Übungen zur Mathematik 2

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1 Prof. Dr. Heiko Knospe SS 6 Übungen zur Mathematik Aufgabe Entwickeln Sie das Polynom f(x) = x 4 x 3 5x + x 4 um die Stelle x = und geben Sie die Nullenstellenordnung von f(x) bei x an. Aufgabe Die Gesamtenergie eines bewegten Körpers ist E = mc, wobei m m = v c m ist die Ruhemasse, v die Geschwindigkeit des Körpers und c die Lichtgeschwindigkeit. Nähern Sie E als Funktion von v bei v = durch das Taylorpolynom zweiter Ordnung. Zusatz: Interpretieren Sie das Ergebnis physikalisch. Aufgabe 3 Leiten Sie aus der Taylorentwicklung von sin(x) die ersten Terme sin(πx) der Taylorreihen von sin(πx), πx und sin (πx) an der Entwicklungsstelle x = her. Aufgabe 4 Sei f(x) = cos(x) x. (a) Geben Sie die Taylorentwicklung von f(x) bei x = an. (b) Bestimmen Sie lim x f(x) mit Hilfe von a). (c) Berechnen Sie einen Näherungswert von f( ), indem Sie die ersten 3 Terme der Taylorentwicklung verwenden. Aufgabe 5 Sei f(t) = t( cos(t) sin(t) + t) + 4 sin (t) 4 t. (a) Zeigen Sie, dass f (t) = t sin (t) gilt. (b) Folgern Sie, dass f auf [, [ streng monoton steigend ist. Aufgabe 6 Bestimmen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f(x) = (x x )e x d.h. geben Sie die Intervalle an, in denen f streng monoton steigend, fallend, linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt ist. Welche Extremstellen besitzt f(x)? Aufgabe 7 Wo besitzen die folgenden Funktionen relative Extremwerte? (a) f(x) = 8x 3 + x + 8x (b) f(t) = t 4 8t + 6 (c) f(x) = + x + x (d) f(x) = x x x x 6

2 Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Nullstellen, das Monotonieverhalten, lokale Extremstellen und ggf. die Asymptote der Funktion f(x) = x x + Aufgabe 9 Wie muß man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Konservendose mit vorgegebenen Volumen V wählen, wenn man so wenig Blech wie möglich zu ihrer Herstellung verwenden will? Was bedeutet dies für eine 4 ml Dose? Tipp: Die Oberfläche der Dose ist πr + πrh und das Volumen ist πr h bei Höhe h und Radius r. Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l Hospital : (a) x x + 3 lim x e x (b) lim x cosh(x) x Aufgabe Berechnen Sie folgende Grenzwerte, falls sie existieren: (a) lim x π sin(3x) tan(5x) (b) lim x 4 6 x 3 9 x (c) lim x e x x e x x sin x (d) lim x 3x +x e 3x +x (e) lim x + x ln x (f) lim x x 3 x 3 x (g) lim x + x x. Tipp: x x = e x ln(x) (h) lim x (cos x) x (i) lim x 3x+cos x x Aufgabe Warum ist folgende Anwendung der Regel von de l Hospital falsch? Wie lautet der richtige Grenzwert? x 3 + x x 3x + x 6x + lim x x = lim = lim = 4 x x x Aufgabe 3 Bestimmen Sie iterativ die Lösung der Gleichung x = e x. Begründen Sie, warum der Fixpunktsatz auf die Funktion f(x) = e x und das Intervall [ e, ] angewendet werden kann. Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Lösung(en) folgender Gleichungen mit dem Newtonschen Tangentenverfahren: (a) e x x x = (b) x + cosh x = Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Punkt auf dem Graphen von y = e x, der vom Ursprung den kleinsten Abstand besitzt.

3 Aufgabe 6 Geben Sie eine Abschätzung des Integrals e x x an, indem Sie die Obersumme und Untersumme für die äquidistante Zerlegung von [, ] in Teilintervalle berechnen. Aufgabe 7 Eine auf [a, b] integrierbare Funktion f werde an einer Stelle x [a, b] abgeändert. Warum bleibt die Funktion integrierbar und der Wert des Integrals unverändert? Aufgabe 8 Bestimmen Sie das Integral b x indem Sie das Intervall [, b] äquidistant in n Intervalle zerlegen, die Obersumme zunächst für ein festes n berechnen und dann den Grenzwert n betrachten. Bestimmen Sie anschließend b a x. Tipp: Verwenden Sie n i= i = n(n+)(n+) 6. Aufgabe 9 Skizzieren Sie den Graphen und berechnen Sie die Integrale: (a) (x x + ) (b) x (c) (x [x]) Aufgabe Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die die Graphen von f(x) = x und g(x) = 4x 3 einschließen? Aufgabe f(x). (a) f(x) = x 3 (b) f(x) = x + 3x (c) f(x) = x x Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von Aufgabe Berechnen Sie folgende Integrale: (a) (6x + x 7) (b) (3e7x + x) (c) 3 x (d) sin(πx) (e) (f) π 4 +x cos (x) (g) x 3

