Skript zur Analysis 1. Kapitel 4 - Differenzialrechnung

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1 Skript zur Analysis 1 Kapitel 4 - Differenzialrechnung von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik November 2003

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3 Inhaltsverzeichnis 4 Differenzialrechnung Differenzierbarkeit von Funktionen Definition (Differenzialquotient, Ableitung) Bemerkungen (zum Differenzialquotienten) Beispiele (zum Differenzialquotienten) Satz (Differenzierbarkeit und Stetigkeit) Satz (Produktregel, Quotientenregel) Beispiele (für die Produkt-/Quotientenregel) Satz (Kettenregel für differenzierbare Funktionen) Beispiele (Kettenregel) Satz (Ableitung der Umkehrfunktion) Bemerkung (zur Ableitung der Umkehrfunktion) Beispiele (Ableitung von n, ln, arcsin, arccos, arctan) Definition (Ableitung von f (auf D)) Definition (links-/rechtsseitige Ableitung) Satz (links-/rechtsseitige Differenzierbarkeit) Beispiele (für links-/rechtsseitige Ableitungen) Definition (n-te Ableitung) Bemerkung (Approximation von differenzierbaren Funktionen) Taylorreihen Definition (innerer Punkt eines Intervalls) Beispiele (Inneres) Definition (Taylorpolynom) Satz (Satz von Taylor mit Lagrangeschem Restglied) Satz (Satz von Taylor Satz (Satz von Taylor mit Taylorschem Restglied) Definition (Taylorreihe) Beispiele (Taylorpolynom, Taylorreihe) Satz (Darstellung einer Funktion durch ihre Taylorreihe) Beispiel (Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen) Satz (Hinreichendes Kriterium für die Darstellung einer Funktion durch Taylorreihen)

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Beispiel (Taylorreihe) Bemerkung (Hornerschema) Beispiele (Hornerschema) Korollar (Extrema differenzierbarer Funktionen) Satz (Newton-Verfahren) Definition (Potenzreihe) Beispiele (Potenzreihen) Satz (Konvergenz von Potenzreihen) Definition (Konvergenzradius, Konvergenzintervall) Satz (Quotientenkriterium) Beispiel (Quotientenkriterium) Satz (Identitätssatz für Potenzreihen) Die Regel von de l Hospital Definition (lokale Extrema) Satz (notwendige Bedingung für lokale Extrema) Satz (globale Extrema von stetigen Funktionen) Satz (Rolle) Satz (1. Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) Korollar (Charakterisierung konstanter Funktionen) Folgerung (Differenzialgleichung charakterisiert e-funktion) Satz (2. Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) Korollar (Regel von de l Hospital / Ausdrücke vom Typ 0 0 ) Beispiele (de l Hospital, Typ 0 0 ) Korollar (de l Hospital für x ± ) Korollar (Regel von de l Hospital/Ausdrücke vom Typ ) Beispiele (de l Hospital, Typ ) Bemerkung (de l Hospital, andere Typen) Beispiele (de l Hospital, allgemeine Situation) Kurvendiskussion Satz (Ableitung und Monotonie) Korollar (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema) Satz (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema) Beispiele (lokale Extrema) Definition ((un-)gerade Funktion) Beispiele ((un-)gerade Funktionen) Definition (konvex, konkav) Satz (hinreichende Bedingung für Konvexität/Konkavität) Satz (2. hinreichende Bedingung für Konvexität/Konkavität) Definition (Wendepunkt) Bemerkung/Beispiel (zum Wendepunkt) Programm der Kurvendiskussion Beispiel (Kurvendiskussion) Definition (Asymptote)

5 INHALTSVERZEICHNIS Beispiel (Asymptote) Differenzialrechnung im R n Definition (Betrag, euklidische Norm) Bemerkung (Dreiecksungleichung) Definition (Folge) Definition (Konvergenz) Definition (Stetigkeit in x 0 ) Satz (ε δ - Kriterium) Beispiele (Stetigkeit) Definition (Stetigkeit) Definition (Richtungsableitung) Beispiele (Richtungsableitung) Definition (Gradient, ) Beispiele (Gradient) Definition (Differenzierbarkeit) Bemerkung (Differenzierbarkeit) Bemerkung (Differenzierbarkeit und Stetigkeit) Beispiel (Differenzierbarkeit und Stetigkeit) Satz (Differenzierbare Funktionen besitzen Richtungsableitungen) Satz (Hinreichendes Kriterium für Differenzierbarkeit) Beispiele (Differenzierbarkeit) Bemerkung (Gradient als Richtung größter Steigung) Definition (Umgebung, offen) Beispiele (Umgebung, offen) Definition (k-te Ableitung) Beispiele (k-te Ableitung) Satz (Schwarz) Definition (m-mal stetig differenzierbar) Korollar (Schwarz) Notation (µ-te Ableitung) Definition (Differenzierbarkeit) Beobachtung (Komponentenfunktion) Satz (Jacobi-Matrix und Gradienten) Satz (Rechenregeln für Jacobi-Matrizen) Satz (Kettenregel) Beispiele (Kettenregel) Definition (lokale Extrema) Satz (notwendige Bedingung für lokale Extrema) Beispiele (für lokale Extrema) Definition (Hesse-Matrix) Satz (hinreichendes Kriterium für lokale Extrema) Erinnerung (positiv / negativ definit, indifinit)

6 6 INHALTSVERZEICHNIS Satz (Definitheitskriterium) Spezialfall (zweidimensionale Determinanten) Beispiele (für lokale Extrema) Methode der kleinsten Quadrate

7 Kapitel 4 Differenzialrechnung Die Differenzialrechnung ist eines der wichtigsten und fruchtbarsten Teilgebiete der Analysis. Sie erlaubt Rückschlüsse vom lokalen Änderungsverhalten einer Funktion (in einzelnen Punkten des Definitionsbereiches) auf das globale Verhalten einer Funktion (auf dem gesamten Definitionsbereich). In der Schule werden Sie die so genannte Kurvendiskussion kennen gelernt haben, die es ermöglicht, Funktionen zu beschreiben. Wir beginnen mit den elementaren Differentiationstechniken im Abschnitt 4.1 Differenzierbarkeit von Funktionen, gehen in Abschnitt 4.2 kurz auf die so genannten Taylorreihen ein, um in Abschnitt 4.3 Die Regel von de l Hospital nochmals auf Grenzwertprozesse einzugehen, im Abschnitt 4.4 Kurvendiskussion werden wir schließlich sehen, inwieweit das lokale Verhalten einer Funktion das globale Verhalten bestimmt. Im Abschnitt 4.5 Differenzialrechnung im R n wenden wir uns der mehrdimensionalen Analysis zu. 4.1 Differenzierbarkeit von Funktionen Definition (Differenzialquotient, Ableitung) Sei f : D R eine Funktion, sei x 0 D ein Häufungspunkt von D. f heißt differenzierbar in x 0 : f (x 0 ) := lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert. Der Grenzwert f (x 0 ) heißt Differenzialquotient oder Ableitung von f im Punkte x 0. 7

8 8 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Bemerkungen (zum Differenzialquotienten) (1) Beim Grenzwertprozess x x 0 werden natürlich nur Folgen (x n ) mit x n x 0 und x n x 0 zugelassen, da sonst im Nenner des Differenzenquotienten f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 Null stehen würde, womit dieser Differenzenquotient nicht definiert wäre. (2) Den Differenzialquotienten f (x 0 ) kann man auch darstellen als f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim, h 0 h denn setzen wir h := x x 0, dann impliziert x x 0 sofort h 0, und es gilt x 0 + h = x. (3) Geometrische Interpretation des Differenzialquotienten f(x) f(x)-f(x 0 ) f(x ) 0 f (x ) 0 x-x0 x 0 x Abbildung 4.1: Differenzialquotient Der Differenzenquotient f(x) f(x 0) x x 0 ist die Steigung der Sekante des Graphen von f durch die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x, f(x)). Beim Grenzprozess x x 0 geht die Sekante in die Tangente an den Graphen von f im Punkte (x 0, f(x 0 )) über, diese Tangente besitzt die Steigung f (x 0 ). (4) Statt f (x 0 ) schreibt man auch häufig df dx (x 0) oder df(x) dx, x=x0 wobei dx ein Symbol ist, in dem niemals x = x 0 gesetzt wird. (5) In der Literatur findet man als Definition der Differenzierbarkeit von f in x 0 auch folgendes: b R und eine Funktion r : D R Funktion mit

