2007/09 ; Mike Stettler lizenziert für die Schule Aarberg

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1 007/09 ; Mike Stettler lizenziert für die Schule Arberg

2 Vorwort Ds vorliegende Werk ist eine Zusmmenfssung der wichtigsten Mthemtik-Kpitel der Klsse und soll ls Nchschlgewerk dienen. Ich dnke llen kritischen Leserinnen und Lesern, welche ttkräftig Fehler usgemerzt und Verbesserungen ngebrcht hben. Dieses Heft ist meinen Schülerinnen und Schülern und meinem Vter gewidmet. Spiez, 1. September 007, Mike Stettler Nchtrg: Diese Version ist für die Schule Arberg und deren Lehrkräfte und SchülerInnen bestimmt. Seite - - Mike Stettler ; Spiez,

3 A. Allgemeines Abkürzungen, Bezeichnungen Msseinheiten Längenmsse Flächenmsse Rummsse Grössenbezeichnungen und Potenzen Griechisches Alphbet Spezielle Zhlen Gleitkommdrstellung Drstellung von Zhlen in wissenschftlicher Schreibweise Mit Zhlen in wissenschftlicher Schreibweise operieren B. Zhlenmengen Begriffe Opertionen Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz (Klmmergesetz) Distributivgesetz (Ausklmmerungsgesetz) Begriffe Opertionsreihenfolge Zhlenmengen Ntürliche Zhlen Teiler und Vielfche Quersumme Teilbrkeitssätze Primzhlen Zerlegung in Primfktoren grösster gemeinsmer Teiler ggt und kleinstes gemeinsmes Vielfche kgv Gnze Zhlen Addition und Subtrktion Multipliktion und Division Rtionle Zhlen Übersicht rtionle Zhlen Operieren mit Dezimlbrüchen Verwndlungen Dezimlbrüche Gewöhnliche Brüche Wichtige Beziehungen Dezimlbruch Gewöhnlicher Bruch Gewöhnliche Brüche Kürzen und Erweitern Operieren mit gewöhnlichen Brüchen Reelle Zhlen Wurzeln und Potenzen Definition Wurzeln Wurzelgesetze Definition Potenzen Potenzgesetze... 1 Mike Stettler ; Spiez, Seite - -

4 C. Terme Zhlenterme Buchstbenterme Auswerten von Buchstbentermen Vereinfchen von Buchstbentermen Gewinnung von Termen mit mehreren Vriblen Polynome Begriffe Klmmerregel: Polynome ddieren und subtrhieren Mit Polynomen multiplizieren Binomische Formeln Ausklmmern Zerlegen in Fktoren Doppelbrüche Definitionsmenge Gleichungen und Ungleichungen Mögliche Aufgbentypen Linere Gleichungen, Gleichungen 1. Grdes Äquivlenzumformungen Der Grd einer Polynomgleichung Einfche qudrtische Gleichung Allgemeine Form der qudrtischen Gleichung Gleichungen mit Brüchen Verhältnisgleichungen Funktionen und ihre Grphen y - Koordintensystem Dreidimensionles Koordintensystem Allgemeines zu Funktionen Funktionen und ihre Grphen Anforderungen n eine Funktion Term ls Formel Gerdengleichung Umgng mit Formeln... 9 Seite Mike Stettler ; Spiez,

5 D. Schrechnen Proportionlität Die Zweispltendrstellung Fremdes Geld Dreispltendrstellung Proportionlität und umgekehrte Proportionlität Zusmmengesetzte Msseinheiten Durchschnitte und Mischungen Durchschnitte berechnen Mischungen berechnen Prozentrechnungen Begriffe und Drstellung Beispiele Steigung und Gefälle Brutto Netto Tr Rbtt und Skonto Zinsrechnung E. Figuren Dreiecke Begriffe Flächenberechnung Spezielle Konstruktionen im Dreieck Der Stz von Thles Der Stz von Pythgors Begriffe Der Stz des Pythgors Der Höhenstz Der Kthetenstz Spezielle Figuren Vierecke Prllelogrmme Andere Vierecke Vielecke Kreis Begriffe und Berechnungen Sehnenviereck Peripheriewinkelstz Körper Würfel, Quder, Prism und Zylinder Pyrmide und Kegel Kugel Mike Stettler ; Spiez, Seite - 5 -

6 F. Geometrie Grundbegriffe Abstnd Punktmengen Spezielle Punktmengen Winkel Winkelbezeichnungen Winkelbeziehungen Innenwinkelsummen von Vielecken Kongruenzbbildungen Achsenspiegelung Punktspiegelung Trnsltion (Schiebung) Rottion (Drehung) Ähnlichkeit Die zentrische Streckung Der Begriff der Ähnlichkeit Proportionlsätze, Strhlensätze Streckung im Rum Längen, Flächen und Volumen bei ähnlichen Figuren und Körpern Konstruktionen Dreiecke Kongruenz Tngentenkonstruktionen... 7 Stichwortverzeichnis Seite Mike Stettler ; Spiez,

7 A. Allgemeines 1. Abkürzungen, Bezeichnungen Ktegorie Symbol Erklärung Punkte A, B, C,... Bezeichnung von Punkten Punktmengen AB Gerde durch die Punkte A und B AB Strecke von A nch B, b, c,... Linien (Gerden, Kreislinien, Vieleckseiten,...) A, B, C,... Flächen ABC Winkel bei B Grössen AB Länge der Strecke AB, b, c,... Pltzhlter für Längen r Kreisrdius d Kreisdurchmesser h zur Seite gehörende Höhe s m p w Seitenhlbierende der Seite Mittelsenkrechte der Seite Mittelprllele zur Seite Winkelhlbierende des Winkels h A zur Fläche A gehörende Höhe A Flächeninhlt S Oberfläche M Mntelfläche V Volumen k Streckungsfktor,,,... Winkelgrössen Beziehungen prllel senkrecht Abbildungen A, B, C, Bilder der Punkte A, B, C,..., b, c,... Bilder der Linien, b, c,... T PP ' Trnsltion, die P in P bbildet A S Achsenspiegelung n der Achse s P Z Punktspiegelung m Punkt Z R Rottion um Z um den Winkel, gegen den Uhrzeiger Z, Mike Stettler ; Spiez, Seite - 7 -

8 . Msseinheiten.1. Längenmsse Längenmsse 1 km 1 m 1 dm 1 cm 1 mm 1 m Anzhl Stellen Gewichtsmsse 1 t 1 kg 1 g 1 g Hohlmsse 1 hl 1 l 1 dl 1 cl 1 ml 1 l.. Flächenmsse Qudrt mit Seitenlänge 1 km 100 m 10 m 1 m 1 dm 1 cm 1 mm Bezeichnung Fläche km h m dm cm mm Anzhl Stellen.. Rummsse Würfel von 1m Kntenlänge Würfel von 1 dm Kntenlänge Würfel von 1 cm Kntenlänge Würfel von 1 mm Kntenlänge Bezeichnung Volumen m dm cm mm Anzhl Stellen Hohlmss entsprechend V hl l dl cl ml Msse von Wsser t kg g mg.4. Grössenbezeichnungen und Potenzen Vorsilbe Bezeichnung Potenz Zhl Ter- Billion '000'000' Gig- Millirde '000' Meg- Million ' kilo- Tusend hekto- Hundert dek- Zehn Einheit dezi- Zehntel zenti Hundertstel milli- Tusendstel mikro- Millionstel nno- Millirdstel ' Seite Mike Stettler ; Spiez,

9 . Griechisches Alphbet Ds Griechische Alphbet wird vor llem bei Bezeichnungen von Winkel verwendet: Alph Et Ny Tu Bet Thet Xi Ipsilon Gmm Jot Omikron Phi Delt Kpp Pi Chi Epsilon Lmbd Rho Psi Zet My / Mikro Sigm Omeg 4. Spezielle Zhlen n Qudrtzhlen n Kubikzhlen n n Qudrtzhlen n Kubikzhlen n , Gleitkommdrstellung 5.1. Drstellung von Zhlen in wissenschftlicher Schreibweise Sehr grosse und sehr kleine Zhlen verbruchen in der normlen Drstellung oftmls sehr viel Pltz. Wir verwenden drum meistens die Gleitkommdrstellung. Mn nennt sie uch wissenschftliche Schreibweise. Die Gleitkommdrstellung besteht us einem Dezimlbruch und einer Zehnerpotenz: grosse Zhlen 6' = 6,0 10 1'450' = 1, '000' = 9,9 10 Der Dezimlbruch besteht us den ersten Ziffern, welche ungleich null sind. Die Anzhl Stellen um die ds Komm nch links verschoben wurde, ergibt den Eponenten der Zehnerpotenz. Er ist positiv kleine Zhlen 0,00 =,0 10 0, = 8, 10 0,000'00 55 = 5, Der Dezimlbruch besteht us den ersten Ziffern nch dem Komm, welche ungleich null sind. Die Anzhl Stellen um die ds Komm nch rechts verschoben wurde, ergibt den Eponenten der Zehnerpotenz. Er ist negtiv. Mike Stettler ; Spiez, Seite - 9 -

10 5.. Mit Zhlen in wissenschftlicher Schreibweise operieren Kommstellen verschieben Zhlen in wissenschftlicher Schreibweise werden immer ls Dezimlbruch zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben. Ddurch müssen wir oft Zhlen in diese Form umwndeln: Muss ds Komm weiter nch links verschoben werden, so vergrössert sich die Potenz um die Anzhl der geschobenen Stellen. Wird die Zhl vor der Zehnerpotenz kleiner, so muss die Zehnerpotenz selber grösser werden Muss ds Komm weiter nch rechts verschoben werden, so verkleinert sich die Potenz um die Anzhl der geschobenen Stellen. Wird die Zhl vor der Zehnerpotenz grösser, so muss die Zehnerpotenz selber kleiner werden. Opertionen Mit Zhlen in wissenschftlicher Schreibweise knn nur direkt multipliziert, bzw. dividiert werden. Addieren und subtrhieren ist im llgemeinen Fll nicht direkt möglich. Addition Subtrktion Bei der Addition werden die Dezimlbrüche vor der Zehnerpotenz zusmmengezählt. Die Zehnerpotenz bleibt gleich. Bei der Subtrktion werden die Dezimlbrüche vor der Zehnerpotenz subtrhiert. Die Zehnerpotenz bleibt gleich. Müssen Zhlen mit unterschiedlichen Zehnerpotenzen ddiert oder subtrhiert werden, so werden sie m einfchsten zuerst in gewöhnliche Zhlen umgewndelt. Multipliktion ( 7) c d cd 10 b10 b Bei der Multipliktion werden die Dezimlbrüche vor der Zehnerpotenz miteinnder multipliziert und die Zehnerpotenzen zusmmengezählt. 8 Division : ( ) : : ( ) b c d cd 10 : b Bei der Division werden die Dezimlbrüche vor der Zehnerpotenz miteinnder dividiert und die Zehnerpotenzen subtrhiert. 6 Seite Mike Stettler ; Spiez,

