Monte Carlo Methoden. Kapitel Simple Sampling

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1 Kpitel 3 Monte Crlo Methoden Historisch wird der Begriff der Monte Crlo Methode 1947 geprägt [38] 1 und zum ersten MlzweiJhrespäter im Titel einer Veröffentlichung verwendet [39]. Wie der Nme nklingen lässt, können die Regeln der Monte Crlo Methoden ls ein Modell für Zufllsbewegungen - erzeugt mit Hilfe von Zufllszhlen - betrchtet werden. Die einzelnen Berechnungsschritte hängen von der explizit verwendeten Methode b. Beinhlten hierbei diese Berechnungsschritte Opertionen von einfcher, fundmentler Ntur, so sind sie geeignet, von herkömmlichen Rechenmschinen usgeführt zu werden. Deren Stärke liegt nämlich drin, dss sie fundmentle Rechenopertionen und logische Opertionen schnell und wiederholt usführen können. Es ist somit nicht verwunderlich, dss nicht nur mit dem Bu der ersten modernen Rechenmschinen [39] Monte Crlo entwickelt wird, sondern dss es gerde die Entwicklungen in der Computer Technologie unserer Zeit sind, die den Methoden ihren Aufschwung zur Stndrd Methode verleihen. In diesem Kpitel werden die Methoden der Monte Crlo Simultion vorgestellt. In der einführenden Litertur [40, 41, 42] geschieht dies fst durchwegs nhnd des Ising Modells ls Beispiel. D in der Folge dieses Modell für uns keine weitere Bedeutung besitzt, wählen wir von Anfng n einen formlen Weg. Wir beginnen mit der Methode des Simple Smpling, die erste wichtige Ideen und grundlegende Prinzipien offenlegt. Diese Methode knn durch ds Importnce Smpling für bestimmte Problemstellungen verbessert werden, welches zugleich die Bsis für den Metropolis Algorithmus bildet. Die Einführung dreier nützlicher Tricks für Monte Crlo Simultionen beendet dieses Kpitel, wobei noch uf die Kpitel des Anhngs verwiesen sei. In Anhng B wenden wir uns der Erzeugung von Zufllszhlen zu, in Anhng C der Theorie der Mrkov Prozesse und in Anhng D mchen wir uns Gednken zum Them der Fehlerrechnung und zu Fluktutionen. Die Referenzen dieses Kpitels beziehen sich, wo nicht explizit nders ngegeben, uf [38, 40, 41, 42]. 3.1 Simple Smpling Ein Ziel der Sttistischen Physik besteht drin, für einen Modell Hmiltonin H die Mittelwerte gewünschter Observblen (z.b. der Energie E des betrchteten Systems) zu berechnen. 1 Der Artikel, der in erster Linie die grundlegenden Ideen der Methoden qulittiv umreisst, bezieht sich in seinem physiklischen Kern huptsächlich uf Simultionsmöglichkeiten us dem Gebiet der Teilchenphysik. 31

2 32 KAPITEL 3. MONTE CARLO METHODEN Zur Bestimmung des Mittelwertes der beliebigen Observblen O(π) dientformel O = 1 dγ O(π) exp [ βh(π)], (3.1) Z mit Z = Γ Γ dγ exp [ βh(π)] und β = 1 kt, wobei k die Boltzmnn Konstnte und T die Tempertur ist. In Gleichung (3.1) steht π für einen Punkt im Phsenrum Γ und dγ = N i=1 dπ i für ein Phsenrum-Volumenelement, wobei N die Anzhl möglicher Freiheitsgrde des Systems ngibt. Schreiben wir Gleichung (3.1) explizit us, so folgt O = 1 dπ N dπ 1 O(π 1,...,π N ) exp [ βh(π 1,...,π N )], Z } {{ } (3.2) Γ mit der Zustndssumme Z = dπ N dπ 1 exp [ βh(π 1,...,π N )]. } {{ } Γ Die Anzhl möglicher Freiheitsgrde N liegt bei relen Systemen in der Regel bei Grössenordnungen von mehreren Zehnerpotenzen, 2 wodurch es unmöglich wird, die enorme Anzhl der entstehenden Integrle in Gleichung (3.2) exkt zu lösen. Es muss uf eine Näherung zurückgegriffen werden. Die Idee der Monte Crlo Methoden ist es, Gleichung (3.1) durch den Ausdruck O O= M O(π l ) exp [ βh(π l )] l=1 M exp [ βh(π l )] l=1 zu nähern, wobei die Menge {π 1,...,π M } eine chrkteristische Stichprobe ller Zustände des Phsenrumes Γ ist. Es sei betont, dss diese chrkteristische Stichprobe us Phsenrumelementen bestehen soll, die zufällig usgewählt werden. Der entscheidende Vorteil der Monte Crlo Vorgehensweise im Vergleich zum exkten Ausintegrieren von (3.2) ist, dss die Anzhl M der Elemente der Stichprobe klein ist verglichen mit der Anzhl ller möglichen Konfigurtionen. Ddurch wird Formel (3.3) hndhbbr. Im Grenzfll M geht die Näherung (3.3) in (3.1) über, genu wie in der numerischen, eindimensionlen Integrtion. 3 Wir sind nun in der Lge, den Algorithmus des Simple Smpling, einer Vrinte der Monte Crlo Methoden zu formulieren. Er lutet [38] (3.3) 2 Betrchten wir 1mol eines idelen Gses, so beträgt die Anzhl Teilchen N A Besitzt jedes Teilchen die drei Freiheitsgrde des Ortes und die drei Freiheitsgrde des Impulses, so ht ds gnze System N =6 N A Freiheitsgrde. 3 Für den Fll eindimensionler Integrle ist die Monte Crlo Technik schwächer ls direkte numerische Verfhren (z.b. Simpson s Regel). Für die multidimensionlen Integrle der sttistischen Mechnik jedoch ist Monte Crlo die einzig vernünftige Methode [38].