9 4.1. DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 9 r(x) (a) f(x) = f(x 0 ) + b(x x 0 ) + r(x) und (b) lim x x0 x x 0 = 0 Es gilt b = f (x 0 ) und r(x) = f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ). Hier sieht man, wie die Tangente an den Graphen von f durch (x 0, f(x 0 )) beschrieben werden kann: y(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (6) Ist f in x 0 differenzierbar, so bedeutet dies: F : D R mit f(x) f(x 0 ) für x x 0 F (x) := x x 0 f (x 0 ) für x = x 0 ist stetig in x Beispiele (zum Differenzialquotienten) (1) Seien c R, f : R R mit f(x) := c, dann gilt: f (x 0 ) = 0 x 0 R. Denn f(x) f(x 0 ) = 0, d.h. lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = 0. (2) Seien n N 0, f n : R R mit f n (x) := x n, dann gilt f (x 0 ) = nx n 1 0 x 0 R. Denn xn x n 0 x x 0 = n 1 k=0 xn 1 k x k 0 n 1 x x k=0 xn 1 0 = nx0 n 1. 0 (3) exp : R R ist in jedem x 0 R differenzierbar mit exp = exp, d.h. (e x 0 ) = e x 0 x 0 R. Denn da e x e x 0 x x 0 = ex0 (e x x0 1) x x 0 = e x 0 ex x0 1 x x 0 e x x0 1 lim x x 0 x x 0 x x 0 e x 0, = 1 (beachte Reihendarstellung von exp). (4) sin, cos : R R sind in jedem x 0 R differenzierbar mit sin (x 0 ) = cos(x 0 ) und cos (x 0 ) = sin(x 0 ). Denn es gilt sin(x) sin(x 0 ) x x 0 = sin(x 0 + x x 0 ) sin(x 0 ) x x 0

10 10 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG und (Additionstheoreme) = sin(x 0) cos(x x 0 ) + cos(x 0 ) sin(x x 0 ) sin(x 0 ) x x 0 = sin(x 0 ) cos(x x 0) 1 + cos(x 0 ) sin(x x 0) x x 0 x x 0 cos(x x 0 ) 1 sin(x x 0 ) lim = 0 sowie lim = 1 x x 0 x x 0 x x0 x x 0 implizieren die Behauptung für den sin. Analog wird cos behandelt, siehe auch Übungsaufgaben zu Grenzwerten von Funktionen. (5) Sei f : R R definiert durch f(x) := x, dann ist f differenzierbar in allen x 0 R mit x 0 0. In x 0 = 0 ist f nicht differenzierbar. Es gilt f (x 0 ) = 1 für x 0 > 0 und f (x 0 ) = 1 für x 0 < 0. Sei x n := ( 1) n 1, dann gilt lim x n n = 0, betrachte nun n f(x n ) f(0) x n 0 = x n x n = ( 1) n f(x) f(0) diese Folge divergiert, d.h. lim existiert nicht. x 0 x 0 Sei nun x 0 0, x n eine Folge mit x 0 x n x 0 für n. Sei x 0 > 0, dann existiert ein n 0 N mit x n > 0 für alle n n 0 (dies beruht auf der Konvergenz x n x 0 (n )). Betrachte f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 = x n x 0 x n x 0 = x n x 0 x n x 0 = 1 für n n 0, d.h. f(x n) f(x 0 ) x n x 0 analog und erhalten 1 für n. Für x 0 < 0 argumentieren wir f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 1 für n. Möchte mensch von einer Funktion nachweisen, dass sie in einem Punkt x 0 nicht differenzierbar ist, dann ist folgender Satz recht nützlich. Die Umkehrung gilt aber nicht, wie die Betragsfunktion zeigt.

11 4.1. DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN Satz (Differenzierbarkeit und Stetigkeit) Ist f : D R differenzierbar in x 0 D, dann ist f stetig in x 0. Einige Rechenregeln vereinfachen die Beurteilung, ob eine gegebene Funktion differenzierbar ist, wenn diese aus einfacheren und differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist Satz (Produktregel, Quotientenregel) Seien f, g : D R in x 0 D differenzierbare Funktionen und λ R. Dann gilt: (1) λf : D R ist differenzierbar in x 0 mit (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ). (2) f + g : D R ist differenzierbar in x 0 mit (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (3) fg : D R ist differenzierbar in x 0 mit (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel). (4) f g : D R ist differenzierbar in x 0 mit ( f g wobei g(x) 0 ) (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g 2 (x 0 ) x D gilt. (Quotientenregel), Auf den Beweis wollen wir verzichten Beispiele (für die Produkt-/Quotientenregel) (1) Polynome p : R R mit p(x) = mit p (x 0 ) = n a k x k sind in allen x 0 R differenzierbar k=0 n k=0 ka k x k 1 0. (2) Rationale Funktionen p q : R \ N(q) R mit N(q) := {x R q(x) = 0} sind in allen x 0 R \ N(q) differenzierbar mit ( p ) (x0 ) = p (x 0 )q(x 0 ) p(x 0 )q (x 0 ). q q 2 (x 0 )

12 12 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG (3) f : R \ {0} R mit f(x) := 1 x ist differenzierbar in allen x 0 R \ {0} mit f (x 0 ) = 1. x 2 0 (4) tan : R \ N(cos) R ist in allen x 0 R \ N(cos) differenzierbar mit Denn es gilt tan (x 0 ) = tan (x 0 ) = 1 cos 2 (x 0 ) = 1 + tan2 (x 0 ). ( sin ) (x0 ) cos = sin (x 0 ) cos(x 0 ) sin(x 0 ) cos (x 0 ) cos 2 (x 0 ) = cos2 (x 0 ) + sin 2 (x 0 ) cos 2 (x 0 ) = cos2 (x 0 ) + sin 2 (x 0 ) cos 2 (x 0 ) = 1 cos 2 (x 0 ) = 1 + tan 2 (x 0 ). Der folgende Satz sagt uns, wie sich der Ableitungsbegriff mit der Komposition von Funktionen verträgt Satz (Kettenregel für differenzierbare Funktionen) Seien f : D R, g : E R Funktionen mit f(d) E. f sei differenzierbar in x 0 D, g sei differenzierbar in y 0 := f(x 0 ), dann ist g f : D R differenzierbar in x 0 mit (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ) = (g f)(x 0 )f (x 0 ). Auf den Beweis verzichten wir. Wir nennen g (f(x 0 )) die so genannte äußere Ableitung von g f und f (x 0 ) die so genannte innere Ableitung von g f. Dieser Satz steht in enger Verbindung mit dem folgenden Satz, der Auskunft über die Ableitung einer Umkehrfunktion gibt, aber zunächst schauen wir uns einige Beispiele an.