11 B. Zhlenmengen 6. Begriffe Begriff Zhlenmengen Ziffer Zhl Primzhl Erklärung Unsere Zhlen lssen sich in 4 Zhlenmengen klssieren. Hinzu kommt noch eine 5. Menge, welche jedoch den Rhmen des obligtorischen Schulstoffes sprengt. Es gibt 10 Ziffern: 0 bis 9. Die Aneinnderreihung von Ziffern nennen wir Zhlen Eine Aneinnderreihung von Zhlen Zhl, welche nur durch 1 und durch sicher selber teilbr ist. Gegenzhl Die Gegenzhl von + ist ; Die Gegenzhl von ist + Betrg Kehrwert Dezimlbruch Opertion Addition Subtrktion Multipliktion Division 7. Opertionen Der Betrg einer gnzen Zhl ist die positive Grösse der Zhl Der Kehrwert von ist 1 und umgekehrt. Eine gebrochene Zhl mit einem Komm Eine Rechenvorschrift Zusmmenzählen, Plus-Rechnung Wegzählen, Minus-Rechnung Mlnehmen, Ml-Rechnung Durchrechnung, Verhältnis zweier Zhlen 7.1. Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) Addition b b 5 5 Multipliktion b b Assozitivgesetz (Klmmergesetz) Addition ( b c) ( b) c (5 7) ( 5) 7 Multipliktion ( bc) ( b) c (5 7) (5) Distributivgesetz (Ausklmmerungsgesetz) Forml Beispiel ( b c) b c (5 7) Mike Stettler ; Spiez, Seite

12 7.4. Begriffe Beim Operieren geht mn von zwei Zhlen in einer bestimmten Reihenfolge us. Addition = 11 Summnd + Summnd = Summe Summe Multipliktion 5 6 = 0 Fktor Fktor = Produkt Produkt Subtrktion 1-5 = 7 Minuend - Subtrhend = Differenz Differenz Division 1 : = 4 Dividend : Divisor = Quotient Quotient Potenz Eponent 5 = 5 Bsis = Potenz Alle Opertionen hben immer ein Resultt, ber nie mehr ls eines. Die Division durch null ist keine Opertion und drf (und knn) nicht usgeführt werden. Die Division durch 0 (null) ht kein Resultt Opertionsreihenfolge Eine Aufgbe knn mehr ls eine Opertion ufweisen. Mn knn ber die gnze Rechnung dennoch in einem einzigen Ausdruck festhlten. Drin muss ber deutlich ersichtlich werden, in welcher Reihenfolge gerechnet werden muss. Dzu dienen Klmmern. Ws in Klmmern steht muss immer zuerst usgerechnet werden. In einem Term ohne Klmmer operiert mn in folgender Reihenfolge: 1. Potenzieren. Punktopertionen (ml und durch). Strichopertionen (plus und minus) 4. Innerhlb gleichwertiger Opertionen von links nch rechts Seite Mike Stettler ; Spiez,

13 8. Zhlenmengen Symbol Nme Beispiel N Ntürliche Zhlen 1,,,4,5,6,7,... N 0 Ntürliche Zhlen inkl. 0 0,1,,,4,5,6,... Z Gnze Zhlen...,,, 1,0,1,,,... p Q Rtionle Zhlen lle gewöhnlichen Brüche:, p Z, q N R Reelle Zhlen lle rtionlen und irrtionlen Zhlen Die Ntürlichen Zhlen sind in der Menge der Gnzen Zhlen enthlten. Die Gnzen Zhlen sind in der Menge der Rtionlen Zhlen enthlten. Die Rtionlen Zhlen sind in den Reellen Zhlen enthlten. q N 0.75 Z+ Q+ R+ C+ - Z- Q- R- C Mike Stettler ; Spiez, Seite - 1 -

14 9. Ntürliche Zhlen 9.1. Teiler und Vielfche ist durch b teilbr b ist ein Teiler von wenn ein Vielfches von b ist Zu jeder ntürlichen Zhl können Teiler und Vielfche gefunden werden. Während die Anzhl der Vielfche unbegrenzt ist, gibt es nur eine endliche Anzhl von Teilern. Die Anzhl der Teiler ist kleiner ls die Zhl selber und ist meistens gerde. Nur bei den Qudrtzhlen ergibt sich eine ungerde Anzhl Teiler. 9.. Quersumme Die Quersumme einer ntürlichen Zhl ermittelt mn durch die Addition der einzelnen Ziffern. Bsp. Quersumme von 185 beträgt 17 (=1++8+5) 9.. Teilbrkeitssätze Jede Zhl ist durch 1 teilbr :1 = Jede Zhl ist durch sich selber teilbr : = 1 Ist durch b teilbr, so ist uch jedes Vielfche von durch b teilbr. Sind und b durch c teilbr, so sind uch +b und -b durch c teilbr Ist teilbr durch b und b teilbr durch c, so ist uch teilbr durch c : b n : b c und bc bc und b und b c c bc Eine ntürliche Zhl n ist genu dnn durch teilbr, wenn die Zhl gerde ist 4 teilbr, wenn die zwei letzten Ziffern durch 4 teilbr sind 5 teilbr, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist 8 teilbr, wenn drei letzten Ziffern durch 8 teilbr sind 10 teilbr, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist teilbr, wenn die Quersumme durch teilbr ist 6 teilbr, wenn die Quersumme durch teilbr und Zhl gerde 9 teilbr, wenn die Quersumme durch 9 teilbr ist 5 teilbr, wenn wenn die zwei letzten Ziffern durch 5 teilbr Für die Teiler 7, 11, 1, gibt es keine speziellen Teilbrkeitsregeln. Im Einzelfll muss die Division usgeführt werden. Teilbrkeitsregeln können zum Teil uch kombiniert werden. So ist z.b. eine Zhl genu dnn durch 15 teilbr, wenn sie durch und durch 5 teilbr ist. Seite Mike Stettler ; Spiez,

15 9.4. Primzhlen Primzhlen sind ntürliche Zhlen mit genu Teilern. Eine Primzhl ist eine ntürliche Zhl grösser ls 1 (!), die nur durch 1 und durch sich selber teilbr ist. 1 ist keine Primzhl, weil sie nur 1 Teiler ht. Bis 100 ergeben sich 5 Primzhlen: ist die einzige gerde Primzhl Zerlegung in Primfktoren Jede Zhl knn in ihre Primfktoren zerlegt werden. Die Zerlegung einer ntürlichen Zhl in Primfktoren ist bis uf die Reihenfolge eindeutig. 4 Bsp: in Primfktoren zerlegen: 57' grösster gemeinsmer Teiler ggt und kleinstes gemeinsmes Vielfche kgv Werden Teiler und Vielfche von zwei oder mehreren ntürlichen Zhlen gesucht, so sprechen wir genu dnn von gemeinsmen Teilern bzw. gemeinsmen Vielfchen, wenn sie bei beiden ntürlichen Zhlen Teiler, bzw. Vielfche sind. Bei gemeinsmen Teilern gibt es immer einen grössten (der kleinste ist immer 1) und bei gemeinsmen Vielfchen gibt es immer ein kleinstes (ein grösstes Vielfches gibt es nicht). Mit Hilfe der Primfktorenzerlegung können der ggt und ds kgv gefunden werden: grösster gemeinsmer Teiler ggt kleinstes gemeinsmes Vielfche kgv ggt = kgv = Wir nehmen von jedem (bei llen Zhlen enthltenen) Primfktor die kleinste Anzhl und multiplizieren sie miteinnder. Wir nehmen von jedem vorhndenen Primfktor die grösste Anzhl und multiplizieren sie miteinnder. Der ggt zweier teilerfremder Zhlen ist immer 1. Ds kgv zweier teilerfremder Zhlen ist immer ds Produkt der beiden Zhlen. Es gilt zudem: ggt(, b) kgv(, b) b Mike Stettler ; Spiez, Seite

16 10. Gnze Zhlen Addition und Subtrktion ( b) b ( b) b Eine negtive Zhl wird subtrhiert, indem mn ihren Betrg ddiert ( ) ( 5) 5 ( ) ( 5) 5 ( b) b ( b) b Eine negtive Zhl wird ddiert, indem mn ihren Betrg subtrhiert ( ) ( 5) 5 ( ) ( 5) 5 Dmit ist ein neuer Zusmmenhng zwischen Addition und Subtrktion entstnden. Jede Subtrktion knn durch eine gleichwertige Addition ersetzt werden und umgekehrt Multipliktion und Division ( ) ( b) ( b) b ( ) ( b) ( b) b Ds Produkt von zwei Zhlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv ( ) ( b) ( b) b ( ) ( b) ( b) b Ds Produkt zweier Zhlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negtiv. D die Division ls Umkehrung der Multipliktion ngesehen wird, gilt diese Gesetzmässigkeit uch bei der Division: ( ) : ( b) b b b ( ) : ( b) b b b Der Quotient zweier Zhlen mit gleichem Vorzeichen ist immer positiv ( ) : ( b) b b ( ) : ( b) b b Der Quotient zweier Zhlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negtiv. Seite Mike Stettler ; Spiez,

17 11. Rtionle Zhlen Übersicht rtionle Zhlen Mit rtionlen Zhlen sind lle Zhlen gemeint, die ls gewöhnliche Brüche drgestellt werden können. Als Dezimlbrüche sind sie entweder bbrechend oder dnn ber periodisch. rtionle Zhlen gewöhnliche Brüche bbrechende Dezimlbrüche periodische Dezimlbrüche 11.. Operieren mit Dezimlbrüchen Addition Subtrktion Schreibe die Dezimlbrüche so untereinnder, dss die Kommt untereinnder stehen. Anschliessend knnst du ddieren wie du es bereits kennst. Schreibe die Dezimlbrüche so untereinnder, dss die Kommt untereinnder stehen. Anschliessend knnst du subtrhieren wie du es bereits kennst.,56 1, 5,475 1,5 15,0-7,6 7,57 Multipliktion Division Multipliziere Dezimlbrüche zuerst ohne ds Komm zu bechten. Zähle zum Schluss lle Stellen nch dem Komm zusmmen. So viele Stellen ht uch ds Resultt Vergrössere Schrittweise mit dem Fktor 10 die beiden Zhlen, bis der Divisor kein Dezimlbruch mehr ist. Anschliessend knnst du gnz norml dividieren., 5 1, , , 6 :, 5 = 1 6 : 5 =, Mike Stettler ; Spiez, Seite

