Wirtschaftsinformatik Informatik Grundlagen

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1 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Wirtschftsinformtik Informtik Grundlgen Grundlgen der Codierung Informtion und Kommuniktion Kommuniktion ist der Austusch von Informtionen. Dies setzt Verschlüsselung der Informtion vorus. z.b. gesprochene/geschriebene Sprche, Bilder, etc. Verschlüsselung geschieht bei uns im geschriebenen Wort durch 6 Buchstben 0 Ziffern mind. 0 Sonderzeichen Ws ber sind Informtionen oder ws ist eine Informtion? Dzu später genureres. In der Informtik bedient mn sich nderer Codes. Mn benutzt ein sog. Binär-Alphbet. Die Binärität dieses Alphbet entsteht durch die Verwendung von nur zwei Zeichen, lso z.b. {0,},{.,-} Der dbei kleineste, nicht mehr teilbrer Träger von Informtion, bzw. Dten, bezeichnet mn ls Zeichen Die Übermittlung von Zeichen but uf der Übertrgung von Signlen uf. Dbei unterscheidet mn - nloge Signle z.b. Schllschwingungen oder Spnnungsschwnkungen - diskrete digitle Signle diskret meint dbei, dß die digitlen Signle nur eine endliche Anzhl Zustände nnehmen. Die Menge ller unterschiedlichen Zeichen eines Codes nennt mn Alphbet. Beispiele für Alphbete sind : {A,B,C,...,X,Y,Z} {α,β,γ,...,ψ,ω} Kommuniktion funktioniert grundsätzlich nch folgendem Schem: Der Kommuniktionsprozess Quelle Codierer Kommuniktion- Dekodierer Emfpänger Sender knl Senke Nchricht Sendesignl Sendesignl Nchricht In diesem Fluß der Informtion können jedoch jederzeit Sörungen uftreten. Es ist dher wichtig, diese uch erkennen zu können.

2 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Informtionstheorie nch Shnnon Ein pr Beispiele zu der Codierung: Beispiel Ein Alphbet besteht us 8 Zeichen : {A,B,C,D,E,F,G,H} Soll nun Informtion us diesem Alphbet codiert werden, so muß sich der Codierer einer Übersetzungsforschrift bedienen, lso z.b. einer Tbelle : Alph Alph A 000 B 00 C 00 D 0 E 00 F 0 G 0 H Die Codierung der Nchricht ist notwendig, d zum Senden möglicherweise nur eine Tschenlmpe vorhnden ist, mit der mn mit Licht n/us ds Aph senden knn, ber nun ml nicht den Buchstben A. Wenn dnn der Empfänger wieder die gleiche Tbelle verwendet, knn er die Nchricht verstehen. Der Code: Eine Abbildungsvorschrift Zuordnung einer Menge Alph uf eine ndere Alph. Diese Vorschrift muß umkehrbr sein, lso Ein-Eindeutig. Beispiel Der Morsecode. Der Morsecode besteht us drei Zeichen:. Puse Der Codebum. Linke Äste sind Punkte, rechte Äste sind Striche. Der Binärbum E T I A N M S Also SOS ist EIS ist Ohne Puse ls zusätzliches Zeichen wäre keine Codierung eindeutig möglich, d ds Wort EIS nur us Punkten besteht.

3 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Ist ds Ziellphbet ein Binäres Alphbet nur zwei Zeichen, so nennt mn es Binärcode, ds einzelne Zeichen nennt mn BIT Binry Digit. Dbei verwendet mn folgende Stückelung, die uf der Bsis 0. 0 BIT Kilobit 0 KBit Megbit 0 MBit Gigbit 0 GBit Terbit Eine ndere Art der Gruppierung der Bits ist die Anordnung zu jeweils 8 Bit gleich einem Byte. 8 Bit Byte > 56 Zeichen 8 können codiert werden. Entsprechend der Bitstffelung können uf Bytes in 0er-Gruppen zusmmengefsst werden. Der Informtionsgehlt einer Nchricht. Informtionstheorie C.E. Shnnon 98 versuchte, ein Mß für den Informtionsgehlt einer Nchricht zu finden, d.h. die Frge zu bentworten, wieviel Informtion enthällt eine diskrete Nchricht, die von einem Sender zu einem Empfänger übermittelt wird. Nchricht Zeichenfolge, in der Zeichen mit bestimmten Whrscheinlichkeiten uftreten Beispieltet : OTTO HAT EIN BOOT Insgesmt Zeichen O T H A E I N B bsolute Häufigkeit reltive Häufigkeit Der Informtionsgehlt h soll folgende Eigenschften hben :. h ist von der Whrscheinlichkeit bhängig, mit der Zeichen uftreten nicht von der Art der kodierung Häufig gesendete Zeichen sollen einen niedrigen Informtionsgehlt hben, selten gesendete Zeichen einen entsprechend höheren.. Besteht eine Nchricht us mehreren, von einnder unbhängigen Zeichen, so soll deren Informtionsgehlt gleich der Summe der Informtionsgehlte einzelner Zeichen sein. Abhängigkeit von Zeichen In ntürlichen Sprchen sind die Zeichen des Alphbetes von einnder bhängig, d mn einzelne Buchstben bis gnze Worte weglssen könnte, ohne dem Informtionsgehlt einer Nchricht zu schden. Zu. Sei p die Auftrittswhrscheinlichkeit eines Zeichens, dnn ist p f eine streng monotonwchsende Funktion, welche den Informtionsgehlt h beschreiben soll.