13 4.1. DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN Beispiele (Kettenregel) (1) Sei α R. Sei f α : R + R definiert durch f α (x) := x α. Dann gilt f α (x) = exp(α ln(x)), dies ist eine Komposition differenzierbarer Funktionen exp und x α ln(x); mit der Kettenregel folgt f α(x) = exp (α ln(x))(α ln(x)) = α exp(α ln(x)) 1 x = α x xα = αx α 1. (2) Sei f : R + R definiert durch f(x) := x x = exp(x ln(x)), dann gilt f (x) = x x (1 + ln(x)). (3) Sei f : R R definiert durch f(x) := exp(sin(x)). Dann gilt: f (x) = exp(sin(x)) cos Satz (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei D R ein Intervall, sei f : D R streng monoton (wachsend oder fallend) und stetig. Weiter sei f in x 0 D differenzierbar mit f (x 0 ) 0, dann ist f 1 : f(d) D differenzierbar in y 0 := f(x 0 ) mit (f 1 ) 1 (y 0 ) = f (f 1 (y 0 )). Auf den Beweis verzichten wir Bemerkung (zur Ableitung der Umkehrfunktion) (1) Wenn f : D E R bijektiv und differenzierbar in x 0 D ist, wenn die Umkehrfunktion f 1 : E D in y 0 := f(x 0 ) ebenfalls differenzierbar ist, dann liefert uns die Kettenregel d.h. f (x 0 ) 0 und 1 = (f 1 f) (x 0 ) = (f 1 ) (f(x 0 ))f (x 0 ), (f 1 ) (f(x 0 )) = 1 f (x 0 ). (2) Die Voraussetzung f (x 0 ) 0 ist wesentlich für die Differenzierbarkeit von f 1 in f(x 0 ). Zwar ist f : R R mit f(x) = x 3 streng monoton wachsend, stetig und besitzt Umkehrfunktion 3 : R R; diese ist in y 0 = 0 nicht differenzierbar, da f (0) = 0 gilt.

14 14 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Beispiele (Ableitung von n, ln, arcsin, arccos, arctan) (1) n : R + R ist differenzierbar in allen x 0 R + mit ( n x 0 ) = 1 n( n x 0 ) = 1 n 1 n x 1 n 1 0. Betrachte: ( n x 0 ) 1 1 = (( n = x 0 ) n ) n( n x 0 ) = 1 n 1 n x 1 n 1 0. n ist in x0 = 0 nicht differenzierbar, da (x n 0) = 0 für x 0 = 0 und n 2. (2) ln : R + R ist differenzierbar in allen x 0 R + mit ln (x 0 ) = 1 x 0. Betrachte: ln ist die Umkehrfunktion von f = exp, es folgt ln (x 0 ) = 1 exp (ln(x 0 )) = 1 exp(ln(x 0 )) = 1 x 0. (3) arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] ist differenzierbar in allen x 0 ( 1, 1) mit arcsin (x 0 ) = 1 1 x 2. Betrachte: arcsin ist die Umkehrfunktion von sin, es folgt arcsin (x 0 ) = 1 sin (arcsin(x 0 )) = 1 cos(arcsin(x 0 )). Da cos( x) > 0 für alle x ( π, π ) gilt, folgt 2 2 cos(arcsin(x 0 )) = 1 sin 2 (arcsin(x 0 )) = 1 x 2 0, und damit die Behauptung. (4) arccos : [ 1, 1] [0, π] ist differenzierbar in allen x 0 ( 1, 1) mit arccos (x 0 ) = 1 1 x 2 0. Nachweis erfolgt analog wie unter 3). (5) arctan : R ( π 2, π 2 ) ist differenzierbar in allen x 0 R mit arctan (x 0 ) = x 2 0

15 4.1. DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 15 Betrachte: Wegen arctan (x 0 ) = 1 tan (arctan(x 0 )) = cos2 (arctan(x 0 )). x 2 0 = tan 2 (arctan(x 0 )) = sin2 (arctan(x 0 )) cos 2 (arctan(x 0 )) = 1 cos2 (arctan(x 0 )) 1 = cos 2 (arctan(x 0 )) cos 2 (arctan(x 0 )) 1 folgt cos 2 (arctan(x 0 )) = x Definition (Ableitung von f (auf D)) Eine Funktion f : D R heißt differenzierbar, wenn sie in jedem x 0 D differenzierbar ist. Wie nennen f : D R mit x f (x) dann die Ableitung von f (auf D). Ist f stetig, dann nennen wir f stetig differenzierbar.

16 16 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Übungsaufgaben (1) Sei f : [0, 1] R definiert durch f(x) := x. Zeigen Sie: f ist in x 0 = 0 stetig, aber nicht differenzierbar. (2) Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: f(x) := x x 2 + 1, f(x) := x2 1 x 2 + 1, f(x) := x2 + 1 x 4 + 1, f(x) := x + 1 x , f(x) := xex, f(x) := sin(x) cos(x), f(x) := exp( 1 x 2 ), f(x) := x sin( 1 x ), f(x) := x2 cos( 1 x ), f(x) := 1 ln(x), ln(x) f(x) :=, f(x) := exp(sin(x)), x f(x) := a x a R +, a 1, f(x) := x 2x, f(x) := ( 1 + x ) x 2, 1 x f(x) := sin(x 2 ), f(x) := cos(exp(x 42 )), f(x) := tan( x2 x 2 +4 ), f(x) := arcsin(arctan(x)), f(x) := sin(arccos(x)), f(x) := arccos( x x 2 +1 ), f(x) := exp(arcsin(sin(ln(x)))). f(x) := arctan(x), Bei stückweise zusammengesetzten Funktionen ist es häufig recht nützlich, sogenannte links- bzw. rechtsseitige Differenzialquotienten betrachten zu können Definition (links-/rechtsseitige Ableitung) Sei f : D R eine Funktion, sei x 0 D ein Häufungspunkt von D. (1) f heißt linkseitig differenzierbar in x 0 : f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert. Der Grenzwert f (x 0 ) heißt linksseitiger Differenzialquotient oder linksseitige Ableitung von f in x 0.

17 4.1. DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 17 (2) f heißt rechtsseitig differenzierbar in x 0 : f (x + 0 ) := lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert. Der Grenzwert f (x + 0 ) heißt rechtsseitiger Differenzialquotient oder rechtsseitige Ableitung von f in x Satz (links-/rechtsseitige Differenzierbarkeit) Sei f : D R eine Funktion, sei x 0 D ein Häufungspunkt von D. Äquivalent sind: (1) f ist differenzierbar in x 0 (2) f ist links- und rechtsseitig differenzierbar mit f (x 0 ) = f (x + 0 ). Es gilt in jedem Falle: f (x + 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) Beispiele (für links-/rechtsseitige Ableitungen) { 1 für x 0 (1) Sei H : R R die Heavisidefunktion H(x) := 0 für x < 0. Dann ist H in x 0 = 0 nicht differenzierbar (da nicht stetig in x 0 ). Wie sehen aber H (0 ) und H (0 + ) aus? Es gilt: und H (0 ) = lim x 0 H(x) H(0) x 0 H (0 + ) = lim x 0 + H(x) H(0) x 0 1 = lim x 0 x = + 0 = lim x 0 + x = 0. Zwar existiert die rechtsseitige Ableitung von H in x 0 = 0, aber die linkseitige Ableitung von H in 0 existiert nicht. Somit ist H in x 0 = 0 nicht differenzierbar. (2) Sei f 1 : R R definiert durch f 1 (x) := xh(x) mit H wie oben. Dann ist f 1 in x 0 = 0 nicht differenzierbar (aber stetig in x 0 ). Wie sehen f 1(0 ) und f 1(0 + ) aus? Es gilt: f 1(0 ) = lim x 0 f 1 (x) f 1 (0) x 0 = lim x 0 H(x) = 0 und f 1(0 + ) = lim x 0 + f 1 (x) f 1 (0) x 0 = lim H(x) = 1. x 0 +

18 18 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Die linksseitige und rechtsseitige Ableitung existieren, sind aber verschieden; somit ist f 1 in x 0 = 0 nicht differenzierbar. (3) Sei f 2 : R R definiert durch f 2 (x) := x 2 H(x) mit H wie oben. Dann ist f 2 in x 0 = 0 differenzierbar. Wie sehen f 2(0 ) und f 2(0 + ) aus? Es gilt: und f 2(0 ) = lim x 0 f 2 (x) f 2 (0) x 0 = lim x 0 xh(x) = 0 f 2(0 + f 2 (x) f 2 (0) ) = lim = lim xh(x) = 0. x 0 + x 0 x 0 + Die links- und rechtsseitigen Differenzialquotienten existieren und sind gleich, damit ist f 2 in x 0 = 0 differenzierbar. Den Prozess des Differenzierens kann man nun iterieren, d.h. versuchen, die Ableitung der Ableitung zu bestimmen Definition (n-te Ableitung) Sei D R ein Intervall, sei f : D R eine differenzierbare Funktion, dann ist f : D R mit x f (x) eine Funktion. Ist f differenzierbar, so nennen wir f = (f ) (bzw. f (x 0 ) := (f ) (x 0 )) die zweite Ableitung von f (bzw. von f in x 0 ). Sei n N 0, wir definieren f für n = 0 f (n) := f für n = 1 (f (n 1) ) für n 2, wenn f (n 1) differenzierbar ist. Wir nennen f (n) (bzw. f (n) (x 0 )) die n-te Ableitung von f (bzw. die n-te Ableitung von f an der Stelle/im Punkte x 0 ). Wir schreiben auch d n f dx = f (n) d n f bzw. n dx (x 0) = f (n) (x n 0 ). Wir nennen f n-mal differenzierbar bzw. n-mal stetig differenzierbar, wenn f n existiert bzw. existiert und stetig ist. (Ist f(n + 1)-mal differenzierbar, dann ist f n-mal stetig differenzierbar.) Übungsaufgaben { ) exp ( 1 für x 0 x (1) Sei f : R R definiert durch f(x) := 2 0 für x = 0.