3 3.1. SIMPLE SAMPLING 33 Algorithmus 1 (Simple Smpling) I. Initilisiere die Zählersumme s 1 := 0 und die Nennersumme s 2 := 0. II. Wiederhole folgende Schritte M Ml: 1. Wähle zufällig einen Punkt π l des Konfigurtionsrumes. 2. Berechne den Wert für den Hmiltonin H(π l ) und den Wert für die Observble O(π l ) für die gewählte Konfigurtion. 3. Berechne den Boltzmnngewichtsfktor [ W B := exp H(π ] l) kt für eine gewünschte Tempertur T. 4. Addiere ds Produkt O(π l ) W B zur Zählersumme s Addiere W B zur Nennersumme s 2. III. Berechne O mittel := s 1. s 2 Der Wert O mittel ist der gesuchte Mittelwert. Führen wir uns die Vorteile des Simple Smpling Algorithmus vor Augen [40]. Ein erster Vorteil besteht drin, dss die einzelnen Konfigurtionen zufällig gewählt werden, lso sttistisch unkorreliert sind. Ddurch knn uf lle Dten des gesmten Simultionslufs die Stndrd Fehler Anlyse ngewendet werden (Vgl. Anhng D). Alle Dten sind gleich wertvoll, d sie sttistisch unbhängig sind. Weiter ist es von Vorteil, dss in einem einzigen Simultionsluf Informtionen über einen weiten Bereich von Temperturen gewonnen werden können. So muss die gewünschte Tempertur T, bei der der Luf stttfinden soll, nicht m Lufnfng eindeutig festgelegt werden, sondern es können während des Lufs für die zufällige Konfigurtion π l die Boltzmnngewichte zu n verschiedenen Temperturen T 1,...,T n errechnet werden, um drus die einzelnen O(T j )mitj=1,...,n zu bestimmen. Um nhnd eines Beispiels ein wichtiges Mnko des Simple Smpling Algorithmus erkennenzukönnen [40], wollen wir uns erst klr drüber werden, für welche Vriblen die Grössen H, O und π im von uns simulierten Modell stehen. In unserem Fll besteht der Modell Hmiltonin H us der freien Energie der Krümmung (2.20) 4 H(π) =G= A rel { } 1 γdaproj 2 κ 0J 2 + κ 1 ( J) 2 + κ 2 K 2 + κ 4 K 4. (3.4) Die Observble O ist in erster Linie die Energie E, ber uch die Membrnfläche A rel und die mximle Auslenkungsmplitude mx (ds ist die z Komponente des Abstnds zwischen der 4 Ausdruck (2.20) ist eine freie Energie pro Flächeneinheit. Die freie Energie einer Fläche A lässt sich mittels Integrtion bestimmen. Es gilt G = g γda proj. A

4 34 KAPITEL 3. MONTE CARLO METHODEN Stützstelle mit dem höchsten und der Stützstelle mit dem niedrigsten z Wert.) kommen in Betrcht. Die Zustände der Membrn sind durch ihre Form gegeben, die in Monge Drstellung durch die Höhenverteilung z(u, v) beschrieben wird. Die Vrible π knn somit mit der Höhenverteilung z(u, v) identifiziert werden. Mögliche Höhenverteilungen bestehen us einer Grundstruktur - der flchen Membrn oder der Membrn mit Sttelstruktur - uf der Undultionsmoden q superponiert werden, die einen mittleren Energiebeitrg von E q = kt/2 pro Mode