Seite 1. Folgen. Folgen. Klaus Messner,

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1 Seite 1 Klaus Messner, klaus_messner@web.de

2 Seite 2 Begriffe Die Schreibweise stellt eine Folge dar. Die a i nennt man glieder und i ist der Index bzw. die Nummer eines speziellen glieds. In den Lehrbüchern gibt es verschiedene Schreibweisen. Manchmal beginnt die Nummerierung der glieder auch mit 0 statt mit 1. Wir vereinbaren hier eine Zählung, die bei 1 beginnt. Beispiel: Zahlen. =2,4, 6,8,... =a 1, a 2, a 3,... ist die Folge der geraden

3 Seite 3 Bildungsgesetze können in aufzählender Form beschrieben werden oder durch Angabe eines Bildungsgesetzes. Ein Bildungsgesetz kann explizit oder rekursiv angegeben sein. Bei einem expliziten Bildungsgesetz gibt man einen Ausdruck an, anhand dessen sich die glieder direkt berechnen lassen. Beispiel: =2n = 1 n liefert die Folge liefert die Folge =2,4,6,8,... = 1 1, 1 2, 1 3,...

4 Seite 4 Bildungsgesetze Ein rekursives Bildungsgesetz beschreibt wie sich nachfolgende glieder aus vorhergehenden ergeben. Es muss hierbei zusätzlich ein Startwert, also der Wert des ersten glieds angegeben werden. Beispiel: 1 = 2, a 1 =2 Um hier die glieder zu bestimmen, setzt man beginnend mit n=1 immer weitere Nummern für n ein. Es ergibt sich: a 1 =2, a 2 =a 1 2=4, a 3 =a 2 2=6, a 4 =a 3 2=8,... Dies ist wieder die Folge der geraden Zahlen!

5 Seite 5 Bildungsgesetze 2 a 1, a 2, a 3, a 4,...,, 1,... Obige Grafik zeigt noch einmal, wie sich bei einem rekursiven Bildungsgesetz, nachfolgende glieder aus vorhergehenden ergeben. Rechenbeispiel: Bestimme die Glieder der Folge Lösung: Dies ist die Folge der Zweierpotenzen. a 1 =2, 1 =2 a 1 =2, a 2 =2a 1 =4, a 3 =2a 2 =8, a 4 =2a 3 =16,...

6 Seite 6 Bildungsgesetze Eine rekursives Bildungsgesetz kann sich auch auf mehrere vorhergehende glieder beziehen. Ggf. müssen mehrere Startwerte angegeben werden. Rechenbeispiel: a 1 =1, a 2 =1, = 1 2 Hier ergeben sich die glieder immer aus der Summe der beiden vorhergehenden glieder. a 1, a 2, a 3, a 4,..., 2, 1,,...

7 Seite 7 Bildungsgesetze Die glieder berechnen sich so: a 1 =1, a 2 =1, a 3 =a 2 a 1 =2, a 4 =a 3 a 2 =3, a 5 =a 4 a 3 =5,... In aufzählender Form: =1,1,2,3,5,8,13,... Diese Folge nennt man Fibonacci-Folge (gesprochen: Fibonatschi). Die Folge wurde benannt nach Leonardo von Pisa (auch Fibonacci genannt). Geburts- und Sterbedatum sind nicht genau bekannt. Geboren etwa um 1180, gestorben etwa um 1241.

8 Seite 8 Monotonie können (streng) monoton wachsend, (streng) monoton fallend oder keines von beiden sein. Wenn man eine Folge auf Monotonie untersucht, dann testet man, ob die glieder immer größer oder immer kleiner werden. Wenn 1 für alle n gilt, so ist die Folge streng monoton wachsend, falls 1 gilt, so ist monoton wachsend. Aus diesen Überlegungen leitet sich ein Kriterium für Monotonie ab.

9 Seite 9 Monotonie - Kriterium Aus dem Ansatz 1 kann man auf beiden Seiten an abziehen. Alternativ kann man auch durch an teilen. Man erhält folgendes... Kriterium: ist monoton wachsend ist streng monoton wachsend Alternativ: 1 1 a n ist monoton wachsend 1 1 ist streng monoton wachsend

10 Seite 10 Lösung: Teste, ob Monotonie Kriterium - Rechenbeispiele Für konkrete Nachweise verwendet man das Kriterium, das am leichtesten zu handhaben ist. Rechenbeispiel 1: Weise nach, dass =2n 2 1 streng monoton wächst. 1 0 gilt! =2n 2 1, 1 =2 n 1 2 1=2n 2 4n 3 Es folgt: Also ist wachsend. 1 =4n 2 0 wegen n 0 wie behauptet streng monoton

11 Seite 11 Rechenbeispiel 2: Weise nach, dass Lösung: Teste, ob =2n, 1 =2 n 1 Es folgt: Monotonie Kriterium - Rechenbeispiele 1 =2n 1 1 größer als der Nenner ist. Also ist wachsend. = 2 n 1 2n = n 1 n streng monoton wächst. 1 gilt! da hier der Zähler wie behauptet streng monoton