4 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Zu. Bei Unbhängigkeit der Zeichen > Ds Produkt der beiden Einzelwhrscheinlichkeiten ergibt die Whrscheinlichkeit, dß zwei Zeichen kombiniert uftreten. Dher muß für die Funktion, die den Informtionsgehlt beschreibt, gelten : f f y f y Ds ist bei Logrithmusfunkionen der Fll. Denn es gilt : 0 0 log 0 log 0 log Beide Forderungen und werden erfüllt durch die Logrithmusfunktion log zu einer beliebigen Bsis. Als Bsis in der Informtik wählt mn nun die, den dulen Logrithmus, bzw. den logrithmus dulis ld. Informtionsgehlt, mittlere Wortlänge, Redundnz Def.: Der Informtionsgehlt für ein einzelnes Zeichen ist h ld ld ld p p 0 ld p ld p D für p nur Werte im Bereich 0<p interessierren, ist ld p immer positiv. s. Kopie Ekurs: Eponentilfunktionen und Logrithmusfunktionen Die Funktion ; >0, heißt Eponentilfunktion zur Bsis. f z.b. 0 f 0 f oder z.b. f

5 5 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion zur Bsis heißt Logrithmus zur Bsis Für eine Zhl b>0 ist log b diejenige Zhl reelle Zhl, für die gilt b z.b. log 0 0 ; d 0 0 log ; d log ; d log 8 ; d 8 log ; d 9 9 log 0 ; d 0 log 0 0 ; d 0 0 Bezeichnungen: Regeln: log log log 0 e log lg ln ld log y log log log log y y log log y log log ; d log 0 ; d 0 log log log y log y y y y Umrechnungsregel: log c b ln b lgb log b log ln lg c und für die Informtik gnz wichtig: lnb lnb ldb ln Beispiele für die Nchrichtenqulitäten:. Konsequentes senden des gleichen Zeichens: p, h ld p ld 0

6 6 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc. Zeichen, ds nie gesendet wird: p 0, h ld 0 nicht definiert.. Senden von zwei Zeichen mit gleicher whrscheinlichkeit des Auftretens: p, h ld ld ld 0. Senden von n Zeichen in Gleichverteilung: p, h ld ld n n n k Flls n k k p, h ld ld ld ld k k k 8 8 Beispiel : ASCII-Code besteht us 56 Zeichen. Für n gilt dher: h8. Beispiel: HALLO 5 Bytes0 Bit werden normlerweise zum Speichern der Nchricht verwendet. p : ; ; ; Vollständiger Informtionsgehlt der Nchricht h i ld p bit i i i 8. bit würden genügen, um die Nchricht zu speichern Def.: Sei h i der Informtionsgehlt des i-ten Zeichens und p i die Whrscheinlichkeit des Auftretens dieses Zeichens, dnn ist der mittlere Informtionsgehlt Entropie dieses Alphbetes folgendermßen definiert : : H p ld ihi pi pi ld pi i i pi i Erwrtungswert Die Einheit des mittleren Informtionsgehltes H ist bit.. Beispiel fortgesetzt: Der mittlere Informtionsgehlt der Nchricht wäre: H bit Beispiel: Zeichen :,y,z p p y pz h ld h y h z H ld bit

7 7 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc. Beispiel: Der Tet VOLLTOLL p i 8 V O L T 8 8 h i p i h i 8 8 H bit Beispiel: Ds Nchrichtenlphbet sei ds gewöhnliche Alphbet inclusive Sonder- und Leerzeichen. Die Whrscheinlichkeiten einzelner Buchstben werden durch umfngreiche Zählungen n Teten ermittelt. Folie/Kopie Ergebnis der Studie ller Whrscheinlichkeiten ist eine mittlere Whrscheinlichkeit von H. bit Die mittlere Wortlänge: 5. Beispiel: Die Zeichen mit gleichen Whrscheinlichkeiten us Beispiel : Zeichen :,y,z p p y pz Codiert wie folgt: Wortlänge: l y 0 l y z 00 l z z.b. folgender Code: steht für yzy. Der Code ist so gewählt, dß uch unterschiedliche Code-Längen noch immer zum richtigen Ergebnis führen. Def.: Die mittlere Wortlänge L ist definiert durch L : i dbei ist l i die Länge des i-ten Zeichens. Die Einheit ist wieder ds bit. p i l i

