12 Addition von Variablen

Transkript

1 1 Addition von Variablen Lösungen von S. 11 Zwiebeln + 4 Tomaten + 3 Zwiebeln 5 Zwiebeln + 4 Tomaten 1a + 8p + 5a 17a + 8p 9m + n + 3m + 7n 1m + 9n Rita Sparsam will nun endlich ihr lange gehortetes Kleingeld bei der Bank wechseln. Aber vorher möchte Sie wissen, wie viel im Laufe der Zeit zusammengekommen ist. Was tut sie also? Sie zählt! Da sie eine kluge Frau ist, erspart sie sich Zeit und Arbeit, indem sie erst alle Münzen nach ihrem Wert sortiert und dann die Einzelergebnisse addiert. Würde Sie nicht Kleingeld zählen, sondern ein Algebra-Lernprogramm durcharbeiten, würde sie ähnlich vorgehen: 4a + 3h + 7a + 9h + h + 5a Sie ordnet zuerst alle Terme alphabetisch: Das kann sie tun, da bei der Addition die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert: ( und ) 4a + 7a + 5a + 3h + 9h + h Dann kann sie leicht addieren: 16a + 14h Was Rita kann, können Sie auch! Erst alphabetisch ordnen, dann addieren: 9r + 3s + s + 7r + 14r + 5s + s

2 13 Addition von Variablen Lösungen von S. 1 9r + 3s + s + 7r + 14r + 5s + s 9r + 7r + 14r + 3s + s + 5s + s 30r + 10s Terme können sich auch aus mehreren Variablen zusammensetzen: 8 k x Sie erinnern sich: Mathematiker sind schreibfaul und lassen den Punkt bei Multiplikationen weg: 8 k x 8kx Auch diese Terme können addiert werden: 7cd + 8mn + cd + 3cd + 5mn 7cd + cd + 3cd + 8mn + 5mn 11cd + 13mn Vergessen Sie nicht: Erst ordnen, dann addieren! 11gh + 5rs + 3rs + 7gh + gh + rs gh rs + + +

3 14 Addition von Variablen Lösungen von S gh + 5rs + 3rs + 7gh + gh + rs 11gh + 7gh + gh + 5rs + 3rs + rs 19gh + 10rs Sie haben es gemerkt! Beim Ordnen zahlreicher Summanden kommt man leicht durcheinander. Damit nichts vergessen wird, unterstreicht man beim Sortieren jeden Summanden! Das Rechenzeichen (Operationszeichen) wird beim Ordnen mitgenommen im Gegensatz zur Blinddarmoperation wird hier also nichts entfernt, sondern nur verschoben! c + 3d + 5e + e + d + c + e c + c + 3d + d + 5e + e + e 3c + 4d + 8e Unterstreichen Sie jeden Summanden beim Ordnen und addieren Sie dann. Denken Sie daran, das Rechenzeichen mitzunehmen! k + 5m + k + m k + k + ab + xy + xy + 5ab + 3ab ab

4 7 Multiplikation mit Variablen Lösungen von S Weil wir wissen, dass das Kommutativgesetz für alle Multiplikationen gilt, können wir auch umfangreiche Ausdrücke mit Variablen vereinfachen und ausrechnen: 7a 5c 7 a 5 b 7 5 a c 35 a c 35ac Beachten Sie, dass man beim Ordnen zuerst die Zahlen, dann in alphabetischer Reihenfolge die Variablen schreibt. Ordnen Sie und rechnen Sie aus: 3y 7z 3 y 7 z 3 7 y z 4x 8a 5a 6w 11c 1g 4e f