19 4.1. DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 19 Bestimmen Sie die erste, zweite und dritte Ableitung von f. (2) Bestimmen Sie die n-ten Ableitungen der folgenden Funktionen f auf R + : (i) f(x) := exp(x), (ii) f(x) := ln(x), (iii) f(x) := sin(x), (iv) f(x) := cos(x), (v) f(x) := exp(x) exp( x), (vi) f(x) := exp(x) + exp( x). (3) Bestimmen Sie f (n) für n=1, 2, 3 der folgenden Funktionen f: (i) f(x) := arcsin(x), (ii) f(x) := arccos(x), (iii) f(x) := arctan(x), (iv) f(x) := exp(42x) Bemerkung (Approximation von differenzierbaren Funktionen) In (5) haben wir als äquivalente Charakterisierung der Differenzierbarkeit von f in x 0 kennengelernt: b R und eine Funktion r : D R mit (b := f (x 0 )). (i) f(x) = f(x 0 ) + b(x x 0 ) + r(x) r(x) (ii) lim = 0. x x0 x x 0 In der technischen/naturwissenschaftlichen Literatur finden wir häufig die folgende Aussage: f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x. Was ist damit gemeint? Man will damit ausdrücken, dass die Funktion f in der Nähe von x 0, d.h. wenn wir uns von x 0 nur um eine Winzigkeit x entfernen, sich in etwa so wie die (affine) Funktion x f(x 0 ) + f (x 0 ) x

20 20 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG verhält. Wenn f in x 0 differenzierbar ist, dann hat f in x 0 genau dieses Verhalten: Setzen wir x = x x 0, dann gilt f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x + r(x 0 + x). Wenn der Wert von x klein genug ist, dann ist der Wert von r(x 0 + x) vernachlässigbar, da r(x) 0 für x x 0, d.h. x 0. Also folgt f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x.

21 4.2. TAYLORREIHEN Taylorreihen Häufig steht man vor dem Problem, eine Funktion durch ein Polynom approximieren zu müssen, um somit die mit dieser Funktion einhergehende Rechnung erheblich zu vereinfachen. Solcherart werden elementare Funktionen wie exp, sin, cos, ln, arcsin, arccos, tan, arctan etc. der Algorithmierung auf einem Taschenrechner oder einem Computer zugänglich gemacht. Das wichtigste mathematische Werkzeug hierfür ist das Taylorpolynom und die damit einhergehende Taylorreihe. Hat man eine beliebig oft differenzierbare Funktion, so versucht man, diese in ein Taylorpolynom oder eine Taylorreihe zu entwickeln, um so die Funktion besser arithmetisch handhaben (d.h. die Funktionswerte näherungsweise berechnen) zu können. Potenzreihen sind Verallgemeinerungen von Taylorreihen, hier fragt man nach der Konvergenz solcher Reihen, um über Potenzreihen Funktionen definieren zu können - wie wir etwa exp, sin, cos eingeführt haben Definition (innerer Punkt eines Intervalls) Sei I R ein Intervall. Ein x I heißt innerer Punkt von I : ε > 0 : U ε (x) := (x ε, x + ε) I. I := {x I x ist ein innerer Punkt von I} heißt das Innere von I Beispiele (Inneres) 1) I= (a,b) = I = I; 2) I= (a, ) = I = I; 3) I= [a,b] = I= (a,b); 4) I= [a, ) = I= (a, ) Definition (Taylorpolynom) Seien n N 0, D R, x 0 D. Sei f : D R n-mal differenzierbar in x 0. Dann nennen wir das Polynom n f (k) (x 0 ) T n : R R mit T n (x) := (x x 0 ) k k! k=0 das n-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x 0. T n ist trivialerweise ein Polynom mit grad(t n ) n (das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn f (n) (x 0 ) 0 gilt).

22 22 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Satz (Satz von Taylor mit Lagrangeschem Restglied) Sei I R ein Intervall, sei x 0 I ein innerer Punkt von I. Seien f : I R (n+1)-mal stetig differenzierbar und x I ein Punkt aus I. Dann existiert ein ξ (0, 1) mit f(x) = T n (x) + (x x 0) n+1 f (n+1) (x 0 + ξ(x x 0 )). (n + 1)! Der Ausdruck R n (x, x 0 ) := (x x 0) n+1 f (n+1) (x (n+1)! 0 + ξ(x x 0 )) wird n-tes Lagrangesches Restglied genannt. Der Wert x 0 + ξ(x x 0 ) liegt immer zwischen x 0 und x. Auf den Beweis wollen wir hier verzichten. Hin und wieder ist es hilfreich, eine alternative Charakterisierung des Restgliedes R n (x, x 0 ) zu haben Satz (Satz von Taylor Sei I R ein Intervall, sei x 0 I ein innerer Punkt von I. Seien f : I R (n+1)-mal stetig differenzierbar und x I ein Punkt aus I. Dann existiert ein ξ (0, 1) mit f(x) = T n (x) + (x x 0) n+1 (1 ξ) n f (n+1) (x 0 + ξ(x x 0 )). n! Der Ausdruck R n (x, x 0 ) := (x x 0) n+1 (1 ξ) n f (n+1) (x 0 + ξ(x x 0 )) wird n-tes n! Cauchysches Restglied genannt. Der Wert x 0 + ξ(x x 0 ) liegt immer zwischen x 0 und x. Auf den Beweis wollen wir hier verzichten. Hätten wir schon die Integralrechnung kennen gelernt, dann könnten wir den Satz von Taylor in seiner ursprünglichen Gestalt eingeführen Satz (Satz von Taylor mit Taylorschem Restglied) Sei I R ein Intervall, sei x 0 I ein innerer Punkt von I. Sei f : I R (n+1)-mal stetig differenzierbar. Dann gilt f(x) = T n (x) + 1 n! x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt x I.