8 8 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc 5b. Beispiel us Beispiel : mittlere Wortlänge ist: bit L Der Code ist offensichtlich sehr optiml gewählt, d der mittlere Abstnd gleich der mittleren Whrscheinlichkeit ist. Er enthällt somit keine Redundnzen. So kommen wir uch uf die Definition einer Redundnz: Def.: Die Redundnz R eines Codes ist definiert ls Differenz zwischen dem mittleren Abstnd und der mittleren Länge eines Codes: R L H Eineit ist uch hier wieder ds bit. Übungsufgbe : Wie hoch ist der Informtionsgehlt eines einzelnen Zeichens bei der Verwendung einer k-stelligen Dezimlzhl. D.h. Code besteht us 0 Zeichen Dezimlzhlen mit Gleichverteilung. k n 0 k-stelliger Code uf der Bsis von Zehn verschiedenen Zeichen. p k Whrscheinlichkeit des Auftretens einer Kombintion des k- n 0 Stelligen Codes k k h ld ld ld0 ld0 k ld0 k 0 AUCH: p h ld ld0 0 0 p ist nun die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten eines Zeichens. Dieses pssiert ber k-ml. Dher : k h k ld0 k, Übungsufgbe : Zeichen A,B,C,D p ; pb ; pc pd 8 Jeweiliger Informtionsgehlt: h ld ; hb ld ; hc hd ld 8

9 9 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Übungsufgbe : Zeichen A,B,C,D p ; pb ; pc p H 8 d 8 8 Übungsufgbe : gegeben sind Zeichen:,y,z mit p 0.7 p y 0. p z 0. Codiert wurde mit : l y 0 l y z 00 l z p i h i -ld p i p i h i l i p i l i y z Dtenverdichtung Huffmn-Code, Arithmetische Codierung Ziel: Konstruktion von möglichst redundnzrmen Code durch Optimierung der Bit-Längen des Codes. A: Der Huffmn-Code: Verfhren:. Es wird schrittweise ein Codebum ufgebut.. Die zwei Zeichen mit der geringsten Auftrittswhrscheinlichkeit werden zusmmengefsst und dnn ls einzelnes Zeichen behndelt, dessen Whrscheinlichkeit gleich der Summe der Einzelwhrscheinlichkeit der beiden Zeichen ist.. Ds Verfhren wird so oft wiederholt, bis lle Zeichen zu einem einzigen zusmmengefsst wurden, ds die Whrscheinlichkeit ht. Es läßt sich zeigen, dß dieses Verfhren für die Codierung einzelner Zeichen von keinem Verfhren im Hinblick uf die Redundnz übertroffen wird.

10 0 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Beispiel: 5 Zeichen {,b,c,d,e} [Ds Ziellphbet ist binär] mit den Whrscheinlichkeiten: p p p b 0.0 de 0. bc 0.8 c 0.8 b 0.0 de 0. d 0. c 0.8 e 0. p p bcde 0.60 bcde > Der Codebum: bcde bcde0.60 de0, bc0.8 d0. e0. b0. c0.8 p Code l p l -ld p p b c d e L.0 H. Die Redundnz dieses Codes ist somit R L H Bemerkungen. Die Zeichen mit der größten Whrscheinlichkeit bekommen den kürzesten Code.. Es wird vorusgesetzt, dß die Whrscheinlichkeiten der Zeichen von der Übertrgung feststehen. Ansonsten knn mn wärend der Übertrgung die Whrscheinlichkeiten ermitteln und dnn gemäß dieser Whrscheinlichkeiten wärend der Übertrgung den Code ändern -> dptiver Huffmn-Code. Dfür eignet sich ber der rithmetische Code besser.. Anwendung uf Bilder, Audio und Tete.

11 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc B: Der rithmetische Code: Beispiel: Der rithmetische Code ist besser geeignet für dptive Änderungen. Beim Huffmn- Code muß der gesmte Codebum neu generiert werden, wenn sich die einzelnen Whrscheinlichkeiten ändern. Die Idee: Eine Nchricht wird durch ein Teilintervll von [0;[ drgestellt. Je länger die Nchricht, je kürzer wird ds Teilintervll. Jedes zu übertrgende Zeichen verkleinert dieses Intervll entsprechend seiner Auftrittswhrscheinlichkeit. Dbei verkürzen häufig uftretende Zeichen ds Intervll weniger. Ds Alphbet: {,e,i,o,u,!} Die Nchricht sei : eii! p Intervll 0, [0 ; 0,[ e 0. [0, ; 0,5[ i 0. [0.5 ; 0.6[ o 0. [0.6 ; 0.8[ u 0. [0.8 ; 0.9[! 0. [0.9 ;.0[. Schritt: Zu beginn ist ds Intervll [0 ; [. Schritt: Erstes Zeichen ist ein e: > Verkleinert ds Intervll uf [0, ; 0,5[. Schritt: Zweites Zeichen ist ein : >Verkleinert ds jetzige Intervll uf [0, ; 0,6[. Schritt: Drittes Zeichen ist ein i: > Intervll nun [0, ; 0,6[ 5. Schritt: Viertes Zeichen ist ein i: > Intervll nun [0, ; 0,6] 6. Schritt: Fünftes Zeichen ist ein! > Intervll nun [0,5 ; 0,6[ Also insgesmt: [0 ; [ e [0, ; 0,5[ [0, ; 0,6[ i [0, ; 0,6[ i [0, ; 0,6[! [0,5 ; 0,6[ Dbei findet folgende Formel Anwendung, um die neuen Intervlle zu berechnen: O lt : lte Obergrenze U lt : lte Untergrenze l lt : Olt Ult Länge des Intervlles [U,O [ : Ds den Zeichen zugeordnete Intervll neue Untergrenze: U neu neue Obergrenze: O neu U lt l lt U U lt l lt O

