Inhaltsverzeichnis. W 4 Gebrochenrationale Funktionen (EK)

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1 Inhaltsverzeichnis W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W Begriffserklärung und Klassifizierung W Bestimmung der Definitionsmenge W Polstellen W Verhalten gebrochenrationaler Funktionen für ± W 5 Bestimmung von Etrem- und Wendepunkten 9 W 6 Behebbare Definitionslücken W 7 Integration gebrochenrationaler Funktionen 8 W 8 Abituraufgaben zu gebrochenrationalen Funktionen A Smmetriekriterien 5 A Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion 7 A Skizzieren von Graphen gebrochenrationaler Funktionen

2 Notizen

3 Gebrochenrationale Funktionen (EK) W Begriffsklärung und Klassifizierung Wir betrachten Funktionen, die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen schreiben lassen Die Variable soll dabei auch im Nenner auftreten, dh im Nenner darf keine konstante Funktion stehen Gebrochenrationale Funktion Seien p und q ganzrationale Funktionen vom Grad n bzw m und m n m Die Funktion p n( ) f : D R, mit mit a n q m ( ) p ( ) a a a a q b b b b n n n n n m m m( ) m m, b heißt gebrochenrationale Funktion mit dem Zählergrad n m und dem Nennergrad m Wir unterteilen gebrochenrationale Funktionen in zwei Klassen: gilt Zählergrad n < Nennergrad m, so heißt f echt gebrochen, gilt Zählergrad n Nennergrad m, so heißt f unecht gebrochen Beispiele (Klassifizierung gebrochenrationaler Funktionen) W a) b) c) f( ) ist unecht gebrochenrational f( ) ist echt gebrochenrational f( ) ist nicht gebrochenrational, sondern ganzrational d) f( ) ist nicht rational (, also kein ganzzahliger Eponent) Aufgabe Entscheiden Sie, ob eine gebrochenrationale Funktion vorliegt Geben Sie gegebenenfalls den Tp der gebrochenrationalen Funktion an a) sin ( ) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) 8

4 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W Bestimmung der Definitionsmenge Bei der Bildung des Quotienten zweier Funktionen ist darauf zu achten, dass im Nenner des Bruchs immer ein von null verschiedener Wert stehen muss Für die imale Definitionsmenge einer gebrochenrationalen Funktion gilt somit: D { R qm( ) } R \{,,, r} Dabei sind,,, r die Nullstellen des Nennerpolnoms q m Sie heißen Definitionslücken der gebrochenrationalen Funktion f Zur Bestimmung der Definitionsmenge einer gebrochenrationalen Funktion bietet sich folgende Vorgehensweise an: Nennerpolnom q m möglichst faktorisieren, Nullstellen von q m bestimmen (Definitionslücken), Definitionslücken aus der Menge R ausschließen Beispiele (Definitionsmenge und Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen) a) Betrachtet wird 5 6 f( ) Faktorisierung: f( ) Nullstellen:, (beide einfach) Definitionslücken:, (beide einfach) Maimale Definitionsmenge: D R \{;} ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 b) Betrachtet wird f( ) Faktorisierung: Nullstelle: (einfach) Definitionslücke: (doppelt) Maimale Definitionsmenge: D R \{ } f( ) ( ) Aufgaben Lesen Sie an dem Funktionsterm die imale Definitionsmenge ab Entscheiden Sie zusätzlich, ob die Funktionen gebrochenrational sind a) d) g) f( ) b) f( ) c) f( ) e) f( ) f) ( ) f( ) h) f( ) i) f( ) f( ) sin ( ) f( )

5 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Bestimmen Sie für die gebrochenrationalen Funktionen die imale Definitionsmenge und geben Sie an, um welche Art einer gebrochenrationalen Funktion es sich jeweils handelt a) f( ) 5 b) f( ) c) f( ) ( ) ( ) d) f( ) e) ( ) f f) f( ) ( ) g) f( ) h) f( ) i) f( ) Bestimmen Sie D und die Nullstellen Welche Art einer gebrochenrationalen Funktion liegt vor? a) d) f( ) b) f( ) e) 6 9 f( ) c) f( ) f) f( ) ( ) f( ) 5 Bei welchen der folgenden Funktionen handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion? Begründen Sie Ihre Entscheidung durch eine Umformung des Funktionsterms und geben Sie D an a) f( ) b) d) f( ) f( ) c) f( ) e) f( ) f) f( ) 6 Die Abbildungen zeigen die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen Eponenten a) Begründen Sie, dass es sich bei diesen Funktionen um gebrochenrationale Funktionen handelt b) Welche Definitionslücken treten auf? Geben Sie D an c) Beschreiben Sie den Verlauf der Graphen in der Nähe ihrer Definitionslücke Gerade Eponenten f( ),, Ungerade Eponenten 5 f( ),,

6 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W Polstellen Begriff der Polstelle Bei gebrochenrationalen Funktionen muss das Verhalten in der Nähe der Definitionslücken untersucht werden Schon am Beispiel der Kehrwertfunktion f : R R, * kann man erkennen, dass sich die Graphen gebrochenrationaler Funktionen nicht immer in einem Zuge zeichnen lassen Bei der Kehrwertfunktion ist dafür die Definitionslücke an der Stelle verantwortlich f () f () Am Graphen kann man erkennen: Bei Annäherung an die Lücke von links fallen die Funktionswerte nach Bei Annäherung an die Lücke von rechts steigen die Funktionswerte nach Grenzwertschreibweise lim f( ) f( ) lim f( ) f( ) Es ergibt sich jeweils keine reelle Zahl als Grenzwert Es liegt kein Grenzwert im eigentlichen Sinn vor Ein solches Grenzwertverhalten ist charakteristisch für gebrochenrationale Funktionen Man spricht von uneigentlichen Grenzwerten Beispiel (Verhalten in der Nähe einer Definitionslücke) Betrachtet wird Annäherung von links an ( ) Annäherung von rechts an ( ) f : R\{} R, in der Nähe der Lücke f () f (),,,5,6,5,6,9 6,5, 8,5,99 7,, 76,,999 79,, 75,, ,, 75, lim f( ) lim f( ) Polgerade: In der Nähe der Stelle streben die Funktionswerte f () gegen oder Man bezeichnet die Stelle als Polstelle oder Unendlichkeitsstelle Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Graph von f immer mehr der Parallelen zur -Achse mit der Gleichung annähert

7 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 5 Allgemein definiert man: Polstelle Es sei f : D R eine Funktion und eine Definitionslücke Gilt für die einseitigen Grenzwerte lim f( ) ± und lim f( ) ±, so heißt die Definitionslücke Polstelle oder Unendlichkeitsstelle Die Parallele zur -Achse mit der Gleichung heißt Polgerade Aufgaben 7 Gegeben ist die Funktion f : D R, a) Geben Sie D an b) Begründen Sie die Lage der Nullstelle c) Begründen Sie, dass es sich bei der Definitionslücke um eine Polstelle handelt Lesen Sie dazu aus der Zeichnung die uneigentlichen Grenzwerte ab d) Bestätigen Sie das Ergebnis durch Berechnung einiger Funktionswerte in der Nähe der Definitionslücke 8 Gegeben ist die Funktion f : D R, ( ) a) Geben Sie D an b) Begründen Sie die Lage der Nullstellen c) Begründen Sie, dass eine Polstelle vorliegt Lesen Sie dazu aus der Zeichnung die uneigentlichen Grenzwerte ab d) Welcher Unterschied zeigt sich im Verlauf des Graphen in der Nähe der Polstelle im Vergleich zu der Funktion aus der vorangehenden Aufgabe?

