Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 2017/2018

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1 6 Skalarprodukt Bisher haben wir die Addition und Subtraktion von Vektoren definiert. Zudem haben wir Vektoren mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man Vektoren auch multiplizieren kann. Effektiv ist es möglich, auf zwei verschiedene Arten eine Multiplikation einzuführen. In diesem Kapitel untersuchen wir die erste Art, das Skalarprodukt. Für das Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, so dass das Resultat (das Produkt) eine Zahl ist. Die zweite Art das Vektorprodukt werden wir später behandeln. 6.1 Herleitung und Motivation Das erste Beispiel zeigt, wie man in zwei Dimensionen den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann. Dies wird mit dem Cosinussatz der Trigonometrie gemacht. Beispiel 1 Gegeben sind die Vektoren a = Vektoren. ( 3 5 ) und b = ( 5 6 ). Berechne den Winkel zwischen diesen zwei Der Vektor, der zum Dreieck ergänzt, ist c = a b. Für die Längen folgt a = 34, b = 61, c = 65 53

2 Mit dem Cosinussatz folgt dann cos γ = a + b a b a b = γ = Beispiel Im zweiten Beispiel führen wir noch einmal die gleiche Rechnung durch jetzt aber allgemein. Gegeben sind die Vektoren a = Vektoren. ( a1 a ) und b = Der Vektor c ergänzt zum Dreieck: c = a b. Für die Längen folgt a = a 1 + a, b = b 1 + b, c = (a 1 b 1 ) + (a b ) Mit dem Cosinussatz folgt dann cos γ = a + b a b a b ( b1 b ). Berechne den Winkel zwischen diesen zwei = a 1 + a + b 1 + b a 1 + a 1 b 1 b 1 a + a b b a b = a 1b 1 + a b a b Der Ausdruck a 1 b 1 + a b tritt im Zähler auf. Diesen Ausdruck werden wir als Definition des Skalarproduktes verwenden. Beispiel 3 Nun folgt die gleiche Rechnung in drei Dimensionen. Gegeben sind die Vektoren a = Vektoren. 1 1 und b = 3 4. Berechne den Winkel zwischen diesen zwei Mit dem Cosinussatz folgt dann cos γ = a + b a b a b = γ = 7.35 Beispiel 4 Das vorherige Beispiel allgemein: Gegeben sind die Vektoren a = Winkel zwischen diesen zwei Vektoren. Mit dem Cosinussatz folgt dann (nach längerer Rechnung) cos γ = a 1b 1 + a b + a 3 b 3 a b Der Ausdruck a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 tritt auf. a 1 a a 3 und b = b 1 b b 3. Berechne den 54

3 6. Definition Definition 7 (Skalarprodukt). Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist gegeben durch a b = a b cos γ wobei γ der Winkel zwischen a und b ist. Bemerkungen: Das Multiplikationszeichen muss geschrieben werden! Sind die Komponenten der Vektoren gegeben, so berechnet sich das Skalarprodukt durch: a b = a1 b 1 + a b + a 3 b 3 Für das Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert. Das Produkt ist aber eine Zahl (ein Skalar). Formel zur Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren: a b cos γ = a b Geometrische Interpretation des Skalarprodukts a b = a b cos γ = b a cos γ }{{}}{{} b a a b 55

4 Das Skalarprodukt kann als Produkt der Länge des einen Vektors a mit der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten b a verstanden werden (oder umgekehrt b mal die Projektion a b ). Damit wird auch klar, dass das Produkt positiv, null oder negativ sein kann. Es gilt a b > 0: Zwischenwinkel ist kleiner als 90 a b = 0: Winkel 90, die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander a b < 0: Zwischenwinkel ist grösser als 90 Aufgaben Rhyn: 1,, 7, 8, 1 1. AUFGABE: Wir betrachten die Winkel zwischen den Kanten des Spats. (a) Welche Winkel sind gleich gross? (b) Bestimme die Winkel zwischen den Kanten mit Hilfe des Skalarprodukts. 6.3 Rechengesetze Das Skalarprodukt ist eine neue Rechenoperation. Wir müssen die Rechenregeln überprüfen. Kommutativgesetz a b = b a Beweis: folgt direkt aus der Definition a b = a b cos γ = b a cos γ = b a Assoziativgesetz (λ a ) b = λ( a b ) Beweis: folgt direkt aus der Definition in Komponentendarstellung (λ a ) λa 1 b 1 b = λa b = λa 1 b 1 + λa b + λa 3 b 3 = λ (a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 ) = λ( a b ) λa 3 b 3 56

