem Zwecke vorerst jedoch, nmentlich um die rechte Seite der Gleichung 3) in eine ndere Form zu bringen, eine Betrchtung über gewisse Curvenintegrle einschlten. In der für gnze positive v 2. gelteöden Formel von Cuchy ist beknntlich der Integrtionsweg 7v, der complexen Vribelcn / eine beliebige Curve, die den Punkt z einml im positiven Rinne umläuft und keine Ausnhmepunkte der Functidn fif) einschliesst. Der nloge Ausdruck für v n Stelle von v ist Denkschriften der mthem.-qturw. Gl. LVII. Bd. 20

4 154 Anton Krug, Bezieht mn liier die Vribele t uf denselben Integrtionsweg IC, so nimmt J(c, v) die unbestimmte Form oo.o n, und um ds zu vermeiden, definiren wir j(.,-v) = Lim i '^^^..; '\ f fm-^y^'-'^^t! Sin- ^^_,(5=0) Subtrhirt mn dvon die für beliebig kleine o so erhält mn und berücksichtigt mn die Gleichung so ist weiter oder einfch geltende Formel j{z,-v) = Lim 1-^^'-=^/ m[(t-zy+~^-'-{t-zy-^]d '(---') = w"" i 6) Jz-y) =^ f^,[«')('-')'' ^4^ (i-..-)(2+y.!\.-its) I J A0('-~^)'-*^(^-^")^'- Den Integrtionsweg' IC denken wir uns nun so entstnden, dss er von einem beliebigen Punkte er usgehend den Punkt z einml im positiven Sinne umläuft, nlle Ausnhmepunkte von f{t) usschliesst und wieder in endigt. Der Anfngswerth der Function nter dem Integrlzeichen ist deinuch der Endwerth dgegen f() { ä)"'"~' l { z) f{){-zr-'[l{-z)+2ik\, weil die Amplitude von / z beim Durchlufen von Ä'. um 2 ;r gewchsen ist. Der Integrtionsweg A' ist somit in der letzten Drstellung von J{z, v) keine geschlossene Curve. Um nun den Ausdruck rechter Hnd in G) uszuwerthen, ersetzen wir den Integrtiousweg A'^ durch einen neuen Integrtionsweg, der us folgenden drei Theilen besteht: 1. us der beliebigen gerden oder krummen Linie {z), die von nch z führt, ohne durch einen Ausnhmepunkt von f(t) zu gehen, noch einen solchen zu umwinden, 2. us dem unendlich kleinen um z geschlgenen Kreis z^ 3. us der von z nch zurückfülirenden Curve {zd). Dnn ist (S=0) "0

5 Theorie der Derivcdionen. 155 Im zweiten Integrle substituireu wir i z = pe''f, dt = ioe''^ df, wo '^ von f^ bis 'j<, + 2r wäcbst und p den Rdius des unendlich kleinen Kreises Zo drstellt. Für unendlich bnehmende p verschwidet dieses Integrl; oder endlich kehrt mu ferner im dritten Integrle die Integriitionsrichtung um, so bleibt einfch j^,-^ = -^.] mit-.r^.2i..dt J(^ -v) = j-,1^. [V(0(^-n'--'r//. Mn erkennt sofort, dss der rechter Hnd uftretende Ausdruck nichts Anderes ist, ls ds vfche Integrl von f(z) genommen zwischen den Grenzen und ;^. Bemerkung mit so ht mn wegen 5) Bezeichnet mn dieses nch der früher gemchten ^(t-z)-' +1 eine Formel, die der Cnchy'schen Formel 4) vollkommen nlog ist. Beide Formeln lssen sich zusmmenfssen in die folgende 'o^ y '^^^~ 2iK 'l{t z)±'+' wo V eine gnze positive Zhl bedeutet. Gilt ds obere Vorzeichen, so ist der Wertli des Curveniutegrles vom Ausgngspunkte «des Integrtionsweges 7v" unbhängig, weil dnn 7C eine geschlossene Curve ist; gilt dgegen ds untere Vorzeichen, so ist, wie wir eben gesehen hben, der Werfh des Curvenintegrles bhängig vom Ausgngspunkte, weil der Integrtionsweg A",- nicht mehr geschlossen ist, wenn mn sich die gnze negtive Zhl v ls den Grenzwerth vorstellt, dem die beliebige Zhl (i'+'j) l»ei unendlich bnehmendem o zustrebt. Zufolge der Gleichung 7) ist somit die Derivtion D"f{z) oder F(s,n) für gnze positive und negtive n derrt bestimmt, dss F{z,-hv) den v-ten Differentilquotienten von f(z) und F{z, )/) ds vfche Integrl von f{z), genommen zwischen den Grenzen und z, drstellt, ws wir bei der Forderung 3) berücksichtigen wollen. Vermittelst der Gleichung 7) können wir unsere Fundmentlforderungen so ussprechen: Die Derivtion F{z,h) muss der Functionlgleichung genügen und für gnze h = + v ^^F{z,7i) = F{z,n-^1) 8) die Grenzbedingung ' erfüllen." Um nun zum nlytischen Ausdrucke für F(z,n) zu gelngen, wird es unsere nächste Aufgbe sein, die Gleichung 8) zu integriren und ds Integrl der Bedingung 9) zu unterwerfen. D nun 8) gleichzeitig 20*

6 156 Änton Krug, Fimctionl- und Differeutilgleiclmng' ist, so wird der Weg, die vollständige Lösung von 8) direct zu finden, ein sehr schwieriger sein; wir bruchen ber für unseren Zweck die vollständige Lösung gr nicht, d wir sie ohnehin wieder specihsiren miissten, um uch die Gleichung ;i) zu befriedigen. Zudem werden wir von einer dirccten Lösung um so lieber bsehen, ls sich unser Ziel sehr leicht uf indirectem Wege erreichen lässt. Wir versuchen nämlich, ob und inwiefern der Ausdruck (t-zf der ebenso gebildet ist, wie 4j und 5), unseren Gleichungen 8) und Ü) Geniige leistet. Üss er die Gleichung 9) erfüllt, ist ohne Weiteres ersichtlich; er genügt ber uch der Gleichung 8), denn es ist 8 ^^. \\h + 2) f t\t)dt ^. ^. d die Differentition unter dem Integrlzeichen vorgenommen werden drf, wenn wir vorussetzen, duss der Integrtionsvveg K. von der früher ngegebenen Beschftenlieit ist. Die Differenz F{z,n) J(z,n) = P{~,)i) genügt dnn ebenflls der Gleichung 8) und ht die Eigenschft, für lle gnzen n t= zt'^ i^u verschwinden. Es ist somit die vollständige Lösung der beiden Gleichungen 8) und 9) einfch oder wegen der Bedeutung von J(z,h) F{z, n) = Jiz, n) + l\z, n) 10) F{z,n) = -^j^j -^_^ +P(., ^, wobei P{z,n) den beiden Bedingungen ^^F{z,n)r^P{z,,i + l) 11) j P{z,±v) = Q \ zu genügen ht, sonst ber gnz willkürlich ist. Wir hben somit ugenscheinlich ds Resultt: Solnge wir blos n den Forderungen 8) und 9) festhlten, ist der nlytische Ausdruck iür die Derivtion durch die Gleichung 10) gegeben; derselbe enthält noch die Function P[z,)i), welche durch die Gleichungen 11) defiuirt ist. Mn sieht leicht ein, dss es unendlich viele solche Functionen F{z,h) gibt, und es ist dher der nlytische Ausdruck für die Derivtion noch keineswegs bestimmt. 4. In der Gleichung 10) tritt us rechter Hnd ein Curvenintegrl entgegen, ds eine nähere Betrchtung verdient, es ist dies ds Curvenintegrl 19^ r,, ix«+i) r mdt Zunächst bemerken wir, dss der Integrtionsweg 7C, der vom Punkt n usgehend eine Schlinge um den Punkt z bildet und wieder nch «zurückkehrt, ohne einen Ausnhmepunkt von f{t) durchzulufen oder einzuschliessen, keine geschlossene Curve ist. Denn es ist ^ ein Ausnhmepunkt - des Integrnden \ ^i und diese Function hben wir uns wegen ihrer Vieldeutigkeit uf unendlich vielen ßiemnn'schen Blättern, die sämmtlich im Punkte z (und im Unendlichen) zusmmenhängen, usgebreitet zu denken. Führen wir

