Die Exponentialfunktion im Komplexen

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1 Kapitel 1 Die Exponentialfunktion im Komplexen Bemerkung 1.1 Motivation. Um die trigonometrischenfunktionenbequem einführenunduntersuchenzu können, ist es zweckmäßig, die Exponentialfunktionauch für komplexe Argumente zu definieren. In diesem Kapitel werden die erforderlichen Grundbegriffe dafür zu Verfügung gestellt und die Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion untersucht. 1.1 Der Körper der komplexen Zahlen Bemerkung 1. Einführung komplexer Zahlen. Beim Rechnen mit reellen Zahlen treten einige Probleme auf: Manche Polynome haben in R keine Nullstellen, zum Beispiel p(x) x + 1. Man kann keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen. Abhilfe kann man schaffen, indem man einen Körper betrachtet, der (R,+, ) umfasst. Dazu wird R in R {(a,b) : a,b R} eingettet, indem man R als x Achse {(a,0) : a R} interpretiert. Die Elemente von R müssen nun mit Verknüpfungen ausgestattet werden, welche 1. die Körpereigenschaften erfüllen. Dieser so erzeugte Körper wird mit dem Symbol (C,+, ) bezeichnet. Da die reellen Zahlen eine Teilmenge von C sind, müssen die Verknüpfungen in C für die reellen Zahlen die folgenden Bedingungen erfüllen:. Addition: (a,0) + (c,0) (a + c,0), 3. Multiplikation: (a,0) (c,0) (a c,0). Um Abhilfe für die Probleme bei den reellen Zahlen zu schaffen, muss letztlich 4. eine Zahl (a,b) C existiert mit (a,b) (a,b) ( 1,0). Definition 1.3 Komplexe Zahlen. Auf R sind folgende Verknüpfungen definiert: 1.) Addition (a,b) + (c,d) : (a + c,b + d) a,b, c, d R,.) Multiplikation (a,b) (c,d) : (ac bd,ad + bc) a,b, c, d R.

2 Die Menge R zusammen mit diesen Verknüpfungen werden komplexe Zahlen genannt und mit (C,+, ) bezeichnet. Bemerkung 1.4 Konsequenzen aus Definition Die Einschränkung aufdie x Achse liefertaddition/multiplikationderreellen Zahlen: (a,0) + (c,0) (a + c,0), (a,0) (c,0) (a c,0) a,c R.. Das neutrale Element der Multiplikation auf C ist (1,0): 3. In C existiert 1, denn (1,0) (c,d) (c,d) c,d R. (0,1) (0,1) ( 1,0). In Bemerkung.8 wird gezeigt, dass 1 nicht eindeutig ist. Für (0,1) schreibt man i (imaginäre Einheit). Satz 1.5 Körper der komplexen Zahlen. (C,+, ) bildet einen Körper, den Körper der komplexen Zahlen. Beweis: Der Beweis ist elementar, abgesehen vonder Existenz des inversen Elements der Multiplikation. Sei (a, b) (0, 0) und betrachte a a + b, «b. a + b Dann rechnet man mit Hilfe von Definition 1.3 nach «a (a, b) a + b, b a a + b a + b + b a + b, womit das inverse Elemente zu (a, b) angegeben wurde. ab a + b ab «(1, 0), a + b Bemerkung 1.6 Zur Anordnungseigenschaft. Die komplexenzahlensindnicht angeordnet, dass heißt es gibt keine Relationen wie,<,,> zwischen zwei beliebigen komplexen Zahlen. Bemerkung 1.7 Praktisches Rechnen mit komplexen Zahlen. Statt (a,b) schreibe man z a + ib, verwendet i 1 und rechnet ansonsten wie mit reellen Zahlen und mit Polynomen. Damit erhält man direkt aus Definition 1.3 (a + ib) + (c + id) (a + c) + i(b + d), (a + ib)(c + id) ac + aid + ibc + }{{} i bd (ac bd) + i(ad + bc). 1 Der Multiplikationspunkt wird oft weggelassen. Die Potenz einer komplexen Zahl mit einer natürlichen Zahl n ist mit Hilfe der binomischen Formel angebbar (a + ib) n n k0 ( ) n a n k (ib) k. k 3