8 6 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Polstellenkriterium Die Entscheidung, ob es sich bei der Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion um eine Polstelle handelt, haben wir bisher mithilfe von Grenzwertbetrachtungen getroffen Wünschenswert wäre es, wenn man diese Entscheidung schon direkt durch einen Blick auf den Funktionsterm treffen könnte Begründung des Polstellenkriteriums Wir betrachten eine gebrochenrationale Funktion p ( ) q ( ) f n ( ) Für eine Definitionslücke gilt für das Nennerpolnom q ( ) m Der Nenner von f nimmt deshalb für (betragsmäßig) beliebig kleine Werte an Gilt zusätzlich für das Zählerpolnom p ( ) n, so steht für im Zähler eine feste reelle Zahl ( ) Der Quotient f p n ( ) strebt folglich dem Betrag nach gegen unendlich q m ( ) Hieraus ergibt sich das folgende Kriterium zur Charakterisierung der Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion: Polstellenkriterium Es sei f : D R mit p ( ) q ( ) f n ( ) eine gebrochenrationale Funktion m Ist eine Stelle Nullstelle des Nennerpolnoms, zugleich jedoch keine Nullstelle des Zählerpolnoms, d h gilt q ( ) m und p ( ) n, so handelt es sich bei um eine Polstelle Die Untersuchung des Sonderfalls, dass gleichzeitig Nullstelle des Nennerpolnoms und des Zählerpolnoms ist, wird an einer späteren Stelle vorgenommen Das Polstellenkriterium ist vor allem in den Fällen leicht anwendbar, in denen sich der Funktionsterm faktorisieren lässt Beispiel (Polstellenkriterium anwenden) Betrachtet wird die Funktion f : D R, Aus der Faktorisierung ( ) ( ) f( ) ergibt sich: Nullstelle des Zählerpolnoms: (einfach) Nullstellen des Nennerpolnoms: oder (beide einfach) Nach dem Polstellenkriterium sind die Stellen und Polstellen m

9 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 7 Vielfachheit von Polstellen Wie bei den Nullstellen einer Funktion ist auch bei den Polstellen die Vielfachheit zu beachten, mit der sie auftreten Diese Vielfachheit hat Auswirkungen auf den Verlauf des Graphen In folgenden Abbildungen sind anhand einfacher Funktionen die verschiedenen Möglichkeiten dargestellt Polstellen mit Vorzeichenwechsel (einfache, dreifache, Nullstelle des Nennerpolnoms) f( ) f( ) Vorzeichentabelle: Vorzeichen- f () tabelle: f () mit VzW Polst Grenzwerte an der Polstelle : lim f( ) und lim f( ) Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (doppelte, vierfache, Nullstelle des Nennerpolnoms) f( ) mit VzW Polst Grenzwerte an der Polstelle : lim f( ) und lim f( ) f( ) ( ) ( ) Vorzeichentabelle: Vorzeichen- f () tabelle: f () ohne VzW Polst Grenzwerte an der Polstelle : lim f( ) und lim f( ) ohne VzW Polst Grenzwerte an der Polstelle : lim f( ) und lim f( )

10 8 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Beachtet man die Vielfachheit von Nullstellen und Polstellen, so kann man anhand des faktorisierten Funktionsterms eine Vorzeichentabelle erstellen und damit bereits einen groben Überblick über den Verlauf des Graphen gewinnen Bei Erstellung der Vorzeichentabellen wird ausgenutzt, dass eine gebrochenrationale Funktion als stetige Funktion ihr Vorzeichen nur an Nullstellen oder Definitionslücken wechseln kann Beispiel (Polstelle mit Vorzeichenwechsel) Betrachtet wird die Funktion Faktorisierung: Nullstelle: Polstelle: Vorzeichentabelle,5 f( ),5 ( ) f( ) (einfach, mit VzW) (einfach, mit VzW) Testwert: f () f (),5 mit VzW Polst mit VzW Grenzwerte an der Polstelle : lim f( ) ; lim f( ) Pol Nst Beispiel (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel) Betrachtet wird die Funktion f( ) Faktorisierung: f( ) Nullstelle: Polstelle: Vorzeichentabelle ( ) (einfach, mit VzW) (doppelt, mit VzW) Testwert: f () f () mit VzW ohne VzW Polst Grenzwerte an der Polstelle : lim f( ) ; lim f( ) Nst Pol In den Skizzen der Graphen wurden als Zeichenhilfe Gebietssperrungen im Koordinatensstem vorgenommen Mithilfe der Vorzeichentabelle lassen sich diejenigen Gebiete sperren, in denen keine Punkte des Graphen liegen können Zur Sperrung dieser verbotenen Gebiete wurde bei dem Graphen des oberen Beispiels an der Nullstelle eine senkrechte Gerade ergänzt Siehe dazu auch Anhang A

11 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 9 Aufgaben 9 Lesen Sie aus den Abbildungen die Polstelle ab und geben Sie an, um welche Art von Polstelle es sich handelt a) b) c) Ordnen Sie die Funktionsgraphen den richtigen Funktionen zu Begründen Sie Ihre Antwort mit möglichst vielen Argumenten Bestimmen Sie zur Kontrolle rechnerisch den -Achsenabschnitt a) b) c) d) f : ; g: ; h: ; k: ( ) ( ) Geben Sie D an und begründen Sie, dass eine Polstelle auftritt Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen in der Nähe der Polstelle a) f : D R, b) f : D R, ( ) c) f : D R, d) f : D R, Lassen Sie sich zur Kontrolle die Funktionsgraphen darstellen

12 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Die Graphen in den folgenden Abbildungen gehören zu Funktionen des Tps a bzw a Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung ( ) Tipp: Der Wert des Parameters a kann zb über den -Achsenabschnitt bestimmt werden a) b) Prüfen Sie den Funktionsterm auf Nullstellen und Polstellen Legen Sie eine Vorzeichentabelle an und notieren Sie die einseitigen Grenzwerte an den Polstellen a) d) 6 9 f( ) b) f( ) c) f( ) e) f( ) f) ( ) ( ) Die jeweils angegebene Funktionsgleichung passt nicht zu dem dargestellten Graphen Was ist hier falsch? Geben Sie mindestens eine Begründung an a) b) c) f f f( ) f( ) f( ) ( )

