Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

Transkript

1 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. Gegeben sind die Ebene E : x + = und die Gerade g : x = +λ Lösung: (a) E : (a) Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte A, A und A von E sowie der Durchstoßpunkte D, D und D der Geraden g durch die Koordinatenebenen. (b) Veranschauliche E und g in einem Schrägbild. (c) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S von g mit E und zeichne S in das Schrägbild ein. (b) x + = = A ( ), A ( ), A ( ) x -Ebene : λ = = λ = -Ebene : +λ = = λ = ( = D ) 9 = D ( 9, 9) ( = D 8 ) = D (,,) x -Ebene : +λ = = λ = = D (9 ) D g A A S A x D D A

2 (c) Mit n =, a =, v = und d = gilt E : n x d = und g : x = a+λ v = n a+λ n v = d λ = d n a = 8 = = S = s = a n v 8 v =. Gegeben sind die Punkte A( ), B( ), C( ) und D( ). Durch A, B und C ist die Ebene E, durch A, B und D die Ebene E festgelegt. Mit E ik wird die x i x k -Ebene bezeichnet. (a) Stelle die Gleichungen der beiden Ebenen E und E in Normalenform auf. (b) Berechne die Achsenpunkte der Ebenen E und E (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen). (c) Die Schnittgeraden der Ebenen E und E mit der x -Ebene (Spurgeraden) sind g = E E und g = E E. Stelle die Gleichungen dieser Geraden in der Form x = f( ) auf. (d) F( f ) E und G( g ) E. Berechne die fehlenden Koordinaten. (e) Veranschauliche die Lage der Ebenen in einem Schrägbild. Zeichne alle beschriebenen Punkte ein. (f) Berechne den (spitzen) Schnittwinkel der Ebenen E und E. Lösung: (a) 8 AB =, AC = 9, n = AB AC = n = AB AD = Mit a = OA = e e e 8 9 AD = e e e 8 = 8 =, n = = =, n = 9 9 folgt n a = und n a = und damit n ( x a) = = E : +x + = n ( x a) = = E : +x 9 + = ( (b) Achsenpunkte von E : A ) (, A ) ( ), A ( ) Achsenpunkte von E : A ( ), A ( ), A 9

3 (c) g : +x + = = x = g : +x + = = x = (d) + f + = = f = + g 9 + = = g = (e) B A D C A A A x A (f) cosϕ = n n n n = =,8 = ϕ =, Berechne die Schnittmenge der Geraden g : x = +λ mit den Ebenen (a) x -Ebene (b) -Ebene (c) x -Ebene (d) E : x + = (e) E : Ebene durch A( ), B( ) und C( ) (f) E : Ebene durch F(,8 ), G( 9 8 ) und H(,8) Veranschauliche den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild. Lösung: (a) = = λ = = Schnittpunkt: S (9 ) (b) x = = λ = =, = Schnittpunkt:S ( 8 ) = S (,,)

4 (c) = = λ = =, = Schnittpunkt: S ( 9) = S ( 9, 9) (d) g in E : ( λ) (+λ)+(+λ) = = 8λ = λ = in g: S E( ) = S E (, ) = L = {S E } (e) AB =, AC =, n = AB AC =, n = n = E : n( x a) = = + + = g in E : λ++λ = = = = L = (f) F, G und H sind Achsenpunkte, also Achsenabschnittsform: E :,8 + 8x 9,8 = 8 = +8x 9 = g in E : ( λ)+8(+λ) (+λ) 9 = = = Die Gleichung ist für jedes λ erfüllt, d.h. g E oder L = g. g B C E x A E 9 E. Bestimme k so, dass sich die Geraden g : x = +λ und h : x = +µ k schneiden und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.

5 Lösung: +λ = +µ = k λ = +µ +λ = µ λ = k +µ Aus den beiden ersten Gleichungen folgt λ = und µ = und damit aus der dritten Gleichung k =. S = = = S ( ). Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden g : x = +λ, g : x = +µ,, g : x = +ν und g : x =, +σ. 8, Fertige ein Schrägbild des Sachverhalts. Lösung: g : x = A +λ v g : x = A +µ v g : x = A +ν v g S g : x = A +σ v A g v v v v A A = v A A x g echt parallel zu g A A = v g A g = g = g g g : +λ, =, +σ,

6 +λ =,+σ () λ =,+σ () g g : +λ =, σ () +λ, =, +σ, () und () = λ =, σ = in (): = g windschief zu g +λ =,+σ () λ =,+σ () λ =, σ () () und () = λ =, σ = in (): = = g g = {S} mit S = + =,. Die Ebene E enthält die Punkte A( ), B( ) und C( ), die Gerade g geht durch die Punkte F( 8) und G( ). (a) Stelle die Gleichungen von E und g in der Parameterform auf. (b) Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte von E. (c) Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von g. (d) Berechne die Schnittmenge von E und g. (e) Stelle die Gleichung einer Ebene E auf, die parallel zu g ist, den Punkt A enthält und deren Spurgerade in der x -Ebene parallel zur x -Achse verläuft. Veranschauliche den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild. Lösung: (a) E : x = A +λ AB+µ AC = +λ +µ g : x = G +λ GF = +σ (b) E -Achse = = x = : λ µ = () λ+µ = () ()+() : 9λ = () λ = 9 () () in () : µ = ( 9 () und () in E : A 9 ) 9 ( Analog zeigt man: A ( ), A 9 ) ()

