3.2 Trigonometrische Funktionen

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1 3. Trigonometrische Funktionen Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen in Winkelgraden angegeben. Hier entspricht der Winkelgrad α = 360 o der Bogenlänge x = π, und Anteile am Vollkreiswinkel 360 o werden entsprechend in Anteile des Kreisumfangs umgerechnet: α = 360o t entspricht x = π t d.h. die Bogenlänge zum Winkel α ist x = π 80 α. (i) Sinus Als Winkelfunktion ist die Sinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Gegenkathete ] ist sinα = Hypotenuse, wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π,π] ist sinα = sin(π α). Für α [π,π] ist sinα = sin(α π). Ist x R, dann schreiben wir x = mπ +α mit m Z, α [0,π), und setzen sinx = sinα. Dadurchist die Sinus-FunktionaufganzRerklärt.Sie ist periodisch mit Periode π, d.h. sin(x + π) = sin(x). Ihr Wertebereich ist W(sin) = {y R : y } = [,]. π/ α Gegenkathete Hypothenuse α Ankathete Diese Skizze zeigt noch einmal die Größen, die bei der Definition der trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen. (ii) Cosinus: Als Winkelfunktion ist die Cosinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Ankathete ] ist cosα = Hypotenuse, wobei hier die (Länge der) Ankathete bzw. Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π,π] ist cosα = cos(π α). Für α [π,π] ist cosα = cos(α π). 69

2 x Abbildung : Graphen von sinx (rot) und cosx (blau) Ist x R, dann schreiben wir x = mπ +α mit m Z, α [0,π), und setzen cosx = cosα. Auch die Cosinus-Funktion ist periodisch mit Periode π. Ihr Wertebereich ist ebenfalls W(cos) = [,]. Es gilt sin(x+ π ) = cosx und sin(x) = cos(x π ) Das bedeutet, dass der Graph der Sinus-Funktion aus dem Graphen der Cosinus-Funktion durch Verschiebung um π/ nach rechts entsteht. (iii) Tangens: Als Winkelfunktion ist die Tangens-Funktion für einen Winkel α [0, π ) definiert als tanα = Gegenkathete Ankathete wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Es ist also tanα = sinα cosα Wie vorher wird tan fortgesetzt, diesmal allerdings nur auf den Definitionsbereich D = {x R : x π +m π, m Z}, und es ist tan : D R, tanx = sinx cosx. Als Wertebereich ergibt sich W(tan) = R. Der Tangens ist auf den Intervallen ( π +zπ, π +zπ), z Z, streng monoton wachsend. (iv) Cotangens: Diese Funktion ist auf D = {x R x m π, m Z} definiert durch cotx = cosx sinx. Als Wertebereich ergibt sich W(cot) = R. Der Cotangens ist streng monoton fallend auf den Intervallen (zπ,π+zπ), z Z. 70

3 0 8 y x Abbildung 3: Graphen von tanx (rot) und cotx (blau) Im folgenden Bild sind die Graphen für den Tangens rot und den Cotangens blau eingezeichnet. Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen. Einige spezielle Werte sind 0 π/6 π/4 π/3 π/ sin 0 3 cos 3 0 tan cot

4 . Periodizität: sin(x+π) = sinx, cos(x+π) = cosx 3. Symmetrie: sin( x) = sinx, cos( x) = cosx (sin ist eine ungerade und cos eine gerade Funktion.) 4. Satz des Pythagoras: sin x+cos x =. 5. Additionstheoreme: sin(x+y) = sinx cosy +cosx siny cos(x+y) = cosx cosy sinx siny 6. Die trigonometrische Funktion tan ist streng monoton steigend auf ( π/, π/) und die Funktion cot ist streng monoton fallend auf (0/π) (und den entsprechend verschobenen Intervallen). 7. Verschiebungen um π/ und π: sin(x+ π ) = cos(x) cos(x π ) = sin(x) sin(x+π) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) tan(x+π) = tan(x) tan(x+ π ) = cot(x) cot(x+ π ) = tan(x) cot(x+π) = cot(x) tan(x) = cot(x). 7