12 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Beispiel zur Anwendung der Formel: Alte Intervll: [0, ; 0,6[ nächstes Zeichen i : l lt 0,006 U 0,5 > 0, 0,006 * 0,5 0, U neu O 0,6 > 0, 0,006 * 0,6 0,6 O neu Altes Intervll: [0, ; 0,6[ nächstes Zeichen! : l lt 0,0006 U 0,9 > 0, 0,0006 * 0,9 0,5 U neu O,0 > 0, 0,0006 *,0 0,6 O neu Ws mcht nun der Emfänger mit einer solchen Nchricht? Dekodieren ntürlich! Bemerkungen I : [0,5 ; 0,6[ Ds Intervll liegt mitten in dem Bereich, der in der Urskl für ds e vergeben wr, d dort j schließlich beim Codieren uch lles begnn. Dmit weiß der Empfänger ber schon, dß es mit dem e losgeht. Nun der folgende Buchstbe: D j ds Intervll von e weiter geschrumpft wurde, muß nun ds einzige gültige Intervll uf Position innerhlb von e ds Intervll I mit überdecken. Dies trifft nur für ds zu. Die nderen Buchstben funtkionieren dnn nlog.. Es reicht, irgendeine Zhl us I zu übermitteln. Dnn muß mn llerdings eine Endekennung mitschicken, dmit keine Mehrdeutigkeiten entstehen.. In der Pris wird ds Intervll selbstverständlich binär übermittelt.. Die Anwendung knn mn uf der Folie ersehen. Übung: Beispiel : [0 ; 0,[ [0 ; 0,0[ [0 ; 0,008[ Die Rekonstruktion fürt zu :,,,,... Es ist lso erforderlich ein Endekennzeichen zu senden lso > z.b.! e [0, ; 0,5[ i [0,5 ; 0,8[ [0,5 ; 0,56[ u [0,58 ; 055[

13 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Ein pr Worte zu den Bildern uf der Kopie: Ein Bild besteht us Bildpunkten Piel, Picture Element Je Piel werden 8 Bit Frbinformtionen verrbeitet, lso 56 Grustufen > jedes Bild enthällt 56*56*8 Bit Byte Dten. C: Dtenkomprimierung: Ziel: Pltzeinsprung und spren von Übertrgungszeit Die meisten Codes hben einen hohen Grd n Redundnz. Schltet mn diese Redundnz us, knn mn pltzsprender Codieren. ->Huffmn Code. Es gibt ber noch ndere Techniken: Tetdteien durch Huffmn-Code 0%-50% Bilder ls Rsterdteien Piel -> homogene Flächen mit gleicher Frbe bieten eine Mustererkennung oder Luflängencodierung n. Dteien für die digitle Drstellung von kustischen Signlen -> umfngreiche Wiederholungen und kustische Muster. Methoden: - Luflängencodierung - Codieren mit vribler Länge Huffmn Die Luflängencodierung: Beispiel: Kompkter: Der einfchste Typ von Redundnz in einer Dtei sind lnge Folgen sich wiederholender Zeichen Läufe, Runs. AAAABBBAABBBBBCCCCCCCCDABCBA Erst wird der Wiederholungsfktor gennt, dnn ds Zeichen. Wiederholt sich ds Zeichen nicht, gibt es keine Zhl: ABA5B8CDABCBA Ds verlngt, dß in dem Tet keine Zhlen vorkommen. Verfeinerung für binäre Dten: Bei binären Dten wechseln sich Läufe zwischen 0 und b. > Ds Speichern der Zeichen selbst ist nicht mehr nötig. Es reicht, die Fktoren zu speichern, d jeder wechsel bei den Fktoren uch einen Wechsel der Zeichen meint. ->Folie Die Rstrdrstellung des Buchstben q zeigt, dß die nebenstehende Tbelle usreicht, um den Buchstben zu rekonstruieren.