4 Aufgabe 3 Bestimmen Sie mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Ableitung der Funktion f(x) = x e t Aufgabe 4 Sei f(x) = e 3x sin x. Bestimmen Sie das Integral π f (x) Aufgabe 5 Bestimmen Sie die folgenden Integralfunktionen: (a) F (x) = x (t 3) dt (b) F (x) = x (sin t + t 7) dt (c) F 3 (x) = x 3t dt (d) F 4 (x) = x 3+3t dt Aufgabe 6 Berechnen Sie die folgenden Integrale: (a) (b) 3 πx +x (c) x (d) x 3 7x (e) x (f) x Aufgabe 7 Wo ist der Fehler? = dt (x 3) = x 6x + 9 (x 3) = (x 6x + 9) = 3 (x 3)3 + C = 3 x3 3x + 9x + C = 9 = Aufgabe 8 Zeigen Sie folgende Integralformel: e x e x + = ln(ex + ) x + C Aufgabe 9 Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration: (a) π 4 x sin x (b) x3 x (c) arcsin(x). Tipp: arcsin(x) = arcsin(x) (d) arctan(x). Tipp: arctan(x) = arctan(x) (e) x arctan(x) 4

5 Aufgabe 3 Lösen Sie das Integral e x sin x, indem Sie zweimal partiell integrieren und das Ergebnis dann geeignet umformen! Aufgabe 3 Sei T > und ω = π T. Zeigen Sie folgende Integralformeln: (a) sin (ωt) dt = t 4ω sin(ωt) + C (b) sin(ωt) cos(ωt) dt = ω sin (ωt) + C Sei U(t) = U sin(ωt) die Spannung und der I(t) = I sin(ωt + ϕ) der phasenverschobene Strom in einem Wechselstromkreis. Bestimmen Sie die momentane Leistung P (t) = U(t)I(t) mit Hilfe des Additionstheorems der Sinusfunktion. Berechnen Sie dann den linearen Mittelwert von P (t) mit Hilfe der o.a. Integrale: P = T T P (t) dt Aufgabe 3 Lösen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsregel: (a) (b) (c) e (d) π 6 x+3 6x +x x 3 +x ln x x 3 sin(x) cos(x) (e) xe +x (f) x 3 x (g) sin 3 x cos x Aufgabe 33 Berechnen Sie die folgenden Integrale: (a) sin( x) x (b) 3 9 x. Tipp: Substituiere x = 3t und dann t = cos v (c) 3 sin (3x) (d) x. Tipp: Substituiere x = t Aufgabe 34 Lösen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: (a) sin 3 (x). Tipp: sin (x) = cos (x) (b). Tipp: partielle Integration x sin x (c) sin(x) cos x. Tipp: Substitution (d) sin( x). Tipp: Substitution, dann partielle Integration (e) cos(ln x) x. Tipp: Substitution 5

6 Aufgabe 35 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: (a) 9 x 4x +5 (b) π t sin(t) dt (c) π x 3 cos(x ) (d) e x3 ln(x) (e) ln e x (e x +) 3 Aufgabe 36 Bestimmen Sie zunächst die Partialbruchzerlegung und dann eine Stammfunktion der folgenden Funktionen: (a) f(x) = 3 x 8x+ (b) f(x) = x+ x 3 x +x (c) f(x) = x+ x +6x+ Aufgabe 37 Bestimmen Sie folgende Integrale: (a) x 3 x x x (b) x +9x+ x +6x+ Aufgabe 38 Lösen Sie folgende Integrale: (a) x + 3 (x + 4x) (b) x+ 3x+4 (c) x x+ x. Tipp: Substituiere z = x. (d) +e x. Tipp: Substituiere z = e x. (e) tanh(x)e 3x. Tipp: tanh(x) durch e x ausdrücken und dann z = e x substituieren. Aufgabe 39 Sind die folgenden uneigentlichen Integrale konvergent? Berechnen Sie gegebenenfalls den Wert! (a) (x )e x+5 (b) (c) (d) (e) x +x+4 4x +x 3 3 x x x 5x+6 6