5 Achtung: Assoziativgesetz Es gibt kein echtes Assoziativgesetz für das Skalarprodukt. a ( b c ) ( a b ) c Der Grund ist, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren kein Vektor ist. Distributivgesetz a ( b + c ) = a b + a c Beweis: folgt durch Nachrechnen Aufgaben Rhyn: 4 7, Würfel und Dodekaeder: Auf die Seitenflächen eines Würfels ABCDEF GH werden kongruente Dächer aufgesetzt, und zwar so, wie in der Skizze für zwei Seitenflächen angedeutet. Durch die Einführung eines Koordinatensystems mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Würfels kann gezeigt werden, dass die Ecken der beiden Dächer die folgenden Koordinaten haben: A = (1, 1, 1), B = ( 1, 1, 1), C = ( 1, 1, 1), D = (1, 1, 1), E = (1, 1, 1), F = ( 1, 1, 1), M = (0, t, 1 + t), N = (0, t, 1 + t), P = (t, 1 + t, 0), Q = ( t, 1 + t, 0) Dabei ist t vorerst nicht näher bestimmt. (a) Beweise, dass aus der Bedingung, dass alle Kanten der Figur AP QBM gleich lang sein sollen, für den Wert von t folgt: 5 1 t = (b) Beweise, dass die Figur AP QBM für diesen Wert von t ein ebenes und regelmässiges Fünfeck ist. Folglich entsteht ein von zwölf regelmässigen Fünfecken begrenzter Körper, wenn auf alle sechs Seitenflächen eines Würfels wie beschrieben Dächer aufgesetzt werden. Dieser Körper heisst Dodekaeder. 57

6 (c) Berechne den Winkel zwischen zwei benachbarten Seitenflächen dieses Dodekaeders. (d) Berechne das Volumen dieses Dodekaeders aufgrund der beschriebenen Konstruktion. (e) Auf wie viele verschiedene Arten lässt sich ein Würfel so in das Dodekaeder einpassen, dass die Würfelecken auf Dodekaederecken liegen? Skizziere eine weitere Möglichkeit. 6.4 Anwendung: Skalarprodukt in der Physik 3. Arbeit und Winkel: (a) Um eine Kiste auf ebenem Boden zu bewegen, ist eine Kraft von 500 N notwendig. Welche Arbeit ist nötig, um die Kiste m weit zu schieben? (b) Ziehst du einen Leiterwagen auf ebener Strasse, so ist die Zugrichtung normalerweise nicht parallel zur Bewegungsrichtung. Nimm an, dass du mit einer Kraft von 300 N ziehst und dass der Winkel zwischen Zug- und Fahrtrichtung 30 beträgt. Welche Arbeit W verrichtest du, wenn du den Leiterwagen 00 m weit bewegst? (c) Stelle eine Formel auf, mit der die Arbeit W in Abhängigkeit von der wirkenden Zugkraft F, der Wegstrecke s und dem Winkel α zwischen F und s berechnet werden kann. 4. Um einen Schubkarren auf ebener Strasse zu bewegen, ist eine horizontale Kraft von 400 N notwendig. Berechne die zum Ziehen notwendige Kraft, wenn du nicht in horizontaler Richtung ziehst und der Winkel zwischen der Zugrichtung und der Bewegungsrichtung α beträgt. Du musst den Karren 500 m weit ziehen. Welche Arbeit verrichtest du jeweils? (a) 30 (b) 60 (c) Um die in Bewegungsrichtung wirkende Kraft F s zu berechnen, muss die Komponente des Kraftvektors F in Bewegungsrichtung s bestimmt werden. Wie im Bild gezeigt, ist dies die senkrechte Projektion F s. Berechne F s für (a) F = 1 5, s = (b) 3 F = 4, 7 s = 3 5 (c) Bestimme F s in Abhängigkeit von F und s. 58