5 4 Folgen und Stetigkeit 4. Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a = (a,a,a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt an, an welcher Stelle in der Folge die Zahl a n steht. Beispiel 4.. Mit a n = n ist a = (a n ) = (,4,9,6,...) die Folge der Quadratzahlen in N.. Mit b n = n ist b = (b n) n N = (,, 3, 4,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. 3. Mit c n = ( ) n ist c = (c n ) n N = (,,,,,...). 4. Mit d n = n ist d = (d n ) n N = (,4,8,6,3,64,8,...) die Folge der Zweierpotenzen. 5. Mit y n = ( 3) n ist 6. Ist x n = (+ n )n, dann ist y = (y n ) n N = ( 3, 9, 7, 8, 43,...). x = (x n ) n N = (, 9 4, 64 7, 65 56,...) Einige weitere Folgenglieder sind in der folgenden Tabelle angegeben: n x n n x n Die sogenannte Fibonacci-Folge ist die Folge (a n ) n N mit a = a = und a n = a n +a n für n 3. Die ersten Folgenglieder sind a = (,,,3,5,8,3,,34,...). Die Zahl a n heißt die n-te Fibonaccizahl. 73

6 Folgen lassen sich auch als Abbildungen auffassen. Eine Folge ist eine Abbildung a : N R mit Definitionsbereich N. Für den Wert a(n) an der Stelle n schreibt man üblicherweise a n. Der Wert a n heißt n-tes Folgenglied von a. Die Fibonacci-Folge heißt rekursiv definiert, da man zur Berechnung eines Folgenglieds a n die vorherigen Folgenglieder benötigt (und Anfangswerte). Die anderen Folgen hingegen sind explizit definiert, da sich jedes a n direkt aus dem Index n berechnen lässt. Man kann auch für die Fibonacci-Folge eine explizite Formel angeben. Man kann zeigen, dass die n-te Fibonacci-Zahl a n a n = ( + 5 ) n ( 5 ist. Wir können eine Folge a = (a n ) n N graphisch veranschaulichen, indem wir die Punkte mit den Koordinaten (n,a n ) für einige Werte von n in ein Koordinatensystem zeichnen. Wir tun dies hier für die ersten sechs Beispiele. 5 ) n 400 Beispiel 3.. Beispiel x x Beispiel 3..4 Beispiel x x 74

7 Beispiel 3..6 fuer n<00 Beispiel 3..6 fuer n< x x Für uns in dieser Vorlesung sind die geometrischen Folgen sehr wichtig: Eine Folge a = (a n ) n N mit a n 0 für alle n N heißt geometrisch, wenn der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl q R gibt, so dass gilt a n+ a n = q für alle n N. Beispiel 4. Die Folge aus Beispiel 4..4 ist geometrisch, denn d n+ = n+ = für alle n N. d n n Ebenso ist jede Folge mit der Vorschrift d n = q n für ein festes q R geometrisch. Die anderen Folgen in Beispiel 4. sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = n b 3 = b 3, aber b 4 = 3 b 3 4. Für eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten gilt a n+ = qa n und daher a n+ a n = q a = qa, a 3 = qa = q a, a 4 = qa 3 = q 3 a und allgemein a n = a q n oder a n = a 0 q n 75

8 wobei a 0 := a q. Wir können a 0 als das nullte Folgenglied auffassen. Eine geometrische Folge ist also vollständig durch den Quotienten q und einen Anfangswert a 0 (oder a ) bestimmt. Etwas weniger wichtig (und auch uninteressanter) sind die arithmetischen Folgen: Eine Folge a = (a n ) n N heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl d R gibt, so dass gilt a n+ a n = d für alle n N. Beispiel 4.3 Die Folge a = (a n ) n N mit a n = 3n 7 ist arithmetisch, denn a n+ a n = 3(n+) 7 ( 3n 7 ) = 3 für alle n N. Die ersten Folgenglieder sind 4,,, 5, 8,... Ist eine Folge a = (a n ) n N arithmetisch mit der konstanten Differenz a n+ a n = d für alle n N, dann gilt a n+ = d+a n und die einzelnen Folgenglieder ergeben sich durch a = d+a, a 3 = d+a = d+d+a = d+a, a 4 = d+a 3 = 3d+a und allgemein a n = (n )d+a oder a n = nd+a 0 wobei a 0 = a d wie bei der geometrischen Folge als nulltes Folgenglied interpretiert werden kann. Eine arithmetische Folge ist also vollständig durch die Differenz d und einen Anfangswert a 0 (oder a ) bestimmt. Ähnlich wie für Abbildungen wollen wir nun die Begriffe Monotonie und Beschränktheit für Folgen erklären. Zusätzlich gibt es noch den Begriff der alternierenden Folge(machen Sie sich klar, dass die Begriffe Monotonie und Beschränktheit sowohl für Folgen als auch reelle Funktionen sinnvoll sind, alternierend aber für Abbildungen auf R nicht sinnvoll definiert werden kann). 76

