Leitfaden t=0 a tz t, mit a n 0. Es ist a 0 = f(0) 0. f(z)). Wir suchen also ein c mit f(c) < 1. Sei 1 k < n minimal mit a k 0.

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1 Leitfaden Der Fundamentalsatz der Algebra. Wir beginnen mit folgendem wesentlichen Hilfssatz: Lemma (Argand, 1814). Sei f ein nicht-konstantes Polynom und b C. Ist f(b) 0, so gibt es b C mit f(b ) < f(b). Beweis: Wir betrachten zuerst den Spezialfall b = 0. Das heißt, wir zeigen: Sei f ein nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Ist f(0) 0, so gibt es c C mit f(c) < f(0). Beweis des Spezialfalls: Sei f(z) = n t=0 a tz t, mit a n 0. Es ist a 0 = f(0) 0. Wir können annehmen, dass a 0 = 1 ist (wir betrachten statt f(z) das Polynom 1 a 0 f(z)). Wir suchen also ein c mit f(c) < 1. Sei 1 k < n minimal mit a k 0. Es ist also f(z) = 1 + a k z k + + a n z n = 1 + z k (a k + a k+1 z + a n z n k ) = 1 + z k g(z), dabei ist also g(z) das Polynom g(z) = a k + a k+1 z + a n z n k und wie wir wissen ist a k 0. Wir setzen a = a k. Es ist also g(0) = a 0. Wegen g(0) = a und 1 2 a > 0 gibt es ein δ > 0 mit ( ) g(z) a 1 2 a falls z < δ. (Hier verwenden wir, dass die Funktion g(z) im Punkt z = 0 stetig ist.) Sei t = min{1, 1 2 a δk }, es ist also t eine reelle Zahl mit Die letzte Ungleichung schreiben wir um: 0 < t 1 und 0 < t 1 2 a δk. t a 1 2 δk < δ k. Wie wir wissen, kann man aus jeder komplexen Zahl eine k-te Wurzel ziehen. Sei also c eine k-te Wurzel von t a, also c k = t a und daher c k a = t. Es folgt c k = t a < δk, und daher c < δ.

2 10-11 Funktionen (Wurzelziehen aus positiven reellen Zahlen ist streng monoton.) Wegen c < δ liefert ( ) die Abschätzung ( ) g(c) a 1 2 a. Also sehen wir f(c) = 1 + c k g(c) = 1 + c k a + c k g(c) c k a 1 + c k a + c k g(c) a 1 t + t a 1 2 a = 1 t t = t < 1. Das erste Ungleichungszeichen ist die Dreiecksungleichung und die Verträglichkeit der Betragsbildung mit der Multiplikation, das zweite gilt wegen ( ). Schließlich verwenden wir: wegen 0 < t 1 gilt 1 t = 1 t und t = t. Aus dem Spezialfall b = 0 folgt der allgemeine Fall unmittelbar: Ist nämlich f ein nicht-konstantes Polynom und b C mit f(b) 0, so setzen wir g(z) = f(z +b). Nach dem Lemma gibt es c C mit g(c) < g(0), aber f(c + b) = g(c) und f(c) = g(0). Man nehme also b = c + b. Damit ist das Argand-Lemma bewiesen. Minimumsatz von Cauchy. Sei f(z) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Es gibt c C mit f(z) f(c) für alle z C. Beweis-Idee: Man zeigt zuerst, dass es eine reelle Zahl r gibt mit f(z) f(0) für alle z mit z r. Der Beweis ist der gleiche wie bei reellen Polynomen: man verwendet nur Betragsabschätzungen, die die Koeffizienten von f(z) betreffen. Sei s = inf{ f(z) z C}, dies ist die größte reelle Zahl mit s f(z) für alle z C (das Infimum der Beträge der Funktionswerte). Man betrachtet nun das Quadrat Q 0 = {(x, y) x r, y r} R 2 = C. Wegen der Wahl von r gilt s = inf{ f(z) z Q 0 }. Nun halbiert man die Kantenlängen des Quadrats Q 0, erhält auf diese Weise vier Quadrate mit Kantenlänge s 2, und für mindestens eines dieser vier Teilquadrate, sagen wir Q 1, muss gelten: s = inf{ f(z) z Q 1 }. Nun werden die Kantenlängen des Quadrats Q 1 halbiert, um ein Quadrat Q 2 mit Kantenlänge s zu erhalten, so dass gilt: 4 s = inf{ f(z) z Q 2 },