18 11.. Verwndlungen Dezimlbrüche Gewöhnliche Brüche Jede rtionle Zhl knn ls gewöhnlicher Bruch oder ls Dezimlbruch geschrieben werden. Die Drstellung ls Dezimlbruch erfolgt durch ds Dividieren von Zähler und Nenner. Geht die Division uf, so sprechen wir von einem bbrechenden Dezimlbruch. Abbrechende Dezimlbrüche können einfch in gewöhnliche Brüche umgewndelt werden. Mn muss einzig die entsprechenden Stellenwerte zusmmennehmen. Der nschliessende Bruch muss nur noch vollständig gekürzt werden. Einige wichtige Dezimlbrüche sollte mn ber uswendig kennen , Geht die Division nicht uf, so sprechen wir von einem nichtbbrechenden Dezimlbruch. In diesem Flle ist er ber periodisch. Verwndlung eines periodischen Dezimlbruches in einen gewöhnlichen Bruch Beispiel 1: z 0, 1 100z 1, z 99z 1 z , Beispiel : z 0,1 4 10'000z 14,444 10z 9990z 1 z , reinperiodischer Dezimlbruch unreinperiodischer Dezimlbruch Es ist oftmls erheblich schwieriger einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimlbruch umzuwndeln. Grundsätzlich können wir ber jeden gewöhnlichen Bruch mit Hilfe einer Division in einen Dezimlbruch umwndeln :5 0, Wichtige Beziehungen Dezimlbruch Gewöhnlicher Bruch 0,5 1 0, ,15 0, , , , 1 5 0,4 0,75 8 0, , , , , , Seite Mike Stettler ; Spiez,

19 11.5. Gewöhnliche Brüche ,,,, ,,... 7 Zähler Nenner Bruchstrich gewöhnliche Brüche mit dem Zähler 1, heissen Stmmbrüche gewöhnliche Brüche mit gnzen Zhlen vor dem Bruchstrich heissen gemischte Brüche Kürzen und Erweitern Erweitern Jeder gewöhnliche Bruch lässt sich erweitern. Beim Erweitern werden Zähler und der Nenner mit der gleichen Zhl multipliziert. An der Grösse des Bruches wird nichts geändert. Bsp: 5 mit erweitern: Kürzen Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zhl dividiert. Nicht jeder Bruch lässt sich kürzen. Resultte sind grundsätzlich in gekürzten Brüchen nzugeben. 1 Bsp: 18 vollständig kürzen: 1 : 6 18 : Operieren mit gewöhnlichen Brüchen Addition Subtrktion Bei der Addition müssen die Brüche gleichnmig sein. Sind sie ds nicht, werden sie vorgängig erweitert, bis sie gleichnmig sind. Anschliessend ddiert mn die Zähler miteinnder. Der Nenner bleibt gleich. Bei der Subtrktion müssen die Brüche gleichnmig sein. Sind sie ds nicht, werden sie vorgängig erweitert, bis sie gleichnmig sind. Anschliessend subtrhiert mn die Zähler miteinnder. Der Nenner bleibt gleich Multipliktion Division Bei der Multipliktion von zwei Brüchen multiplizieren wir einfch die Zähler miteinnder und die Nenner miteinnder. Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Ds heisst, wir vertuschen Zähler und Nenner beim zweiten Bruch und multiplizieren gnz norml. Es lohnt sich meistens vor dem Ausrechnen zu kürzen : Mike Stettler ; Spiez, Seite

20 Reelle Zhlen gewöhnliche Brüche Schulzentrum Längenstein Mth-Leikon 1. Reelle Zhlen bbrechende Dezimlbrüche rtionle Zhlen periodische Dezimlbrüche irrtionle Zhlen nicht bbrechende, nicht periodische Dezimlbrüche Alle Zhlen, die nicht ls gewöhnlicher Bruch geschrieben werden können, stmmen us der Menge der irrtionlen Zhlen. Zusmmen mit den rtionlen Zhlen bilden sie die Menge der reellen Zhlen R. Irrtionle Zhlen sind meistens sehr schwierig zu schreiben. Für einige wichtige hben wir dher ein Symbol eingeführt:,,... Andere irrtionle Zhlen lssen sich nur gerundet ngeben oder ls unvollständige Zhl. Seite Mike Stettler ; Spiez,

21 1. Wurzeln und Potenzen 1.1. Definition Wurzeln Mit ( 0) bezeichnen wir eine bestimmte, nicht negtive Zhl, welche qudriert ergibt. Die Wurzel us einer bestimmten Zhl ist lso immer positiv. 1.. Wurzelgesetze Gesetzmässigkeit Gültigkeit Beispiel b b für lle, b R für lle 48 48, br 0, b 0 4 b b 1 1 b b für lle, b R Definition Potenzen n (für lle ) heisst n-te Potenz von. heisst Bsis und knn eine beliebige Zhl der reellen Zhlenmenge nnehmen. n heisst Eponent und ist eine gnze Zhl (Sek-Stufe 1) Potenzgesetze Gesetzmässigkeit Gültigkeit Beispiel n n m m nm n n m m ( ) mn nm für lle für lle für lle, m, n R , m, n R ( ), m, n R für lle Mike Stettler ; Spiez, Seite - 1 -

22 C. Terme 14. Zhlenterme Eine Aufgbe knn in Form eines Tetes gegeben sein. Viel einfcher und kürzer wird sie ber in Form von mthemtischen Symbolen, von Termen. Tetufgbe Zhlenterm Zähle vom Dreifchen von 1, ds Vierfche von 0, b 1, 40, Zhlenterme sind die einfchste Art von mthemtischen Aufgben. Nur Zhlenterme liefern ein eindeutiges Ergebnis. 15. Buchstbenterme Buchstbenterme sind grundsätzlich dsselbe wie Zhlenterme, nur dss eine oder mehrere Zhlen durch Buchstben ersetzt werden. Als Vrible bezeichnet mn einen Buchstben, n dessen Stelle eine beliebige Zhl us einer gegebenen Menge eingesetzt werden knn. Tetufgbe Wähle eine Zhl, verdreifche sie und ddiere 6; multipliziere ds Ergebnis mit einer ndern Zhl. Buchstbenterm ( 6) b Buchstbenterme knn mn grundsätzlich nicht usrechnen. Mn knn sie vereinfchen oder uswerten Auswerten von Buchstbentermen Buchstbenterme können usgewertet werden, indem mn für jede Vrible Zhlen einsetzt. Dbei muss bechtet werden, dss wir für die gleiche Vrible dieselbe Zhl einsetzen. Der nun entstndene Zhlenterm knn usgerechnet, usgewertet werden. Beispiele: ( ) : 1 ) 0-0 1,5 0 4,5 1,5 40,5-0,75 18 ( Seite - - Mike Stettler ; Spiez,

23 15.. Vereinfchen von Buchstbentermen Beim Vereinfchen von Buchstbentermen müssen wir uns n folgende Abmchungen hlten. Addition / Subtrktion Die Zhlen vor den Vriblen heissen Koeffizienten. Ds Mlzeichen zwischen Koeffizient und Vrible muss nicht geschrieben werden. Potenz Vertuschen von Termen Ds Vertuschen von Termen ist gestttet, sofern die Vorzeichen mitgenommen werden. Steht kein Vorzeichen, so ist es positiv. 1 1 b b b b b b Vereinfchen von Summen Summen können vereinfcht werden, indem die Koeffizienten ddiert oder subtrhiert werden. Die Eponenten der Vriblen müssen ber gleich sein und bleiben unverändert. 1 y 5y 15 4b b 6b 5b 8b 6y y 9y 7y Vereinfchen von Produkten Produkte können vereinfcht werden, indem die Koeffizienten multipliziert werden. Die Eponenten der Vriblen werden zusmmengezählt h 6h 18h 5 Vereinfchen von Quotienten Divisionen können vereinfcht werden, indem die Koeffizienten dividiert werden. Die Eponenten der Vriblen werden subtrhiert b :8 5 c : 4b c 9b c Mike Stettler ; Spiez, Seite - -

24 15.. Gewinnung von Termen mit mehreren Vriblen Beim Auswerten von Buchstbentermen mit mehr ls einer Vriblen ist druf zu chten, dss verschiedene Vriblen durch gleiche Zhlen ersetzt werden dürfen. Normlerweise sind zwei verschiedene Vriblen ber durch unterschiedliche Zhlen zu ersetzen. Tetufgbe Buchstbenterm Addiere zu einer Zhl eine beliebige zweite Zhl b Multipliziere die Summe zweier Zhlen mit ihrer Differenz ( b) ( b) Subtrhiere ds Dreifche einer Zhl vom Produkt zweier weiterer Zhlen. b c Beispiele: Werte den Term us: y ½ y ½ Polynome Begriffe Begriffe Erklärung Beispiel Monome sind keine Summen, sondern einfche Terme 1 Binome spezielle Summen mit genu zwei Summnden 4y Polynome Summen mit beliebig vielen Summnden 4 4y Seite Mike Stettler ; Spiez,

25 16.. Klmmerregel: Polynome ddieren und subtrhieren Summen und Differenzen 1. Fll 5 ( 4) 5 4 ( b c) b c Assozitivgesetz bezüglich Addition Produkte und Quotienten 5 ( 4) 54 ( bc) bc Assozitivgesetz bezüglich Multipliktion. Fll (7 4) 7 4 ( b c) b c 7 (6: ) 76: ( b: c) b: c. Fll 5 ( 9) 5 9 ( b c) b c 8:( 4) 8: : 4 :( b c) : b: c 4. Fll 9 (6 ) 96 ( b c) b c 9:(6: ) 9:6 :( b: c). bc Enthält ein Term nur Strichopertionen und steht vor einer Klmmer ds Zeichen + (plus), so knn mn die Klmmer weglssen. Enthält ein Term nur Punktopertionen, und steht vor einer Klmmer ds Zeichen (ml), so knn mn die Klmmer weglssen. Ist vor einer Klmmer ds Zeichen -, so knn mn die Klmmer weglssen, wenn in der Klmmer sämtliche Opertionszeichen + und vertuscht werden. Ist vor einer Klmmer ds Zeichen :, so knn mn die Klmmer weglssen, wenn in der Klmmer sämtliche Opertionszeichen (ml) und : vertuscht werden Mit Polynomen multiplizieren Ds Distributivgesetz knn uf lle Polynome usgeweitet werden und führt uns zum Ausmultiplizieren von Binomen und Polynomen: ( b)( c d) c d bc bd ( b)( c d) c d bc bd ( b)( c d) c d bc bd ( b)( c d) c d bc bd Mike Stettler ; Spiez, Seite - 5 -