liefern. Aufgrund des Hmiltonins (3.4) erwrten wir (Vgl. Kpitel 5), dss ds Energieminimum durch eine sttelförmige Struktur beschrieben wird, deren Einheitszelle in Abhängigkeit der gewählten Prmeter κ 0, κ 1, κ 2 und κ 4 sinnvollerweise bei einer Kntenlänge L 6.0nm liegt und deren Überschussfläche, d.h. ds Verhältnis von reler Fläche A rel zur projizierten Bsisfläche A proj durch A rel /A proj 1.20 gegeben ist. Der Begriff der Einheitszelle bedeutet, ein Hoch und ein Tief in einer derrtigen Anordnung in dieser Simultionszelle zu erwrten, dss drus folgend zwei Sättel vorzufinden sind je einer in u- und v Richtung. Zur Simultion der Einheitszelle einer solchen Struktur verwenden wir in der Regel 8 8=64Stützstellen. Dies setzt eine Grundstruktur vorus, die sich deutlich von einer fluktuierenden, flchen Grundstruktur unterscheidet, bei der mximle Überschussflächen durch A rel /A proj 1.05 beschränkt sein sollen. Wir kennen ds Aussehen der Sttelstruktur von vornherein nicht. Ein Ziel dieser Arbeit ist es, ihre Form zu bestimmen. Wir können deshlb nicht von der Sttelstruktur ls Grundstruktur usgehen. Mit Hilfe von Zufllszhlen ber direkt in die sttelförmige Überstruktur ls Zufllskonfigurtion mit negtiver Energie E Sttel < 0 zu kommen, ist sehr unwhrscheinlich. Zustände, die mit Hilfe von Zufllszhlen direkt erreicht werden können, sind bestenflls mit den zu erwrtenden Undultionen der flchen Membrn vergleichbr, sofern sie mximle Auslenkungen von mx 1nm nicht überschreiten. Die Energiewerte dieser flchen Membrn liegen grösstenteils um einen Mittelwert E flch 0 herum und nicht um den gesuchten Mittelwert der Sttelstruktur E Sttel < 0. Überschneiden sich die Energieverteilungen der flchen p(e flch ) und der sttelförmigen Struktur p(e Sttel ) nicht wesentlich - und ds ist zu erwrten - so müssen sehr viele Simultionsläufe gemcht werden (M ), dmit Näherung (3.3) genügt, es ist sogr der Fll whrscheinlich, dss kein zufällig erzeugter Zustnd einen für die Whrscheinlichkeitsverteilung p(e Sttel ) sinnvollen Wert ht. Wie suchen eine Technik, die Konfigurtionen π l nicht vollständig zufällig erzeugt sondern vorzugsweise in dem Phsenrumbereich, der bei der Tempertur T wichtig ist. Die Zufllskonfigurtionen sollen deshlb us einer nichtuniformen Verteilung gewählt werden. Dies führt uns zur Methode des Importnce Smpling. 3.2 Importnce Smpling In diesem Abschnitt wird erst ds llgemeine Prinzip des Importnce Smpling forml erklärt. Dzu sind die Begriffe rund um Mrkov Prozesse von Bedeutung, die im Anhng C usführlicher beschrieben werden. D in dieser Arbeit der Metropolis Algorithmus verwendet wird, wollen wir uns nch der llgemeinen Einführung uf diesen konzentrieren und ihn usführlich besprechen.