23 4.2. TAYLORREIHEN 23 x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt wird n-tes Taylorsches Rest- Der Ausdruck R n (x, x 0 ) := 1 n! glied genannt. x Auf den Beweis, der auf der so genannten partiellen Integration beruht, müssen wir hier verzichten. Wenn es darum geht, eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f durch das Taylorpolynom T n zu approximieren, dann sollte mensch wissen wie gut T n die Funktion f approximiert. Hierzu muss man die Werte des Restgliedes R n (x, x 0 ) (in Taylordarstellung, in Cauchydarstellung oder in Lagrangedarstellung) abschätzen können Definition (Taylorreihe) Sei I R ein Intervall, sei x 0 I ein innerer Punkt, sei f : I R beliebig oft differenzierbar, d.h. n N 0 existiert f (n) (x) x I. Dann nennen wir k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) n k! die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt x Beispiele (Taylorpolynom, Taylorreihe) (1) Sei f : R R definiert durch f(x) := exp(x), dann gilt f (n) (x) = f(x) n N 0 x R. Mit x 0 := 0 lesen wir ab n 1 1 T n (x) = k! xk, R n (x, x 0 ) = (n + 1)! exp(ξx)xn+1 (Lagrange) k=0 für ein ξ (0, 1), als Taylorreihe von f in x 0 erhalten wir k=0 Hier gleicht die Taylorreihe der Funktion. 1 k! xk. (2) Sei f : R R definiert durch f(x) := exp( x 2 ) für x 0 und f(0) := 0. f ist beliebig oft differenzierbar (auch in x 0 := 0). Präziser: n N 0 Polynom r n : R R mit ( 1 ) f (n) (x) = r n exp( x 2 ). x

24 24 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Dies zeigt man durch vollständige Induktion über n (differenzieren Sie doch f zweimal, dann sehen Sie wie die Induktion laufen wird). Weiter folgt lim x 0 f (n) (x) = 0, da die exp-funktion jedes Polynom dominiert. Also gilt f (n) (0) = 0 n N 0. Es folgt T n (x) = 0 n N 0 f(x) = R n (x, x 0 ) n N 0. D.h. unsere Funktion f finden wir stets im Restglied R n (x, x 0 ) manifestiert. Die Taylorreihe der betrachteten Funktion in x 0 = 0 ist identisch Null, d.h. ist die Nullfunktion Satz (Darstellung einer Funktion durch ihre Taylorreihe) Sei I R ein Intervall, sei x 0 I ein innerer Punkt, sei f : I R beliebig oft differenzierbar; für das Restglied R n (x, x 0 ) gelte lim R n(x, x 0 ) = 0. n Dann gilt: f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) n. k! Beispiel (Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen) (1) Für das Lagrangesche Restglied der exp-funktion gilt damit gilt R n (x, x 0 ) = 1 (n + 1)! exp(ξx)xn+1 n 0, exp(x) = (2) Für das Taylorsche Restglied der Funktion f(x) = exp( x 2 ) mit x 0 = 0 gilt k=0 x k k!. R n (x, x 0 ) 0 für n ; damit wird die betrachtete Funktion nicht durch ihre Taylorreihe dargestellt. Was ja auch klar ist, denn die Taylorreihe ist gleich Null, während die betrachtete Funktion nicht die Nullfunktion ist.

25 4.2. TAYLORREIHEN 25 Wann können wir definitiv sagen, dass eine Funktion eine Taylor-Reihe besitzt, ohne aufwendige Grenzwertbetrachtungen für das jeweilige Restglied R n (x, x 0 ) anstellen zu müssen? Satz (Hinreichendes Kriterium für die Darstellung einer Funktion durch Taylorreihen) Sei I R ein Intervall, seien x 0, x I, sei f : I R beliebig oft differenzierbar. Sei K R + mit f (n) (t) K n N 0 t [x 0, x] (bzw. [x, x 0 ]), dann wird f durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x 0 dargestellt. Beweis: Betrachte das Lagrangesche Restglied: R n (x, x 0 ) = x x 0 n+1 (n + 1)! f (n+1) (x 0 + ξ(x x 0 )) K x x 0 n+1 (n + 1)! 0. n Beispiel (Taylorreihe) Sei f : ( 1, ) R definiert durch f(x) := ln(1 + x), dann ist f beliebig oft differenzierbar mit f (n) (x) = ( 1) n 1 (n 1)!(1 + x) n n N, was mit vollständiger Induktion sofort ersichtlich ist. Sei x 0 := 0. Es gilt f (n) (x) = somit können wir kein K R + finden mit (n 1)! (1 + x) n, f (n) (x) K n N 0 und x ( 1, ). Man beachte, dass für x ( 1, 0) der Nenner von f (n) (x) mit n gegen Null strebt. Sogar für x 0 ist nicht ersichtlich, dass f (n) (x) K n N 0 für ein K R + gelten sollte. Der zitierte Satz hilft hier nicht weiter. Betrachten wir doch mal das Lagrangesche Restglied R n (x, x 0 ) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ξx) = ( 1)n 1 1 n + 1 (1 + ξx), n+1

26 26 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG dann sehen wir für x 0 : lim R n (x, x 0 ) = 0, d.h. unsere Funktion f wird n durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x 0 = 0 (wobei x 0 gelten muss) dargestellt: f(x) = ( 1) k 1 1 k xk, insbesondere für x = 1 folgt ln(2) = k=1 ( 1) k 1. k k=1 Wie könnte mensch nun mit einem Rechner Funktionswerte von Funktionen ermitteln, wenn diese Funktionen durch ein Taylorpolynom oder durch eine Taylorreihe beschrieben werden kann? Bemerkung (Hornerschema) Sei I R ein Intervall, sei x 0 I ein innerer Punkt von I. Seien f : I R (n+1)-mal stetig differenzierbar und ε > 0 so, dass für das Restglied R n (x, x 0 ) folgendes gelten soll Rn (x, x 0 ) < ε x I, wobei hier nicht spezifiziert werden soll, ob es sich um das Cauchysche, das Lagrangesche oder das Taylorsche Restglied handelt. Damit folgt für das Taylorpolynom T n (x) := n f (k) (x 0 ) k=0 (x x k! 0 ) k : f(x) T n (x) < ε x I. D. h. bis auf eine Ungenauigkeit ε können wir den Funktionswert f(x) durch den Funktionswert des Taylorpolynoms T n (x) beschreiben. Damit sind die Funktionswerte von f auf einem Rechner berechenbar geworden. Eine Frage ist noch klären: Wie lässt sich T n (x) am schnellsten, d.h. mit den wenigsten Rechenschritten ermitteln? Die wesentlichen Rechenschritte/Operationen sind hierbei Divisionen und Multiplikationen. Die Berechnung des Funktionswertes des Polynoms T n (x) := n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k benötigt insgesamt n(n + 1) Operationen (Bitte nachrechnen!). Das so genannte Hornerschema erlaubt die Berechnung mit erheblich weniger Operationen.Wir faktorisieren das Taylorpolynom wie folgt: T n (x) = ( ((((f (n) (x 0 ) x x 0 + f (n 1) (x n 0 )) x x 0 n 1 + f (n 2) (x 0 )) x x 0 +f (n 3) (x 0 )) x x 0 (x n 3 0 )) x x f (0) (x 0 ). n 2 + Wenn wir nun die wesentlichen Operationen abzählen, dann werden wir feststellen, dass es insgesamt nur 2n Operationen, also erheblich weniger als n(n + 1),

27 4.2. TAYLORREIHEN 27 sind. Zum Beispiel für n = 11 finden wir nun 22 Operationen statt 132 Operationen. Wir wollen uns nun mal exemplarisch ansehen, wie mensch Funktionswerte von Funktionen wie exp oder sin approximativ ermittelt werden können Beispiele (Hornerschema) (1) Sei [.] die bekannte Gaußklammer, dann gilt 0 x [x] < 0. Wir wollen nun exp(x) mit einer Genauigkeit von ε = 10 8 (Taschenrechner mit 8 Nachkommastellen) ermitteln. Wegen exp(x) = exp([x]) exp(x [x]) (*) (Funktionalgleichung d. Exponenzialfunktion) geügt es, exp(y) für y = x [x] [0, 1) zu ermitteln. Wir betrachten das Taylorpolynom T n (x) und das Lagrangesche Restglied R n (x, x 0 ) von exp in x 0 = 0, wobei wir beachten, dass exp (n) = exp gilt: n y k T n (y) = k! und R y n+1 n(y, 0) = exp(ξ) für ein ξ (0, 1). (n + 1)! k=0 Aufgrund der Monotonie von exp gilt exp(ξ) < exp(1) = e. Damit folgt nun: R n (y, 0) = e ξ y n+1 (n + 1)! e yn+1 (n + 1)! e (n + 1)! 3 (n + 1)!. 3 Nun gilt sicherlich R n (y, 0) < ε, wenn < ε gilt. Letzteres ist ab n = 11 der (n+1)! Fall, was jetzt bedeutet, dass mit 22 Operationen der Funktionswert exp(y) für y (0, 1) mit einer Genauigkeit von 10 8 ermittelt werden kann. Für beliebiges x R kommen wegen (*) aufgrund des Faktors e [x] noch weitere [x] Multiplikationen hinzu. (2) Wir wollen nun die Funktionswerte von sin mit einer Genauigkeit von ε = 10 8 anhand des Taylorpolynoms ermitteln. Aufgrund des Additionstheorems genügt es, die Funktionswerte von sin und cos für Werte y [ π, π ] zu ermitteln. 2 2 Präziser: Sei k := [ 2x], dann gilt x = y + πk für ein y [ π, π ]. Damit folgt nun π sin(x) = sin(y + π 2 k) = sin(y) cos(π 2 k) + cos(y) sin(π 2 k). Für k = 2m gerade folgt sin(x) = sin(y)( 1) m, für k = 2m + 1 ungerade folgt sin(x) = cos(y)( 1) m. Im letzten Fall wird die Berechnung des sin auf die Berechnung des cos zurück geführt. Wir werden im Weiteren nur den geraden Fall