26 Seite Mike Stettler ; Spiez, Binomische Formeln Häufig treten beim Ausmultiplizieren folgende Spezilfälle uf. Diese drei folgenden binomischen Formeln sind die wichtigsten in der gnzen Algebr. ) )( ( : ) ( ) )( ( : ) ( ) )( ( : b b b III b b b b b II b b b b b I Beim Ausmultiplizieren von zwei Polynomen wird jeder Summnd des einen Polynoms mit jedem Summnden des ndern Polynoms multipliziert und die Summe gebildet. Produkte von mehr ls zwei Polynomen müssen schrittweise durchgeführt werden. ) )( ( ) )( )( ( c b bc c b b b c b b c b Ausklmmern Ds wichtigste Verfhren bei Termumformungen ist ds Ausklmmern. Aus einem Term knn mn immer den grössten gemeinsmen Teiler usklmmern. Zum Lösen einer einfchen Gleichung ist dies unerlässlich. Beim Schlussresultt ht es sich eingebürgert, dss mn normlerweise usklmmert, wenn mn knn. ) 1( ) ( ) 6( y y y y Wir können ber uch Polynome usklmmern: ) )( 5)(4 (6 ) (4 5) (6 ) 5)(4 (6 ) 5)(4 (6 ) (4 5) (6 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( 7 ( ) 7 ( ) 7 ( y y y y y y y y y y y y y

27 16.6. Zerlegen in Fktoren Ein spezielles Ausklmmern ist ds Zerlegen in Fktoren. Es bedingt ber die Beherrschung der Binomischen Formeln. b b ( b) b ( b)( b) b b ( b) 4 16y ( 4y)( 4y) Die binomischen Regeln können ber nicht immer ngewendet werden. Mn muss dher nch den beiden Klmmerusdrücken suchen: 8 15 ( )( 5) 4 ( 6)( 4) ( )( ) 4( 6 16) 4( )( 8) 1 ( 4)( ) 17. Doppelbrüche Bei einer Division zweier Bruchterme entstehen Doppelbrüche. Zu ihrer Vereinfchung stehen zwei Wege offen: Beispiel 1: Beispiel : ( y y y ) : ( y y y) : 6 erweitern mit 6 6( 6( ( y)() 6( y) y ) y y) 6y y ( y) 18. Definitionsmenge Als Definitionsmenge eines Terms bezeichnet mn die Menge ller in Betrcht gezogenen Zhlen, für welche der Term definiert ist, d.h. usgerechnet werden knn. Insbesondere ist druf zu chten, dss der Nenner nicht null wird, d eine Division durch null unmöglich ist. Definitionsmengen sind uch bei Gleichungen notwendig. Mit ihnen wird festgelegt, welche Zhlen überhupt bei Gleichungen ls Lösung in Betrcht kommen. Beispiel: Gleichung: = 1 Lösung der Gleichung: = 0.5 Lösung bei Definitionsmenge N L = { }, d 0.5 nicht zu N gehört! Lösung bei Definitionsmenge Q L = { 0.5 } Mike Stettler ; Spiez, Seite - 7 -

28 19. Gleichungen und Ungleichungen Mögliche Aufgbentypen Wir suchen Zhlen, die eine gewisse Bedingung erfüllen. Diese knn mit Worten oder mit mthemtischen Zeichen formuliert sein. Dbei setzen wir n die Stelle der gesuchten Zhlen eine Vrible, meistens. In Termen knn eines der folgenden Zeichen stehen: = gleich ungleich < kleiner ls grösser oder gleich > grösser ls kleiner oder gleich Eine Gleichung liegt vor, wenn zwischen zwei Termen ds Zeichen = steht. Eine Ungleichung liegt vor, wenn zwischen zwei Termen eines der fünf ndern Zeichen steht. Eine Gleichung oder Ungleichung lösen heisst, lle (!) Zhlen ngeben, welche die gestellte Bedingung erfüllen. Die Zhlen, die wir dfür in Betrcht ziehen, bilden die Grundmenge G. Wird nichts besonderes vermerkt, setzen wir lle jene Zhlen vorus, mit denen wir rechnen können (in der Regel sind ds lle rtionlen Zhlen Q) Als Lösung bezeichnen wir jede Zhl us G, welche die Bedingung erfüllt. Die Lösungsmenge L umfsst sämtliche Lösungen. Besitzt die (Un-)gleichung keine Lösung, so ist die Lösungsmenge die Leere Menge { } Linere Gleichungen, Gleichungen 1. Grdes Kleine Grundmenge Einsetzmethode Bedingung sehr einfch Bei kleinen Grundmengen genügt es, wenn jede Zhl in die Gleichung eingesetzt wird um nchzusehen, welche Zhlen die Bedingungen erfüllen. Sind die Bedingungen so einfch gestellt, dss uf den ersten Blick die Lösungsmenge klr ist, bruchen wir nur die Lösungsmenge ufzuschreiben. umfngreichere Bedingungen Äquivlenzumformung Normlerweise umfsst die Grundmenge unendlich viele Zhlen und die Bedingungen sind nicht so einfch, dss die Lösungsmenge offensichtlich ist. Durch Umformen der Gleichung mit Hilfe der Äquivlenzumformungen, gelingt es uns, schrittweise eine einfchere Gleichung zu erhlten. Seite Mike Stettler ; Spiez,

29 19.. Äquivlenzumformungen Mn ersetzt die Gleichung oder Ungleichung schrittweise durch äquivlente, bis die Lösungsmenge offensichtlich ist. Gleichungen oder Ungleichungen heissen äquivlent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge hben. Aus einer Gleichung oder Ungleichung entsteht eine äquivlente, wenn mn den Term uf der einen und/oder ndern Seite umformt. 4 6 = 6 umformen, vereinfchen 6 6 = 8 Aus einer Gleichung oder Ungleichung entsteht eine äquivlente, wenn mn uf beiden Seiten den gleichen Term ddiert oder subtrhiert. 6 6 = 8 +6 / - 4 = 14 Aus einer Gleichung oder Ungleichung entsteht eine äquivlente, wenn mn beide Seiten mit der gleichen positiven Zhl multipliziert oder dividiert. 4 = 14 :4 14 =, 5 4 Achtung: Wenn wir bei Ungleichungen durch eine negtive Zhl teilen müssen, so müssen wir uch ds Ungleichheitszeichen umdrehen. - 4 < 14 :(-4) > -,5 Beim Lösen von Gleichungen / Ungleichungen 1. Grdes geht es drum, die Unbeknnte uf der einen Seite zu isolieren und die reinen Zhlen uf die ndere Seite zu bringen. Die grössten Schwierigkeiten bietet ber vielfch nicht ds mthemtische Lösen der Gleichung, sondern viel mehr die Gewinnung einer Gleichung us einem sprchlichen Zusmmenhng. Hier zeigt es sich wieder einml, wie kompliziert die deutsche Sprche sein knn und Mthemtik so einfch: Tetgleichung Addiert mn zum 6-fchen einer Zhl 8, so erhält mn gleichviel, wie wenn mn vom 9- fchen der Zhl 4 subtrhiert. mthemtische Gleichung Mike Stettler ; Spiez, Seite - 9 -

30 19.4. Der Grd einer Polynomgleichung Wenn eine Gleichung mit einer Vriblen eine der folgenden Formen nnimmt, so ist sie vom 1. Grd b 0 1 oder keine Lösung vom. Grd b c 0, 1 oder keine Lösung vom. Grd b c d 0,, 1 oder keine Lösung 4 vom 4. Grd b c d e 0 4,,, 1 oder keine Lösung n n1 n vom n-ten Grd b c... y z 0 usw., b, c,... heissen Koeffizienten und sind meistens ntürliche Zhlen m. n Lösungen Ds Lösen einer Polynomgleichung ist nur für den Grd 1 und einfch und genu durchführbr. Wenn wir Polynomgleichungen höheren Grdes nicht in Fktoren zerlegen können, so ist es unter Umständen schwierig eine Lösung zu finden! Einfche qudrtische Gleichung Grundlegend für ds Lösen von qudrtischen Gleichungen sind die Äquivlenzumformungen sowie die Technik des Ausklmmerns und des Fktorisierens. Weiter ist folgende Zhleneigenschft wichtig: Wenn von zwei Zhlen die eine oder ndere null ist, so ist uch ihr Produkt null. Umgekehrt gilt: Wenn ds Produkt zweier Zhlen null ist, so muss die eine oder ndere Zhl null sein. b 0 0 oder b 0 Qudrtische Gleichungen lösen wir m einfchsten so: 1. durch Äquivlenzumformungen in die Nullform bringen ( b c 0 ). durch Ausklmmern in Fktoren zerlegen (fktorisieren) Die Gleichung lösen wir schrittweise so: = 0 usklmmern (8 15) = 0 fktorisieren ( )(4 5) = 0 dmit die gesmte Gleichung 0 wird, muss einer der Fktoren 0 sein. ist ungleich 0, lso muss eine der Klmmern 0 sein. ( ) oder ( 4 5) L 1.5;1.5 Seite Mike Stettler ; Spiez,

31 19.6. Allgemeine Form der qudrtischen Gleichung Eine Gleichung mit 1 Vriblen heisst qudrtisch oder vom. Grd, wenn sie die Form ht: b c 0, wobei n der Stelle von, b und c Zhlen stehen, jedoch 0 Qudrtische Gleichungen lösen wir, indem wir sie in Fktoren zerlegen. Es gilt dnn: A B 0 A 0 oder B 0, wobei A und B Terme sind. Eine qudrtische Gleichung ht genu zwei, eine oder keine Lösungen Können wir die qudrtische Gleichung nicht in Fktoren zerlegen, so müssen wir die Lösungsformel nwenden (sie funktioniert in jedem Fll) 1, b b 4c Der Ausdruck b 4c qudrtischen Gleichung leicht bestimmen. Diskriminnte positiv Diskriminnte null Diskriminnte negtiv b 4c 0 b 4c 0 b 4c 0 verschiedene Lösungen 1 Lösung keine Lösung Gleichungen mit Brüchen Treten in einer Gleichung Brüche uf, so ersetzt mn sie m besten sofort in eine äquivlente Gleichung ohne Brüche. Dzu multiplizieren wir beide Seiten mit einem geeigneten Term, dem kgv der einzelnen Nenner. Treten im Nenner eines Bruches die Vrible uf, so verringert sich die Definitionsmenge, denn der Nenner drf nie Null werden: Also müssen wir durch Einschränkung der Definitionsmenge dfür sorgen, dss der Nenner eben nicht null wird. Ansonsten können wir genu gleich verfhren, wie wenn kein im Nenner uftucht ( 1) (5 7) ( 1) Nenner weg! kgv (, 6, 9)= Nenner weg! kgv= ( 1) Achtung: 1; 1 ( 1) ( 1)( ) ( 1) ( ) weiter wie in 6.. oder 6.5. beschrieben weiter wie in 6.. oder 6.5. beschrieben Mike Stettler ; Spiez, Seite - 1 -