7 Tlicon'e der Derivtionen. 157 einen Vcizweigiuigssclinitt von z über, so können wii- den Integrtionsweg- K_ stets so uälilen, dss er lümgst seiner gnzen Aiisdeliuung- uf ein und demselben Bltte sich befindet und wir können uns dbei für ein beliebiges Bltt entscheiden. Insoferne ist ds Curvenintegrl unendlich vieldeutig; doch unterscheiden sich seine sämuitlicheu Werthe nur durch Fctoren von der Form e-'''"=", wo /; eine gnze positive oder negtive Zhl ist, dessen Werth bhängt von der Whl des Blttes, uf dem wir uns bei der Integrtion befinden. Entscheiden wir uns ein für lleml für ein bestimmtes Bltt, etw für dsjenige, dem der Werth /«= entspricht, so hben wir uf diese Vieldeutigkeit des Curvenintegrlcs niclit weiter zu chten, indem us dem Werthe für ds bestimmte Bltt /( =z sogleich der Werth für ein beliebiges Bltt = /( wenn mn mit e'''""' multiplicirt. /< hervorgeht, Es frgt sich ber weiter, unter welchen Bedingungen für f(f) und >i dieses Curvenintegrl überhupt endlich ist. In dieser Hinsicht erinnern wir n die Beschffenheit des Integrtionsweges IC. Derselbe drf keinen Ausnhniepuukt von f(f) eiuschliessen, ferner drf uch uf ihm längs seiner gnzen Ausdehnung kein solcher liegen. D mm der Ptinkt der Vorussetzung nch im Endlichen liegt, so ht der Integrtionswes', wie wir nnehmen können, eine endliche Länge, und es kommen bei der Integrtion nur endliche Werthe des Integrnden in Betrcht; nch einem beknnten Stze ist dher dieses Curvenintegrl endlich und zwr für lle Werthe von >i. Wir können sogr uch im Punkte, der den Anfng und ds Ende von 7v,- bildet, eine Singulrität der Function f{f') zulssen. Um zu sehen, wie es dnn mit der Endlichkeit dieses Curvenintegrlcs steht, zerlegen wir den Integrtionsweg A' in drei Theile, und zwr sollen, wenn b ein beliebiger endlicher, ber für f{t) gewöhnlicher Punkt ist, diese drei Theile sein: 1. die Strecke b, die im Allgemeinen nicht gerdlinig zu sein brucht, ber keinen Ausnhmepunkt von f\t) durch- oder umlufen drf, 2. die Schlinge K',, die in b beginnend den Punkt z einml im positiven Sinne umläuft, keinen Ausnhmepunkt von fit) einschliesst und in b wieder endigt, 3. die Strecke b u. Mu bekommt dnn r/. } mdt N _!'(«+ f AO'/^ r(«-m) f f{t)m v{n+\), 2in J (^-2)«+ 2iK J {t-z)"+i 2 ' ' «n-e- "-"+'"'.] (t z) oder, nch gehöriger Zusmmenziehung des ersten und dritten Integrles, ^^-'"^ - 2iK J^ {t-zy+' + i\-«),j (^-<)»+' 6 i ' D b ein gewöhnlicher Punkt der Function f{t) ist, so ist ds erste Integrl wegen der Beschffenheit des Integrtionsweges A''. nch dem vorhin ngewndten Stze stets endlich; ds zweite Integrl verlngt jedoch zu seiner Endlichkeit die Bedingung Lim[(«-«)/-(0],^ j=o. 14) Ist diese ber erfüllt, so ist dieses Integrl endlich, und zwr für lle «; dher uch der Ausdruck J(z,n). Wir hben somit den Stz: Ds Curvenintegrl J{z,ii) ist stets endlich, wenn f{f) im Punkte die Bedingung 14) erfüllt." Der Punkt knn nun in Bezug uf f\t) ein Unstetigkeitspunkt von verscliiedcner Art sein. Verhält sich näinllch f{t) in der Umgebung von <i so wie (t y, oder (t y[l(t )]-' u. dgl, so ist die Erfüllung der Gleichung 14) unbhängig von der Richtung, in welcher sich t gegen nnähert; im zweiten Integrle in 13) knn lso dnn der Integrtionsweg b von us zuerst eine gnz beliebige Richtung nehmen, um dnn nch b z«gelngen; drus folgt dnn, dss in J{z,n) der Integrtionsweg A'.-, us welchem j die Strecke b entstnden ist, sowohl bei seinem Ausgnge von ls uch bei seiner Rückkehr gegen «gnz beliebig

8 158 Anton Krug, orientirt sein kun. Mu knn ds so usdrücken: Ist «ein Ausnhmepuukt dieser Art (wir wollen eine solche Unstetigkeit im Punkte (( im Folgenden eine Unstetigkeit erster Art" nennen), so knn die Erfüllung der Gleichung 14) vorusgesetzt der Inlegrtionsweg /v' bei seinem Ausgnge von und bei seiner Rückkehr gnz beliebige Richtungen hben und J{z,n) ist immer endlich und von solchen Richtungen unbhängig. Ist dgegen in eine Singulrität von einer nderen Art (Unstetigkeit zweiter Art", wie wir sgen wollen), so knn zwr die Gleichung 14) uch noch erfüllt sein, ber dnn im Allgemeinen nur mehr für gewisse Anuäiieruugsrichtungen von i gegen «; in 13) muss lso im zweiten Integrle der Integrtionsweg h in der Nähe von eine bestimmte Richtung hben, wenn ds Integrl endlich sein soll, dher wird dnn der Integrtionsweg /i, in J(z,n) eine Curve sein müssen, die in einen Rückkehrpunkt ht und die Richtung der Tngente in diesem Rückkehrpnnkte wird eben jene Annäherungsrichtung sein, für welche 14) erfüllt ist. Mn knn lso sgen: Soll bei einer Unstetigkeit zweiter Art im Punkte ds Curvenintegrl J(z,n) endlich sein, so wird im Allgemeinen der Integrtionsvveg K, im Punkte eine Spitze bilden müssen, die sich dem Punkte in der Richtung nnähert, wie es die Gleichung 14) verlngt. D vermöge der Gleichung 10) die Endlichkeit der Derivtion F{z,n) in erster Linie von der Endlichkeit dieses eben betrchteten Curvenintegrles J{z,n) bhängt, so wollen wir die Gleichung 14) die Bedingung der Dcrivirbrkeit nennen. Der durch 10) gegebene Ausdruck für die Derivtion ist theils unendlich vieldeutig, insofern er ds im vorigen Prgrphen betrchtete Curvenintegrl enthält, theils ist er unbestimmt, insofern in ihm die noch nicht näher bestimmte Function P(z,n) vorkommt. Die us dem Curvenintegrle entspringende Vieldeutigkeit können wir gnz unberücksichtigt lssen, d sie keine Unbestimmtheit involvirt, dher wird die neue Forderung, die wir noch zur Bestimmung der Derivtion nöthig hben, den Zweck hben, die Function P{z,n) zu bestimmen. D nun diese neue Forderung im Allgemeinen eine beliebige sein knn, so wird die Function P{z,n) uch verschieden usfllen müssen; es ist dher von der grössten Wichtigkeit, die neue Forderung so zu stellen, dss die Function P{z,n) so einfch wie möglich usfüllt. Wir gelngen dzu uf folgendem Wege: Vergleicht mn die beiden Ausdrücke ^{z,m,n) = j)' i)' m = i)"' Fiz,ni +»)=j)"'^"f{z) mit einnder, so lässt sich zeigen, dss folgende Beziehung stttfindet <l>{z,±!x,n)^f{z,±ij. + n), wenn fx eine gnze positive Zhl ist. Denn es ist erstens nun folgt us 8) durch wiederholte Diiferentition F(z,n) *(.^, +/.,«) = j)^ F{z,n) = -^ F{z,ny, j^f{z,>i) = F{z,ix + n), dher ist uch t>{z, +!x,n) = F{z,ix-hn).