5 8 Multiplikation mit Variablen Lösungen von S. 7 3y 7z 3 y 7 z 3 7 y z 1yz 4x 8a 4 x 8 a 4 8 a x 3ax 5a 6w 11c 5 a 6 w 11 c a c w 330acw 1g 4e f 1 g 4 e f 1 4 e f g 96efg Schauen Sie sich die vorherigen Aufgaben noch einmal an: Die Faktoren sind bereits Produkte, z.b. bei der Aufgabe 3y 7z sind die Faktoren 3y und 7z Produkte! 3y bedeutet 3 y und 7z bedeutet 7 z. Wir können ebenso rechnen, wenn einzelne Faktoren wieder Produkte sind, die aus mehr als zwei Faktoren bestehen: 13cde 5xyz Zuerst wird in einzelne Faktoren zerlegt und geordnet: 13 5 c d e x y z Zum Schluss wird ausgerechnet und zusammengefasst: 65cdexyz Fühlen Sie sich wie Metzger Krause: Zerlegen und ordnen Sie! 7mp 11os 15ei 4axt 3bks 5amt

6 9 Multiplikation mit Variablen Lösungen von S. 8 7mp 11os 7 11 m o p s 77mops 15ei 4axt 15 4 a e i t x 60aeitx 3bks 5amt 3 5 a b k m s t 75abkmst Wenn Sie kein Geld haben, nützt Ihnen keine Versprechung einer Bank, Ihr Kapital zu verdoppeln oder zu ver-x-fachen denn bei der Vervielfältigung von nichts bleibt nichts! Für die Multiplikation lässt sich hieraus ableiten: Ist ein Faktor des Produkts Null, so ist das gesamte Produkt gleich Null x y 0 Berechnen Sie die folgenden Aufgaben! Überlegen Sie vorher, ob ein Produkt vorliegt. 5b 3x 6y 0 4m + 4a + m + 0 6p + p + 3p 0

7 9 Multiplizieren von Bruchtermen mit Summen Lösungen von Seite 8 k - r y ( k - r) y s t - x s( t - x) f g m f( g + m) g - h + n ( g - h) n m - n + r s ( m - n + r) s r t + u r ( t + u) Bei der letzten Aufgabe kann die Variable r nicht gekürzt werden! Denn: Aus Summen darf nicht gekürzt werden! Schauen Sie jedoch immer genau nach, ob Sie in Produkten Faktoren finden, die gekürzt werden dürfen! Hier kann der Faktor b herausgekürzt werden: ab x y x - y + bd Auch eine Summe kann herausgekürzt werden, wenn Sie Faktor in einem Produkt ist! Setzen Sie die Summen in Klammern und schreiben Sie alle Faktoren auf einen Bruchstrich, dann können Sie gleiche Summen kürzen: a + b y + z v a + b ab ( x + y) ( x - y) bd ( a + b) ( y + z) v ( a + b) Kürzen Sie vor dem Multiplizieren: ax + ay dx - dy ky - ry st - sx fg + fm gn - hn ms - ns + rs rt + ru y + z v ab c c b ab c c b x - y t r x - y 3m + n ( a + b) ( a + b)

8 10 Multiplizieren von Bruchtermen mit Summen ab c ab ( c - 3) c b ( c + 3) b ac - 3a c + 3 ab c ab ( c - 3) c b ( c - 3) b a Lösungen von Seite 9 x - y t ( x - y) t r x - y r ( x - y) 3m + n ( a + b)( 3m + n) ( a + b) ( a + b)( 3m + n) ( a + b) ( a + b) a + b 3mn + n t r Oft erkennt man erst, dass gekürzt werden kann, nachdem gleiche Faktoren ausgeklammert wurden! Zur Erinnerung: Beim Ausklammern oder Faktorisieren wird in einer Summe von Produkten ein gemeinsamer Faktor gesucht, der herausgezogen wird. Das Faktorisieren ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens: ab ac a (b c) In einen Bruch sieht das so aus: bx - bz bm + bn 1 b( x - z) b( m + n) 1 x - z m + n Klammern Sie aus und kürzen Sie: gv + gw ag - bg ( ) ( ) xy + xz x ( ) x - x 3 ax - x