13 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W Verhalten gebrochenrationaler Funktionen für ± Für ± nähern sich die Graphen gebrochenrationaler Funktionen häufig einer Geraden an, die als Zeichenhilfe sehr nützlich sein kann Eine solche Gerade wird als Asmptote bezeichnet Zur Bestimmung einer Gleichung der Asmptote ist das Verfahren der Polnomdivision bedeutsam Polnomdivision bei unecht gebrochenrationalen Funktionen Der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion lässt sich mithilfe einer Polnomdivision in eine Summe zerlegen Die beiden Beispiele greifen tpische Fälle auf, die auch für das Folgende wichtig sind Beispiel (Zählergrad Nennergrad) Betrachtet wird f( ) Mithilfe der Polnomdivision ergibt sich die Darstellung des Funktionsterms als Summe Polnomdivision durch ( ) ( ) : ( ) ( ) f( ) Ganzrationaler Anteil: f ( ) A f ( ) A Echt gebrochener Rest: r( ) mit lim r ( ) r ( ) ± Der ganzrationale Anteil ist in diesem Fall eine Konstante Im Restterm r () tritt die Variable nur noch im Nennerpolnom auf Daher gilt r () für ± Beispiel (Zählergrad Nennergrad ) Betrachtet wird f( ) Mithilfe der Polnomdivision ergibt sich die Darstellung des Funktionsterms als Summe Polnomdivision durch ( ) 5 ( ):( ) ( ) ( ) 5 5 f( ) f A ( ) r( ) Ganzrationaler Anteil: f ( ) Echt gebrochener Rest: A 5 r( ) mit lim r( ) ± Der ganzrationale Anteil ist hier ein linearer Term Für den Restterm r () gilt wie oben r () für ± Allgemein formuliert lässt sich jede unecht gebrochenrationale Funktion f () durch eine Polnomdivision in zwei Anteile zerlegen: in einen ganzrationalen Anteil f A( ) und einen echt gebrochenen Restterm r () Zerlegung mithilfe einer Polnomdivision f( ) f ( ) r( ) A ganz- echt gerational brochen Für das Grenzwertverhalten des echt gebrochenen Restterms gilt: lim r( ) ±

14 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) -Achse als Asmptote Wir betrachten zunächst den Fall, dass die gegebene gebrochenrationale Funktion echt gebrochen ist In diesem Fall ist keine Polnomdivision durchzuführen Beispiel (-Achse als Asmptote) Betrachtet wird f( ) Faktorisierung: f ( ) mit VzW Polst mit VzW Testwert: f (), 5 > f( ) ( ) ( ) Nullstelle: (einf mit VzW) Polstellen: (einf mit VzW) (einf mit VzW) Vorzeichentabelle mit VzW Polst Grenzwertverhalten für ± Ohne Polnomdivision ergibt sich die Zerlegung: f( ) f ( ) A r ( ) Grenzwerte: lim f( ) ± lim f( ) ± und Dabei gilt: lim r( ) und ± lim f( ) ± lim f( ) lim f ( ) ± ± A Das Nennerpolnom dominiert wegen des höheren Grades über das Zählerpolnom Asmptote: fa( ) (-Achse) Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Graph der Funktion f für und auch für immer mehr der -Achse anschmiegt, jedoch nicht mit ihr zusammenfällt Man sagt: Die -Achse ist Asmptote für ± Allgemein lässt sich für eine echt gebrochenrationale Funktion feststellen, dass bezüglich des Grenzwertverhaltens für ± das Nennerpolnom aufgrund des höheren Grades über das Zählerpolnom dominiert Es kann folgende Regel formuliert werden: Grenzwerte für ± bei echt gebrochenrationalen Funktionen Sei f eine echt gebrochenrationale Funktion Dann besitzt f für ± den Grenzwert : lim f( ) lim f( ) Die -Achse mit der Gleichung ist Asmptote für den Graphen der Funktion Pol NSt Pol Zählergrad < Nennergrad

15 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Waagerechte Asmptote Wir betrachten eine gebrochenrationale Funktion, bei der Zähler- und Nennergrad übereinstimmen In diesem Fall ist eine Polnomdivision möglich Beispiel (Waagerechte Asmptote) Betrachtet wird Faktorisierung: f( ) ( ) f( ) Nullstelle: (einfach, mit VzW) Polstelle: (einfach, mit VzW) Vorzeichentabelle f () mit VzW mit VzW Polst Testwert: f () < Grenzwertverhalten für ± Die Polnomdivision ergibt die Zerlegung: f( ) Nullst Pol fa ( ) Grenzwerte: lim f( ) ± und lim f( ) ± ± ( ) : ( ) ( ) fa ( ) r ( ) Dabei gilt: lim r( ) und lim f( ) lim f ( ) ± ± ± Das Nennerpolnom dominiert bei r () wegen des höheren Grades über das Zählerpolnom Asmptote: fa( ) (Parallele zur -Achse) Der Graph der Funktion f schmiegt sich für und auch für immer mehr einer Parallelen zur -Achse an, fällt jedoch nicht mit ihr zusammen Man sagt: Die Gerade parallel zur -Achse mit der Gleichung f ( ) A ist waagerechte Asmptote Der Term der waagerechten Asmptote lässt sich auch ohne Polnomdivision am Funktionsterm von f ablesen Er ergibt sich als Quotient der Koeffizienten der höchsten -Potenzen des Zähler- und Nennerpolnoms Allgemein kann folgende Regel formuliert werden: A ± f ( ) A Grenzwerte für ± bei unecht gebrochenrationalen Funktionen n a n a a n Für f( ) n gilt: lim f( ) lim f( ) b b b n a n Die Parallele zur -Achse fa( ) ist waagerechte Asmptote von G b f n Polnomdivision durch ( ) n Zählergrad Nennergrad

16 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Schiefe Asmptote Wir betrachten unecht gebrochenrationale Funktionen, bei denen der Zählergrad um größer als der Nennergrad ist Hierbei ist eine Polnomdivision durchführbar Beispiel (Schiefe Asmptote) Betrachtet wird f( ) f ( ) A Faktorisierung: ( ) ( ) f( ) ( ) Nullstellen: (einf, mit VzW) (einf, mit VzW) Polstelle: (einf, mit VzW) Vorzeichentabelle f A ( ) r ( ) Dabei gilt: lim r( ) ± und lim f( ) lim f ( ) lim ( ) ± A ± ± ± Asmptote: fa( ) (schiefe Gerade) Der Graph der Funktion f schmiegt sich für und auch für immer mehr einer schiefen Geraden an Man sagt: Der Graph nähert sich für ± einer schiefen Asmptote Allgemein kann folgende Regel formuliert werden: Grenzwerte für ± bei unecht gebrochenrationalen Funktionen Sei f eine unecht gebrochenrationale Funktion, bei der der Zählergrad um größer ist als der Nennergrad Dann gilt lim f( ) lim f( ) ± f ( ) mit mit mit Nst Pol Nst VzW VzW VzW Polst Grenzwerte: Testwert: f () < lim f( ) und lim f( ) ± ± ± Grenzwertverhalten für ± Mithilfe einer Polnomdivision ergibt sich die Zerlegung: f( ) Polnomdivision durch ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) Zählergrad Nennergrad Die Asmptote für ± ist eine schiefe Gerade Eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion erhält man mithilfe der Polnomdivision

