Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? 30

Transkript

1 Aufgabenblätter Voraussetzung: Die Erarbeitung der vorangehenden Lehrwerke Gleichungen und Lineare Funktionen. Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? 30 Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 2016 Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt.

2 Folie 3 Ralf und Rudi sind zusammen 9 Jahre alt. Ralf ist doppelt so alt wie Rudi. Wie alt ist Rudi? Löse die Aufgabe als Ganzes! Bedenke bei der räumlichen Anordnung schon die folgende Aufgabenstellung! Versuche in Kürze, die Entwicklungsschritte nach dem 4-Stufen-Prinzip (Lehrwerk Modellieren ) im Lösungsweg dieser Sachaufgabe nachzuvollziehen! Umrahme die einzelnen Schritte und gib dabei an, um welche Stufe es geht.! 1. Stufe: Text lesen und verstehen. 2. Stufe: Alltagssprache übersetzen in mathematische Sprache/Bilder! 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Einbetten in die erzählte Geschichte! Bei dieser Einteilung tauchen Schwierigkeiten auf. Kannst du diese formulieren? Die nächste Folie gibt Erklärungen dazu.

3 Folie 4

4 Folie 5

5 Folie 6 I r = 3s II 3r - 18s = 45 Für das Einsetzungsverfahren sehr geeignet: 1 2 I in II: II in I: I 15a + 13b = 17 II 5b + 7 = a Für die Überprüfung immer beide ursprünglichen Gleichungen I und II heranziehen... kleine Vorarbeit nötig: 3 Überprüfen: I r = 3s I 2e + d = 4 II 3e + 2d = 5 I d = II 3r - 18s = 45 L = {( / )} Vorbereitung durch eine Äquivalenzumformung: Gleichung I nach d auflösen. Überprüfen: I 15a + 13b = 17 3 L = {( / )} II 5b + 7 = a Überprüfen: I 2e + d = 4 dann I in II: II 3e + 2d = 5 L = {( / )}

6 Folie 8/9 Löse dieses Gleichungssystem unter Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens! I y = 4-2x II y = 2,5-1,5x Graphische Überprüfung: Normalform: I y = Schreibe die Geradengleichungen I und II als Funktionsgleichungen in der Normalform! II y = L = {( / )} Rechnerische Überprüfung: Wir setzen das Wertepaar in die Gleichung I ein. I y = 4-2x Wir setzen das Wertepaar in die Gleichung II ein. II y = 2,5-1,5x Zeichne die Geraden I und II ins Koordinatensystem! Benenne die Koordinaten des Schnittpunktes!! Die Koordinaten des Schnittpunktes S ( / ) entsprechen dem Wertepaar unserer Lösung.

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8 Folie 11 Gleichsetzungsverfahren: I 6a - 4b = -46 II 9a - 4b = 29 Gleichsetzungsverfahren: I 2n + p = 5 II 3n - 2p = -3 L = {( / )} L = {( / )} Einsetzungsverfahren: Überprüfung: çüberprüfung:

9 Folie Löse dieses Gleichungssystem unter Anwendung des Additionsverfahrens! I 2x + 2y = 5 II -2x + y = -2 Rechnerische Überprüfung: Zeichnerische Überprüfung: Gleichung I in die Normalform umwandeln und einzeichnen: I y = Vorbereitung eines Gleichungssystems für das Einsetzungsverfahren: I 2a - 5b = -1 (-5) II 5a - 8b = 11 2 L = {( / )} Überlege die Absicht, die unser Vorschlag verfolgt! Gleichung II in die Normalform umwandeln und einzeichnen: II y = L = {( 7 / 3 )} Du kannst die Lösung auf der Rückseite des AB probieren. Siehe Lehrwerk Lineare Funktionen!

10 Folie 16 ÜBUNGEN Additionsverfahren: I 15x - 2y = 44 (-3) II 10x - 3y = 16 2 Vorbereiten! I 7v - 8w = 0 (-8) II 8v - 9w = 2 7 I 9x + 12y = 18 II 8x - 12y = -120 Überprüfung: Überprüfung: Überprüfung: Verwandle die Koeffizienten der Variablen w in Gegenzahlen und rechne auf dem AB (Rückseite) mit dieser Möglichkeit zu Ende!