9 11 Multiplizieren von Bruchtermen mit Summen gv + gw g( v + w) ag - bg g( a - b) v + w a - b Lösungen von Seite 10 xy + xz x ( y + z) x x x - x x ( x - ) 3 ax - x x ( a - x ) y + z x - a - x Bei der Multiplikation von Brüchen, in denen möglicherweise ausgeklammert werden kann, gehen Sie in dieser Reihenfolge vor: 1. Summen in Klammern setzen und auf einen Bruchstrich schreiben: kr - ks a a ak + bk ( kr - ks) a a( ak + bk). ausklammern, wenn möglich: 3. kürzen, wenn möglich: k ( r - s) a ak( a+ b) ( r - s) ( a + b) Rechnen Sie aus: st - su v vw + vz t - u ab - bd c c ac - dc m - mn ( m + mn m + n )

10 13 Umformungen von Gleichungen Umformung durch Ziehen der Wurzel Bauer Weide will ein quadratisches Grundstück mit einer Fläche von 11 m umzäunen. Um auszurechnen, wie viel Meter Zaun er benötigt, muss der Bauer zuerst einmal errechnen, wie lang eine Seite des Grundstücks ist. Hierzu benutzt er die Formel für den Flächeninhalt von Quadraten: F a. a a F a a a U a + a + a + a 4a Bauer Weide stellt also die folgende Gleichung auf: a 11 Ω Jetzt zieht er auf beiden Seiten die Wurzel 11 a 11 Eine Seite des Grundstücks ist 11 m lang! a Probe: Bauer Weide hat richtig gerechnet! Nach der Formel für den Umfang: U 4a, rechnet er weiter aus, dass er 4 11 m, also 44 m Zaun benötigt. Wichtig! Sie erinnern sich: Potenzen mit geraden Exponenten liefern aus einer positiven wie auch aus einer negativen Basis den selben Wert. Entsprechend liefert die Umkehrung, also das Wurzelziehen mit geradem Wurzelexponenten einen positiven oder einen negativen Wert. Beispiel: a a a entsprechend ist a aber auch ( a) ( a) a oder a a a In der Praxis ist oft klar, welche der beiden Lösungen nur in Frage kommt (eine Länge mit negativem Wert macht wohl keinen Sinn!), sonst gibt die Probe die Antwort. Lösen Sie durch Umformen: z 1 Ω x 3 8 Ω c 17 Ω

11 14 Umformungen von Gleichungen Lösungen von Seite 13 z 1 Ω ( ) ( z ) 1 z 144 x3 8 Ω c 17 Ω 3 x 8 c x c 17 Beachten Sie bei der Umformung von Gleichungen immer: Rechenoperationen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden! Versuchen Sie, die Variablen auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen, indem Sie erst alle Terme ausrechnen, die zusammengefasst werden können! x + (5 3) 4 (5 16) x x + 36 und dann die Variable isolieren: x 36 x 34 Machen Sie anschließend die Probe! 3 17 Hinweis: Aus Gründen der Übersichtlichkeit hat es sich eingebürgert, die Variablen auf die linke Seite des Gleichheitszeichens zu bringen. Dies kann z.b. durch einfaches Vertauschen der Seiten geschehen, denn dadurch wird das Gleichgewicht der Gleichungen nicht verändert! 5 (9 4) y y 5 (9 4) Rechnen Sie aus: 4 (a + 3) 6 Ω x 5 8 Ω 6 Heimo Werkler legt sein Wohnzimmer mit Parkettfußboden aus. Während der Arbeit stellt er fest, dass er noch zwei Quadratmeter nachkaufen muss. Vorher überlegt er, wie viel ein Quadratmeter Parkett kostet. Er weiß nur noch, dass er für 30 m 1.050, bezahlt hat. Helfen Sie ihm, rechnen Sie den Quadratmeter Preis aus!