32 19.8. Verhältnisgleichungen Unter dem Verhältnis v zweier positiver Zhlen und b versteht mn ihren Quotienten Verhältnisse werden oft in der Form :b geschrieben und usgesprochen zu b v b Setzt mn zwei Verhältnisse, die den gleichen Wert hben, einnder gleich, so entsteht eine Verhältnisgleichung. Ist c, so schreibt mn häufig d b d : b c : und sgt zu b ist gleich c zu d Die Verhältnisgleichung : b c : d ist äquivlent zur Produktgleichung d bc In einer Verhältnisgleichung ist ds Produkt der äusseren Glieder gleich dem Produkt der inneren Glieder. Beispiele: : 4 = 5 : umformen; inneres Produkt = äusseres Produkt 4 5 = : 0 6 = ( 1) : ( ) = : 8 umformen; inneres Produkt = äusseres Produkt ( ) = 8( 1) usmultiplizieren = / = 0 fktorisieren ( )( 4) = 0 erkennen der Lösungen 1 = + = +4 Seite - - Mike Stettler ; Spiez,

33 0. Funktionen und ihre Grphen 0.1. y - Koordintensystem Mit Hilfe eines Koordintensystems können Terme und Gleichungen nschulich drgestellt werden. Normlerweise verwenden wir ein y-koordintensystem, wie es unten bgebildet ist. Die -Achse (horizontl) und die y-achse (vertikl) spnnen ein Gitternetz uf, uf welchem die jeweiligen Koordinten bgelesen werden können. Die -Koordinte wird immer zuerst ngegeben. A = (0/0) Ursprung G = (7/0) B = (/4) H = (-4/0) C = (-/7) I = (0/1) D = (-7/-4) J = (-.5/0.5) E = (-6/0) K = (.5/-.5) F = (5/-4) L = (10/1.5) Mike Stettler ; Spiez, Seite - -

34 0.. Dreidimensionles Koordintensystem Ähnlich wie ds y-koordintensystem knn uch im Rum die Lge von Punkten genu festgelegt werden. Wir sprechen von einem dreidimensionlen Koordintensystem: Der Punkt P ht die Koordinten P = ( / 5 / 7) Seite Mike Stettler ; Spiez,

35 0.. Allgemeines zu Funktionen Hier geht es nicht um bestimmte Zhlenergebnisse, sondern uns interessiert vielmehr, wie eine Grösse sich ändert, wenn mn eine zweite vriiert. Diesen Zusmmenhng knn mn m besten mit der grfischen Drstellung vernschulichen. Funktionen geben n, wie zwei Grössen voneinnder bhängen. Die eine Grösse denkt mn sich ls frei veränderlich (unbhängige Vrible), die ndere richtet sich nch der ersten (bhängige Vrible). Die Werte der unbhängigen Vriblen trgen wir uf der -Achse ein; wir nennen sie uch die - Werte der Funktion. Die Werte der bhängigen Funktion trgen wir dnn uf die y-achse ein und nennen sie uch y-werte. Wir kennen 5 verschiedene Funktionstypen und ihre Grphen. Zu jedem wollen wir ein Beispiel ngeben: 0.4. Funktionen und ihre Grphen Funktionstyp Formeltyp Grph P Proportionlität y Gerde durch 0/0 up umgekehrte Proportionlität y Hyperbel F Funktion 1. Grdes y b 1 F Spezielle Funktion. Grdes Gerde y Prbel K konstnte Funktion y b Prllele zur -Achse Proportionlität Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift y ; 0 heisst eine Proportionlität. Bei der grfischen Drstellung liegen die Punkte uf einer Gerden durch den Nullpunkt. Der Proportionlitätsfktor gibt n, wie strk die Gerde steigt. Mike Stettler ; Spiez, Seite - 5 -

36 Umgekehrte Proportionlität Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift y ; 0 heisst umgekehrte Proportionlität. Ihr Grph liegt uf einer Hyperbel. Funktion 1. Grdes (linere Funktion) Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift y m b; m 0 heisst Funktion 1. Grdes. Ihr Grph liegt uf einer Gerden, welche bei b die y-achse schneidet. m gibt die Steigung der Gerden n. Spezielle Funktion. Grdes Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift y ; 0 heisst eine spezielle Funktion. Grdes. Ihr Grph liegt uf einer Prbel Konstnte Funktion Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift y b oder y 0 b heisst eine konstnte Funktion. Ihr Grph liegt uf einer Prllelen zur -Achse und schneidet die y-achse bei b. Seite Mike Stettler ; Spiez,

37 0.5. Anforderungen n eine Funktion Für eine Funktion sind zwei Angben nötig: Eine Zuordnungsvorschrift und Eine Definitionsmenge Eine Funktion liegt vor, wenn jeder Zhl us der Definitionsmenge genu eine Zhl zugeordnet werden knn. Die Zhlenpre einer Funktion können durch ein rechtwinkliges Koordintensystem Punkten einer Ebene zugeordnet werden. Die Menge ller Punkte ist der Grph der Funktion Term ls Formel. Ge- Ein Term ist eine Rechenvorschrift mit mthemtischen Zeichen. Ein Term ist z.b. ben wir diesem Term eine Bezeichnung h, entsteht eine Formel h 0t 5t. 0t 5t Diese Formel steht z.b. für eine bestimmte Flugbhn in der Physik Wird ein Stein mit der Anfngsgeschwindigkeit von 0 m/s emporgeworfen, so ist h die Höhe in Metern b Boden, die der Stein nch t Sekunden im Lufe seines Fluges ht. Formeln sind uch Abbildungsvorschriften, wie wir sie bereits kennen, und können in einem Koordintensystem drgestellt werden. Beispiele: Formel: 1 Formel: y 4 y 0 5 Mike Stettler ; Spiez, Seite - 7 -

38 0.7. Gerdengleichung Wenn die Formel die Gleichung ufweist: y m b, so hndelt es sich um eine Gerde. m und b sind dbei rtionle Zhlen. m entspricht dbei der Steigung der Gerde und b dem Abschnitt uf der y-achse (Schnittpunkt von Gerde und y-achse). Steigung der Gerden: y m b: Achsenbschnitt uf der y-achse In einigen Fällen knn der Achsenbschnitt direkt us dem Koordintensystem herusgelesen werden (z.b. wenn er gnzzhlig ist). Eine nchträgliche rechnerische Kontrolle ist jedoch sinnvoll. (Bei diesem Beispiel ist b = und m = 4 ) Die Gerde ist durch die beiden Punkte A (-/-) und B (/6) festgelegt. Rechnerisch gehen wir wie folgt vor: Punkt A / B A = ( - / -) B = ( / 6 ) Differenz B - A y = 6 (-) = 8 = (-) = 6 Steigung y m Achsenbschnitt y = m + b, Einsetzen von m und der Koordinten von B (z.b.) Gerdengleichung y 4 1 B: 6 b b 4 b b = 4 1 A: ( ) b b 4 b b = 4 Seite Mike Stettler ; Spiez,

39 0.8. Umgng mit Formeln Formeln sind llgemein nichts nderes ls Gleichungen mit mehreren Vriblen. Grundsätzlich ist ber dvon uszugehen, dss bei numerischen Aufgben nur noch eine Vrible übrigbleibt und mit Hilfe der beknnten Äquivlenzumformungen die gesuchte Vrible isoliert werden knn. Auflösen einer Formel nch einer Vriblen k p B k 100 B ist der Betrg, uf den ein Kpitl k nch 1 Jhr bei einer Verzinsung von p% nwächst. 100 p ( B k) Wie gross ist der Zinsfuss p, wenn B und k gegeben sind? k 100 B k 100 p Einsetzen eines Terms in eine Formel 1 A br und A b r r Wie gross ist ds Kpitl k, wenn B und p gegeben sind? In einem Kreissektor gelten diese beiden Formeln zur Berechnung der Fläche und des Kreisbogens. Wie gross ist A, wenn r und gegeben sind? Auflösen Einsetzen Wie gross ist die Oberfläche S eines Zylinders mit dem Volumen V, dessen Grundfläche ein Kreis mit dem Rdius r ist? Es ist S r rh (1); V r h () () uflösen nch rh Auflösen Einsetzen Auflösen rh V und einsetzen in (1) r S r V r Wie gross ist in einem Kreissektor die Länge b des Bogens, wenn der Flächeninhlt A und die Grösse des Zentriwinkels gegeben sind? 1 Es ist b r 1); A () 180 ( br 180b 1 180b 90b (1) uflösen nch r r und einsetzten in () A b () A A () uflösen nch b b 90 b 90 Welche Vrinte die geschickteste ist, kommt uf die Aufgbenstellung druf n. Allgemein können wir ber festhlten, dss es effizienter ist, wenn wir zuerst umformen und uflösen und erst m Schluss die Zhlen einsetzen. Mike Stettler ; Spiez, Seite - 9 -

40 D. Schrechnen 1. Proportionlität 1.1. Die Zweispltendrstellung Einfche proportionle Zusmmenhänge werden mit Hilfe einer Zweispltentbelle drgestellt. Beispiel: In einem Wrenhus kosten 4 Liter Coc Col 4,80 Fr. Anzhl Flschen Gesmtpreis in Frnken 4 4,80 1 1, Zweizeilenufgben können uch in der einfcheren Art drgestellt werden: Stück Stück Proportionlität liegt vor, wenn der Grundstz gilt: doppelte Anzhl doppeltes Ergebnis 1.. Fremdes Geld Die Berechnungen von fremder Währung ist immer ein proportionler Zusmmenhng und wird m besten in der Zweispltendrstellung gelöst. Verwirrung stiftet oft die beiden Ausdrücke Ankuf und Verkuf. Dbei werden die Begriffe immer von der Bnk us betrchtet. Ankuf: Die Bnk kuft fremde Währung n Verkuf: Die Bnk verkuft fremde Währung. Der Verkufskurs ist immer grösser ls der Ankuf (Die Bnk will j etws verdienen!) 1.. Dreispltendrstellung Arbeiten wir mit gemischten Einheiten, so benutzen wir m einfchsten die Dreispltendrstellung. Die gemischte Msseinheit ist dbei immer in der Mitte (Sie heisst uch Proportionlitätsfktor). Der Nenner steht in der 1. Splte und der Zähler in der. Splte: Sekunden 1 s 5 s Meter Sekunden 5 m/s 8 m/s Meter 60 m 80 m Ds Produkt der 1. Splte mit der. Splte ergibt die. Splte Seite Mike Stettler ; Spiez,

