Übungsaufgaben zum Vorkurs Mathematik. im Fachbereich Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau

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1 Üungsufgen zum Vorkurs Mthemtik im Fchereich Fhrzeugtechnik und Flugzeugu

2 Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aschnitt A: Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aufge A Berechnen Sie ohne Benutzung eines Tschenrechners: z = 7 6 z = ( 0 7) 7 ( 0 9 ) 5 z = 0, 8 d) z = Aufge A Stellen Sie die Zhl ohne Eponenten dr: z = 89 5 z = 8 + Aufge A Vereinfchen Sie: z = + z = z c d c d c d c d = Aufge A Vereinfchen Sie die Ausdrücke (ohne Tschenrechner): p = n 5 n m q = +

3 Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aufge A5 Vereinfchen Sie folgende Ausdrücke: + p = ( ) + ; > r = ; >, 0 Aufge A6 Vereinfchen Sie folgende Ausdrücke: = ln() + ln() ln(6) + ln ln p ( ) = ln q ln( ; r = ( ) ( ) ln e + Aufge A7 Vereinfchen Sie durch Umordnen, Ausmultiplizieren oder Kürzen (ohne Rechner): 0,7 0,7 0,7 0,7 p ( e e = + ) ( e e ) y y y y q = ( e + e ) ( e e ) ( e e ) ( e + e ) r = ( ) e e e + e

4 Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aufge A8 Zerlegen Sie die folgenden Ausdrücke in Fktoren: + c y y d ( c+ d) ( c d) d) c + 8c 0 Aufge A9 Zerlegen Sie die folgenden Ausdrücke in Fktoren: Hinweis: Zuerst usklmmern und dnn zerlegen. Aufge A0 Zerlegen Sie soweit wie möglich in Fktoren zw. ilden Sie qudrtische Ergänzungen: 6 p = + q = r = 7 + 9s 6s s s s s Aufge A Formen Sie die gegeenen Zhlen so um, dss sie einen rtionlen Nenner (ohne Wurzelusdrücke) erhlten: + + ( ) ( ) ( ) d) ( ) e) ( ) ( + ) f) ( )

5 Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen 5 Aufge A Zeigen Sie (ohne Benutzung eines Rechners), dss folgende Aussgen whr sind: 5+ 6 = = = Aufge A Führen Sie die Division durch: ( ):( + ) ( ): ( ) Aufge A Vereinfchen Sie: y = ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( ) y = + ( + ) ( ) Aufge A5 Vereinfchen Sie jeweils die Gleichungen und stellen Sie fest, o es gnzzhlige Zhlenpre ( pn ; ) git, welche die Gleichungen efriedigen. = p ( n ) = p ( n ) = p ( n )

6 Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen 6 Aufge A6 Formen Sie nch y um: = ln y + + y ; y > 0 Aufge A7 Vereinfchen Sie den Ausdruck: + A = ln + ln Aufge A8 Berechnen Sie lg( n ) für n =,5 und 6 unter Verwendung von lg() und lg(). Aufge A9 Stellen Sie die Gleichung jeweils nch, und c um: ( ( + c = c c = c Aufge A0 Drücken Sie durch y us: + y = + y = y = +

7 Aschnitt B: Gerden, Preln, Kreise 7 Aschnitt B: Gerden, Preln, Kreise Aufge B Vom Punkt P ( 0,5) wird in Richtung wchsender -Werte eine Gerde zu der Gerden mit der Gleichung y = + gezogen, welche diese unter einem Winkel von 0 schneidet. Wo liegt der Schnittpunkt? Aufge B Die Prllelenpre { y = +, y = + } und y = +, y = + 5 erzeugen us ihren Schnittlinien ein Prllelogrmm. Bestimmen Sie dessen Flächeninhlt. Aufge B Ds Dreieck mit den Punkten A ( ), B ( ) und C ( 6) wird unter einem Winkel von 0 zur -Achse schrffiert. Wie viele Schrffurgerden mit Astnd d = 0, enötigt mn, wenn eine der Gerden durch den Punkt A verläuft? Aufge B Auf der Kurve mit der Funktionsgleichung y Q (,5, 5 ) und ( ) Strecken PQ und QR? = + sind Punkte ( ) P, R vorgegeen. Wo schneiden sich die Mittelsenkrechten der Aufge B5 Der ewegte Punkt P wird im Astnd von t = s zweiml von A und B us ngepeilt ( d = AB= 000m). Dei α = 70, β = 90 und ergeen sich { } { α 7, β 9 } = =. Berechnen Sie die Astände zwischen A und P ( P ) und die mittlere Geschwindigkeit von P. A B α β P P y