9 Theorie der Derivtionen. 159 Ferner ist zweitens, {z,-i,,n) = j)-' F{z, n) = T F(z, n) dz^ 15) -' und mn überzeugt sich durch pmlige Differentition nch z leicht, dss die Gleichung stttfindet; die vorletzte Gleicliung gibt dher z (F{s,7i)dz^ = F(z,n ix) il>{z, ij.,n) = F{z, <J. + n), womit die obige Beziehung bewiesen ist. Dbei ist llerdings nicht zu übersehen, dss ds Integrl J7«ffe" zwr einen endlichen ngebbren Werth ht, wenn wir, ws immer geschehen muss, die Function f(f) der Bedingung 14) unterwerfen, dss ber drus noch nicht die Endlichkeit des in 15) vorkommenden Integrles folgt; vielmehr wird drin die Grösse n einer gewissen Beschränkung untei liegen niüssen. AVir werden druf noch usführlicher zurückkommen. zunächst Hben <t> und i^die vorige Bedeutung, so ist, wenn m keine gnze Zhl ist, im Allgemeinen 4> (z, m, n) ^ F(z, m + «). Um ds einzusehen, entwickeln wir jeden dieser beiden Ausdrücke nch der Formel 10), dnn ht mn - _ -^ \ ^h{z,m,>,) = i)"' (r(>^+i)r f(t)dt F{z,n) ] 21. J (^=^)^+n^'«^( Nun lässt sich dieselbe Formel 10) in etws nderen Zeichen uch sehreiben worin dnu selbstverstiindlich Q{z,m) den beiden Bedingungen 11) zu genügen ht. Wendet mn diese Gleichung uf die rechte Seite der verletzten Gleichung n, Dgegen ist nch 10) unmittelbr so resultirt ^^,.,,,_i^(>»+i>i^(>'+i)r du r f{t)dt \\M+l) Cr{t^,n)d [ + 2/;r J^(m_2)'"+' +*^^~'''"^ ],, \\m + n + l) [ f(t)dt,,,, F{z,m + n) = ^.^ ^ J_ (^i-^^^s+stt + P(^,»^ + n), 17) j worus mn sofort erkennt, dss diese beiden Ausdrücke im Allgeiueiuen verschieden sein können, d j nmentlich /-" und Q von einnder und von f noch unbhängig sind.

10 ,, r(«+i) IßO A ntoh Krug Die neue, n die Derivtioii zu stellende Forderung sei nun die, dsg die beiden Ausdrücke IG) und 17) für beliebige m einnder gleich werden, dss lso <I> (z, m, n) = F(z, m+n) oder 18) h'" D"m = i)"'^"m stttfinde, wobei wir jedoch druf gefsst sind, dss «einer gewissen Bedingung wird unterliegen müssen, wie wir schon für den spccielleu Fll j»^ p. bemerkten. Die Gleichung 18) ersetzen wir durch die mit ihr identische, nämlich r(/h + l)r(»+l) r du f f{t)dt r(w + ]) C l\n,n)du 2iK J (<_2) +«+i+^<^^''"+"^' und us dieser Gleichung sollen nun die beiden Functionen P und Q bestimmt werden. Dss sich eine solche Bestimmung usführen lässt, wird sich gleich zeigen; zu diesem Zwecke müssen wir ber vorerst einen wichtigen Stz entwickeln, der sich uf gewisse Curvenintegrle bezieht, und mit Zuhilfenlime dessen wir die frgliche Bestimmung leicht erreichen können. In dem Ausdrucke 6. f {t )pdt sei der Integrtiousweg K, von der irüher ngegebenen Beschtfenheit: er gehe von us. umlufe z einml im positiven Sinne, um dnn wieder in zu endigen. drei Theile: 1. durch die gerdlinige Strecke h, wo h beliebig ist, Mu knn diesen lufegrtionsweg ersetzen durch folgende 2. durch einen von h usgehenden, z einml im positiven Sinne umlufenden Zug 7v'',, der ufh wieder in h eudigt,.3. durcli die gerdlinige Strecke h. Dnn ist r(«+i) 'i- ij-ydt ru;-hi) r {t ydt r(«+i) " At ydt?{p,n) - 27^"J {t zy+' "^ 2i7t Jjt zy'+' 27;re-''"'+')"j {f-z)"+' oder nch gehöriger Zusrmenziehung des ersten und letzten Integrles 20^ r(-m+i) f (t-ydt, 1 '( {t-ydt ~ Ds erste Integrl ist für lle Werthe von n und p endlich, ds zweite jedoch nur, wenn rel Q> + 1)^>0 ist. Wir hben somit den Stz: Der Ausdruck: ist stets und nur endlich, wenn rel (/) + l)>0 ist. '(^'") = ~2l^i ß-zY (T=.V^

11 Theorie der Derivtionen. 161 Mn hätte diesen Stz uch sofort ns dein, ws über die Endlichkeit des Ausdruckes J{z,n) in 12) gesgt wuide, folgern können; in der Tht ist j <f(p,n) ein specicller Fll von.j{z,n), wenn nämlich f(t)^z{t u)'' wird, und dnn gibt die Bedingung 14) d. h. rel Qj4-1)>0. Lim [(<_«). (<-)''l,,^^^=0 Lässt mu in 20) h nch z rücken, so knn mn den Integrtionsweg K'^ in einen unendlich kleinen um z geschlgenen Kreis zusmmenschrumpfen lssen; mn überzeugt sich leicht, dss unter der Vorussetzung rel h-c;0 dieses Kreisintegrl verschwindet, und dnn bleibt oder wegeu der ursprünglichen Bedeutung von f{p,n) Vij^ f ^=^ =,,fi^v (-«)^-" -U.-.1)>0. 21) 2tT: ^. (t zy+^ {{p n+l) ^ ^ ^i:- J J Diese Gleichung gilt zunächst für den Fll rel «<0; dss sie ber uch für beliebige «gilt, erfährt mn leicht, wenn mn beiderseits beliebig oft nch z dififcrenzirt und bedenkt, dss wegen der Endlichkeit von f{p,n) für lle ii die Differentition linker Hnd unter dem Integrlzeichen vorgenommen werden drf. Die so entstndene Gleichung 21) oder die folgende multipliciren wir beiderseits UCISUllS lull mit ~. Curve A',-; ds gibt 217: l (t HY+'^V(p n + lv ' V{m + 1) ein r- -r und integriren nch u im Punkte beginnend längs der i\/«+i) r(«+i) r du r (< )/'(;^_ r(w+i)r(/;+i) ['(««)/'-" rf«^ {^Ziref ]. (tt s)"'+' (i m)"-+-» ~ 2in\\f n->rv)-^^^ (w z)'"+' ' Ist nun rel Qj «+ 1)>0, so knn mn rechter Hnd die Gleichung 21) nwenden, wenn mn dselbst^; und n beziehungsweise durch ^y ii und m ersetzt; mn erhält so zunächst V{j> /( + 1) r(_p Ml H + l) ^" ' r(^ m n + \y ' jt m n hier wieder 21) nwendend, indem mn ii durch m + ii ersetzt, erhält mn bei umgekehrter Anordnung somit ist schliesslich: _ r {m + ;t + 1 ) r {t y dt ~ ~^2iK l lt^f'+^^ ' r(w+l)r(» +l') r du (' {t ydt _r{m+n+l) C {t y dt {2iny!.,(«^)"'"^A- (< 2)"+' "~ Wir: J (<_^)"'+«+< rel(2? + l)>0; rel(2j «+1) >0. DeDkchriften der mthem.-nturw. Cl. LVU. Bd. 21