41 1.4. Proportionlität und umgekehrte Proportionlität Eigenschften der Proportionlität und der umgekehrten Proportionlität: Eigenschft Proportionlität umgekehrte Proportionlität Dreispltendrstellung Proportionlitätsfktor ist konstnt Mittlere Splte ist konstnt Produkt der 1. und. Splte bleibt konstnt. Splte ist konstnt Digrmm Ds Digrmm ist eine Gerde, welche durch den Nullpunkt geht. Die Punkte im Digrmm sind nicht uf einer Gerden und gehen nie durch den Nullpunkt. Die Form des Digrmms ist eine Hyperbel 1.5. Zusmmengesetzte Msseinheiten Zusmmengesetzte Msseinheiten kommen im täglichen Leben oft vor, ohne dss wir es gross merken. In der Physik sind sie sehr häufig. Wir kennen sie bei der Geschwindigkeit, Dichte und bei vielen ndern Zusmmenhängen. kg,84 0 oder,84 l l kg 0 bedeuten: die Msse,84kg 1. 0 füllt ds Volumen l Mike Stettler ; Spiez, Seite

42 . Durchschnitte und Mischungen.1. Durchschnitte berechnen Durchschnittsberechnungen mchen wir m einfchsten mit Hilfe einer Dreispltentbelle. Wichtig ist dbei die richtige Drstellung, dnn wird ds Resultt utomtisch richtig heruskommen. Ein Zimmer wird renoviert. Für den gelernten Zimmermnn, der 0 h gerbeitet ht, wird die Arbeitsstunde mit 45. berechnet, für den Lehrling, der 16 h mitgeholfen ht, mit Ws kostet eine Arbeitsstunde im Durchschnitt? h Fr h Fr Durch multiplizieren erhält mn die Frnkenbeträge Der Durchschnitt errechnet sich nun us Totl Frnken durch Totl Arbeitsstunden und steht in der mittleren Splte Die Arbeitsstunden und die Frnkenbeträge können zusmmengezählt werden... Mischungen berechnen Dieselbe Drstellung kommt zum Zuge, wenn wir Flüssigkeitsmischungen, Steigungen oder Zinsrechnungen hben. Die % stehen dbei in der Mitte. Eine Lborntin schüttet 00 g Säure von 0 % Stärke, 500 g Säure von 5 % Stärke und 90 cl Wsser zusmmen, Wie viel prozentig ist die Mischung? Menge Stärke Säuremenge 00 g 0 % 40 g Durch multiplizieren erhält mn die Gewichte 500 g 5 % 5 g 900 g 0 % 0 g 1600 g 4.1 % 65 g Die Säuremenge und die Menge der Flüssigkeit können zusmmengezählt werden. Der Durchschnitt errechnet sich nun us Totl Säuremenge durch Totl Menge und steht in der mittleren Splte Seite Mike Stettler ; Spiez,

43 . Prozentrechnungen.1. Begriffe und Drstellung GW = Grundwert, immer 100 % PS = Prozentstz PW = Prozentwert Bei Aufgben mit Zu- und Abnhmen ist die Ausgngslge immer 100%. Tipp: In einem Tet knn die Ausgngslge leicht m vorngestellten ls oder wie erknnt werden. Prozentsätze können in drei verschiedenen Schreibweisen drgestellt werden: 75 % = 0,75 = ¾.. Beispiele 1.) Wie viel sind 1 % von 00 Fr.? 100% = 00 Fr. Grundwert Prozentstz Prozentwert 1 % = 6 Fr. 100.) Wie viel % sind 54 von = 100 % 100Prozentwert Prozentstz 54 = 18 % Grundwert.) 1 % sind 0 Fr. Wie viel sind 100%? 1 % = 0 Fr. Prozentwert 100 Grundwert 100 % = 50 Fr. Prozentstz.. Steigung und Gefälle Die Normldrstellung für Prozentrechnungen ist uch für Steigung und Gefälle nwendbr: Gegeben: Projektion, Höhenunterschied 100 Höhenunterschied Steigung Gesucht: Steigung/Gefälle Projektion Gegeben: Projektion, Steigung Projektion Steigung Höhenunterschied Gesucht: Höhenunterschied 100 Gegeben: Höhenunterschied, Steigung Höhenunterschied 100 Projektion Gesucht: Projektion Steigung Gefälle können mit negtiven Höhendifferenzen und negtiven Steigungsprozenten ngegeben werden. In einigen Büchern wird die Projektion uch ls Bsis oder Horizontldistnz ngegeben. Mike Stettler ; Spiez, Seite - 4 -

44 .4. Brutto Netto Tr = + Brutto Netto Tr Ds Bruttogewicht beträgt immer 100 %. Die Netto-Anteile und Tr-Anteile ergeben zusmmen immer 100%..5. Rbtt und Skonto Rbtt Skonto bedeutet Ermässigung des Ldenpreises, zum Beispiel im Ausverkuf, beim Einkuf grösserer Mengen. Der Ldenpreis wird zum Rechnungsbetrg. Ldenpreis = 100 % bedeutet Ermässigung bei Brzhlung oder rschem Zhlen (heute leider nur noch im Bugewerbe üblich). Rechnungsbetrg = 100 % Wenn Rbtt und Skonto von einer Rechnung bgezogen werden können, so müssen die beiden Abzüge getrennt voneinnder berechnet und subtrhiert werden. Bsp. Ein Snowbord ist im Sportgeschäft für Fr ngeschrieben. Der Verkäufer gewährt 10% Rbtt und bei Brzhlung noch % Skonto. Wie viel kostet ds Snowbord effektiv? Ldenpreis 100 % Fr Rbtt -10% Rechnungsbetrg 90 % Fr % Skonto % Nettopreis Fr % Seite Mike Stettler ; Spiez,

45 .6. Zinsrechnung k t z p Kpitl Anzhl Tge Zins in Fr. Zinsstz (oder Zinsfuss) Ds Kpitl ist immer 100 % Der Zinsstz gibt n, wie viele % des Kpitls mn ls Zins in 1 Jhr erhält. Für die Bnk ht jeder Mont 0 Tge (Jhr = 60 Tge) Beispiele: Resultt Form für 1 Jhr Allgemeine Form 1.) Gegeben: Kpitl k = 400 Fr. Zinsstz p = 4 ¼ % Anzhl Tge t = 70 Tge Gesucht: Zins in Fr. z 1.75 Fr k p z 100 k p t z ) Gegeben: Zins z = 90 Fr. Zinsstz p = ¾ % Anzhl Tge t = 17 Tge Gesucht: Kpitl k 6400 Fr. k z 100 p k z t p.) Gegeben: Kpitl k = 5000 Fr. Anzhl Tge t = 144 Tge Zins z = 10 Fr. Gesucht: Zinsstz 6 % p z 100 k p z t k 4.) Gegeben: Kpitl k = 1'000 Fr. Zins z = 180 Fr. Zinsstz p = ½ % Gesucht: Anzhl Tge t 16 d - z t p k Mike Stettler ; Spiez, Seite

46 E. Figuren 4. Dreiecke 4.1. Begriffe Allgemeine Beschriftung Für die Ecken: grosse Buchstben (A, B, C) Seiten werden gleich bezeichnet, wie ihre gegenüberliegende Ecke, nur mit kleinen Buchstben (, b, c) Für die Innenwinkel und ihre Grössen: die entsprechenden griechischen Buchstben (,, ) Die Aussenwinkel trgen die Nmen (,, ) Spitzwinklige Dreiecke Dreiecke, deren Innenwinkel lle kleiner ls 90 sind, nennt mn spitzwinklige Dreiecke. Alle Höhen sind innerhlb des Dreieckes und schneiden sich uch innerhlb im Höhenschnittpunkt H. Rechtwinklige Dreiecke Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen, heissen rechtwinklige Dreiecke. Nur eine Höhe verläuft innerhlb des Dreieckes. Zwei Höhen fllen mit zwei Seiten zusmmen. Die Höhengerden schneiden sich im rechten Winkel des Dreieckes im Höhenschnittpunkt H. Stumpfwinklige Dreiecke Dreiecke, die einen Winkel über 90 ufweisen, heissen stumpfwinklige Dreiecke. Nur eine Höhe verläuft innerhlb des Dreieckes. Zwei Höhen müssen usserhlb des Dreieckes gezeichnet werden. Wenn wir lle Höhengerden verlängern, so schneiden sie sich usserhlb des Dreieckes im Höhenschnittpunkt H. Seite Mike Stettler ; Spiez,

47 Gleichschenklige Dreiecke Dreiecke mit einer Symmetriechse hben zwei gleich lnge Seiten: die Schenkel. = b Die dritte Seite heisst Bsis (= c) Ds Dreieck ht zwei gleich grosse Winkel: die Bsiswinkel. = Solche Dreiecke heissen gleichschenklig. Gleichseitiges Dreieck Dreiecke mit drei Symmetriechsen hben drei gleich lnge Seiten = b = c Alle drei Winkel sind gleich gross, sie sind je 60 = = Solche Dreiecke heissen gleichseitig. 4.. Flächenberechnung Der Flächeninhlt eines Dreieckes ist hlb so gross wie der Flächeninhlt des entsprechenden Prllelogrmms. 1 A c h c Für die Flächenberechnung eines Dreieckes benötigen wir eine Seite des Dreieckes (gennnt Grundlinie oder Bsis) und die dzugehörige Höhe, welche immer rechtwinklig zu dieser Seite einzuzeichnen ist. Mike Stettler ; Spiez, Seite

