Zusammenhang von Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetiger Differenzierbarkeit

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1 Zusammenhang von Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetiger Differenzierbarkeit Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik 01. Februar 2014 Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und perfekter Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung für die Tutanden beim Verständnis der Vorlesungsinhalte zu sein. Die Beispiele wurden von dem Autor selbst ausgewählt und durchgerechnet. Bei Fragen zu einzelnen Rechenschritten empfiehlt es sich, zunächst Rücksprache mit Kommilitonen zu halten, bevor ihr eine schreibt. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Tutor der Analysis I im WiSe 13/14

2 Mirko Getzin 2 Zusammenhang von Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetiger Differenzierbarkeit In den vergangenen Wochen habt ihr euch in der Vorlesung mit der Differenzierbarkeit und Stetigkeit von Funktionen beschäftigt. Erfahrungsgemäß ist das Nachrechnen von Differenzierbarkeit (per Differentialquotient) aus der Schule bekannt und muss nicht groß thematisiert werden. Auch das Nachrechnen von Stetigkeit (per ε δ-kriterium) habt ihr nun schon häufig in den Aufgaben geübt. Deshalb möchte ich in diesem Dokument viel mehr auf die Zusammenhänge oben genannter Begriffe eingehen, anstelle weitere Beispiele durchzurechnen. Dennoch: das ein oder andere Beispiel möchte ich euch auch hier nochmal präsentieren, um die erklärten Inhalte zu veranschaulichen. Vorab nun noch der Hinweis, dass man beim Lesen dieses Dokuments nie vergessen sollte, dass Stetigkeit und Differenzierbarkeit lokale Eigenschaften sind. Wir können also die folgenden Aussagen, die für (reellwertige) Funktionen allgemein getätigt werden, auch auf einzelne Stellen des jeweiligen Definitionsbereichs explizit anwenden. 1 Zusammenhang von Stetigkeit und Differenzierbarkeit Den Zusammenhang von Stetigkeit und Differenzierbarkeit findet ihr in eurem Skript unter Korollar Dieses Korollar sagt aus, dass jede Funktion, die differenzierbar ist, auch stetig sein muss. Die Umkehrung, dass jede stetige Funktion auch differenzierbar ist, gilt hingegen nicht. Wir erhalten also die Stetigkeit als notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion. Da nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist die Stetigkeit keine hinreichende Bedingung der Differenzierbarkeit. Lokale Aussage: Eine Funktion f : D R kann also nur dann an einer Stelle a D differenzierbar sein, falls sie an dieser Stelle bereits stetig ist. Wissen wir bereits, dass die Funktion an der besagten Stelle stetig ist, muss sie dort jedoch noch lange nicht differenzierbar sein. Dies ist ein äußerst wichtiges Resultat der Vorlesung, da ihr oftmals zusammengesetzte Funktionen (also auf bestimmten Definitionsbereichen verschieden definiert) auf Differenzierbarkeit überprüfen müsst. Dies ist oftmals sehr mühsam, weshalb es sich in solchen Fällen häufig lohnt, zunächst die Stetigkeit in den kritischen Punkten der Funktion zu überprüfen. Als kritischen Punkt bezeichne ich an dieser Stelle jene Punkte, an denen die Stetigkeit verletzt sein könnte - bei zusammengesetzten Funktionen also häufig die Randpunkte, an denen die jeweils andere Funktionsvorschrift beginnt bzw. endet. 1.1 Beispiele 1. Wir betrachten die Betragsfunktion f : R R, f(x) := x. Diese ist im gesamten Definitionsbereich stetig, wie wir per ε δ-kriterium zeigen: Sei ε > 0 beliebig. Wähle δ := ε und seien x, y R mit x y < δ. Dann folgt (mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung): f(x) f(y) = x y x y < δ = ε Wir stellen fest, dass die Betragsfunktion sogar gleichmäßig stetig ist, da die Wahl von δ nur von ε abhängt. Obwohl die Betragsfunktion stetig ist, ist sie nicht differenzierbar (an der Stelle 0). Dies wird im Skript unter 15.3 (viii) gezeigt, indem man die Nullfolge h n := ( 1) n 1 n nimmt und zeigt, dass der Differentialquotient an der Stelle 0 nicht existiert, da der Limes des Differenzenquotienten hier nicht existiert (man erhält die alternierende Folge ( 1) n, welche bekanntlich nicht konvergiert).