7 (c) g x -Ebene = = +σ = = σ = = S ( ) g -Ebene = x = +σ = = σ = = S ( ) g x -Ebene = = +σ = = σ = = S ( 8) (d) E g = x E = x g = : λ µ σ = () λ+µ σ = () λ+µ σ = () () : λ µ σ = () () () : 9µ+σ = () ()+ () : µ σ = () ()+() : µ = () = µ =, σ =, λ = σ in g = E g = {S} mit S( ) (e) Richtungsvektoren von E : w = GF = und y =, da jeder zur Spurgeraden parallele Vektor als Richtungsvektor verwendet werden kann. E : x = A +s w+t y = +s +t Für die Spurgerade h in der x -Ebene gilt = = = +s = = s = s in E : h : x = +t = 9 +t

8 A C A F E B g x G 9 A S S. Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C( ) sowie der Vektor u =. z Die Gerade g enthält die Punkte A und B, die Gerade h enthält den Punkt C und ist parallel zu u. (a) Stelle die Gleichungen von g und h auf. (b) Berechne die Koordinaten des Spurpunktes G von g in der x -Ebene. g und h sind die Projektionen von g und h, parallel zur -Achse, in die x -Ebene. Stelle die Gleichungen von g und h in der Parameterform auf. (c) z wirdsogewählt, dasssich g undhschneiden. Berechne z unddiekoordinaten des Schnittpunktes S. (d) Erstelle ein Schrägbild mit allen gegebenen und berechneten geometrischen Größen. (e) Berechne die Koordinaten des Spurpunktes H von h in der x -Ebene. F ist der Fußpunkt des Lotes von S auf die x -Ebene. Berechne das Volumen der Pyramide GHFS. 8

9 Lösung: (a) v = AB = = g : x = +λ, h : x = +µ z (b) = +λ = = λ = ( ) = G. g : x = +λ, h : x = +µ (c) g h : λ = µ () +λ = +µ () +λ = +zµ () λ+µ = () λ µ = 8 () λ zµ = () ()+() : µ = = µ = () () in () : λ+ = = λ = (8) (),(8) in () : z = = z =, (9) (8) in g = S( ) (d) S B g h u F G A g C h x 8 H (e) = + µ = = µ = = H(,, ). F( ). 9

10 8, HF =, = 8 =, HG = = 9 HF HG = = V = HF HG FS = = 8 8. Gegeben sind die Ebenen E und E durch die Gleichungen Lösung: (a) E : E : x + = E : x = +λ +µ (a) Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte A, A und A von E und gib eine Gleichung von E in der Parameterform an. (b) Gib eine Gleichung von E in der Normalenform an. [Ein mögliches Ergebnis: x + = ] (c) Die Achsenpunkte von E seien B, B und B. Wie lauten ihre Koordinaten? [Zur Kontrolle: B ( )] (d) Die Gerade g ist das Lot auf E in B. Schreibe die Gleichung von g hin und Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S von g mit E. (e) Zeichne die Spurgeraden der beiden Ebenen sowie und S und g in ein Schrägbild. (f) Berechne das Volumen der Pyramide B B B S. x + = = A ( ), A ( ), A ( ). (b) n = = E : x = A +ν A A +σ A A = e e e =, E : +x + = +λ +µ = (c) E : + x + = = B ( ), B ( ), B ( ). (d) g : x = B +t n = +t (e) g in E : t (+t)+t = = t = = S( )

11 A = B S g A B x A = B (f) V = B B B B B S = = = = = = 8 9. Gegeben sind die Ebenen E : x = +λ +µ, E : x = +σ +τ E : x = +r +s, E : x = +t +k Berechne alle Schnittmengen zwischen jeweils zwei der gegebenen Ebenen. Lösung: Man verschafft sich zunächst einen Überblick, indem man mit Hilfe des Kreuzprodukts Normalenvektoren der Ebenen berechnet: n = n = n =, n = 9 Die Gleichungen der Ebenen in Normalenform: E : x + = () E : x + = () E : x + = () E : x 9 +9 = ()

12 E E = E = E, E E = E E = E E : Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen = λ: () = x = λ () () = x = 9λ 9 () () in () : +λ = 9λ 9 () E E = E E = g : x = = λ+ +λ = +µ E E : Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen = λ: () = x = λ (8) () = x = 9λ 9 (9) () in () : +λ = 9λ 9 () = λ+ E E = h : x = +λ = +µ. Berechne die Schnittmengen der Ebene E : +x + = mit den Ebenen E : x = +λ +µ und E : +x = Lösung: Mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet man den Normalenvektor von E : n = Die Gleichungen der Ebenen in Normalenform: E : +x + = () E : x + = () E : +x = ()

13 E E : Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen = λ: E : +x +λ = () E : x λ+ = () () () : x +λ = 8 () x = 8 λ () () in () : + 8 λ+λ = : (8) λ+λ = (9) = + λ () E E = g : x = 8 + λ 8 = +µ 8 E E : Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen = λ: E : +x +λ = () E : +x λ = () ()+ () : x = 8 () x = () () in () : = λ () E E = h : x = +λ