14 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Wählt mn nun eine 6-Βit Drstellung der Zhlen 6 6 verschiedene Zhlen, wird ds Bitmuster mit Bits sttt vorher mit 969 Bits gespeichert. Zurück zu dem Beispiel mit den Buchstben: Die ursprüngliche Dtei bestnd nur us Buchstben, wogegen die komprimierte Dtei us Zhlen und Buchstben besteht. Ds bedeutet eine Vergrößerung des Alphbets, ws nicht günstig ist. Dher sollte mn ds Alphbet der Urdtei verwenden, um die Wiederholungen zu zählen, d dnn weniger Bits benötigt werden, um ds Alphbet zu codieren. Ds Zeil ist lso ein möglichst kleines Alphbet: DACBBAEC... Wir hben nun jede Zhl durch einen Buchstben ersetzt, wobei seine Position in dem Alphbet repräsenttiv für die Wertigkeit des Fktors stehen soll. Nchteilig ist nun, dß es nicht mehr möglich ist, zwischen Buchstbe und Fktor zu unterscheiden. Dher muß mn eine Kennung hinzufügen, die dnn ngibt, ob es ein Fktor ist, oder ein Code. Als Escpe-Zeichen Kennung verwenden wir ml ds Q, d wir behupten, es komme in unserem Alphbet nicht vor: QDAQCBQBAQECQHC... D ber eine Codierung BBB -> QCB nichts bringt und eine Codierung von AA -> QBA sogr eine Verschlechterung drstellt, sieht unsere komprimierte Dtei nun so us: > QDABBBAAQECQHC... Ds Verfhren der Luflängencodierung lohnt sich ber nur uf binärer Ebene. Fehlererkennede und korrigierende Codes Ab jetzt verwenden wir nur noch Codes ohne vrible Wortlänge. Bei einer Übertrgung treten immer wieder Fehler uf. Z.B. ds Kncken in der Telefonleitung. Beispiel: bit Modem mit 9600 sec lngsm, ber immerhin! Kncken ht eine Duer von sec. 00 Bit werden gestört. 00 Dbei gibt es : - Einzeln uftretende Fehler und - Fehlerbündel Gesucht ist nun ein Mß für die Störsicherheit eines Codes.

15 5 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc A Der Hmmingbstnd Hmmingdistnz zur Fehlererkennung Def.: Der Hmmingbstnd zweier Codewörter ist die Anzhl der Stellen, in welchen sich diese zwei Codewörter unterscheiden. Beispiel: Alphbet mit Codierung : {, e, i, o} e 0 e 0 i 0 i 0 o o 0 Der Hmmingbstnd: -> e: -> o: Tbelle für die Prweisen Hmmingbstände:. e i o. e i o e e - i i - o - o - H.bstnd: H.bstnd: An der Achsendigonlen ist ds Ergebnis gespiegelt, ws bei näherer Betrchtung uch zu erwtrten wr. Vorzug von Code gegenüber Code : Es müssen bereits zwei Bit umkippen, dmit ein neuer Code entsteht. Kippt nur ein Bit, ist ds ls Fehler zu erkennen, d es ds Codewort im Alphbet gr nicht gibt. Nchteilig llerdings ist, ds Code längere Codeworte benötigt. Drus ergibt sich ds Problem des Kompromisses zwischen Dtensicherheit und Redundnz. Def.: Der Hmmingbstnd eines Codes Alphbet ist der kleinste Hmmingbstnd zwischen Wörtern dieses Codes. B Fehlererkennende Codes: Bei einem Code mit Hmmingbstnd Codewort erknnt werden. d > k können Störungen bis zu k Bits pro

16 6 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Ziel: Vergrößerung des Hmmingbstndes.. Möglichkeit: Sende jedes Codewort zweiml. Der neuer Code ht den Hmmingbstnd von d, doch ist der Code uch plötzlich doppelt so lng!. Möglichkeit: Hänge jedem Wort ein Pritätsbit n. Beispiel:, Prität 0, 00 -> 00 e 0 -> 0 i 0 -> 0 o -> 0 flls Anzhl einsen flls Anzhl einsen gerde ungerde Einschub Bei einem Code mit d erhöht mn diesen uf d durch Erhöhung der Wortlänge um eins. direkte Computerverbindung: Geschwindigkeiten : Fehlerquote niedrig: :0 Also ein Fehler uf Telefon: Geschwindigkeiten : 8 bit sec bis :0 0 0 gesendeten Bits c.0 bit sec MByte sec 5 Fehlerquote hoch: :0 Vergleichende Größenordnung sind 8 Zehnerpotenzen.. Möglichkeit: Polynomcodes oder CRC-Codes Cyclic redundncy Codes Sehr wichtig für die Pris! Ekurs Polynome: Polynome sind Funktionen der Form: p... n 0 n n bezeichnet mn ls den Grd des Polynoms. z.b. p n ; ; 0 ; der Grd ist n 7 q Addition und Subtrktion von Polynomen: 7 q 7 p