48 4.. Spezielle Konstruktionen im Dreieck Winkelhlbierende und Inkreis Die Winkelhlbierenden w, w und w der Innenwinkel schneiden sich im Mittelpunkt I des Inkreises. Die Berührungsrdien r i stehen senkrecht uf den Dreieckseiten. Konstruktion der Winkelhlbierenden Ds Zentrum des Inkreises liegt bei llen Dreiecken immer innerhlb. Mittelsenkrechte und Umkreis Die Mittelsenkrechten m, m b und m c der Dreieckseiten schneiden sich im Mittelpunkt U des Umkreises. Konstruktion der Mittelsenkrechten Ds Zentrum des Umkreises liegt bei - spitzwinkligen Dreiecken innerhlb - rechtwinkligen Dreiecke in der Mitte der Hypotenuse - stumpfwinkligen Dreiecken usserhlb Mittellinie p, p b und p c heissen Mittellinien oder Mittelprllelen Die Mittellinien verbinden je zwei Mittelpunkte von Dreieckseiten. Sie sind prllel zur dritten Seite und hlb so lng wie diese. Die Mittelpunkte werden mittels Mittelsenkrechte bestimmt Seite Mike Stettler ; Spiez,

49 Seitenhlbierende und Schwerpunkt Die Seitenhlbierenden (Schwerelinien) s, s b, s c verbinden die Seitenmitten mit den gegenüberliegenden Ecken. Sie schneiden sich im Schwerpunkt S. Dieser teilt die Seitenhlbierenden im Verhältnis 1:, wobei der längere Abschnitt von der Ecke bis zum Schwerpunkt reicht. Die Mittelpunkte der Seiten werden mittels Mittelsenkrechte bestimmt Der Schwerpunkt S liegt immer innerhlb eines Dreieckes. Höhengerden Die Höhengerden h, h b und h c schneiden sich im Höhenschnittpunkt H. Die Höhenschnittpunkte liegen bei - spitzwinkligen Dreiecken innerhlb - rechtwinkligen Dreiecken im rechten Winkel - stumpfwinkligen Dreiecken usserhlb 4.4. Der Stz von Thles Konstruktionsbeschreibung Jedes Dreieck, welches in einem Hlbkreis einbeschrieben ist und die Hypotenuse dem Kreisdurchmesser entspricht, ist rechtwinklig. 1. AB. Mittelsenkrechte zu AB M. Thleskreis mit Zentrum M und Rdius MA Mit Hilfe der des Stzes von Thles können im llgemeinen rechte Winkel und im speziellen rechtwinklige Dreiecke konstruiert werden. Mike Stettler ; Spiez, Seite

50 5. Der Stz von Pythgors 5.1. Begriffe Im rechtwinkligen Dreieck nennt mn die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschliessen Ktheten ( und b). Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heisst Hypotenuse (c). Die Höhe h c unterteilt die Hypotenuse in die beiden Hypotenusebschnitte p und q. 5.. Der Stz des Pythgors Ds Hypotenusenqudrt ist gleich gross wie die beiden Kthetenqudrte zusmmen. b c Dieser Stz ermöglicht, im rechtwinkligen Dreieck us zwei Seitenlängen die dritte zu berechnen. (Pythgors wr ein griechischer Mthemtiker und Philosoph, der um 570 bis 480 vor Chr. lebte). 5.. Der Höhenstz Im rechtwinkligen Dreieck ht ds Qudrt über der Höhe den gleichen Flächeninhlt wie ds Rechteck, gebildet us den beiden Hypotenusenbschnitten. p : h h: q h pq Seite Mike Stettler ; Spiez,

51 5.4. Der Kthetenstz Im rechtwinkligen Dreieck ht ds Qudrt über einer Kthete den gleichen Flächeninhlt wie ds Rechteck, gebildet us der Hypotenuse und dem nliegenden Hypotenusenbschnitt c : : q c : b b : p b cq c p 5.5. Spezielle Figuren Die Berechnungen von speziellen Längen in speziellen Figuren bsieren lle uf dem Stz des Pythgors. ( 1, ) Qudrt Gegeben Seite : Gesucht Digonle e: e Gegeben Digonle e: Gesucht Seite : e ( 1,7... ) Gleichseitiges Dreieck Gegeben Seite s: Gesucht Höhe h : h c s Gegeben Höhe h c : Gesucht Seite s: s h c c Mike Stettler ; Spiez, Seite

52 6. Vierecke 6.1. Prllelogrmme Prllelogrmm Zentrlsymmetrisch (Mittelpunkt) Je zwei gegenüberliegende Seiten sind prllel und gleich lng Digonlen hlbieren sich gegenseitig Flächeninhlt: Rhombus A h Zentrlsymmetrisch (Mittelpunkt) Achsensymmetrisch bezüglich Digonlen Alle Seiten sind gleich lng Digonlen stehen senkrecht ufeinnder und hlbieren sich gegenseitig A h e f Flächeninhlt: Rechteck Zentrlsymmetrisch Achsensymmetrisch bezüglich Mittellinien Je zwei gegenüberliegende Seiten sind prllel und gleich lng Angrenzende Seiten stehen senkrecht ufeinnder Digonlen sind gleich lng und hlbieren sich gegenseitig Flächeninhlt: A b Seite Mike Stettler ; Spiez,

53 Qudrt Zentrlsymmetrisch Achsensymmetrisch bezüglich Digonlen und Mittellinien Alle Seiten sind gleich lng Digonlen stehen senkrecht ufeinnder und hlbieren sich gegenseitig Je zwei gegenüberliegende Seiten sind prllel Angrenzende Seiten stehen senkrecht ufeinnder Flächeninhlt: A e 6.. Andere Vierecke Trpez Trpeze sind Vierecke mit genu prllelen Seiten. Prllelogrmme können grundsätzlich uch ls Trpeze ngesehen werden, mcht ber wenig Sinn. Flächeninhlt: A mh Zum Berechnen des Flächeninhltes benötigt mn die Mittelprllele. Diese berechnet mn: m c Mittelprllele:,c b,d m h prllele Seiten Schenkel Mittelprllele Höhe uf der Seite bei symmetrischen Trpezen sind die beiden Schenkel b und d gleich lng. Drchen Drchen sind Vierecke, bei welchen die Digonlen senkrecht ufeinnder stehen und eine der beiden Digonlen dbei hlbiert wird. e A Flächeninhlt: f Mike Stettler ; Spiez, Seite - 5 -

54 llgemeines Viereck Ein llgemeines Viereck besitzt im Normlfll keine der besgten Eigenschften der vorngegngenen Vierecken. Zur Berechnung der Fläche wird grundsätzlich ds Viereck in Dreiecke unterteilt, seprt berechnet und zusmmengezählt. Flächeninhlt: A e f e f e ( f1 1 f ) 7. Vielecke Pentgon Hegon Oktgon Bei regelmässigem Pentgon: = = = = = 108 Bei regelmässigem Hegon: = 10 Bei regelmässigem Oktgon: = 15 Zur Berechnung des Flächeninhltes zerlegt mn die Vielecke mittels Digonlen in Dreiecke und berechnet die einzelnen Teilflächen. Seite Mike Stettler ; Spiez,

55 8. Kreis 8.1. Begriffe und Berechnungen Kreis Begriffe Zentrum, Mittelpunkt M Kreislinie k Rdius r Durchmesser d Kreisfläche A Sehne s Tngente t: berührt Kreis im Berühungspunkt D im rechtem Winkel zum Rdius Berechnungen Durchmesser d r Kreisfläche A r Kreisumfng Rdius us Fläche Rdius us Umfng U r r r A U Mike Stettler ; Spiez, Seite

56 Kreissektor Begriffe Bogenlänge b Zentriwinkel Sektorfläche A S Berechnungen Bogenlänge b Sektorfläche A S Rdius us Bogenlänge Rdius us Fläche r b 60 r AS 60 b r AS 60b r 60 A r S AS r b Kreisring Begriffe Innerer Rdius r Äusserer Rdius R Ringdicke d Ringfläche A Ring Berechnungen Ringfläche A A A Ring Ring Ring R r ( R r ( R r)( R r) ) Kreisringstück A Ring ( R r ) 60 Seite Mike Stettler ; Spiez,

57 8.. Sehnenviereck Sehne Strecke zwischen zwei Kreislinienpunkten Sehnenviereck Im Sehnenvierecke messen zwei gegenüberliegende Winkel zusmmen Segment Eine Sehne teilt die Kreisfläche in zwei Segmente 8.4. Peripheriewinkelstz Peripheriewinkel Peripheriewinkelstz: Alle Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen sind gleich gross 1 = Ein Peripheriewinkel ist hlb so gross wie der Zentriwinkel über dem gleichen Bogen Mike Stettler ; Spiez, Seite

58 9. Körper 9.1. Würfel, Quder, Prism und Zylinder Würfel Oberfläche S S 6 Volumen V V Gesmtkntenlänge g k g k 1 Digonle d d Körperdigonle k k Quder Oberfläche S S ( b bc c) Volumen V V bc Gesmtkntenlänge g 4( b c) k g k Körperdigonle k k b c Prism Oberfläche Summe ller Teilflächen Volumen Grundfläche ml Höhe Gesmtkntenlänge Summe ller Knten Zylinder Grundfläche G G r Volumen V V Gh r h Mntel M M u h r h Oberfläche S S M G rh r S r ( h r) Seite Mike Stettler ; Spiez,

59 9.. Pyrmide und Kegel Höhe und Seitenhöhe h s h s 4 Oberfläche S M G s h s s Volumen V 1 s h G h Körperhöhe h Seitenhöhe h s Kntenlänge s Pyrmidenstumpfhöhe h 1 G D Pyrmidenstumpf V h1 Höhe und Mntelhöhe s h r Mntel M s u s r rs Oberfläche S M G rs r Volumen V 1 r G h h Körperhöhe h Mntelhöhe s Rdius r der Grundfläche Umfng u der Grundfläche Pyrmidenstumpfhöhe h 1 Rdius r 1 des Deckels h Kegelstumpf V 1 ( r r r1 1 ) r Mike Stettler ; Spiez, Seite

60 9.4. Kugel Volumen 4 V r Oberfläche S 4 r Volumen Hlbkugel V r Oberfläche Hlbkugel mit Äqutorfläche S r Seite Mike Stettler ; Spiez,

61 F. Geometrie 0. Grundbegriffe 0.1. Abstnd Unter dem Abstnd zweier Punktmengen versteht mn die kürzeste Verbindung zwischen den beiden Punktmengen. In der folgenden Übersicht wird drgestellt, wie wir Abstände messen:. Der Abstnd zwischen zwei Punkten P und Q ist PQ b. Zwischen Punkt P und Gerden, Punkt D heisst Fusspunkt uf Gerden. c. Zwischen zwei prllelen Gerden d. Zwischen zwei Strecken e. Zwischen Punkt und Kreis f. Zwischen Gerde und Kreis. g. Zwischen zwei Kreisen Mike Stettler ; Spiez, Seite