8 Aschnitt B: Gerden, Preln, Kreise 8 Aufge B6 Vereinfchen Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie die zugehörige Kurve: y = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + y = + + Aufge B7 Bestimmen Sie die Nullstellen und die Scheitelpunktskoordinten von: ( ) 7( ) y = + + Aufge B8 Die Gerde y = m, 0 Wie groß ist m? m > soll den Kreis ( ) + y = nur einml erühren. Aufge B9 Berechnen Sie die Berühr- und Schnittpunkte: + + y = die Gerde y =, 0,? Wo schneidet der Kreis ( ) ( ) Wo schneiden sich die Kreise ( ) + y = und ( ) ( y ) + + 0,5 = 9? Welche der Preln y = + c erührt den Kreis + y = 6 nur n einer Stelle? Berechnen Sie c und die Berührungsstelle 0.

9 Aschnitt C: Gleichungen 9 Aschnitt C: Gleichungen Aufge C Lösen Sie folgende Gleichungen nch uf: 7= + m = n + c = d) 7 + = Aufge C Berechnen Sie us: = = Aufge C Berechnen Sie und y us den Gleichungen: y + = + y und = +, Aufge C Berechnen Sie und y us: y 0 + = + = 7 y 7 5y = = 5 y

10 Aschnitt C: Gleichungen 0 Aufge C5 Berechnen Sie us: + + = + = Aufge C6 Berechnen Sie us: + + = + Aufge C7 Lösen Sie folgende Gleichungen nch der reellen Größe uf: 0 9 = + = + = Aufge C8 Berechnen Sie die Uneknnte us den Gleichungen: = = 9 ( ) + + = + + d) + = + e) = f) = g) = Aufge C9 Lösen Sie nch uf: = d

11 Aschnitt C: Gleichungen Aufge C0 Lösen Sie die Wurzelgleichungen: = = = Aufge C Lösen Sie folgende Gleichungen nch y uf: y y = + ( ) y + y = = 0 y y y Aufge C Berechnen Sie (ohne Benutzung eines Rechners): ( lg ) = 0 ( lg) = 0 = 0 ( lg + lg ) d) = ( 0) lg6 e) + lg + = 0 0 ( lg lg) 0 = + f) lg lg ( 0 ( lg Aufge C Ermitteln Sie us: lg( + ) = lg + lg( + ) + lg( ) lg( + ) = lg lg ( ) Aufge C Lösen Sie die logrithmischen Gleichungen: lg( ) lg = lg5 lg( + ) = lg + lg Aufge C5 Berechnen Sie us log log =.

12 Aschnitt C: Gleichungen Aufge C6 Bestimmen Sie und y us: 5 log log 6 y = und log + log y = 6 Aufge C7 Lösen Sie folgende Gleichungen nch uf: 6 0 = e e = 0 e = e e + e (Wie groß drf sein?) Aufge C8 Lösen Sie die Eponentilgleichungen: + = 8 = + = d) = 0 Aufge C9 Ds Einspnnmoment M = F l dieses Systems leit unverändert, wenn die Krft F um 0N vergrößert und der Heelrm l um 0cm verkürzt wird, zw. wenn die Krft F um 0N verkleinert und der Heelrm l um 0cm verlängert wird. Wie groß ist ds Einspnnmoment M? l F Aufge C0 Aus einem rechteckigen Stück Blech mit den Seitenmßen = 80cm und = 0cm soll eine rechteckige Öffnung vom Flächeninhlt A0 = 78cm so herusgeschnitten werden, dss ein Rnd von üerll gleicher Breite d stehen leit. Wie reit ist der Rnd? Aufge C Die Resultierende zweier rechtwinklig zueinnder stehender Kräfte F I und F II eträgt 70N. Vergrößert mn die eine Krft um 0N und die ndere um 0N, so wächst die Resultierende um 0N. Wie groß sind die Kräfte F I und F II?