12 Seite 12 Monotonie - Kriterium Die Kriterien für monoton fallend lauten entsprechend. Kriterium: ist monoton fallend ist streng monoton fallend Alternativ: 1 1 ist monoton fallend 1 1 ist streng monoton fallend

13 Seite 13 Grenzwerte Satz von Bolzano-Weierstrass Als nächstes kann man feststellen, ob eine Folge einem bestimmten Grenzwert zustrebt, oder ob sie über alle Schranken wächst (oder fällt). Hierzu dient der Satz von Bolzano-Weierstrass: Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert, wenn sie monoton wachsend und nach oben beschränkt oder monoton fallend und nach unten beschränkt ist. Kürzer: Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

14 Seite 14 Existenz des Grenzwerts Mit diesem Satz können Sie zukünftig die Existenz eines Grenzwertes nachweisen. Rechenbeispiel 1: = 5n 3n 5 n Beweise, dass die angegebene Folge konvergiert, d.h. dass sie einen Grenzwert hat. Lösung: Weise zunächst die Monotonie nach. Die Werte der ersten glieder sind: a 1 =1,6 a 2 =1,24 a 3 =1,07... Wir vermuten also, dass die Folge steng monoton fällt und weisen dies mit dem Kriterium nach. 1

15 Seite 15 Existenz des Grenzwerts Es gilt Es folgt: = 5n 3n und a 5 n n 1 = 5n 1 3 n 1 5 n 1 5 n 3n 5 n 5n 1 3 n 1 5 n 1 5 n n 3n 5 n 1 3 n 1 ausmultiplizieren 5 n 1 15n 5 n 1 3n 3 12n 3 n n 1 :12 3n Die letzte Aussage ist für alle n N erfüllt. Die Folge ist demnach streng monoton fallend.

16 Seite 16 Existenz des Grenzwerts Nachweis der Beschränktheit: Für alle n N ist 5 n 0und ebenso 3n 0. Folglich ist auch = 5n 3n 0 für alle n N. 5 n Das bedeutet, dass S=0 eine untere Schranke der Folge ist. Die Folge ist also streng monoton fallend und nach unten beschränkt. Damit ist die Existenz eines Grenzwerts nach dem Satz von Bolzano- Weierstrass nachgewiesen, d.h. Die Folge konvergiert.

17 Seite 17 Grenzwertbestimmung Wie kann man den Grenzwert einer Folge konkret berechnen? Wenn die Folge durch ein rekursives Bildungsgesetz gegeben ist, ist die Berechnung des Grenzwerts relativ einfach. Rechenbeispiel 1: a 1 =3, 1 = Die Existenz eines Grenzwerts sei bereits nachgewiesen. Bestimme den Grenzwert nun konkret.

18 Seite 18 Grenzwertbestimmung Lösung: Es sei g der Grenzwert der Folge. Lasse auf beiden Seiten der Rekursionsgleichung n gehen und beachte dass, wenn g der Grenzwert der Folge ist, sowohl lim = g als auch n 1 = g gilt. Man erhält: lim n lim n 1 =lim n g= 1 2 g 1 g 1 2 g= 1 g Also ist g = 2 g 2 =2 g= 2 der gesuchte Grenzwert der Folge.

19 Seite 19 Bestimmung des Bildungsgesetzes Einige Abi-Aufgaben verlangen, dass aus einer gegebenen Zahlenfolge ein Bildungsgesetz abgeleitet werden soll. Manchmal ist das Bildungsgesetz durch eine rekursive Vorschrift gegeben und man soll einen geschlossenen Ausdruck, d.h. ein explizites Bildungsgesetz finden. Dabei geht man immer nach demselben Schema vor: Berechne die ersten glieder. Errate ein Bildungsgesetz. Weise das Bildungsgesetz mit vollständiger Induktion nach.

20 Seite 20 Rechenbeispiel: Bestimmung des Bildungsgesetzes Finde ein explizites Bildungs-gesetz für die rekursiv gegebene Folge a 1 = 1 2, a 1 n 1= n 1 n 2 Lösung: Berechne zuerst einige glieder. a 1 = 1 2, a 1 2=a = = 2 3, a 3=a = = 3 4 Wir vermuten = n n 1 als explizites Bildungsgesetz! Der Nachweis erfolgt jetzt mit vollständiger Induktion:

21 Seite 21 Nachweis des Bildungsgesetzes Induktionsbeginn (n=1): a 1 = 1 2 = Induktionsannahme: Für ein beliebiges gelte a k = k k 1 Induktionsbehauptung: Induktionsschluss: a k 1 a k 1 = k 1 k 2 Ind.Vor 1 = a k k 1 k 2 = k k 1 1 k 1 k 2 = = k k 2 k 1 k 2 1 k 1 k 2 = k 1 2 k 1 k 2 = k 1 k 2 k N k 2 2k 1 k 1 k 2

22 Seite 22 Folglich gilt für alle n N: Nachweis des Bildungsgesetzes = n n 1 Das von uns vermutete Bildungsgesetz ist damit nachgewiesen.

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