12 162 Anton Krug, Durch diese Gleicliiing ist eiu gewisses Curvendüppelintegil uf ein einfches Curveuiutegrl zurückgeführt. Mn knn ds Eesultt verllgemeinern, wenn mn beiderseits mit ^{p)dp multiidicirt, wo i^(yj) eine gnz beliebige endliclie und eindeutige Function von ^j ist und über eine beliebige Curve integrirt, jedoch so, dss stets rel Qj+1)>0 bleibt. Setzt mu dnn zur Abkürzung 22)

13 Theorie der Derivtioneu. 163 worus durch Integrtion gefolgert wiril. Die lutegrtionscoustntc o>{iii) muss nch ll^i periodisch sein, nämlich der Functionlgleichung oj (»n + 1 ) = oj (?;;) nebst der Bedingung oj(ü)=:0 genügen nnd drf c nicht enthlten..setzt mn diesen Werlh von Q{z,m) in die Gleichung 28), so ist P(z,m v) ^ oj(»()eoiler, wenn mn m durcli m + >i-i-v ersetzt und wegen der Periodicität von oj(»m): drus folgt noch speciell für m =r P(z, m + 11) -= w (>«+ «) (f P(z,n) = 'ji(ji)er. Trägt mn die gefundenen Werthe von P und Q iu die Gleichung 27) ein, so wird, wie ersichtlich ber uch r (?«+!), 2i^ '" *'"], Ju=^^ ^ [" ' "' ^ "^ - " ^'"^] '. { e" du r, X / M Diese Gleichung ist ber nur dnn möglich, wenn w für jedes Argument verschwindet. Dnn ist Jetzt liefert lso die GleichuiiLj;- P = (? = 0. 10) folgenden nlytischen Ausdruck für die Derivtion -D/W-'W-J^C^)-^' welcher uns für die weiteren Eutwickehingcn ls Bsis dienen wird. '') Die beliebige complexe Grösse n möge der Index und «die untere Grenze der Derivtiou gennnt werden, r/ mnss im Endliehen liegen und /'(-:) ht der Bedingung 14) zu genügen, (Bedingung der Derivirbrkeit.) welche wir noch einml nschreiben wollen Lim[i7-)/'(0],=.=0 30) Wir wollen die gewonnenen Resultte noch einml kurz zusmmenfssen: Unsere Derivtion Jj' fiz) "^ ht folgende drei Fnudmentleigenscbften: z J [ jtjfm = t'^"m-^ r^i»'l('-«)'-y(0](,=,=o III. durch dieselben ist sie vollkommen bestimmt, und wird nlytisch durch die Gleichung 20) usgedrückt." Die Eigenschft ^'- jym=z^m 2 z-' 21

14 164 Anton Krug, d. li. die Eigenschft der Derivtion, für gnze positive Indices in Differentilquotienten überzugeben, ist nicbt mit unter die Fiindmentleigenscbften ufgenommen worden, weil sie blos eine Folge von I Differenzirt mn nämlieb in II beiderseits 2v-ml nch z, so erhält mn und H ist: ndererseits folgt ber us I Setzt mn in dieser letzten Gleichung ;/ = durch successivc Differentition worus durch Vergleichung mit 32) unmittelbr folgt lso ist diese Eigenschft in I "^ und II entiilten. ^.b'm = i"^'m 8 ^'^, i"m = b"^"' m- v, so ht mn ^.b~'m = b'm> b'm = i^,m; Für III ist die Bemerkung wesentlich, dss drin n nicht beliebig, sondern n die ngehängte Bedingung, die sich unter 25), resp. 26) einstellte, gebunden ist; vi ist dgegen vollständig willkürlich. n. Entwicklung der wichtigsten hieher gehörigen Formeln. 1. Nchdem wir im vorigen Cpitel die Definitionsgleichung 29) für unsere Derivtion ufgestellt hben, ist es vor Allem wünschenswerth, zu wissen, wie sich diese Derivtion ls Function von z betrchtet, in der Umgebung der unteren Grenze verhält, welche den Anfngs- und Endpunkt des Integrtionsweges A', bildet. Um ds zu erfhren, hlten wir den Punkt fest und lssen z n ihn heinrücken. Als Integrntionsweg IC in 29) wählen wir dnn einen unendlich kleinen, um z geschlgenen Kreis, der ntürlich durch den Pnnkt gehen muss. Setzen wir demnch, wenn r der ßdiiis dieses Kreises ist, f = z + rc''?; ^ z+re''f«] Q ) = r(e'? e'?»); dt = ire"fdo, wo (ßg die Amplitude des Anfngsrdius ist; dnn hben wir nch f zu integriren und zwr zwischen den Grenzen f^^ und y + 2,-T. In Bezug uf /\/) werden wir unterscheiden, ob n ein gewöhnlicher Punkt für /'(<) ist, oder ein Unstetigkeitspunkt erster Art. (Vergl. Cp. I, Prgrph 4.)

15 Theorie der Derivtionen. 165 ) ist ein gewöliulicher Punkt für f{t). Aus 29) ht mn zunäclst durch Einführung der gennnten Substitutionen: 2 Vi,) j-i") r'^"+-" Weil wir r unendlich bnehmen lssen, so können wir, d fyt) in der Umgebung von nnd ebenso in der Umgebung von c stetig ist, sttt f{z-\-re''^) kurz f{z) schreiben und vor ds Integrlzeichen stellen; führt mn nun die noch übrige Integrtion nch f us, so ergibt sich nch einigen leichten Reductionen und unter Bechtung von z n = >-e'(?.i+'> oder uch Lim r Tf f(z)\ =.,^/, Lim [ ^^"\ 1 33) Diese Gleichung sgt ns^ dss der Grenzwerth linker Hnd stets, d. h. iür lle ii endlich bleibt. ;B) sei ein solcher Uustetigkeitspunkt von fit), dss mn f{t) = {t-yf,(t) setzen knn, wo f^(t) in der Umgebung von stetig ist. Die Bedingung der Derivirbrkeit 30) gibt für p die Bedingung ws wir lso ls erfüllt vorussetzen müssen. rel(23 + l)>0, Mn findet jetzt us 29\ wenn mn beiderseits mit ^^ rj^ multiplicirt, rechter Hnd für z-n den Werth re''^«+'^ einsetzt und unter de in Integrlzeichen die Vribcle ^ wie vorhin einführt: Quotient {z )"-'' ^" Lässt mn ~ nch rücken und bedenkt mn, dss wegen der Stetigkeit von /",(/) im Punkte der für jeden Werth von f Lim vf^{z+re''f)'\ L f,iz) 4l(r=0) der Einheit gleichkommt, so wird Lim ^^: ^ Tf (z-yf, (z) - e-c-i'' (?..+-). \,^ ' I l\ J ' "' und durch Ausvvcrthung dieses Integrles ist weiter -[^^^?(-")'«-)],.,=.^^' o.. (e-?-e'?«)''e-'"frf*, fiz) Schreibt mn jetzt linker Hnd sttt faz) wieder ^ -, so ht mn schliesslich