17 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 5 Schnittpunkt und Annäherung an die Asmptote Für den Restterm, der sich bei der Polnomdivision einer unecht gebrochenrationalen Funktion ergibt, gilt die Darstellung: r ( ) f( ) fa( ) Einer möglichen Nullstelle von r () sowie dem Vorzeichen von r () für ± kommt bezüglich des Verlaufs des Graphen von G f eine besondere Bedeutung zu Beispiel (Untersuchung des Restterms) Betrachtet wird f( ) ( ) ( ) ( ) Faktorisierung: f( ) Nullstellen: (einfach, mit VzW) (einfach, mit VzW) Polstelle: (doppelt, ohne VzW) Zerlegung durch eine Polnomdivision f( ) ( ) fa ( ) r( ) Annäherung an die Asmptote Mithilfe des Vorzeichens des Restterms r () kann die Art der Annäherung des Graphen G f für ± an die Asmptote beschrieben werden ( ) ( ) ( ) ( ) r f fa > für Der Graph nähert sich der Asmptote von oben ( ) ( ) ( ) ( ) r f fa < für Der Graph nähert sich der Asmptote von unten Schnittpunkt mit der Asmptote Einer möglichen Nullstelle des Restterms kommt eine besondere Bedeutung zu Es gilt: r( ) f( ) fa( ) f( ) fa( ) Anschaulich bedeutet dies, dass die Asmptote f A den Graphen G f an den Stellen schneidet, für die die Restfunktion r den Wert null annimmt: ( ) r( ) fa( ) Wegen f A( ) schneidet G f die waagerechte Asmptote im Punkt S ( ) Polnomdivision durch ( ) ( ):( ) ( ) Deutung des Vorzeichens des Restterms Das Vorzeichen von r ( ) f( ) fa( ) beschreibt für ± die Annäherung des Graphen an die Asmptote Deutung einer Nullstelle des Restterms Eine Nullstelle von r ( ) f( ) fa( ) gibt eine Schnittstelle des Graphen mit der Asmptote an

18 6 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Abstand zur Asmptote Mithilfe des Restterms lässt sich nicht nur die Annäherung des Graphen an die Asmptote beschreiben Er kann auch dazu verwendet werden, den Abstand an einer bestimmten Stelle zu berechnen Für die betrachtete Funktion gilt zb für die Stelle : d r () 6 ( ) 6 8,75 An der Stelle hat der Graph von der Asmptote den Abstand,75 Deutung des Betrags des Restterms Der Betrag r ( ) f( ) fa( ) beschreibt für eine Stelle den Abstand des Graphen G f von der Asmptote Dieser Abstand strebt für ± gegen Aufgaben 5 Zerlegen Sie die unecht gebrochenrationale Funktion f in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil 5 a) f( ) b) f( ) c) f( ) 5 d) f( ) e) f( ) f) ( ) f ( ) 6 Ordnen Sie den Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu Begründen Sie Ihre Entscheidung mit möglichst vielen Argumenten a) f( ) b) f( ) c) f( ) ( ) d) f( ) e) f( ) f) f( ) ( ) 5 6

19 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 7 7 * Zerlegen Sie die unecht gebrochenrationale Funktion f in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil (a ) a a) f( ) a a b) f( ) c) f( ) 8 Bestimmen Sie eine Gleichung der Asmptote zu der gebrochenrationalen Funktion f und untersuchen Sie, ob es Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Asmptote gibt Geben Sie die Schnittpunkte gegebenenfalls an a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) e) f( ) f) f( ) 9 Der angegebene Funktionsterm passt nicht zu dem dargestellten Graphen Was ist hier falsch? Geben Sie mindestens eine Begründung an a) f( ) b) f( ) c) f( ) a ( ) Lesen Sie die möglichen Polstellen und die Grenzwerte für ± ab Bestimmen Sie anhand der Abbildung eine Gleichung der Asmptote und beschreiben Sie die Annäherung des Graphen an die Asmptote für ± a) b) c) d) e) f)

20 8 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Geben Sie für die im Folgenden dargestellten gebrochenrationalen Funktionen eine mögliche Funktionsgleichung an a) b) c) Begründen Sie anhand des Funktionsterms die Lage und die Art der Nullstellen und Polstellen Bestimmen Sie die Asmptote, mögliche Schnittstellen der Asmptote mit G f sowie die Annäherung von G f an die Asmptote a) f( ) b) f( ) c) f( ) Bestimmen Sie (gegebenenfalls mithilfe einer Polnomdivision) eine Gleichung der Asmptote der gebrochenrationalen Funktion f Untersuchen Sie, ob sich der Funktionsgraph für und für der Asmptote von oben oder von unten nähert a) 9 f( ) b) d) f( ) e) ( ) f( ) c) f( ) f) f( ) f( ) ( ) Bestimmen Sie eine Gleichung der Asmptote zu der gebrochenrationalen Funktion f und geben Sie gegebenenfalls die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Asmptote an Geben Sie auch D an Berechnen Sie für die Stellen und den Abstand des Graphen von der Asmptote a) f( ) b) ( ) f 9 8

21 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 9 W 5 Bestimmung von Etrem- und Wendepunkten In den bisherigen Beispielen wurden gebrochenrationale Funktionen auf mögliche Nullstellen, Polstellen und Asmptoten untersucht Anhand der Ergebnisse kann meist schon eine aussagekräftige Skizze des Graphen erstellt werden Zu einer vollständigen Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion gehört auch die rechnerische Bestimmung der Etrem- und Wendepunkte Beispiel (Etrempunkte und Monotonieintervalle bestimmen) Wir untersuchen die Funktion f : D R, Anhand des Funktionsterms lassen sich direkt folgende Informationen gewinnen: Nullstelle (doppelt, ohne VzW) Polstelle (einfach, mit VzW) Etrempunkte Erste Ableitung ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Notwendige Bedingung f ( ) H (beide einfach, mit VzW) Hinreichende Bedingung Vorzeichentabelle für f ( ) f ( ) mit VzW HP ohne VzW Polst mit VzW TP Angabe der Etrempunkte Zusammen mit f () und f () ergibt sich H ( ) und T ( ) Monotonieintervalle (siehe Vorzeichentabelle für f ( ) ) f ist in ] ;] und in [ ; [ streng monoton wachsend f ist in [ ;[ und in ]; ] streng monoton fallend Die hinreichende Bedingung lässt sich auch mithilfe der zweiten Ableitung überprüfen Diese müsste aber im vorliegenden Fall nur zu diesem Zweck berechnet werden Nst Pol T Vielfachheit der Polstelle von f beachten (hier doppelt) Testwert: ( ) f () > ( ) 6

22 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Beispiel (Wendepunkte und Krümmungsintervalle bestimmen) Wir untersuchen die Funktion ( ) f : D R, Anhand des Funktionsterms lassen sich direkt folgende Informationen gewinnen: Nullstellen (beide einfach, mit VzW) Polstelle (doppelt, ohne VzW) Wendepunkte Zur Berechnung der Wendepunkte ist die erste und die zweite Ableitung zu bestimmen Ableitungen ( ) ( ) ( ) f ( ) Pol W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) Notwendige Bedingung f ( ),5 (einfach, mit VzW) Hinreichende Bedingung Vorzeichentabelle für f ( ) Angabe des Wendepunktes Mit f ( ) ohne VzW Polst,5 mit VzW TP (,5), 75,75 (,5 ),5 6, 5,5 5 f (,5),6 Vielfachheit der Polstelle von f beachten (hier vierfach) Testwert: 9 f () 6 6 < ( ) 6 8 ergibt sich W (,5,6) Krümmungsintervalle (siehe Vorzeichentabelle für f ( ) ) G f ist in ] ; [ und in ] ;,5] linksgekrümmt G f ist in [,5; [ rechtsgekrümmt