17 7 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Polynomdivision: 5 : 5 Bitfolgen werden ls Polynome ufgefsst, mit Koeffizienten us {0, }. Polynom: 7 z.b. Grd... 0 p R p n p i n n n n Bei Bitfolgen: { } ,,,...,,, llgm.: 0 0 0,,,0 z.b. n n n n i n n Die Berechnungen werden mit MODULO usgeführt, d dnn 0; -; usw. mod d z.b. Polynomcodemethode: Sender und Empfänger legen ein erzeugendes Genertorpolynom r G G Grd mit fest. Mit diesem Genertorpolynom wird eine Prüfsumme berechnet, die mir übertrgen wird. Dnn könnte der Empfänger seine eigene Prüfsumme berechnen und dmit durch Vergleich der Prüfsumme eventuelle Fehler feststellen. Idee dbei: Ds übertrgene Wort NchrichtPrüfsumme soll durch G teilbr sein. Ist ds Ergebnis beim Empfänger nicht durch G teilbr, dnn liegt ein Fehler vor.

18 8 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Sei G ds Genertorpolynom und M ds dem ursprünglichen Codewort entsprechende Polynom, gennnt Messgepolynom, mit den Grden GrdG r und GrdM m. Der Algorithmus:. Bilde M r, ds heißt, mn hängt r Nullen n des Codewort n. > Codewort ht m r Bits.. Schreibe M r in der Form T G Q M r immer in Modulo, mit geeigneten Polynomen Q und T mit dem GrdT < r. Euklidischer Algorithmus. Übertrge ds Codewort, ds dem Polynom T M r entspricht. Ein Beispiel: Grd G r G zu Übertrgen sei : { } M 0,,,0 zu M r zu Dividiere obiges durch G und ermittle den Rest: { { Ergebnis : T G Q M T Q T r zu { } T M r wegen Mod! Es können lle Fehler erknnt werden, deren zugehöriges Polynom nicht durch G teilbr ist. Angenommen wir hätten eine Störung S und beim Empfänger kommt sttt S T M T M r r n. Wenn der Empfänger druch G dividiert, erhällt er den Rest: Fehler teilbr nicht durch Fehler kein teilbr durch 0 G S G S G S T M r 0 G S T M r

19 9 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Z.B. Ds Wort 0000 wurde gestört und der Empfänger erhällt: Division durch G: 6 5 D der Rest nicht Null ist > es ist ein Fehler ufgetreten. Codes, die in der Pris verwendet werden: Folgende stndrisierte Genertorpolynome gibt es unter nderen: CRC- für Bitfolgen der Länge CRC-6 für Bitfolgen der Länge CRC-CCITT für Bitfolgen der Länge 8 Die letzten beiden werden bei vielen Modems benutzt, ber dort meistens zusmmen mit einer LZW-Komprimierung. Welche Fehler sind durch die CRC-Methode zu erkennen:. Es können lle Einzelbitfehler erknnt werden, flls G zwei oder mehr Summnden enthällt. Dnn knn S nicht mehr ohne Rest durch G geteilt i werden. [ i tes Bit fehlerhft : S ]. Ein CRC-Code mit r Prüfbits dem Grd r erkennt lle Fehlerbündel der Länge r. Bei einem Fehlerbündel der Länge r ist die Whrscheinlichkeit, nicht erknnt zu werden r CRC-6: Fehlerbündellänge ist 7 w 0,0000 0,00% 5. Bei Fehlerbündel der Länge > r ist die Whrscheinlichkeit, nicht erknnt zu werden CRC-6: w 0,0 % r 6 CRC-6 und CRC-CCITT entdecken: lle Einzel- und Doppelfehler lle Fehler mit ungerder Bitzhl lle Fehler 6 Bits 99,997% ller 7-Bit-Fehlerbündel 99,998% ller 8-Bit-Fehlerbündel Die Relisierung der Methode ist meist mit Hrdwre verbunden Schieberegisterschltung Nchzulesen bei Tnenbum, Computernetzwerke

20 0 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Übung: ist mit dem CRC-6 Prüfsumme ngehängt? zu übertrgen. Ws wird ls 7 6 ist ds Polynom zur Bitfolge ist ds erweiterte Polynom 6 Stellen Polynomdivision knn jeder selber mchen!!! Rest Drus folgt, dß folgende Bitkonstelltion gesendet werden muß: C Fehlererkennende Codes m Beispiel des Hmmingcodes Anwendung bei Simpleknälen, lso einer Kommuniktion in nur eine Richtung, wobei dher keine Möglichkeit besteht, den Sender zu einer erneuten Sendung ufzufordern. Dher sollen zusätzlich zur Fehlererkennung uch noch die Fehler korrigiert werden können. Zur Relisierung ist der Hmmingbstnd ein nützliches Instrument. Für die Korrektur von k-fehlern k gestörten Bits ist ein Hmmingbstnd von mindestens k nötig. Bei k Störungen liegt dnn ds ursprüngliche Codewort immer noch dichter n dem flschen Wort, ls irgend ein nderes Codewort us dem Alphbet. Beispiel: Abst. 5 k > Bitfehler werden erknnt und 00 sind korrigierbr. Es sollen m-bits ursprüngliche Informtionen übertrgen werden und r Prüfbits ngehängt werden. d.h. Gesmtzhl der Bits : m r Bit. r Aus der Ungleichung m r erhällt mn eine untere Schrnke für die Anzhl r der Prüfbits, wenn ein einzelner Fehler korrigiert werden soll. Konkret : m > r m,, > r m 5,.., > r m,..,6 > r 5