62 0.. Punktmengen. Die gerde Verbindungslinie zwischen P und Q heisst Strecke PQ. Ihre Länge ist PQ. b. Setzt mn Strecken fortlufend zusmmen, so erhält mn einen Streckenzug: Geschlossener Streckenzug ABCDA c. Verlängern wir eine Strecke einseitig, so erhlten wir eine Hlbgerde oder einen Strhl. PQ offener Streckenzug ABCDEF d. Verlängern wir eine Strecke uf beiden Seiten, so erhlten wir eine beidseitig unbegrenzte gerde Linie, die Gerde g = PQ. e. Zwei Gerden g und h schneiden sich in einem Punkt C. Sie stehen windschief zueinnder. f. Schneiden sich zwei Gerden g und h nicht in einem Punkt, so sind sie prllel. Seite Mike Stettler ; Spiez,

63 0.. Spezielle Punktmengen. Jeder Punkt uf der Kreislinie k ht vom Mittelpunkt M den Abstnd r. r heisst Rdius des Kreises. Der doppelte Rdius heisst Druchmesser. b. Die Menge ller Punkte, die von zwei Punkten A, B den gleichen Abstnd hben, ist die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Sie ist uch Symmetriechse. c. Die Menge ller Punkte, die von einer Gerden g den Abstnd d hben, ist ds Prllelenpr zu g im Abstnd d. d. Die Menge ller Punkte, die von zwei prllelen Gerden g und h den gleichen Abstnd hben, heisst Mittelprllele m. Sie ist uch Symmetriechse. e. Die Menge ller Punkte, die von zwei sich schneidenden Gerden g, h den gleichen Abstnd hben heissen Winkelhlbierende. Sie sind uch Symmetriechsen. Die beiden Winkelhlbierenden eines Winkels stehen immer senkrecht ufeinnder. Mike Stettler ; Spiez, Seite - 6 -

64 1. Winkel 1.1. Winkelbezeichnungen. spitzer Winkel: weniger ls 90 b. Rechter Winkel: 90 c. Stumpfer Winkel: mehr ls 90 d. Überstumpfer Winkel: mehr ls 180 e. Gestreckter Winkel: 180 f. Voller Winkel: 60 g. Schneiden sich zwei Gerden g und h im Schnittpunkt S, bilden sich vier Winkel. Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross. h. Die Grösse eines Winkels messen wir in Grd. Wir verwenden dzu ein Geo- Dreieck. Zur Bezeichnung von Winkeln benützt mn griechische Buchstben oder den Scheitelpunkt und zwei Punkte uf den Scheiteln: oder PZQ (der mittlere Punkt bezeichnet den Scheitel) Seite Mike Stettler ; Spiez,

65 1.. Winkelbeziehungen Zwei sich schneidende Gerden und ' und ' nennt mn Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind gleich gross und nennt mn Nebenwinkel Nebenwinkel ergänzen sich uf 180 Zwei Prllelen geschnitten von einer dritten Gerden: und und und und nennt mn Stufenwinkel Stufenwinkel sind gleich gross und und und und nennt mn Wechselwinkel Wechselwinkel sind gleich gross 1.. Innenwinkelsummen von Vielecken Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180 Die Innenwinkelsumme nderer Vielecke knn mn durch Zerlegen in Dreiecke finden oder durch Berechnen. Es gilt: ( n ) 180, wobei n die Anzhl Ecken sind. Die Grösse eines Innenwinkels eines regelmässigen Vieleckes berechnet sich us: ( n ) 180, wobei n die Anzhl Ecken sind. n Mike Stettler ; Spiez, Seite

66 . Kongruenzbbildungen.1. Achsenspiegelung Bei einer Achsenspiegelung gibt es zu jedem Punkt, der nicht uf der Achse liegt, einen Bildpunkt uf der ndern Seite der Spiegelchse. Beide Punkte hben den gleichen Abstnd zur Spiegelchse und deren Verbindungsgerde steht senkrecht zur Spiegelchse. Achsenspiegelung n der Gerden Eigenschften der Achsenspiegelung: Die Punkte der Spiegelchse werden uf sich selber bgebildet. Eine Gerde und deren gespiegeltes Bild schneiden sich uf der Spiegelchse. Eine zur Spiegelchse prllele Gerde wird uf eine prllele Bildgerde gespiegelt. Originl und Bild sind verschieden orientiert. Eine Figur heisst chsensymmetrisch, wenn sie bei einer Achsenspiegelung mit sich selber zur Deckung kommt... Punktspiegelung Bei einer Punktspiegelung gibt es zu jedem Punkt usser dem Spiegelzentrum einen Bildpunkt uf der ndern Seite des Zentrums. Ds Zentrum hlbiert die Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. Punktspiegelung: P Z Eigenschften der Punktspiegelung Eine Gerde und ihre Bildgerde sind zueinnder prllel. Originl- und Bildfigur sind gleich orientiert. Alle Gerden durch ds Zentrum werden uf sich selber bgebildet. Eine Figur heisst punktsymmetrisch oder zentrlsymmetrisch, wenn sie bei einer Punktspiegelung mit sich selber zur Deckung kommt. Seite Mike Stettler ; Spiez,

67 .. Trnsltion (Schiebung) Bei einer Trnsltion gibt es zu jedem Punkt einen Bildpunkt. Verbindet mn jeden Originlpunkt mit seinem Bildpunkt, so erhält mn prllele und gleich lnge Strecken. Eigenschften der Trnsltion Eine Gerde und ihre Bildgerde sind zueinnder prllel. Originl- und Bildfigur sind gleich orientiert. Alle Gerden prllel zur Trnsltionsrichtung sind fi. Trnsltion: T AA' (Trnsltion von A nch A oder in Richtung Vektor u um dessen Länge).4. Rottion (Drehung) Bei einer Rottion gibt es ein Zentrum, um welches jeder Punkt gedreht wird. Ds Drehzentrum wird uf sich selber bgebildet. Für jeden ndern Punkt P findet mn einen Bildpunkt P nch folgender Vorschrift: ) P und P sind vom Zentrum Z gleich weit entfernt. b) Die beiden Hlbgerden von Z nch P und P bilden den Winkel. Eigenschften der Rottion Originl- und Bildgerden bilden immer gleich grosse Winkel. Originl- und Bildfigur sind gleich orientiert. Es gibt keine Figerden (Ausnhme: Rottionen um 0 bzw. 180 ) Die Rottion um 180 entspricht einer Punktspiegelung. Rottion (Drehung): R Z, ; Rottion um den Drehpunkt Z um den Winkel (Im Gegenuhrzeigersinn) Mike Stettler ; Spiez, Seite

68 . Ähnlichkeit.1. Die zentrische Streckung Eine Streckung ist bestimmt durch ein Streckungszentrum Z und einen Streckungsfktor k. Abbildungsvorschrift: Streckung: S Z, k Streckung eines Punktes (einer Figur) vom Punkt Z us um den Fktor k. Z bleibt fest Originlpunkt A und Bildpunkt A und Z liegen uf einer Gerden ZA' k ZA Alle ndern Punkte der Ebene werden wie A bgebildet. Eigenschften der zentrischen Streckung: Ds Bild einer Gerden ist eine zu ihr prllele Gerde A B AB Winkelgrössen bleiben unverändert. ' Ds Bild einer Strecke ist eine k-ml so lnge Strecke: A' B' k AB Ds Längenverhältnis von Strecken bleibt unverändert A' C' AC A' B' AB.. Der Begriff der Ähnlichkeit Kongruenzbbildungen, Streckungen und ihre Verkettung heissen Ähnlichkeitsbbildungen. Figuren, die mn durch Ähnlichkeitsbbildungen zur Deckung bringen knn, nennt mn ähnlich. Ähnlich ist die präzise geometrische Fssung des Alltgsbegriffs formgleich Symbole: ~ ähnlich kongruent Seite Mike Stettler ; Spiez,

69 .. Proportionlsätze, Strhlensätze Die Gerden g und h werden von Prllelen geschnitten. In solchen Fällen gilt: Die Längen der Abschnitte uf g sind zu den entsprechenden Längen uf h proportionl: b oder : c b : d c d c oder : b c : d b d Die Gerden g und h werden von Prllelen geschnitten. In solchen Fällen gilt: Die Längen der Abschnitte uf den Prllelen sind zu den entsprechenden Längen uf einer der Gerden proportionl, wobei diese stets von S us zu messen sind. b f oder : c ( b) : d f : g c d g d b oder d : g ( b) : f g f Weitere Proportionlitätsbeziehungen: c : d v : w bzw. c : v d : w c : v : ( b) bzw. c : v : ( b) Beziehungsweise mit der entsprechenden Bruchdrstellung! Mike Stettler ; Spiez, Seite

70 .4. Streckung im Rum Streckungen im Rum werden gleich erklärt wie in der Ebene. Es gelten dieselben Eigenschften wie in der Ebene..5. Längen, Flächen und Volumen bei ähnlichen Figuren und Körpern Originlfigur Bildfigur k c c' k h h' k A A' k ' k A A' k V V ' Bei einer Streckung mit dem positiven Streckungsfktor k werden: lle Längen mit k multipliziert lle Flächen mit k multipliziert lle Volumen mit k multipliziert Seite Mike Stettler ; Spiez,

71 4. Konstruktionen 4.1. Dreiecke Wenn die rechts ngegebenen Bedingungen erfüllt sind, knn mn ein Dreieck bis uf seine Lge eindeutig konstruieren us: den Längen zweier Seiten und der Grösse des eingeschlossenen Winkels (sws) Der gegebene Winkel muss kleiner ls 180 sein. Vorgehen: 1. Seite s. Winkel w. Seite s 4. Dreieck fertig zeichnen der Länge einer Seite und den Grössen der beiden nliegenden Winkel (wsw) Die Summe der beiden Winkel muss kleiner ls 180 sein. Vorgehen: 1. Seite s. Winkel w. Winkel w Schnittpunkt 4. Dreieck fertig zeichnen den Längen der drei Seiten (sss) Die Summe je zweier Seitenlängen muss grösser sein ls die Länge der dritten Seite Vorgehen: 1. eine Seite (Mssstb). zweite Seite (Zirkel). dritte Seite (Zirkel) 4. Schnittpunkt Ecke den Längen zweier Seiten und der Grösse des Winkels, der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt: (ssw) Der gegebene Winkel muss kleiner sein ls 180 Vorgehen: 1. Seite s beim Winkel w. Winkel w. Seite s Schnittpunkt(e) 4. Dreieck fertig zeichnen 4.. Kongruenz Stimmen zwei Dreiecke gemäss sws, wsw, sss oder ssw überein, so knn mn durch eine Kongruenzbbildung ds eine uf ds ndere bbilden. Die beiden Dreiecke sind lso kongruent. Mike Stettler ; Spiez, Seite