3 Definition 1.8 Betrag, Realteil, Imaginärteil. Zu einer komplexen Zahl z a + ib definiert man z : a ib als die konjugiert Zahl zu z. Ferner nennt man z zz (a + ib)(a ib) a i b a + b R. den Betrag von z, siehe auch Bemerkung.4. Man nennt Re(z) a R den Realteil und Im(z) b R den Imaginärteil von z. Satz 1.9 Eigenschaften der Konjugation. Für z,z 1,z C gelten i) Re(z) 1 (z + z), Im(z) 1 i (z z), ii) z z, iii) z 1 + z z 1 + z, iv) z 1 z z 1 z. Beweis: Einfaches Nachrechnen. Bemerkung 1.10 Division komplexerzahlen, Nützlichkeit der konjugiert komplexen Zahl. Die konjugiert komplexe Zahl nutzt man beispielsweise bei der Division zweier komplexer Zahlen (a + ib)/(c + id), c + id 0. Indem man mit c id erweitert, machtmandennennerreellundkanndannwie bei reellenzahlen dividieren a + ib c id c + id c id ac iad + ibc i bd c + d ac + bd ad c + ibc + d c + d. ac + bd + i(bc ad) c + d Nun kann man auch die Potenz einer komplexen Zahl mit negativem ganzzahligem Argument erklären. Sie wird auf die Potenzierung mit einer natürlichen Zahl zurückgeführt z n 1 z n, n Z,n < 0. Satz 1.11 Eigenschaften des Betrags. Für z,z 1,z C gelten i) z 0, z 0 z 0, ii) z 1 z z 1 z, iii) z 1 + z z 1 + z, Dreiecksungleichung. Beweis: i). Einfaches Nachrechnen. ii). Es gilt iii). Zunächst gelten Damit folgt z 1z z 1z z 1z z 1z z 1z (z 1z 1)(z z ) z 1 z. Re(z z 1) Re `z z 1 Re (zz 1), Re(z 1z ) z 1z z 1 z z 1 z. z 1 + z (z 1 + z )(z 1 + z ) z 1z 1 + z 1z + z z 1 + z z z 1z 1 + z 1z + z 1z + z z z 1 + Re (z 1z ) + z z 1 + z 1 z + z ` z 1 + z. 4

4 1. Folgen und Reihen im Komplexen Bemerkung 1.1 Übertragung von Eigenschaften aus dem Reellen. Nun ist maninderlage, Konvergenzbetrachtungenvom Reellen ins Komplexe zuübertragen. Alle Behauptungen und Beweise, die nicht von der Anordnung der reellen Zahlen, sondern außer von den Körperaxiomen nur vom Absolutbetrag und seinen Eigenschaften Gebrauch machen, bleiben ohne Änderungen gültig. Im Folgenden werden diese Aussagen ohne weitere Begründungen zusammengestellt. Definition 1.13 Konvergente Folge komplexerzahlen, beschränkte Folge. Seien {z n } n N eine Folge komplexer Zahlen und z C. Die Folge {z n } n N heißt konvergent gegen z und z heißt Grenzwert dieser Folge, geschrieben lim n z n z, wenn für alle ε > 0 ein n 0 N existiert, so dass für alle n n 0 gilt z n z < ε. Die Folge {z n } n N heißt beschränkt, wenn ein c R existiert, so dass z n c für alle n N gilt. Bemerkung 1.14 Zum Grenzwert. Folgende Eigenschaften übertragen sich aus dem Reellen: Der Grenzwert ist eindeutig. Konvergente Folgen sind beschränkt. Rechenregeln für Grenzwerte. Die Eigenschaft der Monotonie gibt es für Folgen komplexer Zahlen nicht. Satz 1.15 Rückführung der Konvergenz auf Konvergenz im Reellen. Für jede Folge {z n } n N C gilt: {z n } n N ist konvergent genau dann wenn {Re(z n )} n N und {Im(z n )} n N konvergent sind. Ist {z n } n N konvergent, so gilt lim z n lim Re(z n) + i lim Im(z n). n n n Beweis: Seien a, b R. Der Beweis nutzt die elementaren Abschätzungen a, b a + ib p a + b a + b. Setzt z n a n + ib n, z a + ib.. Seien lim n z n z und ε > 0. Dann gibt es ein n 0 N mit z z n < ε für alle n n 0. Nach der linken obigen Abschätzung gelten insbesondere a n a z n z < ε, b n b z n z < ε, woraus lim n a n a und lim n b n b folgen.. Gelten lim n a n a und lim n b n b und sei ε > 0. Dann gibt es ein n 1 N mit a n a < ε/ für n n 1 und ein n N mit b n b < ε/ für n n. Für n n 0 : max{n 1, n } gilt mit der rechten obigen Ungleichung Daraus folgt die Behauptung. z n z a n a + b n b < ε. Definition 1.16 Cauchy Folge. Die Folge {z n } n N komplexer Zahlen heißt Cauchy Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 N so gibt, dass für alle m,n n 0 gilt z m z n < ε. Satz 1.17 Rückführung auf reelle Cauchy Folgen. Die Folge {z n } n N C ist genau dann eine Cauchy Folge, wenn {Re(z n )} n N und {Im(z n )} n N Cauchy Folgen sind. 5