13 Aschnitt C: Gleichungen Aufge C Bestimmen Sie die freien Prmeter 0 und so, dss die Kurven folgender Funktionen durch die ngegeenen Punkte gehen: 0 y e = ( ) P, Q( 0,6) y ln ( ) = 0 ( ) P, Q ( 8) 0 y = + P ( ), Q ( ) d) y = P ( ), Q ( 0 ) + 0 Aufge C Der Wechselstromwiderstnd Z ei Prllelschltung eines Ohmschen Widerstnds R, eines Kondenstors C, und einer Induktivität L (Spule) genügt der Gleichung: Z = R ωl ωc + Dei sind ω = π f die Kreisfrequenz und f die Frequenz des Wechselstroms. Zeigen Sie, dss für lle Werte R, C, L die Aussge Z R gilt. Unter welchen Bedingungen gilt Z = R?. Wie ändert sich Z für ω 0 und für ω? d) Berechnen Sie zu R k 000 V 5 As = Ω= ; C = 0µ F = 0 A V 5 und L 0 H 0 V s = µ = die Kreisfrequenz ω, für die Z = 0,5 R gilt. A

14 Aschnitt C: Gleichungen Aufge C Zusmmenhng zwischen Schllgeschwindigkeit und Lufttempertur: Berechnen Sie us einer gemessenen Schllgeschwindigkeit c = ( 6 ± 0,) m die Lufttempertur T in C nch der Formel s m T c =,6 + s 7,5 C. Rechtfertigen Sie die Verwendung der Näherungsformel T m c c% =,6 + 5 C s für Temperturen im Bereich ± 0 C. Hinweis: c c% = ( c c% ) ( c+ c% ) Aufge C5 m Luft wiegt ei 0 C und einem Luftdruck p0 = 0, N etw,9n. cm Bestimmen Sie us der Luftdichte ρ 0 und der rometrischen Höhenformel ρ0 gh p0 = 0 die Höhen p p e herrscht. m Hinweis: g = 9,8 s p0 p0 h und h, in denen der Luftdruck p = zw. p = 0 ist die Erdeschleunigung. Aufge C6 Zwei im Astnd prllel verlufende elektrische Leitungen der Länge l mit Durchmessern D stellen eine Leitungskpzität C dr: π ε l F C = ; ε = 8, D m D D ln D Berechnen Sie die Kpzität C für die Werte l = 0,6m, D= 0, mm und = 0, mm Wie muss sich D in Ahängigkeit von ändern, wenn die Leitungskpzität ei Annäherung der Leitungen konstnt leien soll?

15 Aschnitt D: Geometrie 5 Aschnitt D: Geometrie Aufge D Wie groß sind die Höhe und der Flächeninhlt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge? Aufge D In welchem Verhältnis steht der Flächeninhlt eines Kreises durch die Eckpunkte eines Qudrts zu der Fläche des Qudrts? Aufge D In einem gleichschenkligen Dreieck ist jeder Schenkel um 0 % länger ls die Grundlinie. Der Flächeninhlt des Dreiecks eträgt A= 60cm. Wie lng ist die Grundlinie? Aufge D Aus einem qudrtischen Blech mit der Seitenlänge sind nch neenstehender Figur zwei Kreise zu schneiden, deren Rdien r und R sich wie : verhlten. Wie groß sind die Rdien der Kreise? R r Aufge D5 Drei gleich große Kreise vom Rdius r erühren sich. Berechnen Sie den Rdius R des kleinsten Kreises, der die drei Kreise einschließt. Aufge D6 Ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen Ktheten BC = und AC = ( > eknnt sind, soll durch eine Senkrechte DE = d uf der Hypotenuse AB in zwei Teile gleichen Flächeninhlts zerlegt werden. Bestimmen Sie die Länge der Strecke d.