12 15 Umformungen von Gleichungen x 4 (a + 3) Ω a Ω 1 x 4a a 4 Ω : 4 x 4a : 4 4 : 4 33 Ω 6 6 a 6 x x 198 Den gesuchten Wert für einen Quadratmeter bezeichnen wir mit x. Heimo hat für 30 m 1050 bezahlt, also ergibt sich die Gleichung: Lösungen von Seite x 1050 Ω : 30 (Aus Gründen der Übersichtlichkeit x lassen wir die Maßeinheiten weg.) x 35 Ein Quadratmeter Parkett kostet 35. Für zwei Quadratmeter, die er noch benötigt, muss er also 70 ausgeben! Nicht immer stehen bei Gleichungen die Variablen nur auf einer Seite: 16a 6a + 0 Da auch Rechenoperationen mit Variablen Umformungen sind, können Sie die Variablen auf der linken Seite isolieren, indem Sie z.b. subtrahieren: 16a 6a + 0 Auf beiden Seiten wird 6a subtrahiert! 16a 6a 6a 6a + 0 Dadurch fällt die Variable auf der rechten Seite weg 10a 0 10a : 10 0 : 10 Wenn Sie sicher sind, können Sie diesen Schritt weglassen! a Rechnen Sie aus: 3c c x + x 36 + x Achten Sie auf die Vorzeichen: m 6 (m 5) z 4 + z

13 10 Gleichungen mit mehreren Variablen Lösungen von Seite 9 Probe: 6x (s + t) 4x (s + t) 3 (s + t ) + 7 (s + t) x 5, also: 6 5(s + t) 4 5(s + t) 3(s + t) + 7(s + t) 30(s + t) 0(s + t) 10(s + t) 10(s + t) 10(s + t) Natürlich kommen Sie zum gleichen Ergebnis, wenn Sie ausmultiplizieren! Sie müssen jedoch viel umfangreichere Rechnungen durchführen! Versuchen Sie es selbst Lösen Sie unsere Beispielaufgabe von Seite 8, indem Sie die Klammern ausmultiplizieren: 6x (s + t) 4x (s + t) 3 (s + t ) + 7 (s + t) 6xs + 6xt Da Sie (hoffentlich!) das richtige Ergebnis erhalten, müssen Sie keine Probe machen!

14 11 Gleichungen mit mehreren Variablen Lösungen von Seite 10 6x (s + t) 4x (s + t) 3 (s + t ) + 7 (s + t) 6xs + 6xt 4xs 4xt 3s + 3t + 7s + 7t xs + xt 10s + 10t x(s + t) 5(s + t) Ω : (s + t) x 5 Sie haben gesehen, dass es praktisch sein kann, alle Glieder in einer Gleichung durch den gleichen Ausdruck zu dividieren. Natürlich können auch einzelne Variablen ausgeklammert und weggekürzt werden: ab 8a + ax ax + ab Hier kann jedes Glied durch a dividiert werden: ab a 8a ax - + a a ax a + ab a Jetzt kürzen: b 8 + x x + b Ω b 8 + x x Ω+ 8 x x + 8 Ω x x 8 Probe: ab 8a + 16a 8a + ab ab + 8a 8a + ab 8a + ab 8a + ab Lösen Sie jetzt bitte diese Aufgaben (mit Probe!): mn + 3mx 13m mn 1m x(a + b) 3(a + b) 5(a + b) x(a + b),4x(3a 3) 7,x(a x)

15 1 Gleichungen mit mehreren Variablen mn + 3mx 13m mn m 3mx 13m + - m m mn 1m n + 3x 13 n 1 Ω n Probe: 3x 13 1 Ω mn + m -13m mn 1m 3 3x 1 Ω : 3 mn + m 13m mn 1m 1 x mn 1m mn 1m 3 x(a + b) 3(a + b) 5(a + b) x(a + b) xa ( + b) 3( a + b) - a + b a + b x 3 5 x Ω + 3 mn m m - 1 m 5( a + b) xa ( + b) - a + b a + b x 8 x Ω + x Probe: x 8 Ω : 4(a + b) 3(a + b) 5(a + b) 4(a+b) x 4 a + b a + b Lösungen von Seite 11,4x(3a 3) 7,x(a x) Ω :,4x 4, x( 3a - 3) 7, xa ( - x) 4, x 4, x 3a 3 3(a x) 3a 3 3a 3x Ω 3a Probe: 3 3x Ω : ( 3),4(3a 3) 7,(a 1) 1 x 7,a 7, 7,a 7, Sie können auch jedes Glied einer Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren, ohne dass sich das Gleichgewicht der Gleichungen ändert! Schauen Sie sich diese Aufgabe an: 0,004x 0,03 0,006 0,00x Wenn Sie jedes Glied mit 1000 multiplizieren, fällt Ihnen das Rechnen viel leichter! Ausrechnen können Sie jetzt ganz leicht selbst: 0,004x 0,03 0,006 0,00x Vorsicht bei der Probe: Achten Sie auf die Dezimalstellen!