5 3.2. IMPORTANCE SAMPLING Allgemeines Prinzip Ds Problem, ds von Importnce Smpling gelöst werden muss, besteht drin, eine Folge von Zufllszhlen zu erzeugen, die in Phsenrumbereichen liegt, für die O(π l )diewhrscheinlichsten Beiträge liefert, die somit die wichtigsten Bereiche der Observblen drstellen. Wenn ein Zustnd mit der ihm eigenen, physiklischen Whrscheinlichkeit p(π l )inderfolge der Zufllszhlen uftritt, so knn Näherung (3.3) ersetzt werden durch O = M O(π l ) exp [ βh(π l )]/p(π l ) l=1 M exp [ βh(π l )]/p(π l ) l=1, (3.5) wobei die Verteilung p(π l ) die normierte Gleichgewichtsverteilung p(π l )=peq(π l )= 1 Z exp [ βh(π l)], mit Z = M exp [ βh(π l )] (3.6) l=1 ist. Dmit folgt nstelle von (3.5) ds rithmetische Mittel O = 1 M M O(π l ). (3.7) l=1 Bei der Methode des Simple Smpling geht jeder Zustnd, mit dem Gewicht der Whrscheinlichkeit seines Auftretens multipliziert, in die Berechnung des Mittelwertes (3.3) ein. Im Gegenstz dzu soll beim Importnce Smpling jeder Zustnd überhupt nur mit der pssenden Whrscheinlichkeit uftreten können. In diesem Fll knn die Mittelwertberechnung problemlos durch die Bildung des rithmetischen Mittels ersetzt werden. Die Idee von Metropolis ist, die gesuchte Verteilung der Zufllszhlen mit Hilfe einer Mrkov Kette zu konstruieren, die zusätzlich die Bedingung des detillierten Gleichgewichts erfüllt [43]. (Für eine genue Definition und zur Erläuterung dieser Begriffe sei uf den Anhng C verwiesen.) Eine Mrkov Kette ist eine Folge von Zuständen eines stochstischen Prozesses, bei der der Zustnd π l us seinem Vorgänger π l 1 mit der Übergngswhrscheinlichkeit W (π l π l 1 ) hervorgeht. Dbei besitzt sie die Eigenschft, dss die Whrscheinlichkeit p(π l )für grosse Zeiten (t ) gegen einen sttionären Wert strebt, der gerde den Gleichgewichtswert des Prozesses drstellt ps(π l )=peq(π l ). Um den sttionären Zustnd uf einfche Art und Weise zu finden, verlngt Metropolis von den Übergngswhrscheinlichkeiten der Mrkov Kette die strke Bedingung des detillierten Gleichgewichts (Vgl. Anhng C) W (π i π j )peq(π j,t)=w(π j π i )peq(π i,t). (3.8) Diese Bedingung ist ein Trick, um leicht in die Gleichgewichtsverteilung zu gelngen. Betrchten wir zur Verdeutlichung seiner Bedeutung die Zustände A, B und C. Detilliertes Gleichgewicht fordert, dss im Gleichgewicht Übergänge A B mit der gleichen Häufigkeit

6 36 KAPITEL 3. MONTE CARLO METHODEN A A C C B B Abbildung 3.1: Detilliertes Gleichgewicht bedeutet: Ein Algorithmus drf nicht so gebut sein, dss ein Kreisluf entsteht, wo ein Zustnd A oft nch B, dieser oft nch C und dieser dnn meist nch A übergeht (rechte Seite), ohne dss die umgekehrten Rektionen im Gleichgewicht ebensooft uftreten (linke Seite). uftreten, wie Übergänge in die umgekehrte Richtung B A. Gleiches gilt für die Übergänge zwischen A und C und zwischen B und C. Es dürfen lso keine Übergänge in einer Richtung (z.b. A B) vor ihren Umkehrungen bevorzugt werden, wodurch Kreisläufe vermieden werden sollen (Abb. 3.1). Es gibt verschiedene Methoden, die Bedingungen für Importnce Smpling, wie sie von Metropolis formuliert werden, zu erfüllen. Es gilt lediglich zu bechten, dss die Übergngsrten Bedingung (3.8) erfüllen wobei wir (3.6) verwenden und W (π i π j ) W (π j π i ) = p eq(π i,t) = exp [ β E], peq(π j,t) E = H(π i ) H(π j ) einführen. Eine häufig verwendete Methode, die von Metropolis selbst vorgeschlgen wird [43], und die gleichzeitig die wohl wichtigste Methode drstellt, legt die Übergngsmtrix zu αexp [ β E], flls E >0 W (π i π j )= (3.9) α, flls E 0 fest, wobei α für den Augenblick eine beliebige Proportionlitätskonstnte sein soll, uf die wir weiter unten genuer eingehen (Vgl. Unterbschnitt 3.2.2). Festlegung (3.9) wird Metropolis Smpling gennnt. Eine ndere häufig verwendete Methode ist ds Brker Smpling [44] 5 exp [ β E] W (π i π j )=α (1 + exp [ β E]). 5 In [45] werden sowohl Metropolis- ls uch Brker Smpling ls Grenzfälle einer llgemeineren Übergngswhrscheinlichkeitsmtrix identifiziert.