5 Beweis: Der Beweis ist analog zum Beweis von Satz Satz 1.18 Zusammenhang Konvergenz Cauchy Folge. Ein komplexezahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy Folge ist. Beweis: Das folgtaus Satz1.15, Satz1.17unddem Cauchy Konvergenzkriterium für reelle Folgen. Bemerkung 1.19 Reihen. ReihenkomplexerZahlenundihre Konvergenz werden genau wie im Reellen erklärt. So bezeichnet k1 z k sowohl die Folge {s n } n N der Partialsummen n s n z k, k1 als auch, wenn die Reihe konvergiert, ihren Grenzwert z z k lim k1 n n k1 z k lim n s n. Definition 1.0 Absolut konvergente Reihe. Eine Reihe k1 z k, z k C, heißt absolut konvergent, wenn die Reihe z k k1 konvergiert. Bemerkung 1.1 Übertragung von Sachverhalten aus dem Reellen. Folgende Sachverhalte aus dem Reellen lassen sich nun wortwörtlich übertragen: Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen, absolute Konvergenz Konvergenz, Umordnungssatz, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Cauchy Produkt (Summierungüber diediagonalen dereinzelnensummanden) ( n ) a n b m a m b n m. n0 m0 Das Ziel ist nun die Betrachtung der Exponentialreihe mit komplexem Argument. Definition 1. Exponentialreihe. Die Exponentialreihe für komplexes Argument besitzt die Gestalt exp(z) : e z : n0 n0 m0 z n n!, z C. Satz 1.3 Absolute KonvergenzderExponentialreihe. Die Exponentialreihe ist für jedes z C absolut konvergent. 6

6 Beweis: Der Beweis erfolgt wie im Reellen, mit dem Quotientenkriterium. Satz 1.4 Eigenschaften der Exponentialreihe. i) Für alle z,w C gilt e z+w e z e w. ii) Es gilt e z 0 für alle z C. iii) Es gilt e z e z für alle z C. iv) Ist z C rein imaginär, das heißt z ib mit b R, dann ist e z 1. Beweis: i). Mit dem Cauchy Produkt folgt!! X e z e w z n X w m n! m! n0 m0 X n0 nx m0! z m w n m. m!(n m)! Die Binomische Formel besitzt die Gestalt! nx (z + w) n n nx z m w n m z m w n m n n! m m!(n m)! n! X z m w n m m!(n m)!. m0 m0 m0 Setzt man dies in das Cauchy Produkt ein, so erhält man die Behauptung X e z e w (z + w) n n! n0 e z+w. ii). Das folgt aus i) und e z e z e z z e 0 X n0 0 n n! Damit kann keiner der Faktoren Null sein. iii). Sei s n(z) P n k0 zk /k!. Dann gilt nach Satz 1.9 Mit Satz 1.15 folgt dann e z lim n lim n s n (z) nx k0 Re(sn(z)) + i lim n s n(z) iv). Mit iii) und i) gilt für b R z k n k! X k0 lim n sn (z) ez. 1 für alle z C. z k n k! X k0 z k k! sn(z). Im(sn(z)) lim Re(sn(z)) i lim Im(sn(z)) n n e ib e ib e ib e ib e ib e ib e ib e ib ib e