9 Eine Folge a heißt konstant, falls a n+ = a n für alle n N gilt. Eine Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls a n+ a n bzw. a n+ > a n für alle n N. Eine Folge (a n ) n N heißt monoton fallend bzw. streng monoton fallend, falls a n+ a n bzw. a n+ < a n für alle n N. Eine Folge heißt alternierend, falls (a n+ > 0 ist wenn a n < 0 ist) und (a n+ < 0 wenn a n > 0 ist). Anders gesagt: a n+ a n < 0 für alle n N (die Folgenglieder wechseln also in jedem Schritt das Vorzeichen). Beispiel 4.4 Betrachte die Folgen aus Beispiel 4. Die Folgen a und d mit a n = n und d n = n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = n ist streng monoton fallend. Die Folge c mit c n = ( ) n ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Sie ist alternierend. Die Folge x mit x n = ( + n )n ist streng monoton wachsend. Das wird zumindest durch den Graphen angedeutet und es lässt sich auch nachrechnen. Für die besonders wichtigen geometrischen Folgen ist das Monotonieverhalten wie folgt: Sei a 0 > 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist streng monoton wachsend, wenn q > ist, streng monoton fallend, wenn q (0,) ist, und konstant, wenn q = 0 oder q = ist. Für q < 0 ist die geometrische Folge a n = a 0 q n alternierend. Sei a 0 < 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist streng monoton fallend, wenn q > ist, streng monoton wachsend, wenn q (0,) ist, und konstant, wenn q = 0 oder q = ist. Für q < 0 ist die geometrische Folge a n = a 0 q n alternierend. Beispiel 4.5 Die Folge a n = 5 ( ) n ist strengmonoton fallend. Die ersten Folgenglieder sind a = 5, a = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 6,..., a 0 =

10 Für a n = 5 ( ) n erhalten wir a = 5, a = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 6, a 5 = DieFolgeistalternierend.Wirhaltenfest,dassdieFolge( a n )derbeträge von a n monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) n N heißt beschränkt, falls es eine Konstante M R gibt, so dass a n M für alle n N, d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall [ M,M]. Beispiel 4.6 Die Folgen a und d mit a n = n und d n = n sowie die Fibonacci-Folge aus Beispiel 4. sind nicht beschränkt. Die Folge b mit b n = n ist beschränkt, denn < für alle n N. Die Folge c mit c n = ( ) n ist beschränkt: ( ) n = für alle n N. Eine geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist unbeschränkt, wenn q > ist und beschränkt, wenn q [,] ist. Zur Beschreibung des Verhaltens einer Folge bei wachsendem Index wird der Begriff Konvergenz eingeführt. Zunächst einige anschauliche Beispiele von Konvergenz. Beispiel 4.7 Die Folgenglieder aus Beispiel 4.., 4..4 und 4..7 werden für wachsende n immer größer. Anders gesagt: sie gehen nach +. Die Folgenglieder aus Beispiel 4.. kommen für wachsende n immer näher an die x-achse, anders: die Werte kommen der Null immer näher. In der Folge aus Beispiel 4..3 wechseln sich die Werte und ab. Die Folge kommt weder dem Wert noch dem Wert beliebig nahe, weil immer wieder der jeweils andere Wert angenommen wird. Die Folgenglieder aus Beispiel 4..5 wechseln sich mit dem Vorzeichen ab, aberwie in BeispielkommendieWerte dernull, alsoder x-achse,immer näher. Der Graph der Folge aus Beispiel 4..6 deutet an, dass die Folgenglieder zwar stets anwachsen, aber nicht beliebig groß werden, sondern sich einem Wert nähern. Was ist der genaue Wert? Diesen Wert nennen wir den Grenzwert der Folge: n 78