7 3.2. IMPORTANCE SAMPLING 37 Beide Methoden sowohl Metropolis- ls uch Brker Smpling hben wir im Rhmen dieser Arbeit implementiert und getestet. Wie zu erwrten, sind ber keine qulittiven Unterschiede zwischen den Resultten beider Methoden feststellbr. Die von uns in dieser Arbeit huptsächlich verwendete Methode ist die des Metropolis Smpling. Als Nächstes wollen wir deshlb genuer uf diese und ihren Algorithmus eingehen Der Metropolis Algorithmus Beziehung (3.9) legt die Übergngsmtrix für den Fll des Metropolis Smpling fest. Mit dieser Festlegung lässt sich der Metropolis Algorithmus leicht explizit ngeben [43]. Störend könnte dbei der Fktor α in (3.9) wirken, über den wir noch etws sgen wollen. Wir wissen, dss ds Mtrixelement W (π i π j )dieübergngswhrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (Vgl. Anhng C) und somit von der Dimension 1/Zeit ist. D die Exponentilfunktion dimensionslos ist, muss die Dimension im Fktor α usgedrückt werden. Wir nennen den Fktor τ MC = 1 α die Monte Crlo Einheitszeit; die Zeit, die für einen Monte Crlo Schritt benötigt wird. Einen Monte Crlo Schritt pro Gitterpltz definieren wir ls einen Versuch, die Konfigurtion n einem Gitterpunkt zu verändern, lso ds Erzeugen eines Zufllspunktes des Konfigurtionsrumes. Die Zeit für einen Monte Crlo Schritt pro Gitterpltz legen wir fest zu τ MC /N =1,wobeiN für die Anzhl Gitterplätze steht. Jetzt folgt der Wert für den Fktor α zu α = 1 N. Ds Bild, ds hinter diesen Überlegungen steht, wird mit Hilfe der in Anhng C eingeführten Mstergleichung (C.3) klrer. Diese folgt us den Eigenschften der Mrkov Ketten und liefert eine dynmische Interprettion der Monte Crlo Simultion. Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen, wie sie durch die Mstergleichung beschrieben werden, geschehen in Einheiten von Monte Crlo Zeiteinheiten. Es sei druf hingewiesen, dss die Monte Crlo Zeiteinheit, wie sie durch die Mstergleichung festgelegt wird, nicht mit einer physiklischen Zeit verwechselt werden drf. Monte Crlo Simultionen mchen keine Aussgen über die physiklische Dynmik eines Systems. Es können somit keinerlei Aussgen über echte, physiklische Zeitverläufe getroffen werden. 6 Wir sind jetzt in der Lge, den Metropolis Algorithmus formulieren zu können. Algorithmus 2 (Metropolis Algorithmus) I. Initilisiere rithmetisches Mittel s := 0, wähle Luftempertur T. II. Wähle zufällig einen Punkt π ktuell des Konfigurtionsrumes. III. Wiederhole folgende Schritte M Ml: 1. Wähle Gitterpunkt. 6 Um Zeitussgen mchen zu können, muss uf Molekulrdynmik Simultionen zurückgegriffen werden. Dort wird die Zeitentwicklung physiklischer Systeme durch deterministische Gleichungen für die Vriblen beschrieben.

8 38 KAPITEL 3. MONTE CARLO METHODEN 2. Wähle zufällig einen Punkt π zufll des Konfigurtionsrumes. 3. Berechne die Energie E := H(π ktuell ) H(π zufll ), die zur Veränderung des lten Zustnds π ktuell nötig ist. 4. Flls E <0: kzeptiere neue Konfigurtion π ktuell := π zufll. Sonst: i. Wähle Zufllszhl Z zufll [0; 1). ii. Flls Z zufll < exp [ β E]: kzeptiere neue Konfigurtion π ktuell := π zufll. 5. Berechne den Wert für die Observble O(π ktuell ). 6. Addiere O(π ktuell ) zur Summe s. IV. Berechne O mittel := s M. Der Wert O mittel ist der gesuchte Mittelwert. Zum Flussdigrmm (Abb. 3.2) des Metropolis Algorithmus, wie er im Rhmen dieser Arbeit zur Anwendung kommt, wollen wir ein pr erläuternde Bemerkungen mchen. Nch nfänglichen Initilisierungsschritten, in denen uch die Ausgngsform der Membrnfläche festgelegt wird, 7 fllen im Flussdigrmm (Abb. 3.2) zwei Schleifen uf. Die äussere Schleife wird durch die Anzhl der gewünschten Sweeps festgelegt. Ein Sweep besteht us einer Anzhl Formänderungsvorschläge, die der Anzhl der Stützstellen entspricht und repräsentiert somit die Monte Crlo Einheitszeit τ MC. Ws die ttsächliche Anzhl der Sweeps betrifft, so sind dzu noch einige Überlegungen notwendig, für die wir uf Anhng D, uf den Abschnitt über die Autokorreltionszeit verweisen. Ein Sweep besteht us der einmligen Ausführung der inneren Schleife. Die innere Schleife wird - wie soeben erwähnt - so oft usgeführt, wie die Anzhl der Stützstellen der simulierten Fläche beträgt. Um eine bestimmte Stützstelle uszuwählen, gibt es zwei Möglichkeiten. Einerseits können die Stützstellen sequentiell, in regelmässiger Reihenfolge bgefhren, lterntiv dzu können sie zufällig usgewählt werden. Die erste Methode ersprt einen Zufllsgenertorzugriff und ist somit schneller ls die zweite. Beide Arten der Stützstellenwhl sind im Progrmm zu dieser Arbeit implementiert. Wie zu erwrten [38, 40] spielt ber bei entsprechenden Testläufen die Art der Whl keine Rolle für die Gleichgewichtseigenschften der Simultion. Dher wird in den meisten Fällen die sequentielle, schnellere Art zur konkreten Berechnung während der Simultion gewählt. Ist der zu ändernde Gitterpunkt festgelegt, so wird eine zufällige Änderung z bestimmt. Die Überlegungen, die zur Bestimmung einer optimlen Änderung führen, sind in Unterbschnitt usführlich beschrieben und sollen hier nicht vorweggenommen werden. Nch 7 Die meistverwendete Ausgngsform ist die flche Membrn mit z = 0 bei jeder Stützstelle. Auf die Art der Ausgngsform wird in dieser Arbeit bei jeder Problemstellung explizit verwiesen.