16 166 Anton Krug wegen rel Q;+1)>0 ist der Grenzwerth rechter Hnd ebenflls stets endlich. Für ^j = kommt mn uf 34) znrück. /) sei ein solcher Unstctigkeitspiinkt von f(ß), dss mn setzen knn f{f) = {t-y[l(i-)]^f,{i), wo wieder /", {f) in der Umgebung von stetig ist. Die Bedingung der Derivirbrkeit lutet hier wieder rel(;; + l) >0 und mn findet durch eine ähnliche Rechnung wie vorhin, dss der Grenzwerth -^"[ [7^:1^15 f(-'-«)'i'('-«'w^-)l., uch hier stets endlich ist; drückt mn wieder/", { ) durch /'(c) us, so knn mn nämlich schreiben Die Gleichungen 34), 35) und 36) führen zu dem Ergebnisse, dss 37) i)"a.) = ^ (.) gesetzt werden knn, wo E{z) für z-= endlich bleibt, und /.wr gilt eine solche Gleichung, wenn «ein gewöhnlicher Punkt oder ein Unstetigkeitspunkt erster Art von f(t) Die Betrchtung der Fälle, wo im Punkte «eine Unstetigkeit zweiter Art zugelssen wird, mg unterbleiben, weil wir uns vor der Hnd nur uf solche Derivtionen beschränken werden, wo f\t) in blos von der ersten Art unstetig ist und weil in jenen Fällen in der Tht keine so einfche Gleichung wie 37) besteht. Wir werden uch später n einigen Beisi)ielen sehen, dss die Gleichung 37) in den Fällen, wo ein Unstetigkeitspunkt zweiter Art ist, nicht mehr gilt. Mit Hilfe von 37) lässt sich nun leicht die Frge bentworten, unter welchen Umständen die Derivtiou jy f{z) ls Function von z betrchtet, wieder derivirbr ist. Dzu gehört, wenn mn in 30) z sttt f und jy f{z) sttt f{z) setzt, dss stttfindet. Um[{^-)]y'fm =0 Nch 37) knn mn dfür schreiben Lim[(0-)'-V(s)^(^)](_j = O oder wegen der Endlichkeit von E(z) im Punkte Lim [(s-)'-"/-(2)], ist. =0. Unter dieser Bedingung ist somit die Derivtion 2)'Y(^' wieder derivirbr, und zugleich sehen wir, dss die in 31) HI geforderte Bedingung eben nichts Anderes ist, ls die Bedingung für die Derivirbrkeit von TT f{z), lso die Bedingung für die Endlichkeit der Doppelderivtion J)l" Jf fiz).

17 Theorie der Derivtionen. 1G7 Wir criuuciii uns zunächst, ds wir ds Curveintcgrl für die Derivtion der Finiction (z )'' schon usgewertbet hben; mn knn uämlicli nch 21) sofort hinschreiben: i)" i^-y = (^-«y-" '^'^^; "^\^. enl(;; + l)>0 38) t. und für;) = erliält mn drus die specielle Formel f «= r-(t^)-(^.- Weiter ist nch (38) uch und wenn mn beiderseits durch o dividirt und zur Grenze für unendlich bnehmende o übergeht, so erhält mu drus in dem Flle, dss p «keine gnze negtive Zhl ist: rel Qj- -1)>.0;;;^«keine gnze negtive Zhl. ) Ist j) n eine gnze negtive Zhl, so gilt dieses Kesultt nicht mehr. Um uch für diesen Fll die betrefteude Formel zu entwickeln, sei n ^jj=:v gnz und positiv; dnn ist h" iz-yi{z-) = i>'+^ (^_).'/(.-«) = j)j)'' (^_«) ;/(._«) <i und mn findet zunäcljst uf demselben Wege wie vorbin Nun ist beknntlich ' d 1 (o + l) ) (5="J wo C die Euler'sche Constnte ist, nämlich C = wir hben dher j)''{z-yi{z-) = V{p + \)\C+l{z-)^+V\p + i), relqj + l)>0 ; ''^ 41) und durch v- mlige Diffcrenzition nch z j)"^' (z yi{z-) = ( 1)--' ^^''^^^P;^^) rel 0^ + 1) > 0. 42)

18 168 Anton KiiKj, SelhstverstäncUicli liättc mn die Gleiclimigeu 40), 41) und 42) uch duicli directe Ausvvertlinng des Dcfmitionsintegrles 2i/) erlilten können, nur ist die Rechnung nicht so einfch. Auch die Derivtion von {2 )i'[l {z )Y lässt sich us der öleichung 38) vollständig entwickeln, indem mn beiderseits v-ml nch p ditferenzirt und linker Hnd die üitfereuzitiou unter dem Derivtionszeichen vornimmt. Unterwirft mn in 38) p speciell der Bedingung p ^ n-^h 1, wo /( eine gnze positive Zhl ist, die kleiner ls rel n sein muss, so ergibt sich, d die rechte Seite verschwindet: Hier knn /; lso die Werthe nnehmen /< = 0,1,2,..V l,v<;relh, während v + l^rcl«ist. Multiplicirt mn nun die vorstehende Gleichung mit einer beliebigen Constnten i\ und sumniirt für lle zulässigen Werthe von h, so ist (2 Die unter dem Derivtionszeichen stehende Function möge mit '^(z,n) bezeichnet werden, lso 43) ^{z,it)=cg{3-y'-^+ci{z )"-- + c^(z y''-^+... +c,(^ «)"-'-' dnn lutet die vorhergehende Gleichung 44) jf^{z,n) = v + l^rel/i>v^o. Die durch 43) definirte Function ^{z,n) möge complementäre Function gennnt werden, und ihre Eigenschft wird durch die Gleichung 44) usgediückt. Wir wollen jetzt zeigen, dss P(2,h) uch die einzige Function ist, der die Eigenschft 44) zukommt. Zu diesem Zwecke suchen wir lle Functionen, welche die Gleichung J)-^z,n)=0 befriedigen. Ist v eine gnze positive, sonst ber vorläufig noch beliebige Zhl, so knn mn diese Gleichung uch schreiben und drus folgt unmittelbr (1 J) '.J^(z,>f)^c,' + c^{z-) + c^{z^f+...+c[{z-^, wo die Constnten c beliebig sind. D nun die rechte Seite derivirbr ist, so knn mn zur Bestimmung von t^(^,«) us dieser Gleichung die Fundmentleigenschft III nwenden, nämlich: = ir"^'''lcj+c/iz-) + c^(z-)'-^...+c/(s-)"],