16 Aschnitt D: Geometrie 6 Aufge D7 Auf einem eenen Boden liegen n zwei Wänden (Wndstnd = ) zwei gleiche Wlzen mit Rdius r. Auf ihnen liegt eine dritte Wlze mit Rdius R. R Welchen Astnd h ht die dritte Wlze vom Boden? Bei welchem Wert von R ist dieser Astnd gleich r? Wie luten die Ergenisse für die Aufgenteile und für den Fll, dss = R ist? r h r Aufge D8 Zwei Lichtstrhlen gelngen von P durch Blenden ei Q und R nch S. Berechnen Sie die Differenz l der zurückgelegten Wege in Ahängigkeit von, und d. Vereinfchen Sie die Formel mit der Näherung l l ( l l), wenn >> d und >> ist. d d P Q R l l S Aufge D9 Die Koordinten des Punktes Q werden erfsst durch Messung von α und α ei fest vorgegeenen Längen l und l. y y α l Q Stellen Sie llgemeingültige Beziehungen für und y in Ahängigkeit von α, α, l, l uf und erechnen Sie die Koordinten Q( y ) für die Werte l = l = 000mm, α = 0, α = 0. y l α

17 Aschnitt D: Geometrie 7 Aufge D0 Berechnen Sie mit Hilfe von Strhlensätzen und des Stzes von Pythgors die in der Skizze ezeichneten Größen r, s, u, v, w,, y, z. r u w s v z y Aufge D Berechnen Sie die in der Skizze ezeichneten Größen u, v, w,, y, z. 5 w v u z y 5 Aufge D Berechnen Sie für ds drgestellte Trpez die eingetrgene Länge und den Teilflächeninhlt A (oeres Dreieck). A Aufge D Die vordere Wnd eines Huses steht in der Entfernung e von einem Flussufer. Visiert mn vom nderen Flussufer zwei im Astnd c senkrecht üereinnder liegende Punkte der Huswnd n, so erhält mn die Neigungswinkel α und β. Berechnen Sie die Flussreite llgemein und für die Werte e= m, c= 8m, α = 5 und β = 5. α e β c

18 Aschnitt D: Geometrie 8 Aufge D Prüfen Sie, o die Fläche, die von den üer d = AB, d = AC = DB und d = CD geschlgenen Hlkreisen egrenzt wird, den gleichen Inhlt ht, wie der Kreis mit dem Durchmesser EF (grue Fläche). A C E D B F Aufge D5 Wird die lnge Seite eines Rechtecks um cm verkürzt und die kurze Seite um 6 cm verlängert, so entsteht ein Qudrt mit gleich lnger Digonle wie die des Rechtecks. Wie lng sind die Seiten des Rechtecks? Aufge D6 Beschreien Sie für einen Kureltrie den Weg s in Ahängigkeit vom Kurelwinkel ϕ und den Größen r und l. O s P l β l r M ϕ Aufge D7 Bestimmen Sie die Winkel α, β, γ in einem Dreieck mit den Seiten =, = 5 und c = 6. Bestimmen Sie die Höhe h c uf der Seite c und den Flächeninhlt des Dreiecks. Aufge D8 Bestimmen Sie die Seite c und die Winkel α und β in einem Dreieck mit den Seiten =, = 6 und dem Winkel γ = 60. Bestimmen Sie ußerdem die Seitenhlierende s c uf der Seite c.

19 Aschnitt D: Geometrie 9 Aufge D9 Bestimmen Sie die fehlenden Seiten in dem Dreieck mit den gegeenen Größen c = 0, α = 0 und β = 50. Bestimmen Sie die Winkelhlierende w des Winkels β uf der Seite. Aufge D0 Gegeen ist ein llgemeines Dreieck mit der Seite = und dem Winkel β = 0. Bestimmen Sie die Seite c in dem Dreieck für =. Für welche Werte der Seite ht die Aufge keine Lösung? Für welche Werte der Seite ht die Aufge zwei Lösungen Lösung? Aufge D Bestimmen Sie in einem Dreieck mit den Winkeln α = 0, β = 50, γ = 00 und dem Flächeninhlt A 0 = die Seite c. Aufge D Von einem Dreieck sind =, s = und α = 0 eknnt. Bestimmen Sie die Länge der Seite c. Aufge D Bestimmen Sie die Länge der Seite des Dreiecks us der Länge der Winkelhlierenden w = und den Winkeln β = 60 und γ = 80. Aufge D Im Gelenktrpez ABCD mit α = δ = 60 sind A und D festzuhlten und B so um A zu drehen, dss α um 0 kleiner wird. A α δ D Wie groß ist dnch δ? B 0 C

