93,5 % der Taschenrechner funktionieren höchstens 135 Stunden.

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1 Europa-Universität Flensburg Zentrum für Methodenlehre Tutorium Statistik I Statistik I 1.) Die Funktionsdauer von Taschenrechnern eines bestimmten Typs mit einem Sat Batterien sei normalverteilt mit dem Mittelwert = 120 Stunden (h) und der Varian 2 = 100 h 2. Wie viel Proent der Taschenrechner funktionieren a) höchstens 135 Stunden b) mehr als 135 Stunden c) wischen 105 h und 135 h. d) Wie lange ist die Funktionsdauer bei 95% der Taschenrechner? e) Berechnen Sie das Intervall der Funktionsdauer in welchem 95% der Taschenrechner liegen. Lösung: X: Funktionsdauer von Taschenrechnern X~ N(120;10) a) ,5 10 0,935*100 93,5% ( Wert wird aus der Tabelle abgelesen) 93,5 % der Taschenrechner funktionieren höchstens 135 Stunden. b) 2 X ~ N(120;10) ( ( X ~ N(120;10) ) / ) / , ,935 0,065*100 6,5%

2 6,5 % der Taschenrechner funktionieren länger als 135 Stunden. c) X ~ N(120;10) ,5 10 0,065*100 6,5% 1 93,5% 6,5% 87% 2 ( 1 ) / Der Wert für 2 siehe Aufgabe a). 87% der Taschenrechner funktionieren wischen 105 Stunden und 135 Stunden. d) X ~ (120;10) 1 0,05 0,95 Transformation ( * ) 1,6449 (1,6449 *10) ,449 Die Funktionsdauer von 95% der Taschenrechner beträgt 136,449 Stunden. e) 0,05; / 2 0,025;1 / 2 0,975 0,025 0,975 SI[ 1,96 1,96 / 2 * ; SI[ 1,96*10 120;1,96*10 *120] SI[100,4;139,6] 1 / 2 * ] In einem Schwankungsintervall von 100,4 Stunden und 139,6 Stunden liegen 95 % der Taschenrechner.

3 2.) Die Anahl publiierter Aufsäte der Flensburger ProfessorenInnen sei annähernd normalverteilt und betrage im Mittelwert 15 bei einer Standardabweichung von 8. Wie viele Veröffentlichungen muss ein(e) ProfessorIn publiieren, um u den 5 Proent Meistpubliierenden u gehören? Lösung: X: Anahl publiierter Aufsäte X~N(15;8) = 5% = 0,05 = 1-0,05 = 0,95 Z 0,95 = 1,6449 Rücktransformation in die Normalverteilung N( 15;8) = ( * ) + = (1,6449 * 8)+15 = 28, 16 28, 16 Veröffentlichungen müsste ein(e) ProfessorIn publiieren, um u den 5 Proent Meistpubliierenden u gehören (da dies eine ungerade Zahl ist, kann man auch sagen, sie müsset mindestens 29 Aufsäte publiieren). 3.) Lehrling P hat in einem mechanischen Verständnistest 35 Punkte erreicht. In diesem Test erielen Lehrlinge im Durchschnitt eine Leistung von 40 Punkten mit einer Standardabweichung von 5 Punkten. Die Testleistungen seien normalverteilt. Gehört Lehrling P. u den 30%, die am schlechtesten abgeschnitten haben?

4 Lösung: X~N(40;5) geg.: = 0, in Standardnormalverteilung N(0;1) = -0,5244 Rücktransformation 0, ,378 Lehrling P. hat mit 35 Punkten weniger, also gehört er u den 30%, die am schlechtesten abgeschnitten haben. Alternative Lösung: Den Z-Wert u 35 Punkten berechnen, anschließend aus der Tabelle den ugehörigen - Wert ablesen. ( ,16 0,16 *100 16% ) / Dies bedeutet, dass 16% höchstens 35 Punkte erreicht haben. Dies sind weniger als 30%, also gehört Lehrling P. u den 30%, die am schlechtesten abgeschnitten haben. 4.) (2 Punkte) Eine Schule beurteilt den Wortschat von Schülern bei der Einschulung. Dafür werden den Schulanfängern nacheinander 210 Bildkarten vorgelegt. Zu jeder Bildkarte werden 4 Vokabeln vorgelesen, von denen eine den Gegenstand auf der Bildkarte utreffend beschreibt. Die Schüler sollen die richtige Vokabel auswählen. Es wurde ermittelt, dass die Anahl der richtigen Antworten normalverteilt ist, mit einem Mittelwert bei 131,7 und einer Standardabweichung von 29,363.

