(6.29) Z X. Die standardnormalverteilte Zufallvariable Z, Z ~ N(0,1), weist den Erwartungswert (6.30) E(Z) = 0 und die Varianz (6.31) V(Z) = 1 auf.

Transkript

1 Standardnormalverteilung Da die arameter μ und σ beliebige reelle Zahlenwerte bw. beliebige positive reelle Zahlenwerte (σ >0) annehmen können, gibt es unendlich viele Normalverteilungen. Die Dichtefunktion (6.8) lässt sich jedoch nicht analytisch auswerten, so dass Wahrscheinlichkeiten nur durch numerische Integration berechnet werden können. In der Anwendung wäre der Aufwand prohibitiv hoch. Aus diesem Grund kommt der Standardnormalverteilung, die man durch Standardisierung einer Normalverteilung erhält, eine besondere Bedeutung u. Aus jeder normalverteilten Zufallsvariablen X lässt sich also eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z ereugen (daher nennt man die Standardisierung auch Z-Transformation): (6.9) Z X. Die standardnormalverteilte Zufallvariable Z, Z ~ N(0,), weist den Erwartungswert (6.30) E(Z) = 0 und die Varian (6.3) V(Z) = auf. 56

2 Beweis von (6.30) und (6.3): Für den Erwartungswert der standardisierten Zufallsvariablen Z gilt E Z X E E V X V X X VX E X EX Bei der Berechnung der Varian von Z, V Z X VX E X E Var X X 0 0. X E V VX EX, V X erhalten wir unter Berücksichtigung der Regel, dass die Varian einer Konstanten gleich null ist V Z V X V X V X X 0 V E 57

3 Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Wegen μ = 0 und σ = lautet die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung (6.3) () fz() e. Abbildung: Dichtefunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen f () Z ~ N 0; 0 58

4 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z erhält man durch Integration: u F () e (6.33) Z du. Die Standardnormalverteilung ist deshalb von besonderer Bedeutung, weil für sie Werte der Verteilungsfunktion in tabellarischer Form vorliegen. Die Tabelle ist aufgrund einer numerischen Auswertung des in (6.33) enthaltenen Integrals er-stellt worden, so dass der Anwender bei dem Arbeiten mit der Normalverteilung die Integration selbst nicht mehr durchführen muss. Zu beachten ist, dass keine Wahrscheinlichkeiten für negative -Werte tabelliert worden sind. Dies ist aber auch nicht erforderlich, da die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung symmetrisch um den Erwartungswert µ = 0 verläuft. Aufgrund der Symmetrie gilt für die Verteilungsfunktion a a (6.34). 59

5 Abbildung: Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung f () Z ~ N 0; a a F ( a) F (a F) Z (a) a 0 a Erinnerung: Rechenregeln für die Verteilungsfunktion stetiger Zufallsvariablen (6.35a) (6.35b) (6.35c) X b X b Fb a X b a X b Fb Fa X b X b Fb 60

6 Beispiel 6.: Ein Kellner nimmt pro Abend im Mittel Trinkgeld in Höhe von 0 Euro bei einer Standardabweichung von 6 Euro ein. Die Wahrscheinlichkeit für die Höhe des Trinkgeldes sinkt, je größer die Abweichung vom Mittelwert ist, so dass das gesamte Trinkgeld eines Abends als normalverteilte Zufallsvariable modelliert werden kann. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eingenommene Trinkgeld des Kellners an einem Abend unter 5,50 Euro bleibt? Bei einer Normalverteilung des Trinkgeldes X mit den arametern μ=0 und σ =36, X N(0; 36) [besser: X N(0; σ =36)], ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit (X 5,50) durch das Integral 5,50 π 6 X 5,50 e dx 0 6 x0 gegeben. Das Integral lässt sich jedoch nicht analytisch, sondern nur numerisch.b. mit einem Mathematik rogramm lösen. Vorteilhafter ist die Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Standardnormalverteilung, da hier tabellierte Werte vorliegen. Wir müssen dabei nicht die Integralrechnung verwenden. Unter Verwendung von (6.9) lässt sich der standardisierte Wert für die obere Intervallgrene bestimmen: x 5,50 0 0,