11 Grenzwert (Limes) von Folgen Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes einer Folge (a n ) n N, wenn es zu jedem vorgegebenen ε > 0 einen von ε abhängigen Index n(ǫ) N gibt, so dass a n a ǫ für alle n n(ǫ). Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert a R besitzt. In diesem Fall schreiben wir: lim a n = a oder a n a für n. Sprechweise: Limes n gegen unendlich von a n ist gleich a, oder: a n konvergiert gegen a für n gegen unendlich. Ist der Grenzwert a = 0, so heißt die Folge eine Nullfolge. Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent. Man sagt auch die Folge divergiert. Wir können auch noch verschiedene Arten der Divergenz unterscheiden. Die Folge a n = n verhält sich sicherlich anders als die Folge ( ) n n oder ( ) n. Eine Folge (a n ) n N heißt bestimmt divergent nach, falls es zu jedem M ein n 0 so gibt, dass a n M für alle n n 0, gilt, d.h. die Folgenglieder werden beliebig groß. Entsprechend wird bestimmte Divergenz nach erklärt. Schreibweise: lim a n = bzw. lim a n =. Achtung: Wir sagen nicht, dass die Folge gegen konvergiert. Wenn wir von Konvergenz sprechen, meinen wir stets Konvergenz gegen eine reelle Zahl, nie gegen ±! Bestimmte Divergenz tritt sehr häufig auf bei Kehrwerten von Folgen mit Grenzwert 0: Sei (a n ) n N eine Folge mit a n > 0 für alle n N und und lim a n = 0. Dann gilt lim a n = (entsprechend lim a n = falls a n < 0 für alle n gilt). 79

12 Es genügt hierbei, a n > 0 (bzw. a n < 0) erst ab einer gewissen Stelle n n 0 zu fordern, weil bei Grenzwerten ja eh nur die Folgenglieder mit großem n eine Rolle spielen. Man kann sich die Konvergenz gegen a auch folgendermaßen klar machen: Eine Folge(a n ) n N konvergiertgegen ein a R genaudann, wenn für alle ǫ > 0 nur endlich viele Folgenglieder nicht im Intervall [a ǫ,a+ǫ] liegen; ein solches Intervall heißt auch eine ǫ-umgebung von a. Alternative Sprechweise: fast alle Folgenglieder (d.h. mit Ausnahme von höchstens endlich vielen) liegen im Intervall [a ǫ, a + ǫ]. Insbesondere gibt es also nur einen Grenzwert für eine konvergierende Folge. Beispiel 4.8 Die Folge a mit a n = n aus Beispiel 4.. ist divergent (bestimmte Divergenz nach ). Die Folge b mit b n = n ist eine Nullfolge. Die Folge c mit c n = ( ) n ist divergent. Die Folge d mit d n = n ist bestimmt divergent nach. Die Folge y mit y n = ( 3) n ist eine Nullfolge. Die Folge x mit x n = ( + n )n ist konvergent, ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e, also ( ) n e := lim n Wir gehen darauf später noch genauer ein. Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent gegen. Aus der Definition der Konvergenz folgt sofort Jede konvergente Folge ist beschränkt. Wir wollen im nächsten Beispiel das Konvergenzverhalten der arithmetischen und geometrischen Folgen sowie der Folgen ( )n n und n zusammenfassen. 80