7 Kapitel Die trigonometrischen Funktionen Bemerkung.1 Inhalt. Ziel dieses Kapitels ist es in bequemer Art und Weise den Sinus und den Cosinus einzuführen. Danach wird auf die Zahl π eingegangen. Im Anschluss werdendieumkehrfunktionendertrigonometrischenfunktioneneingeführt. Zum Schluss wird eine geometrische Interpretation der komplexen Zahlen vorgestellt, mitwelchermangewisse Rechenoperationenbesser ausführenkann, als mit der bereits bekannten Darstellung..1 Sinus und Cosinus Definition. Sinus, Cosinus. Sei x R, dann setzt man cos x : Re ( e ix), sinx : Im ( e ix). Bemerkung.3 Einfache Folgerungen. Es gelten also e ix cos x + isinx, cos x 1 ( e ix + e ix), sinx 1 ( e ix e ix). i Die erste Formel heißt Euler 1 sche Formel. Es folgen sofort cos( x) cos x, sin( x) sinx. Mit Satz 1.4 iv), ergibt sich e ix 1 sin x + cos x cos x 1, sinx 1. Satz.4 Additionstheoreme dertrigonometrischenfunktionen. Für x,y R gelten cos(x + y) cos xcos y sinxsiny, sin(x + y) sinxcos y + cos xsiny. 1 Leonhard Euler ( ) 8

8 Beweis: Es ist cos(x + y) + isin(x + y) e i(x+y) e ix e iy (cos x + isin x)(cos y + isin y) (cos xcos y sin xsin y) + i(sin xcos y + cos xsin y). Die Behauptung folgt durch Vergleich von Real und Imaginärteil. Bemerkung.5 Andere Additionstheoreme. Aus den eben bewiesenen Additionstheoremen lassen sich alle anderen Addtionstheorem herleiten. Es folgt beispielsweise: cos(3x) cos(x + x) cos(x) cos x sin(x) sinx (cos xcos x sinxsinx) cos x (sinxcos x + sinxcos x) sinx cos 3 x 3 sin xcos x cos 3 x 3(1 cos ) cos x 4cos 3 x 3 cos x. Weitere Beispiele: Übungsaufgaben. Satz.6 Reihendarstellungen. Für x R gelten cos x ( 1) k x k (k)! 1 x! + x4 4!... sinx k0 k0 Die Reihen sind absolut konvergent. ( 1) k x k+1 (k + 1)! x x3 3! + x5 5!... Beweis: Die absolute Konvergenz folgt nach dem Majorantenkriterium aus der absolution Konvergenz der Exponentialreihe. Insbesondere darf die Exponentialreihe umgeordnet werden, ohne dass sich der Reihenwert ändert. Es ist cos x + isin x e ix X n0 (ix) n n! X n0 i n x n n! 1 0! + i x 1! x! ix3 3! + x4 4! + ix5 5! x6 6! ix7 7! +... ««1 x! + x4 4! x6 6! i x x3 3! + x5 5! x7 7! Satz 1.15 (erste Summe konvergiert gegen Re(e ix ), zweite Summe gegen Im(e ix )) und der Vergleich von Real und Imaginärteil ergeben die Behauptung. Die obigen Reihen sind die Taylor Reihen von cos x und sinx im Entwicklungspunkt x 0. Satz.7 Abschätzungen für die Restglieder. Für die durch n cos x ( 1) k x k (k)! + R n+(x), sinx k0 n k0 definierten Restglieder gelten die Abschätzungen ( 1) k x k+1 (k + 1)! + R n+3(x) R m (x) < x m m! für x m + 1, m {n +,n + 3}. 9

9 Beweis: Es ist R n+(x) mit : x n+ (n + )! 1 x (n + 3)(n + 4) + x 4 (n + 3)(n + 4)(n + 5)(n + 6)... x n+ 1 a1 + a... (n + )! a k Es gilt, mit a 0 1, die Rekursion x k (n + 3)... (n + k + ). x a k a k 1, k 1,, 3,.... (n + k + 1)(n + k + ) Für x n + 3 ist der Zähler des obigen Bruches kleiner als der Nenner, woraus folgt. Damit gelten also 0 < a k < a k 1, k 1,, a 1 + a a 3 + a 4... (1 a 1) + (a a 3) +... > 0, 1 a 1 + a a 3 + a (a 1 a ) (a 3 a 4)... < 1, (1 a 1 + a a 3 + a 4...) (0, 1) 1 a 1 + a a 3 + a 4... < 1. Einsetzen in die erste Gleichung vom Beweis ergibt R n+(x) < x n+ (n + )!. Der Beweis für das andere Restglied erfolgt analog. Folgerung.8 Es gilt sinx lim x 0 x 1. Beweis: Nach Satz.7 ist sin x x < x3, für x 4. 6 Division durch x und Grenzübergang x 0 ergeben die Behauptung. Satz.9 Stetigkeit von Cosinus und Sinus. Die Funktionen cos x und sinx sind stetig. Beweis: Es gilt für z, w C und z w 1 e z e w e w ez w 1 e w (z w) 1 + (z w) + +! e w z w (z w) (z w) ! 3! «e w z w z w z w ! 3! e w z w 1 + 1! + 1 3! +... e w z w (e 1) e w z w. (z w)3 3!