19 Tlieorie der Derivtionen. 160 und weuu mn gliedweise derivirt iiud dbei die Formeln 38) und 39) nwendet, ^^ c \ c ' 12c' I («v) ^ ^ 1(1 + «v)^ ^ 1(2 + «v)^ ^ V.C./,,, r(») ^^-"^" ' die bisher beliebige gnze positive Zhl v bestimmt sich durch die Bemerkung, dss ' '(^,m) derivirbr sein muss; dies ist der Fll, wenn rel [n v) > ist. Ändert mn noch die Constnten c', so wird diese Gleichung identisch mit 43). Hiemit ist lso bewiesen, dss die durch 43) deiinirte complemeutäre Function -^(zjn) in der Tht die einzige ist, die der Gleichung 44) genügt. 3. Wir wollen jetzt die Zerlegungstheoreme entwickeln. Es sei dnn ist nch der Definitionsgleichung 29) zunächst: oder uch mithin ist T,'^,v,, _ r(«+i) vorusgesetzt, dss sowohl die Summe Oi + fi+ f" f{z) = f^{z) + 'i>,iz)+... +y.(s); y.(0,, _^ r(^^+2) f n (0.,. rp^+i) f ^ it)dt +?/. ls uch die einzelneu Functionen y,,^^... fi, derivirbr sind. Der Stz 45) gilt uch für eine unendliche Reihe, wenn der Integrtionsweg K, gnz innerhlb ihres Convergenzbereiches liegt. Ein specieller Fll von 45) ist uch die Gleichung f S<^-^^(^)ä=iXl=^--^"-f '^"~^' 46) wobei die Constnte c nch Formel 39) derivirt wurde. Ferner erhält mu us der Definitionsgleichnng 29) für f{z) = c.f{z) unmittelbr j)^c.^{z) = c.if<f{:^. 47) Für die Function f{z) = fi{z).fi{z) gibt die Definitionsgleichung zunächst. ^ r(«+i) f fi(t)f^{t) ^^ Ä, ^ / Denkschriften der mthem.-nturw. Gl. LVII. Bd. 22

20 170 An ton Krug, und hier köuneii verschiedene Entwickliiugcn Pltz greifen. Ist eine der Functionen y, etw y, synectisch innerhlb eines um z geschlgenen Kreises, der den Punkt einschliesst, so lässt sie sich in die Tylor'sche Reihe entwickeln, nämlich Die Substitution gibt nun Nun ist ber und die vorletzte Gleichung gibt dher OO /-% ü OO 2iK ^. {t zy->'+^ 48) J9" y, (.-).?, (.) = g)?. i" n (^^) (-) + ö f[ i^ D"-'. f^ (^ + 9" (2) (-i i"~v. + (-) und diese Entwicklung ist solnge giltig, ls s der Mittelpunkt eines unischliessenden Convergenzkreises ist, innerhlb dessen f^(t) convergirt. Aus 48) wird, wenn mn (p^(z) =1 1 nnimmt, nch einiger Reduction, und wenn mu zum Schlüsse f sttt f^ schreibt: *-^; JJ n^) - p(^_ ) (^_ß)«I n n l 1 n " ' i Diese Entwicklung der Derivtion ist somit n die Bedingung geknüpft, dss z der Mittelpunkt eines n unischliessenden Convergenzkreises ist. Nimmt mu in 48) etws llgemeiner f^{z) = f.z) und f^{z) = (^ «)''> ^^ relqj + l)>0 sein muss, so erhält mn eben so leicht 50) j) iz-.c^.,iz) = p(^i-,-^- (-«)'-" \f{^ + ^-.^T^rr-n- + ä;-»vi)o;-.-h2 ) ^^ 4- uch hier muss z der Mittelpunkt eines «unischliessenden Convergenzkreises sein, innerhlb dessen (f{t) synectisch bleibt. Sind beide Functionen y, und <f^ innerhlb des erwähnten Kreises synectisch, so knn mn setzen OO OO,.(o..(o=gs ''->'"r;;y-^-<'' - und die Entwicklung des Curveuintegrles gibt OO OO (n\ In h /i-4 Die Derivtion eines Productes zweier Functionen lässt sich lso dnn in eine Doppelsummc entwickeln.

21 Tlieoric der Derirtionen. \-i Ist von den beiden Functionen w, und f^ eine, etw y,, synectiscli innerlillj eines um geschlgenen und z einscblicsscnden Kreises, so lässt sie sich in die Tylor'.sche Reihe?.(o=?i(«)+^%;(«)+^^?;'(«)+... eniwiciieln, und mn erhält dnn oder uch J)".. (.). f, (z) = \: ^-^ i' (.- yf,(z) Die Derivtion rechter Hnd lässt sich nch 50) weiter entwickeln, wenn»^(o innerhlh eines um z geschlgenen und einschliesseuden Kreises synectisch hloibt; dnn wird nämlich ^ ^ \\h-\-k n + 1) (2; )«-*-^- Im speciellen Flle <ä^{z) = 1 und 'j^(~) = f(z) erhält mn drus die Eulwicklung 49), während der Fll 'j^(z)=:l und 's/^{s) ^=.f{z) uf die Gleichung führt f «=) = r(i^,(^ «")+S(---'')+(d^(---")'+ j. worin lso der Mittelpunkt eines z cinschliessendeu Convergenzkreises für f{t) sein muss. Diese Entwicklung 53) ist gleichsm ds Gegenstück zu 49). Sind endlich beiile Functionen 53, und y^ syucctisch innerhlb eines um gescldgenen und c einschliessenden Kreises, so dss mu die Tylor'sche Entwicklung h!?i (0?2 (0 = 2i 2!, benutzen knn, so wird mn uf die Formel geführt: ^-il-ir{h+k H+l) {z }"-''^'' welche ds Gegenstück zu 51) bgibt. Gleichungen dieser Art führen zu interessnten Reltionen, wie ds folgende Beispiel zeigt. Entwickelt mn nämlich die Derivtion von c'- nch den beiden Formeln 49) und 53), so erhält mn beziehungsweise ki ^~ "*", l\ n)\z f\n n l 1 m=^' 1-2 ~" ' ') ^^), (z )'^ r(l») (««)' ) l-n (1 ^ m) (2-«) 22*

22 ^"'-'^"^ 172 Anton Krug, welche Gleiclmngen für jedes endliche z, und «gelten. Setzt mn die rechten Seiten einnder gleich, und dnn = 0, f30 erhält mn folgende Drstellung von r 1 z z^ z^ n n[n 1) n{n 1)(«2) n{n V){n 2)(«3) 1 Z^ Z^ n " («l).l "^ («2).1.2 ~ {n S).1.2.3"^' " " und diese Gleichung gilt für jedes n, usgenommen, dss w eine gnze positive Zhl ist, denn es wurde im Zähler und Nenner der Fctor r( w) weggelssen. Wir wollen jetzt lle uf Doppelderivtionen bezügliche Sätze entwickeln und zusmmenstellen. Zunächst folgt us 31) I durch successive Differentition welche Gleichung wir schreiben wollen : 3-' 4. 8^,Dy(^ = D"^"m, 55) i)'tm=b'^"m n und im Vorhergehenden schon einige Mle benutzt hben. Hiebei ist n eine beliebige und v eine gnze positive Zhl. Desgleichen erhält mn durch successive Benützung der Fundmentleigenschft 31) III: 56) b^'b'"-' if'-' P^if' fi^) = D^'^"'-^ welche Gleichung giltig ist unter den Bedingungen m^ i Lim[(/-«)'-./'(0],_,= O;Lim[(/-«)'-".-.f(/,)],,_-O;.... o6)l ' (... Limf(f-«)'-".-''^ -'V,-. f(t)],,^ - 0; nur «,, ist noch beliebig. Wir werden im folgenden Prgrphen die Drstellung der Derivtion durch ein bestimmtes Integrl kennen lernen; uf ein einfches, die Gleichung 56) enthält dnn eine Reduction eines /(-fchen Integrles welches Resultt sich im Wesentlichen schon bei Liouville findet. Ein specieller Fll von 56) ist die folgende Gleichung 57) b~"i''m = m- l [(#-«)'-"/-(^)](,=,= o Scbreibt mn diese Gleicliungen in der Form b~''f{z,n)=fizl so knn sie dzu dienen, us einer gegebenen Derivtion F{z,n) ^ J)" f(z) die Function f{z) selbst zu finden, nur muss n der Zustzbedingung 57) genügen, oder ws dsselbe ist, F{z,n) muss derivirbr sein, d. h. es muss Uxü[{t-)F{t,n)\,^^-0