7 Wir erhalten hiermit 5,50 0 X 5,50 Z Z 0,75 Z 0,75 0,75 6. Die Tabellen ur Standradnormalverteilung weisen jedoch nur Wahrscheinlichkeiten für positive -Werte aus. Unter Verwendung der Symmetrieeigenschaft (6.34) erhalten wir jedoch die Wahrscheinlichkeit (s. Tabelle, Formelsammlung S. 38) 0,75 0,75 0,7734 0,66. 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 f () ,66 0,7734 Z ~ N 0; Die berechnete Wahrscheinlichkeit als Fläche unterhalb der Standardnormalverteilung ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt

8 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kellner an einem Abend ein Trinkgeld von mindestens 30,50 Euro einnimmt? Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (X 30,50) der mit dem Erwartungswert μ = 0 und der Varian σ = 36 normalverteilten Zufallsvariablen X. Mit der Standardisierung erhalten wir x 30,50 0 6,75 X 30,50 Z Z,75 30, Z,75 (,75) Der unten stehenden Tabelle entnehmen wir die kumulierte Warscheinlichkeit 0,9599 bei einem -Wert von,75, so dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt. X 30,50,75 0,9599 0, 040 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,

9 In der untenstehenden Abbildung ist die Wahrscheinlichkeit graphisch veranschaulicht. f () Z ~ N 0; 0. 0, c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kellner ein Trinkgeld wischen 7 und 9 Euro einnimmt? Mit (6.35b) ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus X 9,5 0,5 6 6 u berechnen. Unter Anwendung der Symmetrieeigenschaft (6.34) erhalten wir X 9,5 0,5,5 0,5 7 0,933 0,695 0,

10 Quantile der Standardnormalverteilung Bei Anwendungen der Normalverteilung ist nicht immer die Wahrscheinlichkeit u bestimmen. Häufig ist der u einer gegebenen Wahrscheinlichkeit ugehörige -Wert gesucht. Der u einem Wert der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gehörende -Wert heißt Quantil. Bei dem (-α)-quantil -α hat sich eine Wahrscheinlichkeit von -α kumuliert: (6.36) (Z -α ) = Φ( -α ) = α. Abbildung: Quantil der Standardnormalverteilung f () Z ~ N 0; 0 65

11 Beispiel 6.3: Bis u welchem Wert der standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z hat sich 97,5 % der Wahrscheinlichkeitsmasse unter der Dichtefunktion kumuliert? Man sucht die Wahrscheinlichkeit 0,975 in der Tabelle ur Verteilungsfunktion (grundsätlich Formelsammlung S. 38, für besondere -Werte auch S. 7) und liest den entsprechenden -Wert ab: 0,975 =,90 + 0,06 =,96. Das abgelesene Quantil kann man auch graphisch darstellen: f () 0.4 Z ~ N 0; 0.3 0, , 975,96 66

12 Zentrale Schwankungsintervalle bei einer Standardnormalverteilung Mit Hilfe der Quantile lässt sich ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert 0 (entrales Schwankungsintervall) für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z berechnen: (6.37) Z. Das entrale Schwankungsintervall gibt das symmetrische Intervall an, in das die Zufallsvariable Z mit einer Wahrscheinlichkeit von hineinfällt. 0 Abbildung: Zentrales Schwankungsintervall bei einer Standardnormalverteilung Z ~ N 0; / / / / f () Zentrales Schwankungsintervall / Aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung um μ = 0 gilt: (6.37) Daher kann das entrale Schwankungsintervall auch folgendermaßen angegeben werden: (6.38) Z. 67

13 Beispiel 6.4: In welchem symmetrischen Intervall um 0 liegt die standardisierte Zufallsvariable Z mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %? Hier ist das entrale Schwankungsintervall um Niveau -α = 0,99 gesucht (α/ = 0,0/ = 0,005 und α/ = 0,0/ = 0,995): Z ( Z ) 0,99. 0,005 0,995 0,995 0, 995 Aus der Tabelle auf S. 7 der Formelsammlung entnehmen wir den geeigneten -Wert, so dass () = α/ = 0,995: 0,995 =,5758 => 0,005 =,5758 () 0,9,86 0,95,6449 0,975,9600 0,99,363 0,995,5758 0,999 3,090 0,9995 3,90 68