7 Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden komplexwertigen Funktionen (Wege). Plotten Sie die Kurven (d.h. den Wertebereich der Funktionen) für die angegebenen t-werte mit dem Computer. (a) f(t) = cos(t) + jt sin(t), t [, π] (b) f(t) = +j jt, t [ π, π] (c) f(t) = t e jt, t [ π, π] Bestimmen Sie die Lösung der folgenden komplexwertigen Inte- Aufgabe 4 grale: (a) π (cos(πt) + jt sin(πt)) dt (b) π π e jnt dt für n Z (c) te πjt dt Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden DGL erster Ordnung bzw. die jeweiligen AWP: (a) y + y =, y( ) = 3 (b) y + y = x 4 (c) 3y y = e x, y() = Aufgabe 43 Bestimmen Sie eine Funktion, deren Tangentensteigung an jeder Stelle gleich dem dreifachen des Funktionswertes ist und deren Graph durch den Punkt (, ) geht. Aufgabe 44 (a) Lösen Sie die DGL y + 5y =. (b) Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der DGL y + 5y = 6 sin(t) Machen Sie dazu den Ansatz y(t) = C sin(t) + C cos(t), setzen ihn in die DGL ein und bestimmen durch Koeffizientenvergleich C und C. (c) Lösen Sie nun das AWP y + 5y = 6 sin(t), y() = Aufgabe 45 Lösen Sie die folgenden DGL zweiter Ordnung bzw. die AWP: (a) y = y (b) y + 4y + 3y = (c) y + y =, y() = 3, y () = (d) y 4y + 4y = x + (e) y + y y = xe x, y() =, y () = 7

8 Aufgabe 46 integrieren: Lösen Sie die folgenden DGL, indem Sie beide Seiten nach x (a) y y = x3 6x (b) yy = cos(x) (c) y y = x Aufgabe 47 Gegeben seien die reellen Matrizen ( ) 3 A = B = 3 4 (a) Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke, sofern sie definiert sind: AB B T A A 3 (BA) T (b) Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Linearen Gleichungssysteme Ax = O und A T x = O. Aufgabe 48 Bestimmen Sie das folgende Matrizenprodukt über Z : ( ) T ( ) Welcher linearen Abbildung entspricht diese Matrix? Geben Sie die Abbildung als Bitfunktion explizit an. Aufgabe 49 Welche der folgenden Abbildungen sind K-linear? Geben Sie ggf. die zugehörige Abbildungsmatrix an. (a) K = R, f : R R, f(x, x ) = x x (b) K = C, f : C C, f(z) = ( z j, ( j)z) (c) K = R, f : R R, f(x, x ) = (sin(x ), cos(x )) (d) K = Z, f : Z 4 Z 4, f(x, x, x 3, x 4 ) = (x, x + x 4, x, x + x + x 4 ) (e) K = R, f : R 3 R 3, f(x, x, x 3 ) = (x + 3x 3, x 7x 3, x + x x 3 ) (f) K = R, f : R R, f(x) = ( x +, x ) Aufgabe 5 Seien f, g : R R durch f(x, x ) = ( x + x, 6x x ) bzw. g(x, x ) = (πx + x, x + x ) gegeben. Bestimmen Sie (f g)(x, x ) und (g f)(x, x ), indem Sie die Verkettung mit Hilfe der zugehörigen Abbildungsmatrizen bestimmen. Aufgabe 5 Drehen Sie die folgenden Vektoren im R um den Winkel π 6 gegen den Uhrzeigersinn. Veranschaulichen Sie die Operation mit einer Zeichnung. Tipp: Verwenden Sie zur Berechnung eine Drehmatrix. ( ) ( ) ( ) 3 8

9 Aufgabe 5 Welche der folgenden Untervektorräume des R 3 stimmen überein? Bestimmen Sie auch die Dimensionen der UVR! U =< >, U =<, 3 >, U 3 = {x R 3 (3 8 ) x = } 3 4 U 4 =< 3 ( ) ( 8 >, U 5 = {x R 3 3 x = } ) Aufgabe 53 Untersuchen Sie die angegebenen Vektoren auf lineare Unabhängigkeit: (a), über R 3 3 ( ) ( ) j + j (b), über C j (c),, über Z Aufgabe 54 Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen: 3 (a) über R 3 (b) über R sowie über Z j j (c) j j über C j Aufgabe 55 Betrachten Sie die lineare Abbildung, die durch das folgende Vektorprodukt gegeben ist: f : R 3 R 3, x x Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix an und bestimmen Sie ihren Rang. Ist die Matrix regulär oder singulär? Aufgabe 56 Seien die folgenden Matrizen über Z gegeben: G = H = (a) Zur Kanalcodierung werde der binäre Nachrichtenvektor c = (c, c, c 3, c 4 ) auf das Codewort v = c G abgebildet. Wie lautet die explizite Beschreibung des Codewortes zu c? G ist die Generatormatrix eines linearen Codes. 9