28 28 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG verfolgen. Wegen R n (y, 0) = sin(n) (ξ)y n+1 (n+1)! und y π 2 R n (y, 0) = sin(n) (ξ)y n+1 (n + 1)! < 1, 6 folgt nun y n+1 (n + 1)! < (1, 6)n+1 (n + 1)!. Ab n = 13 gilt (1,6)n+1 < ε = 10 8 und damit R (n+1)! n (y, 0) < ε. Damit unterscheidet sich der exakte Funktionswert von sin(y) um weniger als ε vom Funktionswert T n (y). Das Taylorpolynom 13 T n (y) = sin (k) (0) yk k! k=0 hat wegen sin (k) (0) = sin(0 + k π ) für k gerade viele Summanden, die Null sind, 2 für k = 2m + 1 ungerade gilt sin (k) (0) = ( 1) m. Damit folgt (mit z := y 2 ): T n (y) = y 6 ( 1) m z m (2m + 1)! ; m=0 die Berechnung des Funktionswertes dieses Polynoms benötigt insgesamt 19 Operationen. Für die Berechnung von k werden noch weitere zwei Operationen benötigt, so dass mensch den sin mit 21 Operationen berechnen kann. Übungsaufgaben (1) Zeigen Sie: (i) sin(x) = ( 1) k x 2k+1 x R; (2k + 1)! k=0 (ii) cos(x) = ( 1) k x2k x R; (2k)! k=0 (iii) sinh(x) := ex e x x 2k+1 = x R; 2 (2k + 1)! k=0 (iv) cosh(x) := ex + e x x 2k = x R; 2 (2k)! k=0 ) (v) ln ((1 x) 1 x k = x [ 1, 0]. k k=1 (2) Bestimmen Sie jeweils das 7-te Taylorpolynom der folgenden Funktionen mit Entwicklungspunkt x 0 := 0: (i) f(x) := sin 2 (x); (ii) f(x) := sin 3 (x); (iii) f(x) := cos(x) 1 x.

29 4.2. TAYLORREIHEN 29 (3) Bestimmen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen im Entwicklungspunkt x 0 := 0: (i) tan(x); (ii) tanh(x) := sinh(x) cosh(x). (4) Entwerfen Sie Algorithmen für die Berechnung von exp(x), sin(x) und cos(x) mit einer Genauigkeit ε = 10 k, wobei k N. (Hinweis: Lagrangesches Restglied) Bevor wir uns nun den sogenannten Potenzreihen zuwenden, wollen wir noch ein Korollar aus dem Taylorschen Satz notieren Korollar (Extrema differenzierbarer Funktionen) Sei n N mit n 2, f : (a, b) R n-mal differenzierbar. Für ein x 0 (a, b) gelte f (1) (x 0 ) = f (2) (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ). Dann gilt: (1) n ungerade = f besitzt in x 0 kein lokales Extremum (2) n gerade = f (n) (x 0 ) > 0 = f besitzt in x 0 ein lokales Minimum, f (n) (x 0 ) < 0 = f besitzt in x 0 ein lokales Maximum. Beweis: Es gelte f (n) (x 0 ) > 0 (den Fall f (n) Wegen < 0 behandelt man analog). 0 < f (n) (x 0 ) = lim x x0 f (n 1) (x) f (n 1) (x 0 ) x x 0 existiert ein δ > 0 mit d.h. f (n 1) (x) x x 0 > 0 x (x 0 δ, x 0 + δ), = lim x 0 f (n 1) (x) x x 0 f (n 1) (x) > 0 x (x 0, x 0 + δ) und f (n 1) (x) < 0 x (x 0 δ, x 0 ). Damit folgt f(x) = T n 2 (x) + R n 2 (x, x 0 ) = f(x 0 ) + (x x 0) n 1 f (n 1) (x 0 + ξ(x x 0 )) (n 1)! für ein geeignetes ξ (0, 1). Ist n ungerade, dann gilt f(x) > f(x 0 ) x (x 0, x 0 + δ) und f(x) < f(x 0 ) x (x 0 δ, x 0 ),

30 30 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG d.h. f kann in x 0 kein lokales Extremum besitzen. Ist n gerade, dann gilt f(x) f(x 0 ) x (x 0 δ, x 0 + δ), d.h. f besitzt in x 0 ein lokales Minimum. Der Taylorsche Satz ist Beweisgrundlage des folgenden Satzes, der ein sehr nützliches Hilfsmittel ist, um Nullstellen von Funktionen zu berechnen Satz (Newton-Verfahren) Sei f : [a, b] R eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt: (1) f existiert und ist stetig mit f (x) 0 (bzw. 0) x (0, b); (2) f (x) 0 x (a, b); (3) f(a)f(b) < 0. Behauptung: Die Gleichung f(x) = 0 besitzt in [a,b] genau eine Lösung x. Die sogenannte Newtonfolge (x n ) n N mit x n+1 := x n f(x n) f (x n ) konvergiert (monoton) gegen x, wenn wir als Startterm x 0 wie folgt wählen: (1) x 0 = a, wenn (f(a) < 0 und f (x) 0 x (a, b)) oder f(a) > 0 und f (x) 0 x (a, b) gilt; (2) x 0 = b, wenn (f(a) < 0 und f (x) 0 x (a, b)) oder f(a) > 0 und f (x) 0 x (a, b) gilt. Auf den Beweis sei hier verzichtet. Übungsaufgabe Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen bis auf einen Fehler ε := 10 2 : (i) x 3 + 2x 5 = 0; (ii) 2 cos(x) x 2 = 0; (iii) xe x 1 = 0.

31 4.2. TAYLORREIHEN Definition (Potenzreihe) Sei (a n ) n N 0 R eine Folge reeller Zahlen, dann nennen wir für x 0 R die Reihe a n (x x 0 ) n n=0 eine Potenzreihe mit Entwicklungsmitte (oder Entwicklungspunkt) x Beispiele (Potenzreihen) 1 (1) exp(x) = n! xn ist eine Potenzreihe mit Entwicklungsmitte x 0 = 0. n=0 ( 1) n (2) sin(x) = (2n + 1)! x2n+1 und n=0 ( 1) n cos(x) = (2n)! x2n sind Potenzreihen mit Entwicklungsmitte x 0 = 0. n=0 f (n) (x 0 ) (3) Jede Taylorreihe (x x 0 ) n ist eine Potenzreihe mit Entwicklungsmitte x 0 n! n=0. Bei Reihen, insbesondere Potenzreihen stellt sich natürlich das Konvergenzproblem: Wo konvergiert eine Potenzreihe? Satz (Konvergenz von Potenzreihen) Sei a n (x x 0 ) n eine Potenzreihe, dann existiert genau ein r R + 0 { } mit n=0 der Eigenschaft x R mit x x 0 < r konvergiert die Reihe a n (x x 0 ) n absolut n=0 und x R mit x x 0 > r ist die Reihe a n (x x 0 ) n divergent. Auch auf diesen Beweis wollen wir verzichten. n=0