3 Leitfaden usw. Man erhält auf diese Weise eine Folge von Quadraten Q t mit Kantenlänge s 2 t und sodass jeweils gilt: Q 0 Q 1 Q 2 s = inf{ f(z) z Q t }. Offensichtlich besteht t Q t aus einem einzigen Punkt, also einer einzigen komplexen Zahl c (denn wir erhalten ja zwei Intervall-Schachtelungen: eine auf der x-achse, die andere auf der y-achse). Man sieht nun, dass f(c) = s gelten muss (dies ist wieder eine Stetigkeitsaussage). Also gilt: f(c) f(z) für alle z C. Fundamentalsatz der Algebra (Gauß, 1799). Jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat eine komplexe Nullstelle. Beweis. Sei f(z) nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Wegen des Minimumsatzes gibt es c C mit f(z) f(c) für alle z C. Nach dem Argand- Lemma muss f(c) = 0 gelten Zur Geschichte. Betrachtet man reelle Polynome vom Grad 2, so stellt man sofort fest, dass viele keine reelle Nullstelle haben. Als allgemeine Formel für die Nullstellen von T 2 +pt +q möchte man schreiben: α = p 2 ± p 2 4 q, die rechte Seite ist aber nur definiert, falls d = p2 4 q 0 gilt. Ist dagegen d = p2 4 q < 0 so stellt sich das Problem, was man unter einer Wurzel einer negativen Zahl verstehen sollte. Es zeigt sich, dass es genügt, ein neues Symbol für eine Wurzel aus 1 einzuführen, wir haben es i genannt. Dann kann man die beiden Wurzeln aus d mit ±i d bezeichnen. Warnung. Grundsätzlich sollte man für negative Zahlen d nie d schreiben, da die Verwendung des Wurzelzeichens für negative Zahlen nicht eindeutig definiert werden kann und daher zu Rechenfehlern führen kann (und führen muss). Schreibt man stattdessen i d so bezieht man sich auf das einmal gewählte Symbol i, damit ist eine Wurzel von 1 fest gewählt. Ist man nur an reellen Zahlen interessiert, so sind die komplexen Zahlen für quadratische Polynome gar nicht hilfreich. Das ist anders, wenn man kubische Polynome betrachtet.

4 10-13 Funktionen Zum Beispiel hat das Polynom T 3 4T + 1 drei reelle Nullstellen, α 1 = 2, , α 2 = 0, , α 3 = 1, die man mit Hilfe von komplexen Zahlen gut überblicken kann (dabei spielt jeweils der Imaginärteil eine Rolle). Allgemein kann man die Nullstellen für X 3 + px + q in der Form α = 3 q q p q q p3 27 schreiben. In unserem Spezialfall p = 4, q = 1 ist q p3 27 = = , also eine negative Zahl. Die Nullstellenformel für kubische Polynome geht auf Niccolo Tartalia ( ) und Girolamo Cardano ( ). Wieder wurden bei der Formel für α Wurzelzeichen hingeschrieben, obwohl wir ja sagten, dass man dies eigentlich nicht tun soll! Die Rechenregeln für das Arbeiten mit komplexen Zahlen wurden von Rafael Bombelli ( ) formuliert, und zwar in seinem Buch L Algebra (1572). Carl Friedrich Gauss ( ) hat als erster den Fundamentalsatz der Algebra bewiesen: Jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt eine Nullstelle. Daraus folgt: Satz. Jedes nicht-konstante reelle Polynom lässt sich als Produkt von reellen Polynomen vom Grad 1 und 2 schreiben. Beweis: Sei f(t) = n t=0 c tt t ein nicht-konstantes reelles Polynom (also mit reellen Koeffizienten c t ). Wir fassen es auf als Polynom mit komplexen Koeffizienten. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt f(t) mindestens eine komplexe Nullstelle, sagen wir α. Es ist also n c tα t = 0. t=0 Daraus folgt: n c tα t = n c tα t = n c tα t = 0 = 0. t=0 t=0 t=0 Im ersten Schritt verwenden wir c t = c t, dies gilt, weil wir voraussetzen, dass alle Zahlen c t reell sind. Im zweiten Schritt verwenden wir, dass das Konjgieren mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Insgeamt sehen wir, dass mit α auch α eine Nullstelle ist. Es folgt, dass sich f(t) in der Form (T α) (T α) h(t) schreiben lässt, wobei wir zuerst einmal nur wissen, dass h(t) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten ist. Nun ist g(t) = (T α)(t α) = T 2 (α + α)t + αα