3 Mirko Getzin 3 { x, x 0 Die Darstellung der Betragsfunktion als x = verdeutlicht hierbei, dass bei x, x < 0 zusammengesetzten Funktionen häufig die Randpunkte der verschieden definierten Definitionsbereiche jene kritische Punkte sind, welche Probleme bei der Differenzierbarkeit verursachen. { x 2. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion f : R R, f(x) := 2 x + 1, x 1 x, x < 1. Als rationale Funktionen für die stückweise definierten Bereiche ist f zunächst stetig in jedem Punkt außer 1. Da an der Stelle a = 1 beide einseitigen Grenzwerte für f 1 ergeben, existiert also auch der beidseitige Limes und es gilt f(x) = 1 = f(1) und nach Definition 10.4 (lokale x 1 Stetigkeitsdefinition) ist f also auch in 1 stetig und somit über den gesamten Definitionsbereich. Nun wollen wir noch zeigen, dass f auch differenzierbar ist. Wir stellen wieder fest, dass die stückweise definierten Bereiche differenzierbar sind (bis auf die Stelle a = 1 zunächst). Dies gilt nämlich, da id(x) := x als Identitätsfunktion differenzierbar ist (vgl. Beispiel 15.3 (ii) mit c := 1) und da rationale Operationen (Addition und Multiplikation) auf differenzierbaren Funktionen wieder zu differenzierbaren Funktionen führen. Nun bleibt noch die Differenzierbarkeit in a = 1 zu zeigen. Hierzu benutzen wir die linksseitige und rechtsseitige Differenzierbarkeit und überprüfen, ob beide einseitigen Limiten des Differenzenquotienten übereinstimmen. In dem Fall ist f nämlich auch an der Stelle a = 1 differenzierbar. Sei also x 1, dann folgt: x 1 = 1 (1 1+1) (x 2 x+1) x = 2 +x x() = = x = 1 Wir folgern, dass f(1) f(x) x 1 = 1 gilt und somit ist f auch für a = 1 differenzierbar, also auf dem gesamten Definitionsbereich. Mit Hilfe der Differentiationsregeln folgt somit: { f 2x 1, x 1 (x) = 1, x < 1 Die gegebene Funktion f ist also stetig und differenzierbar. { s, x 5 3. Wir betrachten eine beliebige Treppenfunktion f : R R, f(x) := mit s, t R t, x < 5 und s t. Diese Funktion ist stückweise definiert durch konstante Funktionen. Da jedoch s t gilt, ist die Funktion an der Stelle a = 5 nicht stetig. Da Stetigkeit eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist, wissen wir folglich auch, dass f bei a = 5 auch nicht differenzierbar ist.

4 Mirko Getzin 4 2 Stetige Differenzierbarkeit Als stetig differenzierbar bezeichnen wir Funktionen, die differenzierbar sind und deren Ableitung stetig ist. Analog ist eine Funktion k-mal stetig differenzierbar (k N, f (0) = f), wenn sie k-mal differenzierbar ist und die k-te Ableitung (also f (k) ) zusätzlich stetig ist. Zunächst stellen wir fest, dass jede differenzierbare Funktion als ihre Ableitung nicht notwendigerweise eine stetige Funktion erhalten muss. Insbesondere ist also die Ableitungsfunktion einer Funktion nicht notwendigerweise erneut differenzierbar, so dass die Definition der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen sinnvoll erscheint. Folglich ist der Nachweis von stetiger Differenzierbarkeit einer Funktion recht mühsam, da wir neben der Definition kein handlicheres Kriterium zum Nachweis besitzen. 