32 32 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Definition (Konvergenzradius, Konvergenzintervall) Den gemäß obigem Satz eindeutig bestimmten Wert r R + 0 { } einer Potenzreihe a n (x x 0 ) n nennen wir den Konvergenzradius der Potenzreihe. Das n=0 Intervall (x 0 r, x 0 + r) nennen wir das Konvergenzintervall der betrachteten Potenzreihe. Wir wissen jetzt, dass jede Potenzreihe einen Konvergenzradius besitzt. Wie ermitteln wir aber diesen? Satz (Quotientenkriterium) Sei a n (x x 0 ) n eine Potenzreihe, sei n 0 N 0 mit a n 0 n n 0. Es gelte n=0 weiter lim a n = a R + a n a 0 oder lim = +, n+1 n a n+1 n dann folgt a n. r = lim n a n+1 Beweis: Das Quotientenkriterium besagt, dass die Reihe konvergiert bzw. divergiert, wenn a n (x x 0 ) n (absolut) lim a n+1(x x 0 ) n+1 a n+1 (x x 0 ) n+1 < 1 bzw. lim > 1 a n (x x 0 ) n n a n (x x 0 ) n n n=0 gilt. Dies ist äquivalent zu lim a n+1 1 < a n x x 0 n bzw. a n+1 1 lim > n a n x x 0, was wir wiederum schreiben können als a n a n. x x 0 < lim bzw. x x0 > lim n a n+1 n a n+1 Mit der Definition des Konvergenzradius r folgt die Behauptung.

33 4.2. TAYLORREIHEN Beispiel (Quotientenkriterium) ( 1) n 1 Wir betrachten x n ( 1)n 1 n n + 1, dann gilt lim = lim = 1, damit n n ( 1) n n n n=1 n+1 besitzt diese Reihe den Konvergenzradius r = 1. Diese Reihe konvergiert also für x ( 1, 1) absolut, und divergiert für x > 1. Für x = 1 ist die betrachtete Reihe gemäß dem Leibniz-Kriterium konvergent (aber nicht absolut konvergent). Für x = 1 divergiert die Reihe. Übungsaufgaben Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: x 2n (i) (2n)! ; (ii) (n 2 n)x n x n ; (iii) n! ; (iv) n=0 nx n ; n=0 (v) n=0 n=0 ( ) 2n x n ; n (vi) n=0 e n + e n x n ; 2 n=0 (vii) n=1 x n n ; (viii) n n x n. n= Satz (Identitätssatz für Potenzreihen) Seien f(x) := a n (x x 0 ) n, g(x) := n=0 b n (x x 0 ) n zwei Potenzreihen. Seien n=0 diese auf einem Intervall I := (x 0 r, x 0 + r) konvergent. Sei (x k ) I \ {x 0 } eine Folge mit lim k x k = x 0 und f(x k ) = g(x k ) k N, dann gilt f(x) = g(x) x I und a n = b n n N. Auf den Beweis, der im wesentlichen darauf beruht, dass Potenzreihen auf ihren Konvergenzintervallen stetig sind, wollen wir hier verzichten.

34 34 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG 4.3 Die Regel von de l Hospital In diesem Abschnitt werden wir die für Grenzwertbetrachtungen außerordentlich hilfreiche Regel von de l Hospital herleiten. Hierzu benötigen wir einige technische Aussagen, die auch für sich gesehen von Interesse sind Definition (lokale Extrema) Sei D R ein Intervall, sei x 0 D. Sei f : D R eine Funktion. (1) Wir sagen, dass f in x 0 ein lokales Maximum (bzw. Minimum) besitzt, wenn es ein ε > 0 gibt mit f(x) f(x 0 ) x D mit x x 0 < ε (bzw. f(x) f(x 0 ) x D mit x x 0 < ε). (2) Wir sagen, dass f in x 0 ein globales Maximum (bzw. Minimum) besitzt, wenn gilt f(x) f(x 0 ) x D (bzw.f(x) f(x 0 ) x D). Statt lokal sagt man auch relativ, statt global ist auch das Adjektiv absolut in Gebrauch. Die Begriffe Maximum und Minimum werden auch durch den Begriff Extremum zusammengefaßt. Wir reden also von lokalen bzw. globalen Extrema einer Funktion, und fragen uns, wo diese liegen. Globale Extrema sind selbstredend auch lokale Extrema.

35 4.3. DIE REGEL VON DE L HOSPITAL 35 Sei D := [a, b), sei f : D R eine Funktion, die wie folgt skizziert ist. f a x 0 x 0 x 0 b x Abbildung 4.2: Lokale, globale Extrema Die hier skizzierte Funktion besitzt in a ein globales (also auch lokales) Minimum x 0 ein globales (also auch lokales) Maximum x 0 ein lokales (aber kein globales) Minimum x 0 ein lokales (aber kein globales) Maximum b kein lokales Extremum, da f in b nicht definiert. Wir beachten: Globale Extrema sind lokale Extrema.

36 36 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Satz (notwendige Bedingung für lokale Extrema) f : (a, b) R besitze in x 0 (a, b) ein lokales Extremum und sei differenzierbar in x 0, dann gilt f (x 0 ) = 0. Auf den Beweis verzichten wir. Der folgende Satz garantiert die Existenz von globalen Extrema Satz (globale Extrema von stetigen Funktionen) Sei f : [a, b] R stetig, dann existieren x 0, x 1 [a, b] mit f(x 0 ) f(x) f(x 1 ) x [a, b]. Wir sagen salopp, dass die Funktion f auf [a, b] sein Minimum bzw. sein Maximum annimmt. Auf offenen oder halboffenen Intervallen erhalten wir für stetige Funktionen keine entsprechende Aussage. Dieser Satz hat nun eine fundamentale Konsequenz Satz (Rolle) Sei f : [a, b] R stetig mit f(a) = f(b), desweiteren sei f auf (a, b) differenzierbar, dann gibt es ein ξ (a, b) mit g (ξ) = 0. Beweis: Sei f nicht konstant, denn sonst ist diese Aussage trivial. x 0 (a, b) mit f(x 0 ) > f(a) oder f(x 0 ) < f(a); damit nimmt f in einem ξ (a, b) das globale Maximum bzw. Minimum an. Anschaulich besagt der Satz von Rolle, dass es im Graphen von f einen Punkt (ξ, f(ξ)) gibt, an dem die Tangente waagerecht verläuft. Es kann allerdings mehrere solche Punkte geben. Bevor wir Anwendungen dieses Satzes diskutieren, wollen wir zwei wichtige Folgerungen daraus ziehen Satz (1. Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) Sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar, dann gibt es ein ξ (a, b) mit f f(b) f(a) (ξ) =. b a Beweis: Wir definieren g : [a, b] R durch g(x) = f(x) f(b) f(a) (x a), b a

37 4.3. DIE REGEL VON DE L HOSPITAL 37 f(a) f(b) a b ξ ξ ξ ξ Abbildung 4.3: Satz von Rolle dann gilt g(a) = g(b) = f(a), g ist stetig, und differenzierbar auf (a, b). Mit Rolle folgt die Existenz von ξ (a, b) mit g (ξ) = 0. Nun gilt aber g (x) = f (x) f(b) f(a), b a d.h. die Behauptung folgt unmittelbar aus dem Satz von Rolle. Anschaulich besagt der 1. Mittelwertsatz der Differenzialrechnung, dass es einen Punkt (ξ, f(ξ)) im Graphen von f gibt, an dem die Tangente parallel zur Sekante (zwischen (a, f(a)) und (b, f(b)) verläuft (siehe Abbildung 4.4)) Korollar (Charakterisierung konstanter Funktionen) Sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar mit f (x) = 0 Dann gilt: c R : f(x) = c x [a, b]. Beweis: Sei x (a, b], dann gibt es ein ξ (a, x) mit f(x) f(a) x a = f (ξ) = 0, x (a, b). (1. Mittelwertsatz), d.h. f(x) = f(a). Also ist f konstant mit f(a) =: c Folgerung (Differenzialgleichung charakterisiert e-funktion) Sei c R, sei f : R R eine differenzierbare Funktion mit f (x) = cf(x) x