23 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Aufgaben 5 Berechnen Sie die erste Ableitung a) f( ) b) Terme zur Kontrolle: f( ) c) ( ) ; 6 ( ) ; f( ) d) f( ) ( ) ; ( ) ( ) 6 Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung a) f( ) b) Terme zur Kontrolle:, ( ) ( ) f( ) c) ( ) ; 8 ( ), 7 ( ) f( ) ; ( ) ( ), ( ) 7 Bestimmen Sie D und eine Gleichung der Asmptote Verifizieren Sie die Lage der Nullstellen, der Etrem- und der Wendepunkte Geben Sie zusätzlich die Monotonie- und die Krümmungsintervalle an a) f : D R, b) f : D R, c) Kontrolle: f ( ) Kontrolle: ( ) f : D R, d) 6 f ( ) ( ) f : D R, 9 Kontrolle: 6 f ( ) Kontrolle: ( ) f ( ) ( ) ( )

24 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 8 Erstellen Sie eine Skizze von G f ( D, Pol- und Nullstellen, Asmptote mit möglicher Schnittstelle mit G f und die Annäherung von G f an die Asmptote) Bestätigen Sie durch Rechnung die Lage möglicher Etrem- und Wendepunkte a) f( ) b) ( ) 9 Gegeben ist die Funktion f( ) c) 5 f : D R, f( ), 5 Bestimmen Sie D, die Null- und die Polstellen, die Asmptote, die möglichen Etrem- und Wendepunkte und zeichnen Sie mit diesen Informationen den Graphen von f Gegeben ist die Funktion f : D R, a) Bestimmen Sie D, die Null- und die Polstellen von f b) Prüfen Sie, ob der Funktionsgraph smmetrisch ist c) Zeigen Sie, dass für den Funktionsterm von f gilt: f( ) Geben Sie die Asmptote und das Grenzwertverhalten für ± an d) Untersuchen Sie den Funktionsgraphen auf Etrempunkte Geben Sie die Monotonieintervalle an e) Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen f) Zeichnen Sie den Graphen anhand der vorliegenden Informationen g) Für welche Werte mit > beträgt der Abstand des Graphen zur Asmptoten weniger als,8? Gegeben ist die Funktion a) Bestimmen Sie D f f : Df R,, die Null- und die Polstellen b) Geben Sie eine Gleichung der Asmptote an c) Bestimmen Sie die Etrempunkte Zeichnen Sie mit den vorliegenden Informationen den Graphen der Funktion f d) Betrachtet wird nun die Funktion f ( ) g: D R, Bestimmen Sie die imale Definitionsmenge, die Gleichung der Asmptote, die Null- und Polstellen sowie die Etrempunkte Welche Informationen lassen sich aus den obigen Teilaufgaben übertragen? e) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g f) Zeichnen Sie den Graphen von g in das vorhandene Koordinatensstem g

25 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W 6 Behebbare Definitionslücken Begriff der behebbaren Definitionslücke Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f : R\{} R mit einer Definitionslücke an der Stelle Die Funktion f ist an der Stelle nicht definiert Für die Stelle ist demnach kein Funktionswert erklärt Betrachtet man den Graphen, so entsteht der Eindruck, dass sich die Definitionslücke reparieren lässt Man erkennt, dass für die Stelle die einseitigen Grenzwerte eistieren und dabei auch übereinstimmen: lim f ( ) lim f ( ) Der Graph von f besitzt an der Stelle ein Loch Das Grenzwertverhalten an der Stelle legt nahe, den Graphen durch den Punkt O ( ) zu ergänzen Dieser Punkt fügt sich stetig ( ohne Sprung ) in das Schaubild ein Man sagt, dass sich die Definitionslücke stetig beheben lässt Die stetige Fortsetzung der Funktion f lässt sich in diesem Fall wie folgt angeben: f : R R, Diese Betrachtung führt zu folgender Definition: f( ), wenn, wenn Behebbare Definitionslücke Es sei f : D R eine Funktion und eine Definitionslücke Eistiert der Grenzwert lim f ( ), so heißt behebbare Definitionslücke, sonst nichtbehebbare Definitionslücke Die Lücke wird durch die Festlegung f( ) lim f( ) stetig behoben Es entsteht so eine neue Funktion f, die so genannte stetige Fortsetzung von f Bei den bisherigen Untersuchungen von gebrochenrationalen Funktionen waren die Definitionslücken stets Polstellen (Unendlichkeitsstellen) Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die einseitigen Grenzwerte stets uneigentlich sind Im Sinne der obigen Betrachtung handelt es sich bei Polstellen um nichtbehebbare Definitionslücken Wir wollen im Folgenden Situationen betrachten, für die bei gebrochenrationalen Funktionen auch behebbare Definitionslücken auftreten Der Graph gehört zu der Funktion mit der Gleichung f ( ) ln( ) Die behebbare Definitionslücke an der Stelle entsteht hier nicht durch Erweitern des Funktionsterms

26 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Behebbare Definitionslücken bei gebrochenrationalen Funktionen Wir betrachten eine gebrochenrationale Funktion f ( ) ( p n ) q ( ) Nach dem Polstellenkriterium handelt es sich bei einer Stelle um eine Polstelle, wenn Nullstelle des Nennerpolnoms q m, nicht aber des Zählerpolnoms p n ist Wir greifen den Fall auf, dass eine Stelle gleichzeitig Nullstelle des Nennerpolnoms q m und des Zählerpolnoms p n ist In diesem Fall tritt in den Faktorisierungen von Zähler- und auch Nennerpolnom der Linearfaktor ( ) auf Zu beachten sind dabei die entsprechenden Vielfachheiten Wir untersuchen die möglichen Fälle anhand konkreter Beispiele Beispiel (Behebbare Definitionslücke) Wir betrachten die Funktion Faktorisierung: f( ) Gekürzter Term: f( ) Graph von f : f( ) mit D R\{} ( ) ( ) Der Linearfaktor ( ) tritt sowohl im Zähler- als auch im Nennerpolnom mit gleicher Vielfachheit auf und lässt sich vollständig kürzen f ist an der Stelle mit f () definiert m Entscheidung: ist eine behebbare Definitionslücke f( ),wenn Stetige Fortsetzung: f( ),wenn Es ist zu bemerken, dass sich f in diesem Fall auch ohne Fallunterscheidung schreiben lässt Es gilt: f( ) für alle R

27 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 5 Beispiel (Behebbare und nichtbehebbare Definitionslücke) Wir betrachten die Funktion Faktorisierung: Gekürzter Term: Graph von f : f( ) mit D R\{ ;} ( ) f( ) ( ) Der Faktor tritt im Zählerpolnom mit größerer Vielfachheit als im Nennerpolnom auf Nach dem Kürzen bleibt der Faktor im Zählerpolnom erhalten ( ) f( ) f ist in mit () f definiert Entscheidung: ist eine behebbare Definitionslücke f( ),wenn Stetige Fortsetzung: f( ),wenn Auch in diesem Fall kann f ohne Fallunterscheidung geschrieben werden Es gilt: f( ) ( ) für alle D R\{} An der Definitionslücke lässt sich der Graph reparieren Die Stelle ist stetig behebbar Hiervon zu unterscheiden ist das Verhalten der Funktion an der zweiten Definitionslücke Betrachtet man den gekürzten Funktionsterm f ( ), so erkennt man, dass der zugehörige Linearfaktor ( ) weiter im Nennerpolnom auftritt Die Stelle ist nicht stetig behebbar Es handelt sich um eine Polstelle, die auch bei der stetigen Ergänzung f auftritt