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12 Folie 19 Löse das gegebene Gleichungssystem mit Hilfe aller drei Verfahren! Beginne mit dem Verfahren, das dir am günstigsten erscheint, usw.!... erst dann zurück zur Folie. Additionsverfahren: I 10-8a = 2b II 7a - 3b = 51,5 I 10-8a = 2b II 7a - 3b = 51,5 Einsetzungsverfahren: I 10-8a = 2b II 7a - 3b = 51,5 Du wirst immer wieder vor der Frage stehen, welches Lösungsverfahren für ein neues Gleichungssystem am schnellsten und am wenigsten fehleranfällig (Vorzeichen!) verläuft. Gleichsetzungsverfahren: I 10-8a = 2b II 7a - 3b = 51,5 Überprüfung (1 mal):

13 Folie 21 SACHAUFGABE UND GLEICHUNGSSYSTEM Feines Obst wird zum Stückpreis verkauft. Paula zahlt 5,10. Insgesamt sind 7 Früchte in der Tüte. Oft lässt die Aufgabe die Frage offen. Überlegung beim Lesen des Textes: Frage: Da weder die Anzahl an Orangen noch die der Feigen bekannt ist, haben wir es zunächst mit Variablen (Unbekannten) zu tun: 1. Aussage: Hier wird das Einsatz kommen: I II 2. Aussage: verfahren zum Anzahl Orangen: Anzahl Feigen: 1. Gleichung: 2. Gleichung: L = {( / )} Antwortsatzsatz: Übersetze die beiden Aussagen jeweils in eine algebraische Gleichung! Überprüfen:

14 Folie 22 SACHAUFGABE UND GLEICHUNGSSYSTEM Maja hat ihr Geld auf zwei verschiedenen Banken hinterlegt. Das erste Konto-Guthaben wurde im Jahr 2014 mit 1,5% verzinst, das zweite mit 1%. So ergaben sich insgesamt 32,50 an Zinsen, die Maja als Taschengeld abhob. Im Jahr 2015 senkten die Banken den Zinssatz um 0,5% und damit den Zinsertrag auf 20,00. Überlegung beim Lesen des Textes: Frage: Hier eignet sich eine Tabelle gut zur übersichtlichen Kurzfassung des Sachverhaltes: Da der Geldbetrag auf den zwei Konten unbekannt ist, haben wir es zunächst mit Variablen (Unbekannten) zu tun: Zinssatz: Zinsertrag: die Die Gedanken Konto darüber, 1: Konto wie 2: du Textinhalte übersichtlich darstellen 2014 willst, tragen gleichzeitig zum Verständnis 2015 des Textes bei. Kapital 1: Kapital 2: 1. Glg: 2. Glg: Entwickle für die Berechnung der Zinserträge jeweils eine algebraische Gleichung! Hier wird das I II verfahren zum Einsatz kommen: L = {( / )} Zeige das Vier-Stufen-Prinzip durch Einrahmen und Beschreibung der jeweiligen Stufe.

15 Folie 23 Berechne das vorige Gleichungssystem auch mit den zwei anderen Verfahren (ohne Probe)! Nimm zuerst das Verfahren in Angriff, das dir leichter erscheint!... bei uns: Gleichsetzungsverfahren: I 1,5x + 1y = 3250 II 1x + 0,5y = 2000 Additionsverfahren: I 1,5x + 1y = 3250 II 1x + 0,5y =

16 Folie 24 E I N (erster) S O N D E R F A L L : Löse das Gleichungssystem! Wähle bewusst dein Lösungsverfahren! I -6x + 3y = -3 II -10x + 5y = 10 Versuch eines graphischen Lösungsverfahrens: Hast du schon die Normalform der beiden Geradengleichungen entwickelt? Gib diese als erstes an! Zeichne dann die Geraden ein! Normalform: I y = Achsenabschnitt: b = Steigungsdreieck: m = = Normalform: II y = Achsenabschnitt: b = Kehre spätestens, wenn du Probleme erkennst, zur Folie 24 zurück! Du hast alles richtig gemacht und dennoch bekommst du keine vernünftige Lösung für den gesuchten x-wert und damit auch für den y-wert. Das würde nämlich bedeuten, dass es keine Lösung für dieses Gleichungssystem gibt. Wie kann man so was verstehen? Steigungsdreieck: m = = Gib eine einleuchtende Erklärung dafür, dass du kein Ergebnis erwarten konntest! zurück zu Folie 24

17 Folie 25 E I N (zweiter) S O N D E R F A L L : Wieder ein Gleichungssystem: Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren! I 4y + 3x = 14 II 6y + 4,5x = 21 I II I = II: I y = II y = Funktionsgleichungen bzw. Normalform der Geradengleichungen. Hast du die Normalform der Geraden I und II erreicht? Übertrage sie hier her und zeichne die Geraden! I y = II y = Achsenabschnitt: b 1 = Steigung: m 1 = y H x B Achsenabschnitt: b 2 = Steigung: m 2 = Zu welchem Ergebnis kommst du beim Zeichnen? y H x B Was bedeutet dieser Sachverhalt für die Steigungsfaktoren m 1 und m 2 beider Gleichungen? m 1 m 2 Schreibe die beiden Brüche als Dezimalzahlen! Ergänze zu einem Merksatz: Das Gleichungssystem hat... viele Wertepaare als Lösung. Die Gleichungen sind....