10 Seien x, x 0 R. Dann ist cos x cos x 0 Re e ix Re e ix 0 Re e ix e ix 0 e ix e ix 0 e ix 0 ix ix 0 e ix 0 i x x 0 e ix 0 x x 0 für x x 0 1. Nun folgt die Aussage für den Cosinus durch Anwendung der Definition für die Stetigkeit, also Betrachtung von x x 0. Der Beweis für den Sinus ist analog.. Die Zahl π Bemerkung.10 Motivation. Die Zahl π wird klassisch als das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser definiert. Hier wird sie in ganz anderer Weise eingeführt. Die nachfolgenden Behauptungen dienen der Vorbereitung. Lemma.11 Es gilt sinx > 0 für x (0,]. Beweis: Nach Satz.7 ist sin x x 1 + R3(x) «x mit R3(x) x < x 6 für x 4. Für x (0, ] gilt also R3(x) x < 6 3. Es folgt sin(x) x 1 + R3(x) «> x 1 «x x 3 3 > 0. Lemma.1 In [0,] ist cos x streng monoton fallen. Beweis: Setze u (x + y)/ und v (x y)/. Dann folgen aus Satz.4 Daraus folgt cos x cos(u + v) cos u cos v sin u sin v, cos y cos(u v) cos u cos v + sin u sin v. cos x + cos y sin u sin v sin Betrachte 0 y < x. Dann sind x + y (0, ), x y x + y x y sin. (0, 1). Nach Lemma.11 ist damit die rechte Seite positiv, das heißt cos x + cos y > 0 cos x < cos y. Lemma.13 Es gilt cos < 0. 11

11 Beweis: Nach Satz.7 ist Insbesondere gilt also cos x 1 x Damit folgt die Behauptung. + R4(x) mit R4(x) < x 4 4! für x 5. cos 1 + R 4() mit R 4() < Bemerkung.14 Direkte Folgerungen. Wir wissen damit über die Funktion f(x) cos x in [0,]: f(x) ist stetig, f(0) Re(e 0i ) Re(e 0 ) Re(1) 1, f() < 0. Nach dem Zwischenwertsatz existiert damit ein x 0 (0,) mit f(x 0 ) 0. Da f(x) streng monoton fällt, gibt es sogar genau eine Nullstelle x 0. Definition.15 Die Zahl π. Die eindeutig bestimmte Nullstelle der Funktion cos x im Intervall (0,) wird mit π/ bezeichnet. Bemerkung.16 Zur Zahl π. Näherungsweise Berechnung ergibt π Aus cos(π/) 0 ergeben sich einige spezielle Werte für die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktion. Es ist nach Bemerkung.3 Wegen Lemma.11 folgt Daraus folgen sin π 1 cos π 1. sin π 1 ei π cos π + isin π i. e πi ( e i π ) i 1, e 3 πi i, e πi 1 und hieraus x 0 π/ π 3π/ π sinx cos x Folgerung.17 Spezielle Argumentverschiebungen, Periodiziät. Für alle x R gelten cos(x + π) cos x, sin(x + π) sinx, cos(x + π) cos x, sin(x + π) sinx, ( cos x + π ) ( sinx, sin x + π ) cos x, ( π ) ( π ) cos x sinx, sin x cos x. 1

12 Beweis: Das folgt mit Hilfe der Additionstheoreme, Übungsaufgabe. Satz.18 Nullstellen. Es gelten {x R : sinx 0} {kπ : k Z}, {( {x R : cos x 0} k + 1 ) } π : k Z. Die Funktionen sind in Abbildung.1 dargestellt. Beweis: Betrachte zunächst den Sinus. Das sin(kπ) 0 für alle k Z gilt ist nach den speziellen Funktionswerten aus Bemerkung.16 und der Periodizität aus Folgerung.17 klar. Es bleibt zu zeigen, dass es keine weiteren Nullstellen gibt. Sei x R eine Zahl mit sin x 0. Man kann x eindeutig darstellen durch x kπ + x 1 mit k Z und x 1 [0, π). Dann ist sin x 1 sin(x kπ) sin xcos(kπ) cos xsin(kπ) Nach Lemma.11 gilt sin x 1 > 0 für x 1 (0, π/). Für x 1 [π/, π) ist π sin x 1 cos x1 cos x 1 π > 0 wegen x 1 π [0, π ) und der Definition von π/ als einzige Nullstelle des Cosinus in [0, ]. Also muss x 1 0 sein und damit x kπ. Wegen cos x sin(x + π/) folgt die zweite Behauptung aus der ersten. Abbildung.1: Funktionen sinx und cos x (links nach rechts)..3 Weitere trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktionen Definition.19 Tangens, Cotangens. Die Tangensfunktion ist definiert als tanx : sinx {( cos x, für x R \ k + 1 ) } π : k Z. Die Cotangensfunktion ist definiert als cot x : cos x sinx, Die Funktionen sind in Abbildung. dargestellt. für x R \ {kπ : k Z}. 13

13 Abbildung.: Funktionen tanx und cot x (links nach rechts). Bemerkung.0 Die Wohldefiniertheit des Tangens und des Cotangens sind dadurch gesichert, dass nicht durch Null dividiert wird. Weitere wichtige Funktionen ergeben sich als Umkehrfunktionen der bisher eingeführtentrigonometrischenfunktionen. Dadie trigonometrischenfunktionenaber nicht injektiv sind, existieren Umkehrfunktionen nur für geeignete Einschränkungen. Satz.1 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. i) Die Einschränkung von cos x in [0,π] ist streng monoton fallend und eine bijektive Abbildung auf [ 1,1]. Die Umkehrfunktion wird mit arccos : [ 1,1] R ([ 1,1] [0,π]) Arcus Cosinus bezeichnet. ii) Die Einschränkung von sinx auf [ π/,π/] ist streng monoton wachsend und bijektiv auf [ 1,1]. Die Umkehrfunktion wird mit arcsin : [ 1,1] R ([ 1,1] [ π/,π/]) Arcus Sinus bezeichnet. iii) Die Einschränkung von tanx auf ( π/,π/) ist streng monoton wachsend und bijektiv auf R. Die Umkehrfunktion wird mit arctan : R R (R [ π/,π/]) Arcus Tangens bezeichnet. iv) DieEinschränkung von cot x auf (0,π) iststreng monoton fallend und bijektiv auf R. Die Umkehrfunktion wird mit arccot : R R (R [0,π]) Arcus Cotangens bezeichnet. Die Umkehrfunktionen sind in Abbildung.3 dargestellt. Beweis: Der Beweis erfolgt leicht mit Hilfe der bisher bekannten Ergebnisse..4 Alternative Darstellung der komplexen Zahlen Bemerkung. Motivation. Eswirdjetztnoch eine altenative Darstellung von komplexen Zahlen eingeführt, die insbesondere das Potenzieren erleichert. 14

14 Abbildung.3: Funktionen arccos(ϕ), arcsin(ϕ), arctan(ϕ) und arccot(ϕ) (links nach rechts, oben nach unten). Satz.3 Alternative Darstellung komplexer Zahlen. Jede komplexe Zahl z C ist darstellbar in der Form z re iϕ r (cos ϕ + isinϕ) mit r z und einer reellen Zahl ϕ [0,π). Man nennt ϕ das Argument von z. Für z 0 ist ϕ eindeutig bestimmt. Beweis: Für z 0 ist z 0e iϕ mit beliebigem ϕ. Seien z 0 und r z. Dann ist z r x + iy, z x, y R mit r r r 1. Damit folgt x + y 1. Also ist x [ 1, 1]. Daher ist α arccos x [0, π] eindeutig definiert. Wegen cos α x ist sin α 1 cos α 1 x y. Damit gilt sin α ±y. Setze nun j α falls sin α y, ϕ π α falls sin α y und α 0. Damit ist ϕ [0, π). Dann gelten für die beiden obigen Fälle j ff sin α sin ϕ y, sin(π α) sin( α) sin α ( y) j ff cos α cos ϕ x. cos(π α) cos( α) cos α Es folgt z r (x + iy) r (cos ϕ + isin ϕ) re iϕ. Nun muss noch gezeigt werden, dass das Argument eindeutig ist. Sei ψ [0, π). Aus e iϕ e iψ folgt e i(ϕ ψ) 1, also cos(ϕ ψ) 1 und sin(ϕ ψ) 0. Ist o.b.d.a. ϕ > ψ, dann folgt aus Satz.17 ϕ ψ π oder ϕ ψ 0. Die Beziehung für den Cosinus gilt jedoch nur im zweiten Fall, also ist ϕ ψ. 15

15 Bemerkung.4 Geometrische Interpretation. Mankannz als Vektor (a,b) R betrachten. In diesem Zusammenhang nennt man den R auch Gauß sche Zahlenebene. In ihr ist z der an der x Achse gespiegelte Vektor, und z a + b ist die Längedes Vektors, siehe Abbildung.4. Das ArgumentistderWinkelzwischen dem Vektor, der eine komplexe Zahl definiert, und der positiven x Achse. Das Argument ϕ wird im Bogenmaß angegeben und es ist nur bis auf eine Periode von π bestimmt. Man nennt den Wert ϕ 0 mit π < ϕ 0 π den Hauptwert. Abbildung.4: Geometrische Interpretation von komplexen Zahlen. Bemerkung.5 Umrechnung zwischen den Darstellungen. Die Umrechnungenwurdenbereits im Beweis vonsatz.3angegeben. Seieine komplexe Zahl mit Radius r und Argument ϕ gegeben. Dann erhält man die Größen für die anderen Darstellungen mittels Realteil: a r cos ϕ, Imaginärteil: b r sinϕ. Andersherum gilt r a + b. Aus dem Beweis von Satz.3 folgt tanϕ sinϕ cos ϕ b ( ) b ϕ arctan falls a 0, ϕ π a a sonst. Bei der Berechnung von ϕ muss man beachten, dass der Arkustangens nur Werte in zwischen π/ und π/ liefert. Falls der Realteil von z negativ ist, muss man dann noch die Periode π des Tangens addieren um ein Argument zu erhalten. Dann muss man gegebenenfalls noch den Hauptwert bestimmen. Bemerkung.6 Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Betrag und Argument. Seien zwei komplexe Zahlen z 1 r 1 (cos ϕ 1 + isinϕ 1 ), z r (cos ϕ + isinϕ ) gegeben, dann folgt, mit Hilfe der Binomischen Gesetze und von Additionstheoremen von Winkelfunktionen, z 1 z r 1 (cos ϕ 1 + isinϕ 1 )r (cos ϕ + isinϕ ) ] r 1 r [(cos ϕ 1 cos ϕ sinϕ 1 sinϕ ) + i(cosϕ 1 sinϕ + sinϕ 1 cos ϕ ) ] r 1 r [(cos(ϕ 1 + ϕ ) + i(sin(ϕ 1 + ϕ )). Man sieht, die Beträge multiplizieren sich und die Argumente addieren sich. Sind die beiden Zahlen mit der Eulerschen Zahl gegeben, so gilt mit bekannten Potenzgesetzen z 1 z r 1 e iϕ1 r e iϕ r 1 r e i(ϕ1+ϕ). Carl Friedrich Gauß ( ) 16

16 Die Division wird auch hier auf die Multiplikation zurückgeführt ] z 1 z r 1z 1 r [(cos(ϕ 1 ϕ ) + i(sin(ϕ 1 ϕ )) z z z r r [ ] 1 (cos(ϕ 1 ϕ ) + i(sin(ϕ 1 ϕ )). r Bemerkung.7 Addition komplexerzahlen mit Betrag undargument.. Die Addition komplexer Zahlen, die mit Betrag und Argument gegeben sind, kann man nicht einfach darstellen. Man rechnet in diesem Fall die Zahlen erst in die Darstellung mit a und b um und addiert dann. Bemerkung.8 Potenzierung komplexer Zahlen. Die Potenzierung komplexer Zahlen lässt sich in der Betrag Argument Schreibweise einfach ausführen. Sei n N. Dann gelten die Formeln (r (cos(ϕ) + isin(ϕ))) n r n (cos(nϕ) + isin(nϕ)), ( re iϕ ) n r n e inϕ. Diese Formeln werden Moivre 3 sche Formeln genannt. Die Potenz mit negativem ganzzahligem Argument wird auf die Potenzierung mit einer natürlichen Zahl zurückgeführt, siehe Bemerkung Speziell gilt ( re iϕ ) n 1 (re iϕ ) n 1 r n e inϕ rn e inϕ, das heißt, die Moivresche Formel gilt auch in diesem Fall. Als nächstes wird der gebrochen rationale Exponent 1/n mit n N betrachtet. Man definiert n z : {w C : w n z}. Man rechnet für z r(cos ϕ 0 + isinϕ 0 ) mit der Moivreschen Formel nach, dass die Lösungen die Gestalt { [ ( ) ( ) n z n ] ϕ0 + kπ ϕ0 + kπ r cos + isin,k 0,1,...,n 1} n n { besitzen. Alle Argumente n re i ϕ 0 +kπ n,k 0,1,...,n 1 ϕ 0 + kπ n } ϕ 0 n + π k n sindverschieden, da0 k/n <1undmaninnerhalbeinerPeriode derwinkelfunktionen bleibt. Man hat also n verschiedene Lösungen! DenallgemeinengebrochenrationalenExponentenführtmanaufbereits behandelte Fälle zurück z m n (z 1 n ) m. IstderExponentirrational, erhältmanunendlichviele Lösungen. DieserFallist aber für die Praxis nicht interessant. 3 Abraham de Moivre ( ) 17

17 Beispiel.9 Potenzierung mit gebrochen rationalem Exponenten. Betrachte die dritte Wurzel von z i. Zuerst muss man diese Zahl in eine passende Gestalt umrechnen, beispielsweise z cos(π/) + isin(π/). Das heißt ϕ 0 π/. Dann folgt { ( ) ( ) ( ) ( ) 3 π/ π/ π/ + π π/ + π i cos + isin,cos + isin, ( ) ( )} π/ + 4π π/ + 4π cos + isin 3 3 { ( π ) ( π ) ( ) ( ) 5π 5π cos + isin,cos + isin, ( ) ( )} 9π 9π cos + isin Bedeutung der komplexen Zahlen Bemerkung.30 Motivation. Nunwirdaufdie BedeutungderkomplexenZahlen für die Nullstellen von Polynomen eingegangen. Satz.31 Fundamentalsatz der Algebra. Jedes komplexwertige Polynom p C[z] mit Grad deg(p) > 0 hat eine Nullstelle in C. Man sagt C ist algebraisch abgeschlossen. Beweis: Siehe Literatur. Folgerung.3 Jedes Polynom p C[z] mit deg(p) n > 1 zerfällt in n Linearfaktoren, das heißt ist p(z) n a k z k, a k C, k 0,...,n, a n 0, k0 dann existieren n Nullstellen z 1,...,z n C von p(z) und die Zerlegung p(z) a n (z z 1 )(z z )... (z z n ). Beispiel.33 Betrachte das Polynom p(z) z 3z +5. Dieses besitzt die Nullstellen z 1, 3 ± woraus man die Zerlegung p(z) ( 3 ± 31 4 z i )( 3 ± z 3 ) i 3 4 ± i 31 4, erhält. Bemerkung.34 Fazit von Kapitel 1 und. Eswurdeerstmals eine komplexwertige FunktioneinerkomplexenVeränderlichen betrachtet: die komplexe Exponentialfunktion. Die Untersuchung solcher Funktionen ist ein Teilgebiet der Analysis, die Funktionentheorie. 18

18 Die trigonometrischen Funktionen wurden alternativ zur klassichen Herangehensweise eingeführt. Einige Eigenschaften, wie Nullstellen und Periodizität, erfordern bei der alternativen Einführung etwas mehr Aufwand beim Beweis. Andere Eigenschaften, wie Additionstheoreme, lassen sich wesentlich einfacher beweisen. Es wurden zwei Darstellungen für komplexe Zahlen eingeführt. Dabei stellt sich heraus, dass es Operationengibt, fürwelche eine derbeidendarstellungen günstiger als die andere ist. 19