5 Leitfaden ein reelles Polynom. Teilen wir f(t) durch g(t) mit Rest, so erhalten wir reelle Polynome q(t) und r(t) mit f(t) = g(t)q(t) + r(t) mit gradr(t) < gradg(t). Also sehen wir: und daher ist g(t)h(t) = f(t) = g(t)q(t) + r(t), g(t)(h(t) q(t)) = r(t). Wäre h(t) q(t), so stände links ein Polynom vom Grad mindestens zwei, während der Grad von r(x) kleiner oder gleich ist. Dies zeigt: h(t) = q(t), also ist h(t) ein reelles Polynom. Beachte: Diese Folgerung ist eine Aussage über reelle Polynome, ohne irgend einen Verweis auf die komplexen Zahlen. Unser Beweis (und jeder andere bisher bekannte Beweis) verwendet die komplexen Zahlen Das Apfelmännchen. Sei c C. Wir betrachten die Folge komplexer Zahlen z 0 = c z 1 = c 2 + c z 2 = (c 2 + c) 2 + c z 3 = ((c 2 + c) 2 + c) 2 + c z n+1 = z n 2 + c und fragen, ob dies eine beschränkte Folge ist oder nicht (ob es also eine reelle Zahl b mit z n b für alle n N gibt). Die Mandelbrot-Menge M ist gerade die Menge aller c C, für die man eine beschränkte Folge erhält, sie ist nach Benoit Mandelbrot, der sie um 1980 studiert hat; wegen seines Aussehens nennt man M auch das Apfelmännchen. Es gibt viele Computer-Graphiken, die diese Menge (oder Ausschnitte davon) zeigen. Üblicherweise wird die Menge M schwarz gefärbt, während die Punkte im Komplement von M farbig dargestellt werden. Dabei verweisen die verschiedenen Farben darauf, wie schnell die Beträge z n wachsen. Man kann die Mandelbrot-Menge M natürlich auch ohne expliziten Hinweis auf das Rechnen mit komplexen Zahlen definieren: M ist die Menge der Punkte c = (x, y) in der

6 10-15 Funktionen reellen Ebene R 2 für die folgendes gilt: Die induktiv definierte Folge der Punkte (x n, y n ) in der Ebene R 2 mit x 0 = x, y 0 = y und x n+1 = x 2 n y2 n + x, und y n+1 = 2x n y n + y ist beschränkt (das heißt: sie liegt innerhalb eines Kreises). Interessant ist: Die Menge M ist zusammenhängend, das heißt zwischen je zwei Punkten c, c M gibt es einen Weg, der ganz in M verläuft. Das kann hier nicht gezeigt werden. (1) Die Mandelbrot-Menge M ist in der Kreisscheibe {c C c 2} mit Radius 2 enthalten. Beweis. Sei c C mit c > 2. Sei q = c 1, es ist also q > 1. Mit Induktion zeigen wir z n c q n. Induktionsanfang: Für n = 0 ist z 0 = c = c q 0. Induktionsschritt. Es ist z n+1 = (z n ) 2 + c z n 2 c ( c q n ) 2 c = c ( c q 2n 1 ) dabei ist die letzte Ungleichung die Induktionsannahme. Nun gilt aber c q 2n 1 = (q + 1)q 2n 1 = q 2n+1 + q 2n 1 q n+1 (denn 2n + 1 n + 1 und q 2n 1). Also z n+1 c ( c q 2n 1 ) c q n+1. Dies zeigt, dass die Folge z n nicht beschränkt ist. (2) Ist c M, und ist z n die zugehörige Folge, so ist z n 2 für alle n. Beweis: Sei c M. Wegen (1) wissen wir, dass c 2 gilt. Angenommen, es gilt z n > 2 für ein n. Wir setzen d = z n 2, es ist also d > 0. Es ist z n+1 = (z n ) 2 + c z n 2 c 2 z n 2 = z n + d (die zweite Ungleichung verwendet z n 2 und c 2). Wir sehen also, dass die Folge z n, z n+1, z n+2,... monoton wächst, und zwar in jedem Schritt um mindestens d. Also ist die Folge nicht beschränkt, also c / M. Dieser Widerspruch zeigt, dass z n 2 für alle z gelten muss. Computer-Programme zum Zeichnen von M verwenden (2) als Abbruchkriterium. Man gibt sich eine Schranke N (zum Beispiel N = 64) vor. Für genügend viele Bildpunkte c wird die zugehörige Folge z n bis höchstens n = N berechnet. Gilt z n 2