9 3.2. IMPORTANCE SAMPLING 39 START Initilisiere s := 0, T Initilisiere z For sweep := 1 to M For i := 1to#Stützstellen Wähle Gitterpunkt (u, v) Wähle z zufll (u, v) E := H(z) H(z + z zufll (u, v)) j If E <0 nein Wähle Z zufll z:= z + z zufll (u, v) j nein If Z zufll < exp( β E) z := z + z zufll (u, v) s := s + O(z) O mittel := s/m ENDE Abbildung 3.2: Flussdigrmm zum Metropolis Algorithmus.

10 40 KAPITEL 3. MONTE CARLO METHODEN der Bestimmung der z Wert Änderung einer Stützstelle besteht der nächste Schritt drin, mit Hilfe des Hmiltonin (3.4) die Energie E zu berechnen, die zur Veränderung der Membrnform von der lten in die neue, zufällige Konfigurtion benötigt wird. Der nächstfolgende Block im Flussdigrmm (Abb. 3.2) knn mit Hilfe der Mrkov Funktion W =min(1,exp [ β E]) zusmmengefsst werden. Die zufällig erzeugte Membrnform wird mit der Whrscheinlichkeit W der Mrkov Funktion ls neue Ausgngsmembrnform kzeptiert. Formänderungen, die zu Energiebsenkungen ( E <0) führen, werden immer usgeführt, während Änderungen, die zu einem Energienstieg ( E 0) führen mit einer Whrscheinlichkeit proportionl dem Boltzmnngewichtsfktor usgeführt werden können. Der Vorteil dieser Vorgehensweise besteht drin, dss Membrnformen, die ein lokles Energieminimum drstellen, verlssen werden können zugunsten der Membrnformen des gesuchten globlen Minimums. Die neu erzeugte Membrnform (uch bei verworfener Stützstellenänderung z) ist Ausgngsform für die weiteren Berechnungen, die innerhlb der Schleifen wieder von vorne beginnen. Ds Ende der inneren Schleife legt den Zeitpunkt fest, zu dem der Wert der gewünschten Observblen O berechnet und bgespeichert wird. D dieser Schritt viele Opertionsschritte beinhltet und ufeinnderfolgende Konfigurtionen eine strke Korreltion untereinnder ufweisen können, ist es erlubt, ihn nur nch grösseren, festen Zeitintervllen durchzuführen. Seine Durchführung soll uf jeden Fll und unbhängig von der spezifischen Anzhl der innerhlb der festgelegten Sweepzhl gemchten Änderungen der Stützstellenwerte vorgenommen werden [40]. Die Abstände S 1 (ls Zeitintervll interpretiert: τ S = S τ MC )zwischender Abspeicherung zweier Werte einer Observblen werden bei Lufbeginn festgelegt. 3.3 Einige übliche Tricks Drei übliche Simultionshilfen sollen in diesem Abschnitt drgestellt werden: Periodische Rndbedingungen, dynmisch optimiertes Monte Crlo und Simulted Anneling Periodische Rndbedingungen Bei Computersimultionen ist es in den meisten Fällen nur möglich, Objekte zu untersuchen, die us sehr wenigen Teilchen - in unserem Fll Stützstellen - bestehen. Aber uch jeder rele, physiklische Körper ht eine endliche Ausdehnung und somit einen Rnd. Drus folgen meist schwer beschreibbre Rndeffekte, die ds physiklische Verhlten des Körpers zwr beeinflussen, die ber oft vernchlässigbr sind. Die üblicherweise benutzte Methode, vom Rnd verurschte Störungen zu vermindern, ist die Verwendung periodischer Rndbedingungen [38, 40]. Periodische Rndbedingungen werden zum ersten Ml 1912 von den Physikern Born und von Krmn vorgeschlgen. Für unseren Fll eines qudrtischen Flächenstücks mit der Kntenlänge L tun wir dbei so, ls ob n jede Seite des originlen Flächenstückes seine identische Kopie durch eine reine Trnsltionsbewegung um ein Vielfches der Kntenlänge in dieser Richtung ngehängt wird. Für eine durch die u- und v Position vorgegebene Höhenverteilung z(u, v) gilt somit llgemein z(u, v) =z(u+n 1 L, v + n 2 L), n 1,n 2.