14 Die standardnormalverteilte Zufallsvariable Z liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% wischen -,5758 und,5758: Das ermittelte entrale Schwankungsintervall ist in der unten stehenden Abbildung graphisch veranschaulicht. f () , 5758 Z, , 99. 0,99 Z ~ N 0; ,005 0,005 0, 005 Zentrales Schwankungsintervall , 995,,

15 Zentrale Schwankungsintervalle bei einer beliebigen Normalverteilung Liegt eine normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert μ und der Varian σ vor, dann ist eine Standardisierung ur Berechnung des entralen Schwankungsintervalls notwendig. Sett man (6.9), Z = (X μ) / σ, in (6.38) ein, erhält man (6.39) X. Die beiden in (6.39) enthaltenen Ungleichungen sind nach X aufulösen. Zuerst werden alle drei Teile der Ungleichungskette in der Klammer mit der Standardabweichung σ multipliiert (Da immer σ > 0 gilt, bleiben dabei die Ungleichheitseichen unverändert): X. Anschließend addieren wir u allen drei Teilen der Kette den Erwartungswert μ (Ungleichheiten bleiben für jedes Voreichen unverändert), woraus man die Gleichung (6.40) X erhält. (6.40) gibt das entralen Schwankungsintervall für eine beliebige normalverteilte Zufallsvariable X wieder. 70

16 Abbildung: Zentrales Schwankungsintervall einer Normalverteilung f (x) X ~ N ; / / / Zentrales Schwankungsintervall / x Zur Erinnerung:. 7

17 Beispiel 6.5: In der Schreinerei eines Möbelherstellers werden Möbelstücke auf eine Länge von 60 cm ugeschnitten. Die räision der Maschine wird mit einer Standardabweichung von 5 mm angegeben. Aufgrund bisheriger rüfungen kann davon ausgegangen werden, dass die Länge der Möbelstücke normalverteilt ist. In welchem Intervall wird die Länge eines ufällig kontrollierten Möbelstücks mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegen? Zu berechnen ist das entrale Schwankungsintervall für eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert 60 und der Varian 0,5 = 0,5 bei einer symmetrischen Intervallwahrscheinlichkeit α = 0,95: und 0,975 X 0, 0, ,5 X 60 0,5 0, ,975 0, 975 Für das 0,975-Quantil 0,975 erhält man aus der Tabelle den Wert,96: () 0,9,86 0,95,6449 0,975,9600 0,99,363 0,995,5758 0,999 3,090 0,9995 3,90 7

18 Man erhält damit und schließlich 60,960,5 X 60,960,5 0, 95 59,0 X 60,98 0,95. Die Länge eines ufällig kontrollierten Möbelstückes wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wischen 59,0 cm und 60,98 cm liegen. 73

19 Lineartransformation normalverteilter Zufallsvariablen Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit den arametern µ und σ. Wir betrachten eine lineare Transformation von X: Y = a + b X Dann ist Y auch normalverteilt mit den arametern (6.4a) E(Y) = a + b μ und (6.4b) V(Y) = b σ Wenn sich also eine Zufallsvariable X als Linearkombination einer normalverteilten Zufallsvariablen darstellen lässt, dann ist die transformierte Zufallsvariable Y stets normalverteilt. Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung Es seien X und X wei unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen: X,, X ~ N ~ N,. Dann ist die Zufallsvariable Y=X +X auch normalverteilt mit dem Erwartungswert µ +µ und der Varian : (6.4a) E(Y) = µ + µ und (6.4b) V(Y) =. Diese Eigenschaft beeichnet man als Reproduktivität der Normalverteilung. Sie lässt sich auf n Zufallsvariablen verallgemeinern. [Anmerkung: Neu ist bei beiden Aussagen die Vererbung der Normalitätseigenschaft von einem normalverteilten X bw. von mehreren normalverteilten X i auf Y. Die Gleichungen (6.4a/b) und (6.4a) gelten aufgrund der bekannten Rechenregeln für beliebiges X bw. für beliebige X i und die Gleichung(6.4b) für beliebige unabhängige X i ] 74