28 6 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Beispiel (Nichtbehebbare Definitionslücke) Wir betrachten die Funktion f( ) mit D R\{ ;} ( ) Faktorisierung: f( ) Gekürzter Term: Graph von f : Der Linearfaktor ( ) tritt im Nennerpolnom mit größerer Vielfachheit als im Zählerpolnom auf Nach dem Kürzen bleibt der Linearfaktor ( ) im Nennerpolnom erhalten f( ) ( ) f ist an der Stelle nicht definiert Entscheidung: ist eine Polstelle Es gibt keine stetige Fortsetzung Gebrochenrationale Funktionen können als Definitionslücken nur Polstellen oder stetig behebbare Definitionslücken aufweisen Eine Definitionslücke kann nur dann stetig behebbar sein, wenn die ganzrationalen Funktionen im Nenner und Zähler an derselben Stelle eine Nullstelle haben Im Einzelnen lässt sich feststellen: Ist eine Nullstelle des Nenner- und zugleich des Zählerpolnoms, so tritt in der Faktorisierung der Linearfaktor ( ) im Zähler und im Nenner auf Der Linearfaktor ( ) lässt sich somit kürzen Anhand des gekürzten Funktionsterms kann man entscheiden, ob es sich bei um eine behebbare Definitionslücke oder um eine Polstelle handelt: Der Linearfaktor ( ) kommt im Nenner des gekürzten Terms nicht mehr vor Daher ist behebbare Definitionslücke Der Linearfaktor ( ) kommt im Nenner des gekürzten Terms weiter vor Daher ist Polstelle

29 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 7 Aufgaben Bestimmen Sie D und vereinfachen Sie den Funktionsterm in D Lesen Sie an dem vereinfachten Funktionsterm die stetige Fortsetzung an der Definitionslücke ab a) c) f : D, f : D, R b) R d) 5 R 5 R, f : D, f : D Lassen Sie sich zur Kontrolle die Funktionsgraphen darstellen Lesen Sie aus den Schaubildern die Grenzwerte an den angegebenen Definitionslücken ab Entscheiden Sie, welche der Definitionslücken behebbar sind, und bei welchen es sich um Polstellen handelt a) ; b) ; c) ; d) ; Bestimmen Sie die Definitionslücken Entscheiden Sie, welche der Definitionslücken behebbar sind, und bei welchen es sich um Polstellen handelt a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) d) f( ) Lassen Sie sich zur Kontrolle die Funktionsgraphen darstellen

30 8 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W 7 Integration gebrochenrationaler Funktionen Bekannte Integrale zu gebrochenrationalen Funktionen Im Rahmen der Betrachtung von Integralen im Zusammenhang mit ln-funktionen traten folgende Grundintegrale auf, die auch für die Integration gebrochenrationaler Funktionen von ganz besonderer Bedeutung sind Integrale vom Tp a b d mit a Eine Stammfunktion zu f( ) a b ist F( ) ln a b a Bei unecht gebrochenrationalen Funktionen kann es vorkommen, dass dieses Grundintegral nicht direkt vorliegt, sondern sich erst nach einer Polnomdivision ergibt Beispiele (Anwendung des Grundintegrals) Grund- (FR) integral d d Polnomdivision a) [ ] ( ) ln (ln () ln () ln () b) d ( ) d Grund- integral ln ln() ln() Polnomdivision durch ( ) :( ) ( ) Im Zusammenhang mit der ln-funktion trat auch der Fall auf, dass im Zähler eines Bruchs (bis auf einen konstanten Vorfaktor) die Ableitung des Nenners steht Eine Stammfunktion zu Integrale vom Tp g ( ) g ( ) d g ( ) f( ) ist F( ) ln g( ) g ( ) Integrale dieses Tps können auch bei gebrochenrationalen Funktionen auftreten Beispiel (Im Zähler steht bis auf einen Vorfaktor die Ableitung des Nenners) Grund- integral d d ( ) ln ln () ln () ln () Vergleiche dazu Band III, Seite 5, 5

31 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) 9 Partialbruchzerlegung Für die Integration gebrochenrationaler Funktionen gibt es keine einheitliche Regel Neben den besprochenen Regeln ergibt sich ein weiterer Ansatz durch die Zerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion in eine Summe aus so genannten Partialbrüchen Eine solche Darstellungsform heißt Partialbruchzerlegung Wir werden uns auf Partialbruchzerlegungen der folgenden Form beschränken: a b A B ( ( ( ( ) ) ) ) mit und AB R, Im vorliegenden Fall kann man die Vorgehensweise bei der Partialbruchzerlegung in drei Schritte untergliedern Schritt: Zerlegung des Nenners in Linearenfaktoren ( ) und ( ) Schritt: Ansatz als Summe von Einzelbrüchen mit Konstanten A und B Schritt: Bestimmung der Konstanten A und B mithilfe der Einsetzmethode Wir erläutern diese Vorgehensweise anhand konkreter Beispiele Beispiel (Partialbruchzerlegung: konstante Funktion im Zähler) Wir betrachten die Funktion mit der Gleichung f( ) Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren Nach der Binomischen Formel gilt: ( ) ( ) Ansatz mit Einzelbrüchen A B ( ) ( ) A ( ) B ( ) ( ) ( ) Bestimmung der Konstanten A und B Durch die bereits angedeutete Multiplikation mit dem Hauptnenner und direktes Kürzen gleicher Linearfaktoren ergibt sich: A ( ) B ( ) Diese Gleichung soll für alle Werte von erfüllt sein Eine elegante Möglichkeit, die Konstanten A und B zu bestimmen, besteht darin, geeignete Werte für einzusetzen, wie zb die Nennernullstellen und : : A B A : A B ( ) B Dies liefert die Zerlegung: f( ) Damit ergibt sich direkt eine Stammfunktion: F( ) ln ln Hiermit lassen sich dann auch Integrale zur Funktion f berechnen: d [ ln ] [ ln ] (ln () ln ()) (ln () ln ()) ln () ln () ln ()

32 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Beispiel (Partialbruchzerlegung: lineare Funktion im Zähler) Wir betrachten die Funktion mit der Gleichung f( ) Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren Nach der Zerlegungsregel gilt: ( ) ( ) Ansatz mit Einzelbrüchen A B ( ) ( ) A ( ) B ( ) ( ) ( ) Bestimmung der Konstanten A und B Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner und direktes Kürzen gleicher Linearfaktoren ergibt sich: ( ) A ( ) B ( ) Bestimmung von A und B: Einsetzen der Nennernullstellen und : A B A : A B ( ) B / / F Dies liefert die Zerlegung: f( ) Damit ergibt sich direkt eine Stammfunktion: ( ) ln ln Beispiel (Partialbruchzerlegung: quadratische Funktion im Zähler) Wir betrachten die Funktion mit der Gleichung 5 6 f( ) Die Funktion f ist unecht gebrochen Eine Polnomdivision ergibt: f( ) Auf den Restterm lässt sich das Verfahren der Partialbruchzerlegung anwenden Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren Nach der Zerlegungsregel gilt: 6 ( ) ( ) Ansatz mit Einzelbrüchen 7 A B ( ) ( ) 7 A ( ) B ( ) ( ) ( ) Bestimmung der Konstanten A und B Es folgt die Bestimmungsgleichung: 7 A ( ) B ( ) Bestimmung von A und B: Einsetzen der Nennernullstellen und : A 5 B A : 5 A B ( 5) B Dies liefert die Zerlegung: 5 6 f( ) Damit ergibt sich als Stammfunktion: F( ) ln ln

