Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 5 Beschränktheit und Grenzwerte

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1 Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 5 Beschränktheit und Grenzwerte Beweise für beschränkte und unbeschränkte Folgen, teilweise unter Verwendung der Monotonieeigenschaft. Es werden auch schon einige Grenzwerte betrachtet. Datei Nr. 005 Friedrich Buckel Juni 003 Internetbibliothek für Schulmathematik

2 005 Zahlenfolgen 5 Beschränktheit 1 1 Einführungsbeispiele Beispiel 1: a n =n- Betrachten wir die Zahlenfolge = n mit den Werten a 1 = 0 ; a = ; a 3 = 8,... Dn erkennen wir schnell daß es sich um eine arithmetische Folge hdelt, bei der das nächste Glied um jeweils größer ist als der Vorgänger. Diese Folge wächst streng monoton. Nun stellen die Mathematiker gerne die Frage, ob sie unbeschränkt wächst, also gegen Unendlich geht, oder ob sie eine bestimmte obere Grenze nicht übersteigt. Hier erkennt jeder schnell, daß die Glieder der Folge beliebig groß werden können, weil m ja beliebig oft die dazuaddieren kn. Doch das ist kein Beweis, eher Intuition. Ein richtiger Beweis geht diesen Weg: Wir wählen eine beliebige Zahl, die sehr groß sein soll, und wir nennen sie M. Nun versucht m zu berechnen, ab welcher Nummer n die Glieder dieser Folge größer als M sind. M schreibt daher auf: Es sei also M > 0 eine beliebig große Zahl. Wn gilt a n > M? d.h. M+ n > M n > M+ n >. An Beispielen für M müssen wir nun verstehen, was diese Rechnung bewirkt: M = führt zu n> = 51. Ab der Nummer n o = 51 ist somit a n > M = führt zu n > = Ab n 0 = gilt also a n > M erkennt, daß m zu jeder beliebig großen Zahl M diese Rechnung durchführen kn und somit zu jeder solchen Zahl M die Nummer n o berechnen kn, ab der die Glieder der Folge größer als M sind. Also wird jede noch so Hohe Grenze irgendwn überschritten, d.h. ERGEBNIS: Diese Folge ist nach oben nicht beschränkt (unbeschränkt). Übrigens ist diese Folge auch nach unten beschränkt, was m gz schnell bewiesen hat: Weil die Folge streng monoton wächst ist a 1 = 0 (also das erste Glied der Folge) auch die kleinste Zahl der Folge. Also gilt für alle n N : a 0. n

3 005 Zahlenfolgen 5 Beschränktheit Beispiel : a n =0-n Auch hier liegt eine arithmetische Folge vor, und der Nachfolger ist stets um kleiner als der Vorgänger: d = -. Diese Folge fällt streng monoton. Wir wollen beweisen, daß diese Folge nach unten nicht beschränkt ist. Dazu schreibt m dies auf: Es sei M < 0 eine beliebige negative Zahl. Ab wn gilt < M? d.h. 0 n < M n < M 0 : ( ) M 0 M 0 n> n> +. M erkennt, daß m zu jeder negativen Zahl M auf diese Weise eine Zahl n o findet, so daß gilt < M für n no. Jede vermeintliche untere Grenze wird also irgendwn unterschritten! BEISPIEL: ERGEBNIS: Zusatz: M = führt zu n> = 500. Ab n o = 5 01 gilt also a n < Die Folge ist nach unten unbeschränkt. Da die Folge streng monoton fällt, ist a 1 = 38 (also das erste Glied der Folge) die größte Zahl der Folge. Also gilt für alle n N : 38, d.h. diese Folge ist auch nach oben beschränkt.

4 005 Zahlenfolgen 5 Beschränktheit 3 Beispiel 3: a n =n -3n+ a1 = 1 3+ =, a = 6+ =, a3 = 9 9+ =, a = = 8 a5 = = 1 usw. Die Folge wächst monoton. M kn sie graphisch als Punktfolge auf der Parabel mit der Gleichung y = x 3x+ 3 darstellen. Diese Parabel hat ihren Scheitel bei x S = und weil sie nach oben geöffnet ist, nehmen die Werte rechts vom Scheitel ständig zu. y = M Auch hier soll die Frage nach der Beschränktheit gestellt werden. Es sei M > 0 eine beliebig große Zahl. Ab wn gilt a n > M? d.h. n 3n+ > M n 3n+ ( M) > 0 Diese quadratische Ungleichung lösen wir mit der Parabelmethode, indem wir die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden y = M berechnen: Dafür gilt die Gleichung x 3x+ ( M) = 0 Diese Gleichung lösen wir mit der allgemeinen Lösungsformel: b± b ac Die Gleichung ax + bx + c = 0 hat die Lösung x1, = a 3± 9 ( M) 3± M 7 Hiernach folgt: x1, = = Da wir die Unbeschränktheit zeigen wollen, können wir davon ausgehen, daß M hinreichend groß sein wird, so daß der Radikd positiv wird. Dn hat die Gleichung auf jeden Fall zwei Lösungen. Für uns kommt die rechte Schnittstelle in Frage: x S 3+ M 7 = Dn ist n o die kleinste natürliche Zahl, die mindestens gleich x S ist. Für alle n n0 gilt dn a n > M. Ergebnis: Diese Folge ist nach oben unbeschränkt. BEISPIELE zur Berechnung von n 0 : M = 1000 ergibt xs = = 33,1. Damit wird n 0 = 3 und für alle n 3 ist a n > M = ergibt xs = 37,5... Also wird n 0 = 38 und für alle n 38 ist a n >

5 005 Zahlenfolgen 5 Beschränktheit Definitionen Eine Folge heißt nach oben unbeschränkt, wenn es zu jeder beliebig großen Zahl M>0 eine Zahl n 0 gib, so daß für alle n n0 gilt > M Eine Folge heißt nach unten unbeschränkt, wenn es zu jeder beliebig kleinen Zahl M<0 eine Zahl n 0 gib, so daß für alle n n0 gilt < M Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt So daß für alle n N gilt a M n Eine Folge heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt So daß für alle n N gilt M Ist eine Folge nach oben und nach unten beschränkt (bzw. unbeschränkt), dn sagt m kurz sie ist beschränkt. Sagt m aber diese Folge ist unbeschränkt, dn gilt dies für eine, nicht unbedingt für beide Richtungen Wir haben in den drei Beispielen zuvor gesehen, wie m bei algebraischen Folgen 1. und.ordnung die Unbeschränktheit in der einen Richtung und die Beschränktheit in der deren Richtung zeigt. Wesentlich komplizierter können die Rechnungen sein, wenn m Bruchfolgen oder geometrische (Exponential-) Folgen zu untersuchen hat.

6 005 Zahlenfolgen 5 Beschränktheit 5 3 Beweistechniken bei Bruchfolgen Beispiel : n +16 a n = n+5 Nur auf der Mathe-CD