16 10 Lineare Gleichungen Einsetzungsverfahren Sie können eine Gleichung nach dem Einsetzungsverfahren natürlich nur dann in eine zweite einsetzen, wenn eine Variable isoliert ist (z. B. x 3y + 6). Diese Gleichung: x 4 4y + können Sie nicht direkt in eine andere einsetzen! Sie können die Gleichung jedoch vorher umformen und damit eine Variable isolieren: x 4 4y + Ω + 4 x 4y + 6 Ω : x y + 3 Nun kann dieser Ausdruck für x in eine andere Gleichung eingesetzt werden! Liegt also in keiner der beiden Gleichungen eine Variable isoliert vor, lösen Sie eine Gleichung (die einfachere) durch Umformung nach einer Variablen auf. Dann kann sie in die andere Gleichung eingesetzt werden! Welche Gleichung die einfachere ist, müssen Sie selbst entscheiden. Auch hier gilt wieder: Erst alle Gleichungen genau anschauen! Mit zunehmender Übung werden Sie ein Näschen dafür bekommen, welche Rechenreihenfolge die sinnvollste ist! Hier ist z.b. ein Fall, bei dem Sie nicht einfach drauflosrechnen sollten: I 16 x 4y + 8 II x 1 3y Haben Sie es bemerkt? Richtig, hier muss in der zweiten Gleichung die Variable x nicht isoliert werden, da der Wert für x in der ersten Gleichung auch vorkommt! Sie können hier direkt den Wert für x, also 1 3y in die erste Gleichung einsetzen! Jetzt können Sie die Beispielaufgabe leicht lösen: I 16 x 4y + 8 II x 1 3y

17 11 Lineare Gleichungen Einsetzungsverfahren I 16 x 4y + 8 II x 1 3y Hier muss wegen des Minuszeichens die Klammer gesetzt werden! Haben Sie daran gedacht? Lösungen von Seite 10 Probe: II in I 16 (1 3y) 4y + 8 (x 10; y 7) y 4y + 8 Gleichung I y 4y + 8 Ω y 4y Ω 3y y y 7 in II x Gleichung II x 0 Ω : x Manchmal erleichtern auch trickreiche Umformungen die Lösung erheblich. Sehen Sie sich diese Aufgabe an: I 8x + 6z 54? II 3x + 6 3z Betrachten Sie einmal die Variable z! Fällt Ihnen etwas auf? Richtig: Wenn Sie die Gleichung II mit multiplizieren, wird die rechte Seite zu 6z. Dies kann dann in Gleichung I eingesetzt werden: I 8x + 6z 54 II 3x + 6 3z Ω 6x + 1 6z Jetzt kann eingesetzt werden! II in I... Machen Sie weiter! Setzen Sie die umgeformte Gleichung II in I ein: I 8x + 6z 54 II 3x + 6 3z Ω 6x + 1 6z II in I

18 1 Lineare Gleichungen Einsetzungsverfahren Lösungen von Seite 11 I 8x + 6z 54 Probe: II 3x + 6 3z Ω (x 3; z 5) 6x + 1 6z Jetzt kann eingesetzt werden! Gleichung I II in I 8x + 6x x Ω x 4 Ω : x 3 in I z 54 Gleichung II 4 + 6z 54 Ω z 30 Ω : z Lösen Sie jetzt diese Gleichungssysteme nach dem Einsetzungsverfahren! Überlegen Sie vorher, ob Sie umformen müssen und welche Gleichung dazu die geeignete ist! I 3x 8y 49 I 6a + b 31 II 5x + y 5 II 4a + b 14 y I 4x I x xy 0 y II x + 1 II + y x 6