33 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Aufgaben 5 Geben Sie die imale Definitionsmenge der Funktion f an und bestimmen Sie einen Stammfunktionsterm F( ) zu f( ) a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) 5 e) f( ) f) 5 f( ) 6 Berechnen Sie die Integrale a) d 7 b) d c) d d) d 7 Geben Sie die imale Definitionsmenge der Funktion f an und bestimmen Sie einen Stammfunktionsterm F( ) zu f( ) a) f( ) b) f( ) c) f( ) 8 Zerlegen Sie den Funktionsterm f( ) mithilfe einer Partialbruchzerlegung in eine Summe von Einzelbrüchen und geben Sie dann einen Stammfunktionsterm F( ) zu f( ) an 9 a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) e) f( ) f) f( ) Zerlegen Sie den unecht gebrochenen Funktionsterm f( ) mithilfe einer Polnomdivision sowie einer anschließenden Partialbruchzerlegung Geben Sie dann einen Stammfunktionsterm F( ) zu f( ) an a) f( ) b) f( ) c) f( ) Berechnen Sie die Integrale a) d b) d c) d

34 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) Gegeben ist die Funktion f mit f( ) a) Begründen Sie, dass Polstelle ist b) Begründen Sie, dass durch fa( ) eine Gleichung der waagerechten Asmptote gegeben ist c) Berechnen Sie das Maß der in der Abbildung gekennzeichneten Fläche Gegeben ist die Funktion f mit f( ) a) Begründen Sie, dass Polstelle ist b) Begründen Sie, dass durch fa( ) eine Gleichung der schiefen Asmptote gegeben ist Begründen Sie, dass sich der Graph von f und die Asmptote nicht schneiden c) Berechnen Sie das Maß der in der Abbildung gekennzeichneten Fläche

35 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) W 8 Abituraufgabenteile zu gebrochenrationalen Funktionen A Gegeben ist die Funktion f : D IR mit f( ) a) Geben Sie D von f an und berechnen Sie die beiden Nullstellen b) Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm in der Form darstellen lässt c) Der Graph der Funktion f schließt mit der -Achse eine Fläche ein Berechnen Sie deren Inhalt d) Der Graph der Funktion f wird um Längeneinheit in negative -Richtung und um 8 Längeneinheiten in negative -Richtung verschoben Zeigen Sie, dass der neue Graph die Gleichung hat Untersuchen Sie den neuen Graphen auf einfache Smmetrie A Gegeben ist die Funktion f : D R, ( ) a) Bestimmen Sie D und die Schnittpunkte des Graphen G f mit den Koordinatenachsen Untersuchen Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Definitionslücke b) Zeigen Sie, dass der Graph G f die Gerade als waagerechte Asmptote besitzt und dass er sich dieser für von unten nähert c) Bestimmen Sie Lage und Art des Etrempunkts Untersuchen Sie G f auf Wendepunkte Zur Kontrolle: f ( ) ( ) d) Zeichnen Sie den Graphen G f A Gegeben sind die Graphen einer Funktion f mit f( ), der Ablei- tungsfunktion f ( ) sowie der Funktion g mit g( ) f( ) Ordnen Sie die Funktionen f, f und g den richtigen Schaubildern zu Begründen Sie Ihre Entscheidung mit möglichst vielen Argumenten

36 W Gebrochenrationale Funktionen (EK) A Gegeben ist die Funktion f : D R, mit D R \{} a) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge Geben Sie die Gleichung der Asmptote von G f an b) Bestimmen Sie Lage und Art der Etrempunkte c) Berechnen Sie f ( ), f (), f (), f (6) Zur Kontrolle: f ( ) ( ) d) Zeichnen Sie den Graphen G f sowie die Asmptote unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse e) Zeigen Sie, dass die Gerade g mit der Gleichung Tangente an G f ist, und geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes B an ] [Teilergebnis: p f) Der Graph G f, die Gerade g aus der Teilaufgabe d) und die Gerade begrenzen ein endliches Flächenstück A Berechnen Sie den Inhalt von A A5 Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f : R R Die Abbildung rechts zeigt den Graphen der Funktion f ( ) g: R\{ ;} R, a) Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an b) Begründen Sie, dass die Graphen G f und G g vier Schnittpunkte besitzen Lesen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise aus der Abbildung ab c) Begründen Sie, dass G f an den Stellen und lokale Etrempunkte besitzt und geben Sie die Art des Etremums an d) Bestimmen Sie die Grenzwerte von f für ± e) Skizzieren Sie mithilfe dieser Informationen den Graphen von f

37 Smmetriekriterien A Bei einer ganzrationalen Funktion p() (Polnomfunktion) lässt sich eine mögliche Smmetrieeigenschaft des Graphen schon direkt am Funktionsterm ablesen Enthält der Funktionsterm p () nur -Potenzen mit ungeraden Eponenten ist p punktsmmetrisch zum Ursprung (kurz: punktsmmetrisch), nur -Potenzen mit geraden Eponenten und evtl auch ein absolutes Glied ist p achsensmmetrisch zur -Achse (kurz: achsensmmetrisch) Diese Eigenschaften ganzrationaler Funktionen lässt sich auch auf gebrochenrationale Funktionen übertragen Smmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen Wir betrachten für eine gebrochenrationale Funktion f : D R, p n( ) q ( ) beispielhaft den folgenden möglichen Fall: Zählerpolnom ist achsensmmetrisch, dh p n( ) pn( ) für alle R, Nennerpolnom ist punktsmmetrisch, dh q ( ) q ( ) für alle R Wegen der Smmetrie des Nennerpolnoms liegen mögliche Nullstellen von q m und damit Definitionslücken von f smmetrisch zum Ursprung Dies bedeutet, dass D eine zu O smmetrische Teilmenge von R ist Für die gebrochenrationale Funktion f gilt dann für alle D : p ( ) p ( ) p ( ) n n n f( ) f( ) q ( ) q ( ) q ( ) m m m Damit ist nachgewiesen, dass G f in diesem Fall punktsmmetrisch ist In gleicher Weise ergibt sich eine Smmetrieeigenschaft auch in den anderen drei möglichen Fällen Alle Fälle lassen sich wie folgt zusammenfassen Smmetriekriterien für gebrochenrationale Funktionen p n( ) Für eine gebrochenrationale Funktion f : D R, gilt: () Besitzen Zählerpolnom p n und Nennerpolnom q m die gleiche einfache Smmetrie, so ist der Graph von f achsensmmetrisch () Besitzen Zählerpolnom p n und Nennerpolnom q m unterschiedliche einfache Smmetrien, so ist der Graph von f punktsmmetrisch m m q m ( ) m