23 Theorie der Derivtionen. 173 stttfinden. Für den llg-cineincrcn Fll, dss us einer nicht dcrivirbren Derivntion F{z,n) die nrspiüngliclie Function fyz) hergeleitet werden soll, wo lso die Gleichung ]y'f{ ) = F{z,n) 58) ncb f{z) ufzulösen ist, bestimme mn zuerst eine gnze positive Znlil v, welclic die Gleiebung Lim[(«-«)'+=F(f,«)] ^ -0 59) erfüllt. Eine solche Bestimmung ist immer möglich, denn diese Bedingung heisst in nderen Zeichen Lim[(i-«)'-"+Y(0],=,= O, wonch lso wegen der Derivirbrkeit von f{t.) v so ngenommen werden knn, dss die Ungleichung V + 1 ^ rel n'^-v besteht. Die.ufzulösende Gleichung 58) liisst sich nun schreiben ^i)"-'-v(.)=i^(.,,o, lind drus folgt durch (v + l)-mlige Integrtion bei beliebiger unterer Grenze zwischen und z ist F(z.h) der Annhme nch nicht integrirbr jf-'-'fiz)= j ^+'F(z,»)dz'+'+c, + c,{z-) + c,(z-f+. Jetzt ist die rechte Seite derivirbrj denn es ist we^en HD) Lim [(/-«) p+'i^(.~,«),l- + '],,^, = 0, -c,(.- rty'. und die Anwendung von 57) uf die vorletzte füeichung gibt m =I)~"^'^'hFiz,n)dz'+^+-H~V>^) ßO) j. wobei -pizjn) die complcmentiire Function ist. v+l ^relw > v, Die Formel 57) kommt in Form eines Doppelintegrles schon in einer Abhndlung von Abel vor (Grell e's Journl I.), der sie zur Lösung einer dynmischen Aufgbe benutzt. Behufs einer weiteren Entwicklung gehen wir von der Gleiclning 13) us, r(7i+i) C f(t)dt _r(».+i) C f{t)dt 1 } fit) dt 217: J^(t zy+'~' 2iK.,ji; 0)"+''^r(?j)J («*)"+'' welche lutet: und worin b ein gewöbnlicber Punkt für f{t) ist. Wir scbreiben diese Gleicbung zunächst in der Form und bebndeln die rechter Hnd vorkommende Derivtion D '^-'^ 2 in J,(f zy+i'

24 17 Anton Krug, Wir schlgen um z einen Convergenzkveis von f{t) mit dem Rrlins B, desselben und nehmen ihn ls Integrtionsweg A% n. Dnn hben wir zu setzen t = 2-4-Äe'?; h = z+be"^'; dt = ibe'rdf, so dss nch f zwischen den Grenzen f^ und 'j/,+2;r zu iutegriren ist. Es wird dnn verlegen b in die Peripherie Eine prtielle Integrtion gibt weiter unter Bechtung von 7ie'(?i+"' oder, wie ein Blick uf die vorhergehende Gleichung lehrt b = z b welche Gleichungen zunächst nur für den Fll bewiesen ist, dss die untere Grenze l> im Convergenzkreise von /(/) liegt. Mn knn sie ber leicht verllgemeinern. Drückt mn nämlich die beiden hier vorkommenden Derivtionen nch Gl) durch die Derivtionen us, SO erhält mu i_ ( n' ff., m^i_ ^ H-J r(-;oj ~ '~ {t-zy+' r ' _ /)"-' ff., i_ rnt)ru 1 m r(i-'oj if-^y v{i n)(z by' Wir müssen nun f{(i) endlich vorussetzen, weil im Gegenflle f'{z) nicht derivirbr wäre; thun wir ds, n 1 so gibt eine prtielle Integrtion des Integrles rechter Hnd und unter Bechtung von = " ' I (1 «) '( '*) Die obige Gleichung gilt somit uch für solclie untere Grenzen, die usserhlb des Convergenzkreises liegen. Diese wichtige Gleichung, die sich zuerst bei Herrn A. Grün wähl findet, lässt sich uch uf folgende Weise sehr einfch herleiten: Es ist zufolge der Fundmentleigenschft 31) III wenn f(z) derivirbr ist. Wegen V. J)-'f'(z)= ff(z)dz = f{z)-fi)

25 Tlieorie der Denvtionen. 175 kuiiu uuiu dfür sclircibcu und weuu mu die Consttite f(<i) nch 39) derivirt, erhält mu uumittelbr 62). Setzen wir f{), ['{")) /"(")? Ü'~*K") endh'ch vorus, so gibt eine v-mlige Anwendung der Gleichung 62) i^ '^^>- r{l )\2-y' \\2 n){z-y-' V(;6--n) {z~y--' ' r(v-k) (^-)"-' + ' ^ ^ ' Ersetzt mn in dieser Gleichung /( durch «+v und /''(:) durch ^' /(;), so knn mu sie uch schreiben rr^^^~. ^^^ V(l-u-.) (z-y-^' r(2-n-y) iz-)"+'-^ ' und in dieser Form zeigt sie, dss die Derivtionen i)"tm "II*' b"^" m = ttm im Allgemeinen von einnder verschieden sind. ^'- r( h)'(^ )''+" ) Lässt mu in ()2j die gnze positive Zhl v uueucilicli wchsen, so niuss, dmit die entstehende unendliche Reihe couvergirc, «ls Mittelpunkt eines, z umschliessendcu, Couvergenzkreises von /"()!) ngenommen werden; mn erhält dnn genu die Reihe 53), und unter dieser Bedingung für ti und z ist uch Limri)"-V<%)] =0, weil j der Rest der Reihe verschwinden muss, wenn sie couvergirt. Wir gehen niiu zur Drstellung der Derivtion diircli ein bestimmtes Integrl über, wozu wir die Gleichung 61) benützen werden. Dselbst ist h ein gewöhnlicher Punkt der Function /(/) und wenn wir ihn nch z rücken lssen, so wird i,.«.) = Li. [i,v(.)],.^^ ^p^.f^. Nun lulltet die Gleichung 33^, wenn mu h sttt <i schreibt 1 r f{f)dt Lim [B'fi^^^^^ =,(il V Li» [(-^)-Y(^)],.,. D nun, wie erwähnt, b ein gewöhnlicher Punkt für /\/) ist, so verschwindet dieser Grenzwerth, wenn rel «<0 ngenommen wird; dnn gibt die vorletzte Gleichung ' f ) / "*;