10 (b) Welche Dimension hat der Unterraum aller Codewörter im Z 7? Welchen Rang hat die Matrix G? (c) Nun werden Codewörter über einen gestörten Kanal übertragen. Der Empfänger erhält Vektoren v, die ggf. keine Codewörter sind. Ordnen Sie den folgenden empfangenen Vektoren wieder Nachrichtenvektoren zu: (,,,,,, ), (,,,,,, ), (,,,,,, ), (,,,,,, ) Tipp: Welche der Vektoren sind Codewörter? In diesem Fall lässt sich der Nachrichtenvektor sehr einfach ablesen. Ansonsten suchen Sie einen Nachrichtenvektor, dessen Codewort sich möglichst wenig von den empfangenem Binärwort unterscheidet. (d) Bestimmen Sie für die o.a. 4 Vektoren v das Syndrom s = v H T. Was fällt dabei auf? Aufgabe 57 Bestimmen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen. Welche Matrizen sind regulär? ( ) (a) über R 5 3 (b) über R 5 + j 3 j (c) 4 + j 3 j (d) Aufgabe 58 Welche Matrix hat die lineare Abbildung f : R 3 R 3, die Vektoren um π 3 um die y-achse (Drehachse) dreht? Bestimmen Sie auch die Determinante der Matrix sowie die zugehörige inverse Matrix. Aufgabe 59 Bestimmen Sie die inverse Matrix, soweit möglich: ( ) 4 (a) über R (b) 3 über R 4 (c) über Z

11 Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden reellen Matrizen: ( 9 ) (a) (b) (c) 3 Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen über Z : (a) (b) Aufgabe 6 Sei A die reelle Matrix Bestimmen Sie die Länge und die Skalarprodukte der Spaltenvektoren von A. Warum ist A eine orthogonale Matrix? Geben Sie A an. Aufgabe 63 Warum sind orthogonale Matrizen stets regulär? Aufgabe 64 Warum sind quadratische Matrizen genau dann singulär, wenn sie einen Eigenwert besitzen? Aufgabe 65 Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen mehrerer Veränderlicher an: (a) f(x, x, x 3 ) = x 3 x x 3 x x 4 (b) f(x, y) = cos(x) y y sin(x) (c) f(x, y) = xy sin(y) Aufgabe 66 Untersuchen Sie die folgende Funktion f : R R auf Stetigkeit: { x y f(x, y) = (x +y ) für (x, y) (, ) für (x, y) = (, ) Aufgabe 67 Untersuchen Sie die Funktion f aus der vorigen Aufgabe in allen Punkten (x, y) R auf partielle Differenzierbarkeit und berechnen Sie die partiellen Ableitungen f f x und y!

12 Aufgabe 68 Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktionen: (a) f(x, y) = e xy sin(πx) (b) f(x, x, x 3 ) = x arctan(x)ex x 3 +x Aufgabe 69 Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion f : R R f(x, y) = y x + y einmal partiell differenzierbar ist und berechnen Sie die partiellen Ableitungen. Aufgabe 7 f x, f y, f x, f y, an. Sei f(x, y) = xe y. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen f x y. Geben Sie die Linearisierung von f am Punkt a = (, ) Aufgabe 7 Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene folgender Funktionen an der angegebenen Stelle an: (a) f(x, y) = (x + y )e x, a = (, ) (b) f(x, y) = 3 x y + cos(π(x + y)), a = (, ) Aufgabe 7 Sie befinden sich auf einem Gebirge, dessen Höhe an der Position (x, y) durch die Funktion f(x, y) = sin(xy)e x gegeben sei, am Punkt a = (, π 4 ). In welcher (x, y)-richtung ist die Steigung (d.h. der Höhenzuwachs) bei a am größten? Bestimmen Sie den zugehörigen Winkel. Aufgabe 73 Bestimmen Sie die stationären Stellen (d.h. Stellen mit waagerechter Tangentialebene) folgender Funktion: f(x, y) = arctan(x + y + xy + x) Aufgabe 74 Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der folgenden Funktionen: (a) f(x, y) = (x + y )e x (b) f(x, y) = xy 7( x y ) (c) f(x, y) = 3xy + 4x 3 3y x + (d) f(x, x, x 3 ) = x + x + x 3 + x x + x x 3 x x 3 Aufgabe 75 Bestimmen Sie das vollständige Differential von f(x, t) = t +x t 4x. Aufgabe 76 Die Schwingungsdauer T eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises lässt sich aus der Induktivität L und der Kapazität C nach der Formel T = π LC bestimmen. Berechnen Sie die prozentuale Änderung von T, wenn die Induktivität um 5% verkleinert und die Kapazität gleichzeitig um 3% vergrößert wird. Nehmen Sie nun an, dass der relative Fehler bei der Angabe oder Messung dieser Größen 5% bzw. 3% beträgt. Welcher relative Fehler ergibt sich für die abgeleitete Größe T, wenn Sie a) lineare und b) quadratische (Gauß sche) Fehlerfortpflanzung verwenden? Tipp: Gehen Sie von Werten L, C und T aus und bestimmen Sie zunächst die absolute Änderung T bzw. die Fehler ( T ) max und ( T ) st.