2.1 Beispiele 1. Trivialerweise ist die Exponentialfunktion f(x) := exp(x), x R unendlich oft stetig differenzierbar, da die Exponentialfunktion stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich ist und f (k) (x) = f(x) = exp(x) k N gilt. 2. Jede Polynomfunktion ist unendlich oft stetig differenzierbar, denn wir wissen, dass jede Polynomfunktion als Summe stetiger und differenzierbarer Funktionen darstellbar ist und somit folglich selbst differenzierbar ist. Da man beim Differenzieren einer Polynomfunktion erneut eine Polynomfunktion erhält, wissen wir, dass die Ableitung jeder Polynomfunktion erneut stetig (und sogar differenzierbar) ist. Man beachte hierbei, dass auch die konstante Funktion f(x) = 0 stetig differenzierbar ist. Einen ausführlichen Beweis für dieses Beispiel erspare ich mir an dieser Stelle, da der Beweis nur eine Aneinanderreihung einiger wichtiger Sätze aus der Vorlesung ist. Hinweis: Polynomfunktionen lassen sich darstellen als f(x) := a k x k, wobei (a k ) k N R eine Folge reeller Zahlen ist, welche die entsprechenden Koeffizienten der Funktion beinhaltet. 3. An den obigen Beispielen könnte sich die Vermutung schnell breit machen, dass jede stetig differenzierbare Funktion auch unendlich oft stetig differenzierbar ist. Dies ist nicht der Fall, wie das folgende Beispiel euch zeigen soll. Wir betrachten die Funktion f : R R, f(x) := x x. Behauptung: f ist einmal stetig differenzierbar, aber nicht zweimal (insb. unendlich oft) stetig differenzierbar. Beweis: Als Produkt stetiger Funktionen ist f stetig. Die Funktion f ist auch differenzierbar, denn wir können f wegen der Definition{ des Betrags als zusammengesetzte Funktion darstellen, indem x 2, x > 0 wir stückweise definieren: f(x) = x 2, x 0. Auf den einzelnen Definitionsbereichen ist f als Produkt differenzierbarer Funktionen differenzierbar. An der kritischen Stelle a = 0 erhalten wir für die einseitigen Grenzwerte: (0) 2 ( x 2 ) (0) x 0 0 x = x = 0 = x = 2 x 2 x 0 x 0 x 0 0 x. Da die einseitigen Grenzwerte übereinstimmen, ist f auch differenzierbar in a = 0 und somit im gesamten Definitionsbereich. Es gilt nach den Differentiationsregeln dann: { f 2x, x > 0 (x) = 2x, x 0 k=0

5 Mirko Getzin 5 Nach Eigenschaften der Betragsfunktion gilt also f (x) = 2 x. Als Produkt stetiger Funktionen ist f selbst wiederum stetig. Da die Betragsfunktion an der Stelle a = 0 jedoch nicht differenzierbar ist, ist sie insgesamt nicht differenzierbar. Wir folgern schließlich, dass f einmal stetig differenzierbar ist, da f differenzierbar ist und f stetig ist. 4. Zuletzt folgt ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion, die aber nicht stetig differenzierbar ist, da ihre Ableitung nicht stetig ist. { x Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion f : R R, f(x) := 2 sin( 1 x ), x > 0 0, x 0. Die Funktion f ist auf den stückweisen Definitionsbereichen stetig als Produkt stetiger Funktionen. Außerdem ist f stetig an der kritischen Stelle a = 0, da die beiden einseitigen Grenzwerte übereinstimmen: f(x) = 0 = 0 = x 2 sin( 1 x 0 x 0 x 0 x ) = f(x). Es gilt somit x 0 = 0 = f(0) und somit ist f nach der Definition für lokale Stetigkeit in a = 0 stetig. x 0 Hinweis: Formal beweisen könnte man den Grenzwert von oben durch die Abschätzung 1 sin( 1 x ) 1 und dem Sandwichlemma, da somit gilt: x2 x 2 sin( 1 x ) x2 und sowohl x 2 0, als auch x 2 0 für x 0 gilt. Außerdem ist f differenzierbar. Den formalen Beweis hierfür solltet ihr unbedingt als Übungsaufgabe für die Klausur mal durchrechnen, hier erspare ich ihn mir. Es gilt dann mit Hilfe der Differentiationsregeln (Kettenregel und Produktregel): { f 2x sin( 1 (x) = x ) cos( 1 x ), x > 0 0, x 0 Wir zeigen nun, dass die Funktion f nicht stetig auf R ist, indem wir zeigen, dass f nicht in a = 0 stetig ist. Dies wollen wir mit Hilfe der Negation des ε δ-kriteriums zeigen. Erinnerung (Negation des Kriteriums an der Stelle a = 0): ε > 0 δ > 0 x R : x 0 < δ f(x) f(0) ε. Wir wählen uns dieses Mal also ein ε > 0 und ein x R, wohingegen δ > 0 beliebig ist. Da wir wissen, dass die trigonometrischen Funktionen zwischen 1 und 1 ihren Wertebereich besitzen, legen wir ε := 1 2 fest und es sei δ > 0 beliebig. Wir suchen nun ein x R, so dass x 0 = x < δ gilt (also x ] δ, δ[) und gleichzeitig f(x) f(0) ε gilt. Da wir in der Funktion f den Kosinus subtrahieren, wollen wir erreichen, dass dieser betragsmäßig maximiert wird, also soll cos( 1 x ) = ±1 gelten. Die Extremstellen des Kosinus sind uns bereits bekannt, wähle also x := 1 1 nπ, n N. Dann gilt x = nπ < δ n > 1 πδ und für ein beliebiges δ > 0 lässt sich ein solches n finden aufgrund der Unbeschränktheit der natürlichen Zahlen. Es gilt nun nämlich (mit obigen Wahlen): f(x) f(0) = f(x) 0 = 2 1 nπ sin(nπ) cos(nπ) 0 = 0 ± 1 0 = 1 > 1 2 = ε Wir haben also die Negation des ε δ-kriteriums an der Stelle a = 0 zeigen können, so dass wir folgern, dass f bei a = 0 nicht stetig ist und somit nicht stetig ist. Somit ist f zwar differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.

6 Mirko Getzin 6 3 Geometrische Deutung Wenn ihr in Zukunft an Aufgaben herangeht, wo ihr Stetigkeit oder Differenzierbarkeit (und vielleicht sogar stetige Differenzierbarkeit) überprüfen sollt, so macht es Sinn, sich die Graphen der gegebenen Funktion zunächst grob zu veranschaulichen. So lassen sich nämlich die beschriebenen kritischen Punkte relativ schnell finden (zumindest für reellwertige Funktionen), da Stetigkeit und Differenzierbarkeit auch geometrisch zu verdeutlichen sind. Stetigkeit bedeutet hierbei, dass der Graph der Funktion keine Lücken aufweist, bzw. keinen Sprung (formal auch: Polstelle oder Pol ). Sieht man also in einem Graphen eine solcher Lücken (bspw. bei Treppenfunktionen schnell zu erkennen), so ist klar, dass diese Funktion an der jeweiligen Stelle nicht stetig ist (und insbesondere nicht differenzierbar). Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt bedeutet geometrisch, dass es eine eindeutige Tangente gibt, welche man an den Graphen in dem jeweiligen Punkt anlegen kann. Wir erhalten somit knickfreie Funktionen als differenzierbare Funktionen, da an einem Knick immer verschiedene Tangenten möglich wären. Dies lässt sich am Graphen der Betragsfunktion sehr schön veranschaulichen: Wie bereits gezeigt ist diese an der Stelle a = 0 nicht differenzierbar - verglichen mit dem Graphen stellt man fest, dass an dieser Stelle auch einer der besagten Knicke vorzufinden ist, wo verschiedene Tangenten denkbar wären. Müsst ihr nun stetige Differenzierbarkeit einer Funktion zeigen, so schaut ihr zunächst, ob die Ausgangsfunktion einen Knick aufweist (Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion) und anschließend, ob der Graph ihrer Ableitungsfunktion eine Lücke aufweist (Stetigkeit der Ableitung). Dennoch: Ihr solltet euch auf geometrische Veranschaulichungen nicht zu sehr verlassen, da diese nur im Spezialfall funktionieren und unter Umständen zu Problemen führen. Vor allem in der mehrdimensionalen Analysis (Analysis II) kann dies schwierig werden, weshalb der Formalismus stets erhalten bleiben muss und eine geometrische Veranschaulichung euch folglich nur einen Ersteindruck vermitteln soll.