5 Wie wahrscheinlich ist es, dass ein (ufällig ausgewählter) Schüler mindestens 180 richtige Antworten gibt? P Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mindestens 180 richtige Antworten gibt, beträgt ) Die Länge von Drehbleistiftminen einer bestimmten Sorte verteilt sich annähernd normal. Mit dem Mittelwert = 5 cm und einer Standardabweichung = 0,5 cm. Wie viel Proent der Minen sind a) kürer als 5,2 cm b) länger als 5,98 cm c) wischen 4,8 cm und 5,2 cm lang d) Berechnen Sie das Schwankungsintervall um Niveau = 5%. Lösungen: X: Länge von Drehbleistiftminen X~ N(5;0,5) a) X ~ N(5;0,5) ( ) / 5,2 5 0,4 0,5 0,655*100 65,5% ( Wert wird aus der Tabelle abgelesen) 65,5 % der Minen sind kürer als 5,2 cm. b)

6 X ~ N(5;0,5) ( ) / 5,98 5 1,96 0,5 1 0,975 0,025*100 2,5% 2,5 % der Minen sind länger als 5,98 cm. c) X ~ N(5,0,5) ( ) / 4,8 5 0,4 0,5 0,345*100 34,5 1 65,5% 34,5% 31% 2 1 Der Wert für 2 siehe Aufgabe a). 31% der Minen sind wischen 4,8 cm und 5,2 cm lang. d) 0,05; / 2 0,025;1 / 2 0,975 0,025 0,975 SI[ 1,96 1,96 / 2 * ; 1 / 2 * ] SI[ 1,96*0,5 5;1,96*0,5 5] SI[4,02;5,98] In einem Schwankungsintervall von 4,02 cm und 5,98 cm liegen 95 % der Minen.

7 6.) Die Abiturdurchschnittsnoten der Studienberechtigten seien normalverteilt nach N (2,4; 1). Auf welchen Durchschnitt muss der Numerus Clausus festgelegt werden, damit nur die 12% der Studienberechtigten mit den besten Noten einen bestimmten beliebten Studiengang beginnen können? Lösung: Verteilung der Abiturnoten: N (2,4;1) Gesucht wird der Wert, unter dem 12% aller Werte liegen ( die 12% Besten könnte vermuten lassen, dass die 12% mit den höchsten Werten, dass also mit 1-α = 1-0,12 gerechnet werden müsste. Da allerdings die niedrigen Werte die guten Zensuren sind, muss für den Anteil die Fläche bis α = 0,12 gerechnet werden). Zunächst wird in der Tabelle der -Wert für α = 0,12 gesucht -1,175 Rücktransformation aus der Standardnormalverteilung: = σ + μ = 1, ,4 = 1,225 Der NC müsste auf 1,225 festgelegt werden.

8 7.) Die Anahl der Worte studentischer Hausarbeiten aus bestimmten Seminaren sei annähernd normalverteilt mit Mittelwert und Varian von Der Doent eines dieser Seminare ärgert sich immer, wenn er Referate mit mehr als Wörtern lesen muss. Wie viele % der Hausarbeiten haben einen solchen Umfang von mehr als Wörtern? Lösung: Gegeben: = μ = σ 2 = σ = 8000 Verteilung der Anahl an Worten: N(30.000;8000) Achtung: nicht Varian und Standardabweichung verwechseln! Transformation in N(0;1): = μ σ = = 1,5 Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ergibt sich für α = 0,935, d.h. 93,5% aller Fälle liegen bis u diesem Wert.

9 Gefragt ist nach dem Anteil, derer, die über diesem Wert liegen also 1-0,935 = 0,065, also haben 6,5% der Hausarbeiten mehr als Wörter.