21 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Beweis: m Anzhl verschlüsselter Codewörter der Länge m Jedes Codewort der Länge m r ht m r n Nchbrn mit dem Hmmingbstnd > Anzhl Bitmuster, die von einem gegebenen Bitmuster einen Abstnd hben sind n Anzhl der verschiedenen Bitmuster der Länge n : us.. folgt: m n n m m r r m r m r Für den Hmmingbstnd wird diese untere Schrnke ngenommen. Die Bits der Codewörter werden nummeriert. Die Bits mit den Nummern r,,,8,6,.. sind die Kontrollbits und die übrigen sind die Dtenbits. n P P D P D D D... Nr In der Duldrstellung hben die Nummern der Prüfbits eine n erster Stelle und nsonsten nur noch Nullen. Jedes Prüfbit wir mit der Prität der zugehörigen Dtenbits gefüllt. P D, D P D, D, D, D P D, D, D Prität bedeutet: Anzhl einsen gerde, dnn ist Prität null, nsonsten eins. Funtkioniert ds nun uch? Ein Dtenbit hbe die Nr. k. Schreibe k ls Summe von Zweierpotenzen, z.b. k 7, dnn gehört dieses Dtenbit zu llen Prüfbits, deren Nummer hier uftucht, lso P, P, P. D gehört zu ebenflls zu P, P, P, D ht ber die Nummer, lso P, P. Beispiel: 00 soll übertrgen werden: 0 0 Nr Nr > 000 ls zu sendendes Bitmuster

22 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Ws mcht nun der Empfänger: Beispiel: - prüft, ob Dten- und Prüfbits zusmmenpssen - flls nicht z.b. k-tes Prüfbit psst nicht, so ddiert er diese Zhl k zu einem Korrekturfktor Am Ende enthällt der Korrekturfktor etweder eine Null kein Fehler, oder die Nummer des gestörten Dtenbits, welches nur noch invertiert werden muß. Sttt 000 s.o. wird 00 empfngen. Rekonstruktion des Codewortes ergibt: P : Prität D, D, D Prität,, 0 0 > Korrekturfktor P : Prität D, D, D Prität,, 0 0 > Korrekturfktor P : Prität D, D, D Prität,, 0 0 > Korrekturfktor 0 Also muß offensichtlich die Stelle gestört sein. Eine Invertierung ergibt den ttsächlich richtigen Code. Hmming-Code: Die untere Schrnke wird ngenommen: m r m r r 8 8 Der Hmming-Code knn leider nur einfche Bitfehler korrigieren. Jedoch mit einem Trick knn mn uch die häufigeren Fehlerbündel eliminieren. Dzu ordnet mn die Zu sendenden Dten in einer Mtri n und versendet nicht die Zeilen einzelnen, sondern fst die Splten zusmmen und sendet diese. Ddurch ist ein Fehlerbündel bei dieser Sendung zwr immer noch ftl, ber nch der Rücknordnung in einer Mtri, knn mn dnn die Zeilen wieder interpretieren, wo j ds Fehlerbündel jeweils nur ein Bit gestört ht, ws erkenn- und korrigierbr ist.

23 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc D Numerische und Alphnumerische Codes A Numerische Codes Drstellung von Zhlen Zählcode Whlzeichen bei der Telephonie : : : : 0: us 0 Code Whlzeichen bei der Telephonie : : : : 0: Tetrdische Codes Stellig Beispiel: - BCD Binry Coded Dezimls, gepckte Zhlendrstellung Tetrden : Pseudotetrden : Jedes Bit ht eine Wertigkeit, die mit der Zweierpotenz des Binärsystems korrespondiert, lso,,, 8. Der Aikencode verwendet nicht die binäre Drstellung, sondern siedelt Pseudotetrden zwischen der Zhl und 5 n. Ddurch ergibt sich eine Bitwertigkeit von,,,, so dß dieser Code uch ls --- Code bezeichnet wird. Der Aikencode ist zusätzlich ein sogennnter komplementärer Code, d.h. mit einer Tetrde t t t t ist ds Einerkomplement tt t t wieder eine Tetrde des Codes. z.b Komplement: 000 Dieser Umstnd soll günstig für die technische Relisierung sein. Der Ecess--Code ist ebenflls ein Komplementätcode z.b. 00 -Komplement: 00 7