19 9 Quadratische Gleichungen 15x 375 Ω : 15 x 5 4 Ω + 5 x 5 Ω Wurzel ziehen x 1 Ω Wurzel ziehen x ± 5 x ± 1 x 1, ± 5 x 1, ± 1 x 11 7 Ω x Ω 4 Lösungen von Seite 8 x 18 Ω : 1 x 7 Ω 3 3 x 9 Ω Wurzel ziehen x 81 Ω Wurzel ziehen x ± 9 x ± 81 x 1, ± 3 x 1, ± 9 Dieser Lösungsweg kann auch angewendet werden, wenn Formvariable in der Gleichung stehen: x a Ω Wurzel ziehen x 1, ± a Die Wurzel aus a kann natürlich nicht berechnet werden, da wir den Zahlenwert der Formvariablen a nicht kennen. Die Angabe ± a reicht daher als Lösung! Es können natürlich auch Addition, Multiplikation und andere Rechenoperationen mit Formvariablen vorgenommen werden: x a b Ω + a x a + b Ω Wurzel ziehen x 1, ± a+ b Lösen Sie jetzt diese Gleichungen mit Formvariablen: x a 3x m ax b 0

20 10 Quadratische Gleichungen x a Ω Wurzel ziehen 3x m Ω : 3 x 1, ± a x m 3 Ω Wurzel ziehen Lösungen von Seite 9 ax b 0 Ω + b ax b Ω : a x a b x 1, ± a b Ω Wurzel ziehen Eine reinquadratische Gleichung der Form ax b 0 x 1, ± m 3 in der auf der einen Seite der Wert Null steht, wird Normalform genannt. Für Gleichungen in der Normalform gibt es ein vereinfachendes Verfahren, um die Lösung auszurechnen! Man weiß, dass die Lösung für die Gleichung ax b 0 diese ist: x 1, ± a Die folgende Gleichung mit Zahlen liegt in der Normalform vor: 3x 15 0 ax b 0 Zur Lösung mit Hilfe der Normalformmethode bestimmt man nun die Zahlen, welche die Variablen a und b repräsentieren. Man sieht hier: Die Zahl 3 steht für Variable a und die Zahl 15 für b. Dann setzt man diese Zahlen in die allgemeine Lösung für die Normalform ein und erhält die Lösung der Ursprungsgleichung: x 1, ± b x 1, ± Ermitteln Sie die Lösung der Gleichung 3x 15 0 diesmal durch Umformen!

21 11 Quadratische Gleichungen Lösungen von Seite 10 3x 15 0 Ω x 15 Ω : 3 x 3 15 x ± x 1, ± Ω Wurzel ziehen Sie haben die Lösungswege selbst verglichen und sicherlich festgestellt, dass der Weg nach der Normalformmethode kürzer ist. Versuchen Sie daher immer erst die Lösung auf diese Art: 1. Normalform suchen. Zahlenwerte für a und b ermitteln 3. in x 1, ± a b einsetzen Wenn Sie nicht weiterkommen, können Sie durch Umformen lösen. Sie haben ja gesehen, dass Sie das gleiche Ergebnis erhalten! Manche Gleichungen liegen nicht augenscheinlich in der Normalform vor. Durch Umformen können Sie jedoch dazu gebracht werden: x 18 Ω 18 4x c 15c Ω 15c x 18 0 Normalform! 4x 16c 0 Jetzt kann eingesetzt und gelöst werden: x 1, ± 18 x 1, ± 16c 4 x 1, ± 9 x 1, ± 4c x 1, ± 3 x 1, ± c Lösen Sie nach diesem Schema! 3x 43 x x + 16a 4 19a 4 3 x 6 Zur Erinnerung: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert!