Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Flugerlaubnis erteilt! Die gegenseitige Lage von Geraden im Raum. Dr. Rebecca Roy, Reutlingen VORANSICHT

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1 Reihe 4 S 1 Verlauf Material Flugerlaubnis erteilt! Die gegenseitige Lage von Geraden im Raum Dr. Rebecca Roy, Reutlingen Die Flugerlaubnis wird erst erteilt, wenn die Luft rein ist. Klasse 12 (im G 8: Klasse 10) Dauer Inhalt Ihr Plus 5 Stunden Geraden im dreidimensionalen Raum, Stützvektor, Richtungsvektor, Spurpunkte, mögliche Lagen zweier Geraden im Raum Gruppenarbeit zur gegenseitigen Lage zweier Geraden im Raum Foto: BilderBox.com Ready to take off? Bevor die neue Flugroute genehmigt wird, muss sicher sein, dass sie von keinem anderen Flugzeug zur gleichen Zeit gekreuzt wird! Und hier kommen Ihre Schülerinnen und Schüler als Vertreter der Flugsicherungsgesellschaft ins Spiel. Sie betrachten in Gruppen die mögliche Lage zweier geradliniger Flugbahnen: Haben sie einen Schnittpunkt? Sind sie identisch, parallel oder windschief? Erst nach Berechnung und praktischer Überprüfung im dreidimensionalen Koordinatensystem kann entschieden werden, ob die Starterlaubnis erteilt wird.

2 Reihe 4 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Thematisch ist diese Unterrichtsreihe für die Sekundarstufe II vorgesehen. Sie gehört zur Leitidee Raum und Form und hier zur Analytischen Geometrie. Vorkenntnisse Folgende Vorkenntnisse sollten die Schülerinnen und Schüler mitbringen, um sich anhand der vorliegenden Materialien die Geradengleichung und ihre Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum selbstständig erarbeiten zu können: Vektorbegriff, Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation), Ortsvektoren, Lineare Gleichungssysteme lösen, dreidimensionale Koordinatensysteme und Punkte, Vektoren zeichnerisch darstellen Der Begriff der Linearen (Un)Abhängigkeit wird nicht vorausgesetzt. Da es hier stets um den Vergleich zweier Vektoren geht, konnte er hier vermieden und durch Vielfache voneinander ersetzt werden. Die linearen Gleichungssysteme (LGS) sind so angelegt, dass sie von Hand lösbar sind. Der Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners (GTR) ist natürlich auch möglich und durchaus angebracht. (Ergänzende Kommentare zum Einsatz des GTR weiter unten.) Die Unterrichtseinheit ist wie folgt aufgebaut Stunden Inhalt Material 1 bis 2 Erarbeitung der Geradengleichung, Übungen, Spurpunkte M 1 bis M 4 3 Gruppenarbeit: Gegenseitige Lage von Geraden M 5 bis M 9 4 bis 5 Präsentation, Zusammenfassung, Übungsphase M 10 bis M 12 Erarbeitung der Geradengleichung Die Inhalte der Materialien M 1 bis M 4 können in Eigenregie durch die Schülerinnen und Schüler entweder in Einzel- oder in Partnerarbeit durchgeführt werden. Die Geradengleichung wird anhand eines konkreten Beispiels entwickelt. Den Transfer zu anderen Beispielen schaffen die Lernenden ohne Probleme. Gruppenarbeit Zur sich anschließenden Gruppenarbeit werden vier Gruppen benötigt, die je einen der Arbeitsaufträge M5bisM8 erhalten. Bei der Betrachtung der gegenseitigen Lage von zwei Geraden im Raum ergeben sich die folgenden Fälle: Die Geraden haben einen Schnittpunkt / sind identisch / sind parallel / sind windschief. Material M 9 muss für jede Gruppe mindestens einmal zur Verfügung stehen. Es handelt sich hierbei um einen Bastelbogen für ein dreidimensionales Koordinatensystem, in dem die Lernenden ihre Geraden darstellen sollen. Ergebnissicherung und Übung Nachdem die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse präsentiert haben, ist es als Kontrolle und Sicherung ratsam, mithilfe der Übersicht M 10 nochmals die zentralen Inhalte mit Bezug auf die korrekte Schreibweise und der Einführung neuer Begriffe ( windschief ) zur Verfügung zu stellen. Diese Übersicht soll den Schülerinnen und Schülern als Lern- oder Nachschlagblatt dienen. Anhand des Flussdiagramms von M 11 überlegen die Lernenden nochmals, wann welcher Fall der gegenseitigen Lage zweier Geraden jeweils zutrifft. Mithilfe der Aufgaben aus M 12 sollen sie ihre Kenntnisse anwenden und Routine im Umgang mit Geraden entwickeln.

3 Reihe 4 S 5 Verlauf Material Auf einen Blick Erarbeitung der Geradengleichung, Übungen, Spurpunkte Material M 1 M 2 (und M 3) M 4 (und M 3) Thema Die Gerade im dreidimensionalen Raum Geradengleichung im dreidimensionalen Raum mithilfe von Stützvektor und Richtungsvektor erarbeiten Alles klar?!? Testen und vertiefen Sie Ihr Verständnis Zeichnen von Punkten, Finden von Punkten auf Geraden, Angeben von Geradengleichungen zu Punkten Lernen Sie selbstständig: Spurpunkte einer Geraden Spurpunkte berechnen und zeichnen Gruppenarbeit: Gegenseitige Lage von Geraden Material M 5 bis M 8 M 9 Thema Ready to take off? Sicherheit im Luftverkehr (Gruppen 1 bis 4) Gegenseitige Lage von zwei Geraden im Raum: Geraden haben einen Schnittpunkt / sind identisch / sind parallel / sind windschief Visualisierung der Flugrouten Bastelvorlage für ein dreidimensionales Koordinatensystem Präsentation, Zusammenfassung, Übungsphase Material M 10 M 11 M 12 Thema Übersicht: Zwei Geraden im Raum welche Möglichkeiten gibt es? Ergebnisse der Gruppenarbeit (M 5 bis M 9) als Merkblatt Sind Sie auf dem richtigen Weg? Darstellung der Bedingungen für die vier Geradenbeziehungen in einem Flussdiagramm Haben Sie die Flugrouten im Griff? Die neuen Inhalte überprüfen Dauer Planen Sie für die Materialien M 1 bis M 4 ein bis zwei Stunden ein. Für die Gruppenarbeit (M 5 bis M 9) benötigen die Schülerinnen und Schüler eine Stunde. Für die abschließende Phase der Ergebnissicherung und Übung sind zwei Stunden nötig.

4 S 1 M 1 Die Gerade im dreidimensionalen Raum Das kennen Sie bereits: Geraden im zweidimensionalen Raum Um Gleichungen von Geraden im zweidimensionalen Raum festzulegen, benötigen Sie entweder zwei Punkte, die auf der Geraden liegen, oder einen Punkt der Geraden und ihre Steigung. Für die x- und y-koordinaten aller Punkte, die auf der Geraden liegen, gilt die Gleichung y = mx + b (mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt b). Das kommt auf Sie zu: Geraden im dreidimensionalen Raum Wir entwickeln nun eine Gleichung der Geraden g im dreidimensionalen Raum, die durch die Punkte P (3 2 1) und Q (1 4 4) verläuft. Wir müssen also eine Gleichung finden, die alle Punkte beschreibt, die auf der Geraden liegen. Im dreidimensionalen Raum genügen zur eindeutigen Bestimmung einer Geraden ebenso zwei Punkte oder ein Punkt der Geraden und ihre Richtung. (Die Steigung allein legt die Gerade nicht eindeutig fest, deshalb benötigen wir die Richtung.) Vorgehen 3 Mithilfe des Ortsvektors p = 2 des Punktes P gelangen wir vom Ursprung O zum 1 Punkt P, der auf der Geraden liegt. Zu jedem weiteren Punkt der Geraden gelangen wir, indem wir uns vom Punkt P aus entlang der Geraden entsprechend weit bewegen. Die Richtung, auf der wir das vom Punkt P aus tun, ist 2 durch den Richtungsvektor u = 2 der Geraden 3 gegeben. Er stellt den Vektor von P nach Q dar und Sie ermitteln ihn durch Subtraktion des Vektors p vom Vektor q : q p = 4 2 = 2 = u Um zu den verschiedenen Punkten der Geraden zu gelangen, müssen wir unterschiedlich weit in Richtung u (bzw. entgegengesetzt) gehen. Dazu müssen wir den 2 Richtungsvektor u = 2 beliebig in seiner Länge und Orientierung verändern. Dies 3 erreichen wir durch Multiplikation des Richtungsvektors mit einer beliebigen reellen Zahl r (oder s oder t...). Alle Punkte X der Geraden g bzw. ihre Ortsvektoren x werden also durch die folgende Gleichung beschrieben: 3 2 x = 2 + r 2, r 1 3 Dies nennt man die Geradengleichung von g (manchmal auch Parametergleichung ). Der Ortsvektor p von P heißt auch Stützvektor der Geraden.

5 S 2 Anmerkung zur Entwicklung der Geradengleichung g Unsere Gerade g im dreidimensionalen Raum verläuft durch die Punkte P (3 2 1) und Q (1 4 4). In unserem Beispiel haben wir den Ortsvektor p des Punktes P als Stützvektor der Geraden und den Vektor u von P nach Q, also u 2 = 2 als Richtungsvektor gewählt. 3 Man hätte jedoch auch den Ortsvektor q des Punktes Q als Stützvektor der Geraden und den Vektor u 2 von Q nach P, also u = 2 als Richtungsvektor wählen 3 können. Dies würde auf eine äußerlich andere Gleichung führen, die jedoch genau dieselbe Gerade beschreibt. Bezeichnungen im Überblick Stützvektor Name der Geraden Parameter 3 2 g: x = 2 + r 2, r 1 3 Richtungsvektor Allgemein ist die Geradengleichung im Raum also gegeben durch x = p + r u, r mit dem Stützvektor p und dem Richtungsvektor u.

6 S 3 M 2 Alles klar?!? Testen und vertiefen Sie Ihr Verständnis Aufgabe 1 Zeichnen Sie zu den Werten 0; 0,5; 2; -1; -2 des Parameters r unserer Geradengleichung 3 2 x = 2 + r 2, r die jeweils zugehörigen Punkte in ein dreidimensionales Koordi- 1 3 natensystem. Berechnen Sie auch die Koordinaten der jeweiligen Punkte. Anmerkung zur Schreibweise: Die Geradengleichung besteht aus Vektoren, deren Koordinaten untereinander geschrieben werden. Erfordert die Fragestellung die Angabe eines Punktes, so müssen die Koordinaten nebeneinander geschrieben werden, also zum Beispiel A ( ) für r = 3. Aufgabe 2 Die Punkte P (1 2 2), Q ( ) und R (0,5 1 4) liegen auf der Geraden 1 1 h: x = 2 + r 2, r a) Bestimmen Sie zu diesen Punkten den zugehörigen Wert des Parameters r. b) Nennen Sie drei weitere Punkte, die nicht auf der Geraden liegen. Aufgabe 3 Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte P und Q verläuft. a) P (1-2 4); Q (1 3-2) b) P (2 2 2); Q (3-5 0) c) P (3-2 5); Q (0 0 0) Geben Sie nun bitte jeweils eine weitere Geradengleichung an, die sich von Ihrer ersten unterscheidet, aber dennoch dieselbe Gerade beschreibt. Aufgabe 4 Überprüfen Sie: Liegen die Punkte P (0-15 8), Q ( ) und R (-5 5 6) auf der Geraden 2 3 g mit g: x = 7 + r 12, r? 12 6 Aufgabe 5 Zeichnen Sie die Geraden g und h mit verschiedenen Farben in ein Koordinatensystem ein. g: x = 2 + r 2, r h: x = 0 + r 3, r

7 S 4 M 3 Dreidimensionales Koordinatensystem

8 S 5 M 4 Lernen Sie selbstständig: Spurpunkte einer Geraden Will man eine Gerade im Raum grafisch darstellen, ist es sinnvoll, die gemeinsamen Punkte der Geraden mit den Koordinatenebenen zu bestimmen. Das sind die sogenannten Spurpunkte. 2 1 Berechnung der Spurpunkte am Beispiel der Geraden g: x = 0 + r 3, r 2 2 Gemeinsamer Punkt von g und der x 1 -x 2 -Ebene Damit ein Punkt in der x 1 -x 2 -Ebene liegt, muss die x 3 -Koordinate null sein. Wir setzen also in der Geradengleichung von g die dritte Koordinate x 3, also die dritte Zeile der Vektorgleichung, gleich null: 0 = 2 + 2r liefert r = -1. Setzt man dies in die Geradengleichung ein, so erhält man die Koordinaten des ersten Spurpunktes: S 1 (1 3 0). Gemeinsamer Punkt von g und der x 2 -x 3 -Ebene Hierfür muss die x 1 -Koordinate null sein. Also: 0 = 2 + r, damit ist r = -2 und der zweite Spurpunkt S 2 (0 6-2). Gemeinsamer Punkt von g und der x 1 -x 3 -Ebene Hier gilt analog, dass x 2 = 0 sein muss. Aus 0 = 0 3r folgt, dass nun r = 0 ist. Als dritter Spurpunkt ergibt sich also S 3 (2 0 2). Mithilfe der Spurpunkte, deren Koordinaten größer gleich null sind (hier also S 3 und S 1 ), kann man die Gerade geschickt im Koordinatensystem veranschaulichen. Der räumliche Charakter wird nun dadurch sichtbar, dass man die Bereiche der Geraden, die hinter den Koordinatenebenen liegen, gestrichelt zeichnet. Nun sind Sie dran... Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g, h, j, k und zeichnen Sie mithilfe dieser Punkte die Geraden in ein Koordinatensystem ein. a) b) g: x = 8 + r 4, r h: x = 9 + r 3, r c) d) 6 1,5 5 0 j : x = 2 + t 1,5, t k : x = 4 + s 0, s

9 S 5 M 4 Lernen Sie selbstständig: Spurpunkte einer Geraden Will man eine Gerade im Raum grafisch darstellen, ist es sinnvoll, die gemeinsamen Punkte der Geraden mit den Koordinatenebenen zu bestimmen. Das sind die sogenannten Spurpunkte. 2 1 Berechnung der Spurpunkte am Beispiel der Geraden g: x = 0 + r 3, r 2 2 Gemeinsamer Punkt von g und der x 1 -x 2 -Ebene Damit ein Punkt in der x 1 -x 2 -Ebene liegt, muss die x 3 -Koordinate null sein. Wir setzen also in der Geradengleichung von g die dritte Koordinate x 3, also die dritte Zeile der Vektorgleichung, gleich null: 0 = 2 + 2r liefert r = -1. Setzt man dies in die Geradengleichung ein, so erhält man die Koordinaten des ersten Spurpunktes: S 1 (1 3 0). Gemeinsamer Punkt von g und der x 2 -x 3 -Ebene Hierfür muss die x 1 -Koordinate null sein. Also: 0 = 2 + r, damit ist r = -2 und der zweite Spurpunkt S 2 (0 6-2). Gemeinsamer Punkt von g und der x 1 -x 3 -Ebene Hier gilt analog, dass x 2 = 0 sein muss. Aus 0 = 0 3r folgt, dass nun r = 0 ist. Als dritter Spurpunkt ergibt sich also S 3 (2 0 2). Mithilfe der Spurpunkte, deren Koordinaten größer gleich null sind (hier also S 3 und S 1 ), kann man die Gerade geschickt im Koordinatensystem veranschaulichen. Der räumliche Charakter wird nun dadurch sichtbar, dass man die Bereiche der Geraden, die hinter den Koordinatenebenen liegen, gestrichelt zeichnet. Nun sind Sie dran... Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g, h, j, k und zeichnen Sie mithilfe dieser Punkte die Geraden in ein Koordinatensystem ein. a) b) g: x = 8 + r 4, r h: x = 9 + r 3, r c) d) 6 1,5 5 0 j : x = 2 + t 1,5, t k : x = 4 + s 0, s

10 S 6 M 5 Ready to take off? Sicherheit im Luftverkehr (Gruppe 1) Eine Airline möchte eine neue Flugroute anbieten. Zuvor muss sie diese allerdings bei Ihnen genehmigen lassen, denn Sie arbeiten bei einer Flugsicherungsgesellschaft im Bereich Planung und Koordinierung der Vorgänge im Luftraum. Ein anderes Flugzeug durchfliegt zeitgleich bereits den von Ihnen überwachten Luftraum geradlinig. Seine Flugbahn ist durch die Geradengleichung 4 4 g: x = 8 + r 4, r gegeben. 7 2 (Hinweis: Der Luftraum wird durch ein dreidimensionales Koordinatensystem dargestellt, wobei eine Längeneinheit 1000 km entspricht.) Damit die neue Route genehmigt werden kann, darf kein Punkt der neuen Route mit der bereits vorhandenen Route übereinstimmen. Die geplante Route verläuft entlang der 1 1 Geraden h mit der Gleichung h: x = 4 + r 2, r. 3 1 Erteilen Sie der Fluggesellschaft die Genehmigung für die geplante Flugstrecke? Begründen Sie. So können Sie vorgehen Suchen Sie gemeinsame Punkte der beiden Geraden. Also Punkte, deren Ortsvektoren sowohl die Gleichung der Geraden g als auch die der Geraden h erfüllen. Diese Punkte finden Sie, indem Sie die beiden Geradengleichungen gleichsetzen. Achtung! Beim Gleichsetzen müssen Sie darauf achten, dass nicht in beiden Gleichungen der Parameter r heißt. Benennen Sie einfach einen der beiden Parameter mit dem Buchstaben s. Durch das Gleichsetzen erhalten Sie ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten (r und s), das nun zu lösen ist. Welche Lösungen erhalten Sie für r und s? Was bedeutet das im Hinblick auf gemeinsame Punkte? Foto: BilderBox.com Ihre Antwort Berechnen Sie nun die Spurpunkte der beiden Geraden. Mit dem beigelegten Bastelbogen und zwei Fäden lassen sich die durch die Geraden beschriebenen Flugrouten geschickt visualisieren.

11 S 7 M 6 Ready to take off? Sicherheit im Luftverkehr (Gruppe 2) Eine Airline möchte eine neue Flugroute anbieten. Zuvor muss sie diese allerdings bei Ihnen genehmigen lassen, denn Sie arbeiten bei einer Flugsicherungsgesellschaft im Bereich Planung und Koordinierung der Vorgänge im Luftraum. Ein anderes Flugzeug durchfliegt zeitgleich bereits den von Ihnen überwachten Luftraum geradlinig. Seine Flugbahn ist durch die Geradengleichung 4 4 g: x = 8 + r 4, r gegeben. 7 2 (Hinweis: Der Luftraum wird durch ein dreidimensionales Koordinatensystem dargestellt, wobei eine Längeneinheit 1000 km entspricht.) Damit die neue Route genehmigt werden kann, darf kein Punkt der neuen Route mit der bereits vorhandenen Route übereinstimmen. Die geplante Route verläuft entlang der 8 2 Geraden h mit der Gleichung h: x = 12 + r 2, r. 9 1 Erteilen Sie der Fluggesellschaft die Genehmigung für die geplante Flugstrecke? Begründen Sie. So können Sie vorgehen Suchen Sie gemeinsame Punkte der beiden Geraden. Also Punkte, deren Ortsvektoren sowohl die Gleichung der Geraden g als auch die der Geraden h erfüllen. Diese Punkte finden Sie, indem Sie die beiden Geradengleichungen gleichsetzen. Achtung! Beim Gleichsetzen müssen Sie darauf achten, dass nicht in beiden Gleichungen der Parameter r heißt. Benennen Sie einfach einen der beiden Parameter mit dem Buchstaben s. Durch das Gleichsetzen erhalten Sie ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten (r und s), das nun zu lösen ist. Welche Lösungen erhalten Sie für r und s? Was bedeutet das im Hinblick auf gemeinsame Punkte? Foto: BilderBox.com Ihre Antwort Berechnen Sie nun die Spurpunkte der beiden Geraden. Mit dem beigelegten Bastelbogen und zwei Fäden lassen sich die durch die Geraden beschriebenen Flugrouten geschickt visualisieren.

12 S 11 M 10 Übersicht: Zwei Geraden im Raum welche Möglichkeiten gibt es? Zwei Geraden g und h sind durch g: x = p + r u, r und h: x = q + s v, s gegeben (mit den Stützvektoren p, q und den Richtungsvektoren u, v ). Durch Gleichsetzen und Lösen des entstandenen linearen Gleichungssystems erhalten wir eine der folgenden vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum: 1. Die Geraden haben einen Schnittpunkt Hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung für r und s, so haben die Geraden genau einen gemeinsamen Punkt. Die Koordinaten dieses Schnittpunktes erhält man, wenn man den Wert des Parameters r in die Geradengleichung von g oder den Wert des Parameters s in die Geradengleichung von h einsetzt. (Beides liefert natürlich denselben Punkt.) Beispiel: Geradengleichungen der Gruppe 1 2. Die Geraden sind identisch Hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so sind die beiden Geraden identisch. Die beiden Gleichungen beschreiben also ein und dieselbe Gerade. Beispiel: Geradengleichungen der Gruppe 2 3. Die Geraden sind parallel Hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung, so haben die Geraden auch keine gemeinsamen Punkte. Sind die Richtungsvektoren der beiden Geraden Vielfache voneinander, so haben die beiden Geraden dieselbe Richtung, sind also parallel. Beispiel: Geradengleichungen der Gruppe 3 4. Die Geraden sind windschief Hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung und sind überdies die beiden Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander, so gibt es keine gemeinsamen Punkte und man nennt die Geraden windschief. Beispiel: Geradengleichungen der Gruppe 4 Schnelles Entscheiden, ob Fall 2 oder 3 vorliegt Untersuchen Sie, ob die Richtungsvektoren u und v Vielfache voneinander sind. Wenn ja, so überprüfen Sie, ob der dem Stützvektor p der Geraden g zugeordnete Punkt P auf der Geraden h liegt. Wenn ja, so sind g und h identisch; wenn nein, so sind sie parallel.

13 S 12 M 11 Sind Sie auf dem richtigen Weg? Parallel, identisch, windschief oder mit einem Schnittpunkt... Welche Lage haben zwei Geraden im Raum zueinander? Das folgende Flussdiagramm hilft Ihnen, die Übersicht zu behalten. Vervollständigen Sie dazu zunächst die Sätze. START Hat das LGS eine oder mehrere Lösungen? ja nein Hat das LGS unendlich viele Lösungen? Die Geraden nein ja Die Geraden Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? ja Die Geraden nein Die Geraden

14 S 13 M 12 Haben Sie die Flugrouten im Griff? Aufgabe 1 Überprüfen Sie, ob die durch die Geraden g und h gegebenen Flugrouten ohne Konflikt gleichzeitig beflogen werden können. Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Geben Sie gegebenenfalls einen Schnittpunkt an. a) b) c) 9 8 g: x = 29 + s 8, s g: x = 0 + s 5,s g: x = 7 + s 2, s 8 4 und und und 1 4 h: x = 20 + s 4, s 10 1,5 0 3 h: x = 0 + s 5, s h: x = 3 + s 1, s 4 0 d) e) 7 1 g: x = 4 + s 0, s g: x = s 1, s 1 und und Ready to take off? 3 2 h: x = 4 + s 0, s h: x = 3 + s 0, s 0 1 Foto: BilderBox.com Aufgabe 2 Wählen Sie die Variablen a, b bzw. c so, dass die beiden Geraden g und h identisch, parallel oder windschief sind oder sich in einem Punkt schneiden. a) 4 3 g: x = 8 + s 4, s b 6 und 2 6 h: x = 0 + s a, s 0 12 b) 3 a g: x = 3 + s 1, s 3 2 und 1 12 h: x = 2 + s 3, s c b

15 S 1 Lösungen und Tipps zum Einsatz M 1 Die Gerade im dreidimensionalen Raum Die zweite Seite von M 1 muss nicht als Kopie an die Schülerinnen und Schüler ausgeteilt werden. Es ist auch möglich, die Anmerkung oben mündlich zu thematisieren und die Bezeichnungen im Überblick in einem Tafelbild festzuhalten. M 2 Alles klar?!? Testen und vertiefen Sie Ihr Verständnis Teilen Sie bei Bedarf die Vorlage der dreidimensionalen Koordinatensysteme (M 3) für die zeichnerischen Lösungen aus. Aufgabe 1 r Punkt 0 P (3 2 1) 0,5 P ( ) 2 P (-1 6 7) -1 P (5 0-2) -2 P (7-2 -5) Aufgabe 2 a) Werte des Parameters r: r P = 2; r Q = -2; r R = 1,5 bzw. b) Drei Punkte, die nicht auf g liegen, sind etwa A ( ), B ( ), C ( ). Aufgabe a) g: x = 2 + s 5, s oder b) g: x = 2 + s 7, s oder 2 2 c) 3 3 g: x = 2 + s + 2, s oder 5 5 Aufgabe g: x = 3 + s 5, s g: x = 5 + s 7, s 0 2 P liegt auf g (r = 2 ), Q und R liegen nicht auf g g: x = 0 + s 2 = s 2, s