38 6 A Smmetriekriterien Beispiel (Anwendung eines Smmetriekriteriums) Betrachtet wird die Funktion f( ) mit D R \{ ; } Das Zählerpolnom p ( ) n ist punktsmmetrisch Das Nennerpolnom q ( ) m ist achsensmmetrisch Nach dem Smmetriekriterium ist die Funktion f daher punktsmmetrisch Aufgaben Notieren Sie jeweils zwei selbst gewählte, möglichst einfache Beispiele gebrochenrationaler Funktionen, die a) smmetrisch zur -Achse sind, b) punktsmmetrisch zum Ursprung sind, c) keine dieser beiden einfachen Smmetrien aufweisen Entscheiden Sie anhand des Funktionsterms, welche der folgenden Funktionen smmetrisch sind Geben Sie gegebenenfalls die Art der Smmetrie an a) d) f( ) b) f( ) e) f( ) c) f( ) f) f( ) f( ) Ordnen Sie jeder Funktionsgleichung den passenden Graphen zu Verwenden Sie als erstes Auswahlkriterium eine mögliche Smmetrie des Graphen a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) e) 9 f( ) f) f( ) ( ) 5 6

39 A Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion Analse zur Funktion f: D R, Bei den nachfolgenden Untersuchungen wird auf unterschiedliche Darstellungsformen des Funktionsterms zurückgegriffen Faktorisierung: f( ) ( )( ) Zerlegung: f( ) f A( ) r( ) Partialbruchzerlegung Weitere Zerlegung in Einzelbrüche: f ( ) Die Partialbruchzerlegung wird hier nicht eplizit gezeigt ❶ D und Art der Definitionslücken Aus der Faktorisierung ergibt sich: D R \{ ;} Es ergeben sich Polstellen, da die Definitionslücken nicht gleichzeitig auch Nullstellen des Zählerpolnoms sind Polstellen: (einfach, mit VzW) (einfach, mit VzW) ❷ Nullstellen Es gilt: f( ) (doppelt, ohne VzW) ❸ Smmetrie Es liegt Smmetrie zur -Achse vor Begründung: Sowohl das Zähler- als auch das Nennerpolnom sind achsensmmetrisch ❹ Grenzwertverhalten für ± und an den Polstellen Asmptote: f A( ) (waagerechte Asmptote) Annäherung an die Assmptote: r( ) > für ± ( ) für ±, also lim ± : ( ) ( ) Der Graph nähert sich für ± der Asmptote von oben

40 8 A Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion An den Polstellen r( ) >, also lim für für ( ) r( ) <, also lim für ( ) r( ) <, also lim für ( ) r( ) >, also lim ( ) ❺ Etrempunkte und Monotonie ( ) 8 f ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Notwendige Bedingung (Nullstellen von f ) f ( ) 8 (einfach, mit VzW) Vorzeichentabelle für f ( ) f ( ) Testwert: ohne VzW Bei Erstellen der Vorzeichentabelle ist zu beachten, dass die Polstellen mit ohne von f auch Polstellen von f sind VzW VzW Wegen der Quotientenregel ändert HP sich jedoch die Vielfachheit (hier doppelt) () 8 8 f < ( ) 9 Hinreichende Bedingung Angabe des Etremums Wegen des Vorzeichenwechsels der Form ist die Stelle eine Maimumstelle Mit f () ergibt sich der Hochpunkt H ( ) Monotonieintervalle Aus der Vorzeichentabelle für f ( ) lesen wir ab: f ist in ] ; [ und in ] ;[ streng monoton wachsend f ist in ];[ und in ]; [ streng monoton fallend

41 A Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion 9 ❻ Wendepunkte und Krümmung ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Notwendige Bedingung (Nullstellen von f ) f ( ) (unerfüllbar) Es gibt keine Nullstellen von f und damit keine Wendepunkte Vorzeichentabelle für f ( ) f ( ) mit VzW mit VzW Wegen der Quotientenregel ändert sich auch hier die Vielfachheit der Polstellen (hier dreifach, mit VzW) Krümmungsintervalle G f ist in ] ; [ und in ]; [ linksgekrümmt G f ist in ] ;[ rechtsgekrümmt ❼ Graph Testwert: () 8 f 8 ( ) 6,5 < A H 5 Pol Nullst ❽ Flächenberechnung Berechnet werden soll das Maß der Fläche, den der Funktionsgraph mit der -Achse über dem Intervall [; 5] einschließt Bei der Integration greifen wir auf die Partialbruchzerlegung zurück Für die Fläche A gilt: 5 5 ( A ) f ( ) d μ ln ln d Pol ( ) [ ] 5 ln () ln (7) ln () ln (5) ln () ln (5) ln (7),76 5

42 A Skizzieren von Graphen gebrochenrationaler Funktionen Bei gebrochenrationalen Funktionen kann man einen schnellen Überblick über den Verlauf des Graphen dadurch gewinnen, dass man die Koordinatenebene in Gebiete einteilt, in denen der Graph verlaufen bzw nicht verlaufen kann Diese Vorgehensweise soll an einem Beispiel schrittweise erläutert werden: f : D R, Schritt: Faktorisieren von Zähler und Nenner Wir klammern im Zähler aus, damit auch dort ein Linearfaktor steht ( )( ) ( )( ) Für das gewählte Beispiel gilt: f( ) Schritt: Anlegen des Koordinatensstems für den Graphen Man bestimmt die Nullstellen und die Definitionslücken (hebbare Lücke oder Polstelle) der Funktion und markiert sie Hier gilt: Nullstelle: ; Polstellen:, Schritt: Erstellen eines Vorzeichendiagramms Man markiert die Nullstellen und die Definitionslücken mit einem senkrechten Strich auf der Zahlengeraden Dort hat der Funktionsterm kein Vorzeichen bzw er eistiert nicht Nur beim Überqueren dieser Stellen kann der Funktionsterm sein Vorzeichen ändern ( )( )

43 A Skizzieren von Graphen gebrochenrationaler Funktionen (EK) Man betrachtet den Funktionsterm ( ) ( ) und stellt das Vorzeichenverhalten der einzelnen Faktoren an einer Zahlengeraden dar Die Linearfaktoren sind links von ihrer Nullstelle jeweils negativ In dem Diagramm werden diese negativen Intervalle durch einen waagerechten Strich gekennzeichnet Die positiven Intervalle der Faktoren werden nicht markiert Der Faktor (Minuszeichen) ist insgesamt negativ ( )( ) Der Vorzeichenverlauf des Funktionsterms lässt sich durch Abzählen der Minuszeichen bestimmen Schritt: Gebietssperrungen Die eigentliche Idee des Verfahrens besteht darin, Gebietssperrungen im Koordinatensstem vorzunehmen Mithilfe des Vorzeichenverlaufs des Funktionsterms sperrt man diejenigen Gebiete, in denen keine Punkte des Graphen liegen können (grau unterlegt) 5 Schritt: Skizzieren des Graphen Durch die Gebietssperrungen kann der Verlauf des Graphen der gebrochenrationalen Funktion in der Nähe der Polstellen eingezeichnet werden Mithilfe des Grenzverhaltens für ± (eventuell zusätzlich die Asmptote durch eine Polnomdivision bestimmen) kann der Graph skizziert werden Hier: lim f( ) lim ± ±