13 Beispiel 4.9 ( ) n n a n a+nd aq n (a > 0) n monoton steigend d 0 q nein nein streng monoton steigend d > 0 q > nein nein monoton fallend d 0 0 q ja nein streng monoton fallend d < 0 0 < q < ja nein beschränkt d = 0 q ja ja konvergent d = 0 < q < q = ja ja Limes a 0 a 0 0 Wir geben jeweils an, für welche Werte von a,d,q die Folgen die entsprechende Eigenschaft haben. Ein sehr wichtiges Konvergenzkriterium ist das folgende: Jede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim a n = a. 3 Beispiel 4.0 Die Folge (n+) ist monoton (fallend) und beschränkt, also konvergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge ( )n 7n ist nicht monoton (aber beschränkt). Diese Folge ist auch konvergent (ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren. Unbeschränkt kann eine konvergente Folge aber nicht sein! Rechenregeln für Grenzwerte Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen mit lim a n = a und lim b n = b. Dann gilt:. (a n ±b n ) n N ist konvergent mit. (a n b n ) n N ist konvergent mit lim (a n ±b n ) = a±b. lim (a n b n ) = a b. 8

14 3. Sei b ( 0. ) Dann gibt es ein n 0 N mit b n 0 für alle n n 0, und die an Folge ist konvergent mit b n n n 0 a n lim = a b n b. 4. Sei λ R. Dann ist auch die Folge (λa n ) n N konvergent mit lim (λa n) = λa. Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgenglieder a n definiert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir dann jeweils die Grenzwerte kennen. Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium: Ausquetschen Seien (a n),(a n) konvergente Folgen mit Ist (a n ) eine Folge mit lim a n = a = lim a n. a n a n a n für alle n, dann gilt auch lim a n = a. Als Spezialfall erhalten wir für Nullfolgen: Sei (a n ) eine Nullfolge. Ist (a n) eine Folge mit dann ist auch (a n ) eine Nullfolge. a n a n für alle n, Beispiel 4. () Für k N ist lim n k = 0. 8

15 () 3n + lim n = lim (3+ n) = lim 3+ lim n = 3. (3) Für q R mit q < ist lim qn = 0. (4) Sei a n = n+ n, n N. Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter: und daher ist n+ n = ( n+ n)( n++ n) n++ n = n+ n n++ n = n++ n lim ( n+ n) = 0. Warnung:BeieinemGrenzwertlim n+ nversuchenvieleanfänger etwa wie folgt zu argumentieren: lim ( n+ n) = lim n+ lim n = = 0. Das geht aber so nicht, weil der Grenzwert der Summe zweier Folgen nur dann die Summe der Grenzwerte dieser beiden Folgen ist, wenn die beiden Grenzwerte existieren. Das ist aber in unserem Beispiel nicht der Fall. Außerdem macht ein Ausdruck der Form keinen Sinn! Die oben angegebene Umformung ist somit falsch!!! Überlegen Sie sich bitte, dass man mit so einem Argument zeigen könntelim ((n+) n) = lim (n+) lim (n) = 0, obwohl natürlich lim (n+ n) = lim () = gilt. Beispiel 4. Als einen etwas komplizierteren Grenzwert wollen wir hier zeigen lim n n =. Dazu benötigen wir den binomischen Lehrsatz (a+b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i Hier ist (gelesen: n über i), wobei ( ) n n! = i i!(n i)! m! = m (m ) (m )... 83

16 die Fakultät von m ist (das ist das Produkt aller natürlichen Zahlen m). Machen wir uns dies an einem Beispiel klar: (a+b) 3 = (a+b) (a+b) = (a +ab+b )(a+b) = = a 3 +3a b+3ab +b 3 Der binomische Lehrsatz verallgemeinert also die binomischen Formeln (Spezialfall n = ). Wir wollen etwas über die Konvergenz von a n = n n aussagen. Dazu definieren wir b n = a n und berechnen (b n +) n mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: n = (b n +) n = n i=0 ( ) n b i i n n i = weil ja b n + = n n. Die Gleichung (4.) zeigt ( ) n bn n, n i=0 weil b n 0 (beachte: a n ), also n(n ) b n n, also b n n. Wegen b n 0 erhalten wir somit und deshalb ( Ausquetschen ) 0 b n n ( ) n b i i n, (4.) lim b n = 0, also lim (b n +) = lim n n =. Beispiel 4.3 Wir betrachten nun einen weiteren ganz wichtigen Grenzwert. und ( lim + n = e n) ( lim + x ) n = e x n Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Wir wollen uns jetzt überlegen, warum lim ( + n )n existiert, wir wollen also folgenden Satz beweisen: 84

17 Satz 4. Die Folge (a n ) mit a n = ( + ) n n konvergiert. Dazu zeigen wir zunächst, dass die Folge ( + n )n beschränkt ist, und dazu benutzen wir, ähnlich wie in Beispiel 4., den binomischen Lehrsatz: ( + n) n = + < ++ + < 3. ( ) n n n i= i= n + n i= ( ) n i n i i!, weil ni > n(n ) (n i+) i, weil i i! Die letzte Ungleichung gilt, weil n i= i <, genauer: n i= i + n + =. (4.) n Das ist nichts anderes als die mathematische Formulierung des Sachverhaltes, dass man einen Kuchen immer weiter halbieren kann: Man erhält dann Kuchen + 4 Kuchen + 8 Kuchen und so weiter bis Kuchen. Die letzten n beiden Stücke haben aber dieselbe Größe. Wenn man all diese n+ Stücke n zusammenfügt, hat man wieder den ganzen Kuchen. Wenn Sie wollen, können Sie die Gleichung (4.) aber auch sauber mit Induktion beweisen. Was es mit Induktion auf sich hat, wollen wir nun erklären: Angenommen, Sie wollen eine Aussage A beweisen, wobei die Aussage aber von n N abhängt,wie zum Beispiel die Aussage(4.). Wir schreiben deshalb A(n). Dann müssen Sie eigentlich unendlich viele Aussagen beweisen, nämlich A(n) für jedes n. Das kann man aber vermeiden, indem man die Idee eines Induktionsbeweises benutzt. Sie beweisen A(n) für ein n 0, meistens n 0 =. Wir nennen dies den Induktionsanfang. Danach nehmen Sie an, die Aussage A(n) gilt für ein beliebiges n, und sie beweisen, dass die Aussage dann auch für A(n + ) gilt. Wir nennen dies den Induktionsschritt. Danach können Sie mit Fug und Recht behaupten: Die Aussage A(n) gilt für alle n n 0. Wir benutzen das Induktionsprinzip hier, um die sogenannte Bernoullische Ungleichung zu beweisen: 85

18 Für alle x > und alle n N gilt (+x) n +nx. (4.3) Induktionsanfang: Die Aussage (4.3) ist richtig für n = : (+x) = +x + x. Induktionsschritt: (+x) n+ = (+x) n (+x) (+nx)(+x) = +(n+)x+nx +(n+)x. Das erste Ungleichungszeichen in der zweiten Zeile dieser Umformungskette gilt, weil wir im Induktionsschritt ja gerade annehmen, dass die Aussage für n schon bewiesen ist! Das Ungleichungszeichen in der letzten Zeile gilt, weil x stets 0 ist. Die beiden folgenden Skizzen illustrieren noch einmal die Bernoullische Ungleichung: In den beiden Skizzen ist der rote Graph (die Gerade!) jeweils der von der Funktion +nx, wobei n = 3 in der ersten und n = 7 in der zweiten Skizze ist. Der blaue Graph beschreibt (+x) n, natürlich wieder für n = 3 und n = 7. Man sieht, dass der blaue Graph oberhalb des roten Graphen verläuft. Das ist genau die Aussage der Bernoullischen Ungleichung. Nun ist es nicht mehr schwer, die Monotonie von (a n ) zu zeigen. Um zu zeigen, 86

19 dass (a n ) monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass a n+ /a n gilt: a n+ a n = (+ = (+ n n+ )n+ (+ n )n ) (+ n+ )n+ (+ n )n+ ) n+ = (+ n ) ( + n+ = (+ n ) ( n+ n+ n+ n + n ) n+ = (+ n ) ( n +n n +n+ = (+ n ) ( ) n+ n +n+ ) n+ (+ n ) ( n+ n +n+ ) Bernoulli! = (+ n ) ( n+ ) =. Damit haben wir dann die Konvergenz der Folge (a n ) gezeigt. 4. Zusammenfassung Wir fassen hier noch einmal die wichtigsten Grenzwerte zusammen: lim n k = 0, sofern k R mit k > 0. Wir haben das weiter vorne nur für k N notiert, das gilt aber für jede Zahl k > 0. ( lim + x n = e n) x. lim n n =. lim qn = 0 für q <. 87