11 3.3. EINIGE ÜBLICHE TRICKS 41 L v L L u L v L b b b... c.... c.... c. b b b c c c b b b c c c u L Abbildung 3.3: Relisierung periodischer Rndbedingungen eines qudrtischen Flächenstücks mit der Kntenlänge L und der Stützstellenzhl N =4 4. Im linken Bildteil wird für lle vier Richtungen der Ebene einzeln die Äquivlenz der Rndzellen mit der Rndzelle der periodisch fortgesetzten Bsisfläche durch einen Pfeil drgestellt. Durch den rechten Bildteil wird deutlich, dss durch die wiederholte periodische Fortsetzung des Originls (Qudrt mit durchgezogenen Linien im Zentrum) eine unendlich usgedehnte Fläche vollständig bgedeckt werden knn. Die Punkte in den einzelnen Zellen stellen die Lge der Stützstellen dr. Bei Simultionsbeginn wird nicht nur die Kntenlänge L, sondern uch die Anzhl N der Stützstellen festgelegt, durch die ds Qudrt beschrieben werden soll. Dbei ist es wichtig, dss jede Stützstelle in jeder Richtung der Bsisvektoren u und v einen eindeutigen Nchbrn besitzt. Eine llgemeine Formel zur Bestimmung der nächsten Nchbrn in u Richtung für einen beliebigen Punkt (u, v) knn mit Hilfe des Modulo Opertors berechnet werden zu z(u, v) z((u ± 1+N Kl )mod N Kl,v), wobei N Kl = N ; für die v Richtung nlog. Betrchten wir ls Beispiel die zwei nächsten Nchbrn in u Richtung des Rndpunktes (1,v), für ein beliebiges v. Sein Nchbr in positiver u Richtung ist der Punkt (2,v) und sein Nchbr in negtiver u Richtung der Punkt (N,v). Für den Punkt (N,v) lssen sich die Nchbrn(1,v) bzw. (N 1,v) in positiver bzw. negtiver u Richtung bestimmen (Abb. 3.3). Die Methode des periodischen Fortsetzens der originlen Bsiszelle entspricht einem Verbinden ihrer zwei gegenüberliegenden Knten miteinnder. Ddurch lässt sich die Topologie der Simultionsbsiszelle durch die Form eines Torus im dreidimensionlen Rum visulisieren. Eine interessnte und wichtige Frge ist, ob durch ds Verwenden von periodischen Rndbedingungen die physiklischen Eigenschften eines Systems entscheidend verändert werden. Es ist klr, dss periodische Rndbedingungen störende Effekte hben müssen bei Systemen, wo eine lngreichweitige Ordnung (lngreichweitig in Bezug uf die Kntenlänge L) eine Rolle spielt, beispielsweise lngwellige Fluktutionen. So knn die kritische Divergenz der Korreltionslänge bei Phsenübergängen zweiter Ordnung zu Veränderungen führen, die unter dem Begriff der Finite Size Effekte beknnt sind [40].