24 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc B Alphnumerische Codes BCD-Code: 7 Stellig 7-Bit von IBM, Vercodung von Ziffern und Großbuchstben. EBCDI-Code: Etended Bincy Coded Deziml Interchnge Code - enthällt zusätzlich zum BCD-Code noch Kleinbuchstben - findet sich vornehmlich uf Großrechennlgen der IBM AS-00 ASCII-Code: Americn Stndrd Code for Informtion Interchnge - sehr weit verbreitet PC s, Uni - ursprünglich 7-Stellig - diese 7 Stellen sind normiert von der ISO Interntionl Stndristion Orgnistion genormt. - flls 8-Bit genutzt werden, werden dort Sonder- und Grphikzeichen bgelegt. ISO-0.66-Stndrd 99-6-Bit Code - enthällt ls Teilmenge den ASCII-Code - weitere Sonderzeichen Jpnisch, Kyrillisch, verschiedene Zeichen möglich Der ISBN-Code: Interntionle Stndrd Buch Nummer - 0 Stellig Beispiel: Verlgsinterne Nummer Stt 0: USA Verlg Prüfziffer : GER Die Zehn Stellen seien Z 0 Z 9 Z 8...Z Eine ISBN ist zulässig, wenn die gewichtete Quersumme Z Z Z... 0 Z0 durch Teilbr ist. Die Prüfziffer ist Z Zulässigkeitsprüfung: Ermittlung der Prüfziffer Z : Rest Z 9 Die 0 wird ls X geschrieben. D eine Primzhl ist, ist sie bestens hierfür geeignet, d sie gut mthemtische Eigenschften besitzt.

25 5 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Kryptogrphie Einleitung, Überblick, Terminologie Ziele der Kryptogrphie. Geheimhltung : Vertuliche Kommuniktion Lösungen: -orgnistorisch Boten, Einstufung ls Verschlußsche -physiklisch Tresor, Versiegeln, Geheimtinte -kryptogrphische Mßnhmen Verschlüsselung von Nchrichten, Empfänger brucht einen Schlüssel zum entschlüsseln symetrische Verfhren: Sender und Empfänger einer Nchricht benutzen den gleichen Schlüssel. symetrische Verfhren: Sender und Empfänger benutzen unterschiedliche Schlüssel einen zum Versenden und einen zum Entschlüsseln public Key secret Key -> dher uch Public-Key-Verfhren. Autentifiktion Autentiktion Wie knn ich mich einem nderen gegenüber zweifelsfrei usweisen? tägliches Leben: Stimme, Aussehen, Personlusweis, Hndschrift Rechner: Pßwort, KrtePIN, in der Kryptogrphie durch geheimes Wissen -> Teilnehmeridentifiktion Wie knn ich sicher sein, dß die Nchricht uch wirklich von dem ngegebenen Sender stmmt? -> Nchrichtenidentifiktion Echtheitsmerkmle von Dokumenten Silberstreifen, Wsserzeichen, eingeschweißte Dokumente. Anonymität Knn mn uch bei elektronischer Kommuniktion seine Privtsphäre schützen? Nicht nur der Inhlt, sondern uch der Sender soll geheim bleiben. Gewünscht bei z.b.: - Brgeldzhlungen - Krittive Orgnistionen Anonyme Alkoholiker... - Chiffrenzeigen Bei elektronischer Kommuniktion ist ds lles Problemtisch z.b. bei Elektronic Csh. Protokolle Kommuniktion erfordert Regeln, deren Gesmtheit mn Protokoll nennt. Notwendig bei z.b. - Geldutomt. - elektronisches Geld - elektronische Verträge - E-Mil - Mobilfunk

26 6 C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Anwendungsgebiete der Kryptogrphie - Bnken - Dtenschutz - Militär, Geheimdienst - Wirtschft Schem der Verschlüsselung: unverschlüsselter Tet, verschlüsselter Tet, plin tet, messge, Verschlüsselungs- Chiffre-Tet, entschlüsselungs- unverschlüsselter Klrtet Methode Ciphertet Methode Tet M C M Encryption EM Decryption DC E ist eine Verschlüsselungsfunktion, die M in C umwndelt. EM C C wird dnn von der Entschlüsselungsfunktion D wieder in M umgewndelt DC M Der ursprüngliche Klrtet soll wieder hergestellt werden, d.h. DEM M Ds ent- und verschlüsseln wird mit einem Schlüssel durchgeführt Key K gleicher Schlüssel, symetrischer Fll M EM C DC M K E K M C ; D K C M K > D K E K M M b unterschiedliche Schlüssel, symetrischer Fll M EM C DC M K K E K M C ; D K C M > D K E K M M c Kryptosysteme bestehen us einem Algorithmus einschließlich ller möglichen Klrtete, Chiffretet und Schlüssel. zu Der Chiffreschlüssel läßt sich us dem Dechiffrierschlüssel berechnen. Meist sind sie identisch. Sender und Empfänger müssen einen Schlüssel vereinbren. Die Sicherheit in der Methode liegt im Schlüssel zu b Public-Key-Algorithmen Der Dechiffrierschlüssel knn nicht us dem Ciffrierschlüssel berechnet werden > Chiffrierschlüssel knn veröffentlicht werden.