Gesamt Bestanden

Transkript

1 Henning Krause Lineare Algebra I Philipp Lampe WS 2011/12 Klausur Nils Mahrt Gesamt Bestanden Zugelassene Hilfsmittel: Ein beidseitig beschriebenes DIN A4 Blatt sowie Schreibutensilien. Diese Klausur enthält 10 Blätter. Überprüfen Sie dies. Auf jedes Blatt tragen Sie bitte Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer ein. Lösen Sie die Klammerung der Seiten nicht auf. Ihre Lösungen tragen Sie bitte auf den Seiten der Aufgabenstellung ein. Für Rechnungen und Vorüberlegungen verwenden Sie das Konzeptpapier der letzten Blätter (Vorder- und Rückseite). Falls Sie weiteres Papier benötigen, fragen Sie die Klausuraufsicht. Bitte verwenden Sie weder Blei- noch Rotstift. Bitte geben Sie knappe aber zugleich hinreichend ausführliche Begründungen für Ihre Ergebnisse. Ihr Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Sofern nicht anders angegeben, dürfen Sie dabei auf Ergebnisse aus der Vorlesung verweisen, sollten diese jedoch klar benennen. Verweise auf Übungsaufgaben sind nicht zulässig. Im Multiple Choice Teil kreuzen Sie alle richtigen Aussagen bzw. Antworten an und lassen Sie die Kästchen der falschen Aussagen bzw. Antworten leer. Pro Aufgabe können mehrere Optionen richtig sein. Veröffentlichung des Klausurergebnisses: Kreuzen Sie bitte an, wenn Sie der Veröffentlichung Ihres Ergebnisses (ohne Namen unter Angabe der Matrikelnummer) auf der Vorlesungswebseite zustimmen.

2 Aufgabe 1 (2 Punkte): Gegeben seien K-Vektorräume V und W sowie eine lineare Abbildung f : V W mit Ker(f) {0}. Ist B eine Basis von V, so existiert x B mit f(x) = 0. Es existiert eine Basis B von V und x B mit f(x) = 0. Aufgabe 2 (2 Punkte): Gegeben sei ein K-Vektoraum V sowie eine lineare Abbildung f : V V. Ker(f f) Ker(f). Im(f f) Im(f). Ker(f + f) Ker(f). Im(f + f) Im(f). Aufgabe 3 (2 Punkte): Sei V ein dreidimensionaler R-Vektorraum mit Basis B = {v 1, v 2, v 3 } und sei ferner {f 1, f 2, f 3 } die zu B duale Basis des Dualraums V. Dann ist die Menge {f 1, 2f 2, 3f 3 }: eine Basis von V. die zu {v 1, 2v 2, 3v 3 } duale Basis von V. die zu {v 1, 1 2 v 2, 1 3 v 3} duale Basis von V. im Allgemeinen keine Basis von V.

3 Aufgabe 4 (4 Punkte): Geben Sie die Definition des Komplements eines Unterraums U in einem Vektorraum V, und geben Sie dafür ein Beispiel.

4 Aufgabe 5 (4 Punkte): Betrachten Sie den R-Vektorraum V = R 3 mit den Standardbasisvektoren e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) und e 3 = (0, 0, 1). Sei U der vom Vektor (1, 0, 2) aufgespannte Unterraum. Welche der Vektoren e 1 +U, e 2 +U, e 3 +U bilden im Faktorraum V/U eine linear unabhängige Teilmenge? Betrachten Sie dazu jede der acht möglichen Teilmengen.

5 Aufgabe 6 (4 Punkte): Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Definieren Sie die Begriffe injektiv und Kern. Folgern Sie aus den Definitionen, dass die Abbildung f genau dann injektiv ist, wenn Ker(f) = {0} gilt.

6 Aufgabe 7 (4 Punkte): Sei A die 2 2-Matrix, die bezüglich der Standardbasis des R 2 die Drehung um den Winkel π/3 (gegen den Uhrzeigersinn) um den Ursprung beschreibt. Geben Sie die Matrix A 3 an.

7 Aufgabe 8 (4 Punkte): Geben Sie explizit die Menge der Vektoren (x 1, x 2, x 3 ) R 3 an, die das folgende Gleichungssystem lösen. x 1 2x 2 + 3x 3 = 4 3x 1 + x 2 5x 3 = 5 2x 1 3x 2 + 4x 3 = 7