26 176 A nton KriKj, und hiemit ist die Derivtion durch ein bestimmtes Integrl drgestellt, wenn rel ti negtiv ist. Der Integrtionsweg von bis ^ brucht im AUgemeiucn nicht gerdlinig zu sein, drf jedoch keinen Ausnhmepunkt von f(t) durch- oder umlufen. Um uch für einen beliebigen Index m eine nloge Drstellung /u gewinnen, zerlegen wir w in «-+-v, wo «vou derselben Beschffenheit ist, \yie in 65) und v gnz und positiv oder uch Null ist. Dnn ist '"'> "+^,/,x_ 1 2" r /"(O'^^ r(_«) 8 > '_] (0 /)«+* rel II < 0. i'""«-')=r(^^f Diese Gleichungen 65) und 66) sind ebenso llgemein ls die Defiuitionsgleichung 29) selbst, insofern nämlich uch hier f{f) keiner weitern Bedingung zu unterliegen brucht, ls der Bedingung der Derivirbrkeit 30). Sie kommen uch bei Herrn A. Grünwld in seiner zweiten Abhndlung so zu sgen ls Definitionsgleichungen vor, nur ist dbei n unuöthiger Weise uf die Bedingung rel )i^ \ beschränkt. Wir wollen noch ngeben, wie mn die Gleichung 57) des vorigen Prgrphen mit Hilfe dieser Integrldrstellungen gestlten knn. Es sei 1 < rel«<0. Dnn ist die dortige Zustzbedingung gewiss erfüllt, wir l)ruchen lso uf sie nicht weiter Rücksicht zu nehmen, und die erste uszuführende Derivtion lässt sich unmittelbr durch ds Integrl 65) usdrücken. Mn ht dnn i'(-») r Ji- 0"+' D fi ) dcrivirbr ist, so knn mu diese Gleichung einml zwischen den Grenzen und ^ integriren und rechter Hnd die Integrtion im Index der Derivtion nzeigen, nämlich mdt_ nun ist ber wegen l<:rel/?-<0 uch l<:rel( 1 >^)<0, dher ist uch die ndere Derivtion durch ds Integrl 65) drstellbr; schreibt mn im ersten Integrle ls lutegrlionsvribele u, im zweiten dgegen t, so ht mn n-) ~ j j.^_^^-, r(i+ ) j (0_<j-»J (i5 M)»+" oder f {z) für f{z) geschrieben i\ r/ N jr/ \ sin «71? dt ( f'(ti)du,, 67) f(z) f((i) = / ^ / ' \ ^,, 1 ws die erwähnte AbeTsche Gleichung* ist. III. Die untere Grenze liegt im Unendlichen. -t-1 < rel«< 1. Wir wollen jetzt kurz noch die Derivtion mit unendlicher unterer Grenze betrchten, weil einerseits dieser Fll historisch den Ausgngspunkt dieses Clculs bildete, und die Resultte sich in der Tht häufig

27 Theorie der Derivtionen. 177 sehr einfch gestnlteii, und weil ndererseits diese Derivtion eine etws bweichende Behndlung verlngt und einige der bisherigen.sätze gewisse Modifictionen erleiden. Es bezeichne w eine reolle positive unendlich wchsende Grösse; sei ferner zur Abkürzung der Richtungscoeffizient e'f«=: j gesetzt, dnn sgt die Gleichung us, dss die untere Grenze - der Derivtion im Unendlichen liegt und zwr in einer Richtung, die mit der Richtung der Achse der positiven reellen Zhlen den Winicel y,, einschliesst. Der Integrtionsweg /C- des Detinitionsintegrles 29) wird nun zu einer unendlich lngen Schlinge, die us dem Unendlichen in der Richtung s. kommend, den Punkt z mit Ausschluss ller Ausnhmepunkte der Function f{t) einml im positiven Sinne umläuft und wieder in derselben Richtung z ins Unendliche zurückkehrt. Wir wollen diesen Integrtionsweg mit il. bezeichnen. Somit ht mn zunächst die Gleichung Es frgt sich ber, ob und wnn die so definirte Derivtion einen bestimmten endlichen Werth besitzt. Ht mn von einer gegebeneu Function f(^z) die Dei'ivtion für die endliche untere Grenze gebildet, und convergirt diese Derivtion für «= ew zu einer bestimmten eudlichen Grenze, dnn, ber uch nur dnn, wird ds Curvenintegrl in G8) eineu bestimmten endlichen Werth besitzen: dnn, und nur dnn, knn mn lso von einer Derivtion mit unendlicher unterer Grenze sprechen. Wir wollen nun sehen, wnn dieses eintritt. Die Gleichung 61) liefert uns für k =z ew und b ls gewöhnlichen Punkt der Function vorusgesetzt Die rechter Hnd vorkommende Derivtion ist nun stets endlich, so lnge b im Endlichen liegt; dher hängt die Endlichkeit der linker Hnd stehenden Derivtion mit der unendlichen Grenze sot b von der Endlichkeit des Ausdruckes -r{ n)j {z-ty+" worin b ein gewöhnlicher Punkt der Function f{t) ist und der Integrtionsweg e'j)...b keinen Ausnhmepunkt durch- oder umläuft. Wir hben somit den Stz: Die Derivtion mit unendlicher unterer Grenze soj existirt dnn und nur dnn, wenn der Ausdruck T endlich ist." Es lässt sich zwr kein llgemeines, us der Beschffenheit der Function f(f) bgeleitetes Criterium ufstellen, mittelst dessen mn in llen Fällen entsclieiden könnte, ob der Ausdruck T endlich ist oder nicht, wohl ber lässt sich eine hinreichende Bedingung dfür ngeben, nämlich: Für solche w, welche der Gleichung tili /M=o 71) genügen, ist T, und somit uch die Derivtion mit unendlicher unter Grenze soj, stets endlich." Mn sieht schon hierus, dss nicht für jedes n eine solche Derivtion existiren wird, und ds ist ein wesentlicher Unterschied zwischen einer Derivtion, deren untere Grenze endlich ist uud einer solchen, deren untere Grenze unendlich gross ist. Während jene Derivtion für lle «endlich ist, wenn f{f) der einfchen Bedingung 30) genügt, ht mn hier für jeden specielleu Fll us 70) s und n so zu bestimmen, dss der Ausdruck 7' endlich bleibt und nur für solche s und n ist dnn die Derivtion mit unendlicher unterer Grenze endlich. DenkscliriflL-n Icr mthem. nturiv. Cl. LVH. Bd. 23 >

28 178 Änton Krug, Weiter sieht mn leiclit folgenden Stz ein Ist die Derivtion endlich^ so ist uch stets die folgende endlich, wenn rel«/ > rel w." Denn in der Tiit folgt us der Endlichkeit des Ausdruckes ^ SUJ r sogleich nuch die Endlichkeit des Ausdruckes r(_n')j -n')] {z-t) nmentlich, wenn mn sich den willkürlichen Punkt h so gewählt denkt, ds längs des gnzen Integrtionsweges 0)...h stets mod (0 t) > 1 usfällt. Ein specieller Fll von diesem Stze ist die Bemerkung, dss mn die Gleichung 68), wenn sie für irgend ein n und s besteht, beiderseits nch z differenziren und rechter Hnd diese Opertion unter dem Integrlzeichen vornehmen drf, mn erhält dnn ws nichts Anderes ist, ls die Fundmentleigenschft 31) I, die somit uch noch für unendlich grosse untere Grenzen gewhrt bleibt, wenn überhupt die Derivtion J)" f(z) existirt. Bevor wir einen diese Derivtionen mit unendlicher unterer Grenze betreffenden wichtigen Stz entwickeln, möge es gestttet sein, einige einfche Beispiele zu geben. «) fiz) = 1. Hiezu liefert 39) sofort fit) dt 72) J)"{1) = 0; rel«>0 der Richtungscoefficient e ist willkürlich; für ndere // existirt diese Derivtion nicht. ß) f{z) = {z-cy. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Endlichkeit von T in 7U) lutet hier rel [p m") <:0, während e beliebig bleibt. Diese Bedingung für p und n muss lso ls erfüllt vorusgesetzt werden. Behufs Entwicklung der Derivtion unterscheiden wir zwei Fälle und für jeden dieser Fälle mg die Methode eine ndere sein. Erster Fll: rel (;j + l):>0, und dher um so mehr rel (rt+l)>0. Hier benützen wir die Gleichung 68) und zerlegen den lutegrtionsweg Q. in folgende vier Theile: 1. in die gerdlinige Strecke ew...c;