7 6.5 Summenprodukte 6. Ein Händler hat am Ende eines Tages vier Hosen für CHF und neun für CHF verkauft. Ausserdem hat er fünf Filzhüte für CHF 59.- und zwei für CHF 79.- verkauft. Die Zahl der verkauften Artikel und die verschiedenen Preise lassen sich folgendermassen in Vektoren notieren: v = p = Welche Bedeutung hat v p? 7. Bei der Berechnung einer Zeugnisnote gewichtet jemand die erste und dritte Mathematikprüfung doppelt. Die zweite, vierte und fünfte zählen einfach. Zu diesem Zweck definiert er den Gewichtsvektor g = und den Prüfungsnotenvektor eines Schülers 5 4 n = Welche Bedeutung hat die Formel 1 7 ( g n )? 8. In der Stressforschung wird unter anderem untersucht, wie stark ein bestimmtes Ereignis das Leben einer Person durchschnittlich verändert. Die Stärke der Veränderung wird auf einer Skala von 0 bis 100 angegeben. Das Maximum von 100 wird nur beim Ereignis Tod des Partners erreicht. Das Ereignis Ende der obligatorischen Schulzeit hat zum Beispiel einen Wert von bloss 6. Nachstehend sind typische Werte der Ereignisse im beruflichen Bereich angegeben. Verlust des Arbeitsplatzes 47 Eintritt in den Ruhestand 45 Gravierende geschäftliche Veränderung 39 Wechsel in einen anderen Beruf 36 Gravierende Veränderungen in den beruflichen Aufgaben 9 Schwierigkeiten mit dem Chef 3 Gravierende Veränderungen in den Arbeitsbedingungen 0 All diese Werte werden im 7-dimensionalen Vektor a zusammengefasst. Mit e wird der 7-dimensionale Vektor mit lauter 1 als Komponenten bezeichnet. (a) Berechne die folgenden Ausdrücke und gib deren Bedeutung in Worten an. A: 1 7 ( a e ) B: 1 7 ( a m e ) ( a m e ), dabei ist m = 1 7 ( a e ) (b) Warum ist 1 7 ( a m e ) e eine ungeeignete Alternative für den Ausdruck B? 59

8 9. Genetische Distanzen: In der Genetik ist es eine interessante Frage, wie nahe verschiedene Populationen einer Art miteinander verwandt sind. Hier wird ein Beispiel für verschiedene menschliche Populationen angeführt. Die Daten stammen von Cavalli-Sforza und Edwards (1967) aus einer Pionierarbeit zur statistischen Untersuchung von Abstammungsbäumen. Die Blutgruppe wird von vier Allelen (Ausprägungen eines Gens) bestimmt. Aus diesen Allelen ergibt sich die Blutgruppe: Bekommt eine Person von einem Elternteil das Allel A 1 oder A und vom anderen das Allel B, so ergibt sich die Blutgruppe AB. In der Tabelle sind nur die relativen Häufigkeiten der Allele aufgeführt und nicht die Blutgruppen. Die Summe jeder Spalte gibt natürlich den Wert 1. Inuit Bantu Engländer Koreaner A A B Es ergeben sich vier Vektoren h I, h B, E I und h K mit den relativen Häufigkeiten zum Beispiel h I = Nachfolgend sind vier Möglichkeiten für die Definition der genetischen Distanz zweier Populationen angegeben. Definition A: Die genetische Distanz zwischen Inuit und Bantu ist gleich h I h B, restliche Distanzen analog. Definition B: Die genetische Distanz zwischen Inuit und Bantu ist gleich dem Winkel zwischen h I und h B, restliche Distanzen analog. Definition C: Zunächst wird in jeder Komponente von h I die Wurzel gezogen. Der so entstandene Wurzelvektor hat die Länge 1. Dann wird der Winkel zwischen all diesen Wurzelvektoren berechnet. Definition D: Die genetische Distanz zwischen Inuit und Bantu ist gleich ( h I h B ) ( h I h B ), restliche Distanzen analog. (a) Argumentiere, welche der Definitionen A, B, C oder D für die Bestimmung der genetischen Distanz am besten geeignet ist. Benenne Vor- und Nachteile der Definitionen. (b) Für jede der vier Definitionen ergeben sich jeweils sechs Distanzen zwischen den Populationen. Berechne für jede Definition wenigstens einen dieser jeweils sechs Werte. (c) Zeige mit Hilfe der Lösungstabelle (Lösungen), dass sich zum Beispiel für die Definitionen B und C andere Reihenfolgen der genetischen Distanzen ergeben. 60