7 Leitfaden für alle n mit n N, so geht man davon aus, dass c (mit großer Wahrscheinlichkeit) zu M gehört und färbt den Punkt c schwarz. Andernfalls bricht man die Iteration ab, sobald man ein z n mit z n > 2 gefunden hat. Die jeweilige Färbung richtet sich nach dieser Abbruchzahl n. (3) Der Kreis {c C c 1 } ist in M enthalten. 4 Beweis: Sei c 1 4. Mit Induktion zeigt man: Die zugehörigen Folgenglieder z n erfüllen die Ungleichung z n 1 2. (4) Das reelle Intervall [ 2, 0] ist in M enthalten. Beweis: Sei c = r mit 0 r 2. Mit Induktion zeigt man: Die zugehörigen Folgenglieder z n erfüllen die Ungleichung z n r. Verallgemeinerungen: Zur Definition der Mandelbrot-Menge M hätten wir auch das Bildungsgesetz z 0 = 0, z n+1 = z n 2 + c nehmen können (dabei verschiebt sich nur der Index n um 1). Man erhält also z n+1 aus z n, indem man iterativ das Polynom f c (T) = T 2 + c anwendet: es ist z n = f n c (0). Statt des Polynoms f c (T) = T 2 + c kann man auch ein anderes Polynom f c (T) nehmen, das von einem komplexen Parameter c abhängt. Hier wird also die Menge der komplexen Zahlen c betrachtet, für die die Folge f n c (0) beschränkt ist. Man erhält auf diese Weise andere Teilmengen von C, die ebenfalls sehr reizvoll sind.... Variationen. Statt für jede komplexe Zahl ein Polynom f c (T) vorzugeben, und zu fragen, ob die Folge fc n (0) beschränkt ist oder nicht, kann man auch mit einem festen Polynom f(t) arbeiten und die komplexen Zahlen z betrachten, für die die Folge f n (z) beschränkt ist. Man erhält auf diese Weise die sogenannten Julia-Mengen (benannt nach Gaston Maurice Julia, ) und, als Komplemente, die Fatou-Mengen (benannt nach Pierre Fatou, ). Auch diese Mengen haben fast immer ein ganz bizarres Aussehen. Und nimmt man zum Beispiel das Polynom f(z) = z 2 +c mit c C, so gibt es interessante Beziehungen zwischen der zugehörigen Julia-Menge und der Mandelbrot-Menge M. Nachtrag zu und Ist z = x+yi eine komplexe Zahl, so liefert die Multiplikationsabbildung ] z z z eine lineare Abbildung R 2 R 2, die durch die Matrix beschrieben wird. Dabei [ x y y x handelt es sich für z 0 um eine Drehstreckung. Schreiben wir [ cos φ sin φ sin φ cos φ x + yi = r(cos φ + i sin φ) mit r R + und φ R, so handelt es sich gerade um die Drehstreckung mit Drehwinkel φ und Streckfaktor r. Insbesondere ] entspricht einem Punkt cos φ + i sin φ auf dem Einheitskreis die Matrix, die die Drehung um den Winkel φ (mit dem Ursprung als Drehzentrum) beschreibt.