12 42 KAPITEL 3. MONTE CARLO METHODEN Aus der Litertur [38] geht hervor, dss periodische Rndbedingungen weit weg von Phsenübergngspunkten erfhrungsgemäss kum einen Einfluss uf die Eigenschften der Gleichgewichtsthermodynmik eines Systems besitzen. Diese Frge knn jedoch schlussendlich nicht beweiskräftig geklärt werden. Durch eine Vrition der Kntenlänge der Simultionsfläche ist es ber möglich, ein Gefühl für den Einfluss der periodischen Rndbedingungen uf ds System zu bekommen. Weiter lässt ds Bestimmen von Korreltionslängen eine quntittive Abschätzung zu Dynmisch optimiertes Monte Crlo In dem von uns relisierten Algorithmus der Monte Crlo Simultion werden lokle Änderungsvorschläge der Auslenkungsmplitude z(u, v) mit Hilfe der Formel z = zmx (2Z 1), Z [0; 1) festgelegt, wobei Z eine bei jedem Versuch neu erzeugte Zufllszhl und zmx die mximle Schrittgrösse drstellt. Die vorgeschlgenen Änderungsmöglichkeiten der Auslenkungsmplitude liegen somit bei jedem Monte Crlo Schritt im Intervll [ zmx; zmx), wobei die ttsächliche Grösse des Prmeters zmx frei gewählt werden knn. Wird die mximle Schrittgrösse zmx zu klein vorgegeben, wird ein hoher Anteil der vorgeschlgenen Bewegungen ngenommen, ber ufeinnderfolgende Zustände der Membrn sind strk miteinnder korreliert. Wird der Prmeter ls zu gross ngenommen, werden beinhe lle Bewegungsvorschläge verworfen, es finden lso kum Membrnbewegungen sttt. Auch dies ht hohe Korreltionen ufeinnderfolgender Membrnzustände zur Folge. Eine gängige Methode zur Festlegung der mximlen Schrittgrösse zmx ist ds dynmisch optimierte Monte Crlo. Dbei wird während der Simultion die Akzeptnzrte, ds ist ds Verhältnis der Anzhl kzeptierter zur Gesmtzhl der gemchten Vorschläge, gemessen. Die mximle Schrittgrösse wird dnch in Abhängigkeit einer gewünschten Akzeptnzrte ngepsst. In den meisten Fällen wird eine Rte von 50% ls sinnvoll erchtet, es ist ber von vornherein nicht klr, dss eine solche Grössenordnung optimle Ergebnisse liefert und so ist durchus eine ndere Akzeptnzrte denkbr [38]. Als Strtwert legen wir in unserer Relisierung eines dynmisch optimierten Monte Crlo Lufs zmx = 1nm fest. Ds Anpssen von zmx bedeutet dnch, dss ds Progrmm nch jedem Sweep die Akzeptnzrte bestimmt. Unterschreitet ds Verhältnis von kzeptierten zu llen Versuchen eine Schwelle von 30%, so ist zmx zu klein und wird mit dem Fktor 10 multipliziert. Überschreitet dieses Verhältnis eine Schwelle von 60%, so wird zmx ls zu gross ngenommen und wird durch den Fktor 10 dividiert. Im Rest der Fälle bleibt die mximle Schrittgrösse unverändert Simulted Anneling Die Idee zur Methode des Simulted Anneling 8 ht ihren Ursprung in der Thermodynmik [46]. Dort lässt sich beobchten, dss Flüssigkeiten, die lngsm bgekühlt werden, beim Übergng in einen Festkörper eine kristlline Struktur nnehmen können, für die die Energie des Systems sich in einem globlen Minimum befindet. Wird die Flüssigkeit schnell bgekühlt - zum Beispiel durch Quenchen (Vgl. Kpitel 1) - so findet sie ds globle Energieminimum 8 Ds englische Verb to nnel wird mit usglühen oder tempern übersetzt.

13 3.3. EINIGE ÜBLICHE TRICKS 43 während des Abkühlvorgngs nicht und endet in einem morphen oder polykristllinen Zustnd. Ds liegt drn, dss ds gesuchte Minimum versteckt liegt zwischen vielen kleineren loklen Minim. Schnelles Kühlen knn lso zu einem loklen und muss nicht zum globlen Minimum führen, während beim lngsmen Kühlen dem System Zeit gegeben wird, die Atome derrt nzuordnen, dss ds globle Minimum erreicht werden knn. Auf dieser Beobchtung ufbuend besteht der Prozess des Simulted Anneling drin, dss ds System, in unserem Fll die Membrn, erst in einen Zustnd hoher Tempertur T versetzt wird. Die Tempertur spielt dbei die Rolle eines Kontrollprmeters, der nschliessend lngsm und stufenweise erniedrigt wird, bis die Membrn einfriert und keine Änderungen mehr uftreten. Es gilt dbei zu bechten, bei jeder Temperturstufe die Simultion so lnge lufen zu lssen, dss ds System die Möglichkeit ht, einen Gleichgewichtszustnd zu erreichen [46]. Für die Art dertemperturerniedrigunggibt es kein llgemeingültiges Rezept. In unserem Fll werden die Temperturstufen T ν von einer Strttempertur T s usgehend mit Hilfe der Formel T ν = ɛ ν T s, ν 0 bestimmt, wobei für den Prmeter ɛ die Beziehung 1 >ɛ 0.75 sinnvoll ist. Bei jeder Temperturstufe wird dbei die volle, bei Simultionsbeginn festgelegte Sweepzhl bgerbeitet, bevor die Zählvrible ν um 1 erhöht wird. Wird eine bei Simultionsbeginn festgelegte Temperturgrenze T f unterschritten, so wird die Simultion beendet. Simulted Anneling wird in unseren Simultionen nur zur Bestimmung der Einheitszellengrösse der Sttelstruktur verwendet. Dort ist es wichtig, dss eine Struktur entsteht, die bestmöglich geglättet ist, deren Form lso durch möglichst wenige Undultionen gestört ist.

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