9 Stiftsschule Engelberg PAM 61 Schuljahr 017/018

10 Stiftsschule Engelberg PAM 6 Schuljahr 017/018

11 Stiftsschule Engelberg PAM 63 Schuljahr 017/018

12 Lösungen 1. Es treten 6 verschiedene Winkel auf: 63.9, 116.1, 114.0, 66.0, 67.7, (a) Wir berechnen AP = (t 1) + t + 1 = t t + und P Q = (t) = 4t. Aus der Bedingung AP = P Q folgt t + t 1 = 0 Die positive Lösung ist (Goldener Schnitt!) 5 1 t = (b) Es muss gezeigt werden, dass die Fläche AP QBM eben ist. Beispielsweise, indem man nachweist, dass die Vektoren AM, AP und QP komplanar sind. Ausserdem müssen alle Kanten gleich lang sein. Dies folgt aus der Umkehrung von (a). Schliesslich müssen alle Winkel gleich sein. (c) (d) (e) Jede Würfelfläche bildet eine Diagonale genau einer Dodkaederseitenfläche. Es gibt 5 Diagonalen im Fünfeck und somit 5 mögliche Platzierungen des Würfels. 3. (a) 1 kj (b) 5 kj (c) F s = F s cos α 4. (a) 461 N, 00 kj 5. (a) (b) 800 N, 00 kj (c) Der Karren kann nicht in Wegrichtung bewegt werden. (b) (c) F s s s 6. v p ergibt die Einahmen im Januar beim Verkauf dieser Produkte (CHF 350) (a) A: 1 7 ( a e ) = 34.1 (Mittelwert) B: 1 7 ( a m e ) ( a m e ) = 94.4 (durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert) (b) Positive und negative Abweichungen heben sich gegenseitig auf. 9. (a) Definition A: ist wenig geeignet: Je grösser das Ergebnis, desto näher tendenziell die Verwandtschaft. Insbesondere ist die Distanz zu sich selber nicht null. Da nicht alle Vektoren gleich lang sind, kann bei zwei langen Vektoren, die in deutlich verschiedene Richtungen zeigen, auch ein grosses Resultat erzielt werden. Definition B und D: sind mathematisch taugliche Distanzdefinitionen. Bei beiden Varianten hätten die Vektoren, ohne die Richtungen zu ändern, noch folgendermassen auf Länge 1 normiert werden können: e I = 1 h I h I 64

13 Definition D: liefert das Betragsquadrat des Differenzenvektors und entspricht so einem Abstand. Definition C: Die Winkel zwischen Vektoren der Länge 1 entsprechen den Abständen der entsprechenden Punkte auf einer Kugeloberfläche. Das ist bei 3-dimensionalen Vektoren klar, gilt aber auch in höheren Dimensionen. Deswegen werden im Fall C die Vektoren auf Länge 1 gebracht. Da bei diesem Verfahren die Richtungen der Vektoren geändert werden, ist es zu kritisieren. Gleichwohl ist es das von den Autoren gewählte Verfahren. (b) Die folgende Tabelle zeigt die genetischen Abstände nach den verschiedenen Definitionen auf. In-Ba In-En In-Ko Ba-En Ba-Ko En-Ko A B C D (c) Bei C sind die Engländer näher an den Bantu als an den Inuit. B und D liefern die gleiche Reihenfolge des Abstands zu den Engländern. 65

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