20 Lösungen 0 Lösungen zu den Üungsufgen A: A: 7 z = z = 750 z = 98 d) z = 6 A: z = A: z = 9 = n m ; q = p A5: p = q ( ) z = z = A6: p = ln( 6) q ln( A7: = + r = 5 = r = y y p = q = ( e e ) r = e ( e ) A8: + y 8cd c d ( ) c + c c + d d d + d) ( c+ 0) ( c ) A9: ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + ) z = 0 A0: p = + + q = 5 + ( ) + + s + r = 0+ s s A: d) 7 e) f) A: Beweise zu - durch Umformung der Gleichungen A: A: ( ) ( )

21 Lösungen A5: n= p+, p gnzzhlig p = i, n= 6i+, i gnzzhlig n= p+ 7+, keine Lösungen A6: e y = e A7: A = 0 A8: lg( ) = lg ( ) ; lg() 5 = lg() ; lg( 6) = lg( ) + lg( ) ( c+ ) c A9: = ; c = ; c + c = c = c ; 8c = ; + c c, = ± + A0: y + = y y = y + y = + y B: S (, 8,7) B: A = B: n = 58 B: S ( 6,96 5, 65) B5: = 9,80m; = 788,7m; v =,98 m s B6: y = y = B7: = ; = ; 9 S B8: m = 5 B9: = 0,7, =,67 = 0,689, = 0,007 c = 7 ; 0 =

22 Lösungen C: C: C: C: = 9 7 = = = ; = ; C5: = 5 C6: = + c = m n y = y = = + = ; keine Lösung R d) = 0 y = C7: =,5 ± 0,5 =± C8: = 0 = 0 6 = ( + = ( + e) = 7 f) = 5 g) = 5 C9: = d C0: = ; = 0 = keine Lösung 5 d) = + C: y = ± y = ± 6 y = ± C: = 8 6 = = d) = e) = f) = C: = = ( = entfällt, d lg-terme hierfür nicht definiert) C: = = ; = 0 C5: = ; = 9 C6: = 6 ; y = 6

23 Lösungen C7: = 0,607 = 0,79 + = ln ; < < C8: = =, 95 = 6,85 d) = 0,56 C9: M = 88Nm C0: d = cm C: F = 50N ; F = 80N I II 5 C: 0 = ln ; = 5 0 = ; 6 = ln ( ) = ; = d) 0 = ; = 6 C: Z = R; Z 0 C: T = 7, C± 0, C c c% 0,8 m s C5: h = 557,6m; h = 896m ω 5 = w 0 s mit w = 0 ± K C6:, 8 pf D= 0,5 zw. D= K + mit K = e πε l C D: h = ; D: Aum A = in A= D: h=, ; = 0cm D: r = 0,6; R= 0, 9 D5: R=,57r D6: d = = R= r D7: h r R ( R ( R r) R= r

24 Lösungen D8: d d l = ; d l D9: = l cos( α ) + l cos( α + α ); y l sin( α ) l sin ( α α ) Q( 58, 8mm08, 06mm ) = + + ; D0: =, ; y =,8 ; z =, ; v =, 5 ; u =, 75 ; w =, 5 ; s =,9667 ; r =, D: =, ; v =, 6 ; w = ; u =, ; y =, 6667 ; z =, D: = ; A = 6, 5 cosα cos β D: = c e; = 8,m sin β α ( ) D: Flächen sind gleich D5: = 7cm; = 7cm r s = r cos + l sin ϕ l D6: ( ϕ) D7: α = 9,9 ; β = 56, 5 ; γ = 9,8 ; h =, 9 ; A 0 = 7, 8 D8: c = 5,96 ; α = 0 ; β = 90 ; s =,969 D9: = 5,077 ; = 7,779 ; w = 6,0 D0: c = 6,06 keine Lösung für <, 5 zwei Lösungen für, 5 < < = + ; c =, 68 D: c A ( cotα cot β) c c D: s c s c + + = 0 cos α ; c = 5,867 ; c =,6 D: =,9689 D: δ = 68,9