Reihen, Funktionen. Vorlesung Reihen Geometrische Reihen

Transkript

1 Vorlesung Reihen, Funktionen. Reihen Gegeben sei eine Folge (a n n N. Aus ihr können wir eine neue Folge konstruieren durch n s n := a 0 a a n = a k. s n ist die n-te Partialsumme von a n. Definition... Die Folge s n der n-ten Partialsumme heißt Reihe. Konvergiert s n, so nennen wir n lim s n = lim a k = a k n n den Wert der Reihe. Es ist zentrales Thema der Analysis zu untersuchen, ob eine Reihe konvergiert oder nicht... Geometrische Reihen Für x R ist eine geometrische Reihe von der Form x k. Wir haben gezeigt (Blatt, Aufgabe 9: n x k = xn für x = (geometrische Summe. x 6

2 Mit x < folgt x k = x. An dieser Stelle haben wir benutzt, dass lim n qn = 0 falls q < ; einen Beweis hierfür wird in der A-Vorlesung behandelt... Die harmonische Reihe Die harmonische Reihe ist Diese divergiert! Das ist auf dem ersten Blick nicht so offensichtlich, denn wir summieren über eine Nullfolge. Die Divergenz sehen wir so k = ( 3 4 > ( 4 4 = =. ( k ( ( ( Wir haben in dieser Abschätzung also benutzt, dass für alle k N gilt: k n= n k Bemerkung. Geometrische Reihen und die harmonische Reihe gehören zu den wichtigsten Reihen der Analysis. Die Summation bei einer geometrischen Reihe beginnt bei k = 0 und bei der harmonischen Reihe bei k =. Beispiel: Es gilt =. (. k(k Beweis. Wir haben denn k(k = k k, k(k = a k b a(k bk ak abk = = = k(aba k k(k k(k k(k = (abk a. Mit Koeffizientenvergleich folgt ab = 0, das heißt a = und b =. 63

3 Somit gilt also s n = = n n k(k = ( 3 n n k = für n, n k ( 3 n n k(k =. Zuweilen können wir die Berechnung eines Wertes einer Reihe auf bekannte Reihen zurückführen: Dafür haben wir folgenden Satz... (Reihen und algebraische Operationen Seien a k und b k zwei konvergente Reihen mit Grenzwerten a und b. Seien λ,μ R. Dann konvertiert die Reihe (λa k μb k und zwar gegen λaμb. Beispiel. ( ( k 3 4 = 3 (k (k ( k }{{} = (geom. Reihe = 3 4 = 64 = 0. Vorsicht: Zu beachten ist: a k b k = a k b k. 4 k(k }{{} = vgl.(. (k (k Hilfreich ist das Nullfolgenkriterium: Satz..3. Falls a k konvergiert, so ist a k notwendigerweise eine Nullfolge. Beispiel: Die Reihe n divergiert. n= Beweis. a n := n ist keine Nullfolge. Nach dem Nullfolgenkriterium divergiert n. n= Für weitere Konvergenzkriterien: siehe A-Vorlesung. 64

4 . Funktionen Definition... Es seien X und Y Mengen. Eine Funktion f von X nach Y ordnet jedem Element x X in eindeutiger Weise ein y Y zu. Wir verwenden die Bezeichnungen f: X Y x f(x = y Die Menge X heißt Definitionsbereich. Die Menge f(x := {f(x Y x X} heißt Wertebereich von f oder auch das Bild von X unter f. Bemerkung. Nicht jedem Element y Y muss ein x X zugeordnet worden sein! Definition... Unter dem Graphen von f : X Y verstehen wir die Menge Graph(f = {(x,f(x x X} X Y. Im Folgenden beschäftigen wir uns zunächst mit reellwertigen Funktionen, das heißt f : X R. Beispiele: Konstante Funktionen f: R R x f(x = c, c R. f(x = c Identische Abbildung id R : R R x x. f(x = x 65

5 Absolutbetrag : R R x x f(x = x (oder alternativ: abs: R R Ganzzahlfunktion, auch Gauß-Klammer genannt [ ]: R R (oder alternativ: entier: R R Für x R bezeichnen wir mit [x] die größte ganze Zahl x. Das heißt [x] ist diejenigeganzezahlmitx < [x] x. Der Wertebereich von [ ] ist Z. Beispiel: [,5]=. 66

6 Quadratwurzel sqrt: R 0 R x x Exponentialfunktion exp: R R x exp(x (= e x Polynomfunktionen p: R R x p(x = a n x n a xa 0 mit a j R, j = 0,,...n 67

7 Treppenfunktion Seien a < b reelle Zahlen. Eine Funktion φ : [a,b] R heißt Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung a = t 0 < t <... < t n < t n = b des Intervalls (a, b und Konstanten c,c,...,c n R, so dass φ(x = c k für alle x (t k,t k, k n. Die Funktionswerte φ(t k in den Teilpunkten sind beliebig. Beispiel für eine Funktion, deren Graphen wir nicht zeichnen können: Dirichletsche Sprungfunktion { 0, falls x Q f(x =, falls x R Q. Wir können durch algebraische Operatoren aus Funktionen neue Funktionen konstruieren. Definition..3. Seien f,g : X R Funktionen und λ R. Dann sind die Funktionen f g: X R λf: X R f g: X R definiert durch (f g(x := f(xg(x (λ f(x := λ f(x (f g(x := f(x g(x. Sei X = {x X g(x = 0}. Dann ist die Funktion f g : X R definiert durch ( f (x := f(x g g(x. 68

8 Bemerkung. Durch wiederholte Anwendung algebraischer Operationen entstehen aus id R und der konstanten Funktion alle rationalen Funktionen. Eine weitere wichtige Konstruktionsmöglichkeit neuer Funktionen gibt die folgende Definition: Definition..4. (Komposition von Funktionen Es seien f: X R und g: Y R Funktionen mit f(x Y. Dann ist die Funktion g f: X R (Komposition von f mit g definiert durch (g f(x := g(f(x für x X. X f Y g f g R Dabei lesen wir von rechts nach links (von innen nach außen. Beispiel: Sei g: R R mit g(x = x. Dann lässt sich abs: R R schreiben als abs = sqrt g, denn für x R gilt sqrt g(x = sqrt(g(x = sqrt(x = x = abs(x. 69