38 38 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG f(b) f(a) a Abbildung 4.4: 1. Mittelwertsatz ξ b R. Dann gilt f(x) = f(0) exp(cx) x R. Beweis: Setze F (x) := f(x)e cx, dann gilt F (x) = f (x)e cx cf(x)e cx = 0 (Produktregel), gemäß ist F konstant mit F (x) = F (0) = f(0). Die Behauptung folgt. Nun wollen wir uns der Regel von de l Hospital nähern, diese beruht im wesentlichen auf dem folgenden Satz, der den 1. Mittelwertsatz verallgemeinert Satz (2. Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) Seien f, g : [a, b] R stetige Funktionen, die auf (a, b) differenzierbar sind mit g (x) 0 x (a, b). Dann gilt: ξ (a, b) mit f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Beweis: Zuächst ist klar, dass g(b) g(a) gilt, denn sonst gäbe es wegen Rolle ein x 0 (a, b) mit g (x 0 ) = 0. Dieses kann wegen g (x) 0 x (a, b) nicht sein. Wir definieren F : [a, b] R durch f(b) f(a) F (x) := f(x) (g(x) g(a)). g(b) g(a)

39 4.3. DIE REGEL VON DE L HOSPITAL 39 Dann ist F stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b), denn f, g haben diese Eigenschaften. Weiter gilt F (a) = f(a) = F (b). Gemäß Rolle existiert ein ξ (a, b) mit F (ξ) = 0. Wegen folgt sofort die Behauptung. F (x) = f (x) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) Korollar (Regel von de l Hospital / Ausdrücke vom Typ 0 0 ) Seien f, g : [a, b] R stetige Funktionen, die auf (a, b) differenzierbar sind mit g (x) 0 x (a, b). (i) Gilt f(b) = g(b) = 0 und existiert lim f (x) x b, dann existiert auch lim g (x) x b f(x) g(x) und es gilt f(x) lim x b g(x) = lim f (x) x b g (x). (ii) Gilt f(a) = g(a) = 0 und es existiert lim f (x) x a +, dann existiert auch g (x) und es gilt lim lim x a + f(x) g(x) f(x) x a + g(x) = lim f (x) x a + g (x). (iii) Gilt f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 für x 0 f(x) existiert auch lim x x0 und es gilt g(x) (a, b) und existiert lim x x0 f (x) g (x), dann f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Beweis: Wir zeigen nur (i), die Aussagen (ii) und (iii) zeigt man analog. Der 2. Mittelwertsatz liefert zu x (a, b) ein ξ (x, b) mit f(x) g(x) = f(b) f(x) g(b) g(x) = f (ξ) g (ξ). Mit x b folgt ξ b, d.h., da lim x b f (x) g (x) existiert, f(x) lim x b g(x) = lim f (x) x b g (x).

40 40 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Beispiele (de l Hospital, Typ 0 0 ) (1) lim x 0 sin(x) x = (de l Hosp.) sin (x) lim x 0 (x) = lim x 0 cos(x) 1 = 1; (2) lim x 0 e x x 1 x 2 = (de l Hosp.) = (de l Hosp.) (e x x 1) e x 1 lim = lim x 0 (x 2 ) x 0 2x lim x 0 (e x 1) (2x) e x = lim x 0 2 = Korollar (de l Hospital für x ± ) Seien f, g : [a, [ R differenzierbar mit g (x) 0 x [a, [ und lim f(x) = x f (x) f(x) 0 = lim g(x). Existiert lim, dann existiert lim und es gilt x x g (x) x g(x) f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x). Eine analoge Behauptung erhalten wir für Beweis: Es gilt f(x) lim x g(x). f(x) lim x g(x) = lim f( 1) f ( 1 x x 0 + g( 1) = lim )( 1 ) x x 2 (de l x Hosp.) x 0 + g ( 1)( 1 ) x x 2 f ( 1 = lim ) x x 0 + g ( 1) = lim f (x) x g x (x) Korollar (Regel von de l Hospital/Ausdrücke vom Typ ) Seien f, g : (a, b) R differenzierbare Funktionen mit f(x) 0, g(x) 0, g (x) 0 x (a, b). (i) Gilt lim f(x) = lim g(x) = + und existiert lim f (x), dann existiert x a + x a + x a + g (x) f(x) auch lim und es gilt x a + g(x) lim x a + f(x) g(x) = lim x a + f (x) g (x).

41 4.3. DIE REGEL VON DE L HOSPITAL 41 f (x) (ii) Gilt lim f(x) = lim g(x) = + und existiert lim, dann existiert x b x b x b g (x) f(x) auch lim und es gilt x b g(x) f(x) lim x b g(x) = lim f (x) x b g (x). Beweis: Wir zeigen (ii) ((i) geht analog). Sei c := lim f (x) x b, dann existiert zu g (x) jedem ε > 0 ein x ε (a, b) mit ( ) f (x) c g (x) < ε x (xε, b), Für x (x ε, b) gilt nun vermöge des 2. Mittelwertsatzes d.h. (mit ( )) Also gilt f(x) f(x ε ) g(x) g(x ε ) = f (ξ) g (ξ) für ein ξ (x ε, x), c ε < f(x) f(x ε) g(x) g(x ε ) < c + ε f(x ε ) f(x) g(x) x (x ε, b). c ε < f(x) g(x) 1 < c + ε x (x 1 g(x ε) ε, b). Wegen f(x ε) f(x) 0, g(x ε) g(x) 0 für x b (da f(x), g(x) + für x b ) folgt f(x) ( ) lim (c ε, c + ε), x b g(x) f(x) d.h. lim x b g(x) = c = lim f (x), denn wir können ε immer kleiner machen und x b g (x) ( ) bleibt gültig Beispiele (de l Hospital, Typ ) x n (1) lim = x e x (del Hosp.) = (del Hosp.) nx n 1 lim x lim x e x = (del Hosp.) n! e x = 0. lim n(n 1)x n 2 = x e... x (del Hosp.)

42 42 KAPITEL 4. DIFFERENZIALRECHNUNG Man sagt: Die Exponenzialfunktion wächst stärker als jede Potenz. (2) Für f(x) := x, g(x) := x + sin(x) gilt f (x) = 1 und g (x) = 1 + cos(x). f (x) lim x g (x) existiert nicht. Denn seien x n := 2πn, y n := π + 2πn, dann gilt 2 x n, y n für n ; wegen kann lim x f (x) g (x) lim n g (x n ) = 2 und lim g (y n ) = 1 n f(x) nicht existieren. Allerdings gilt lim x g(x) = 1, denn es gilt f(x) g(x) = x x + sin(x) = sin(x) x x = 1. nicht exi- f Dass lim (x) x nicht existiert, bedeutet also nicht, dass lim g (x) x f(x) g(x) stiert, sondern dass die Regel von de l Hospital nicht anwendbar ist. Nun tauchen nicht nur Grenzwertbetrachtungen vom Typ 0 oder 0 folgenden Konstellationen können ebenfalls vorkommen: auf, die 0,, 0, 0 0, 1. Wie wir diese Grenzwertbetrachtungen bearbeiten können, sagt uns die folgende Bemerkung Bemerkung (de l Hospital, andere Typen) vom Typ, wir können also versu- (1) Ist f(x)g(x) vom Typ 0, so ist f(x) 1 g(x) chen, mit de l Hospital den Grenzwert von zu ermitteln. Auch geht f(x)g(x) = g(x) 1 f(x) f(x)g(x) = f(x) 1 g(x) (2) Ist f(x)g(x) vom Typ, so ist ( 1 g(x) 1 f(x) (rechte Seite ist vom Typ 0 0 ). )(g(x)f(x)) vom Typ 0, den wir nun mit der entsprechenden Transformationen in den Typ 0 0 oder umwandeln können. (3) Ist f(x) g(x) vom Typ 0, so ist g(x) ln(f(x)) vom Typ 0, diesen können wir mit ) behandeln. Existiert nun lim x a g(x) ln(f(x)), wobei a {x 0, x + 0, x 0,, }, dann erhalten wir für (f(x)) g(x) einen Grenzwert durch (f(x)) g(x) = exp(g(x) ln(f(x))),