Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

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1 Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Dierenzialrechnung einer reellen Veränderlichen

2 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Folgen Denition: Folgen Wird jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl a n zugeordnet, so spricht man von einer Zahlenfolge oder kurz Folge und schreibt {a n } bzw. n a n. Beispiele für allgemeine Folgen und ihre Darstellung: a n = n 1, 2, 3,... a n = 1 n 1, 1 2, 1 3, 1 4,... a n = n n+1 = n 1, 2, 3, 4, a n = ( 1) n n+1 2, 3, 4, 5,... n a n = (n+1)n = ( ) n+1 n = ( ) n 2, 9, 64, 625,... n n n n

3 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Folgen Weitere Beispiele: Folge der nach Gröÿe geordneten Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Augenzahlen beim Würfelspiel (oder zufällig erzeugte Zahlen): 2, 6, 1, 4, 3, 3, 5,... Rekursiv denierte Folge: a 1 = 1, a n = a n 1 + 1

4 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften von Zahlenfolgen Eine Folge {a n } heiÿt nach oben beschränkt, wenn es einen Wert A IR gibt, so dass für alle n IN gilt: a n A nach unten beschränkt, wenn es einen Wert B IR gibt, so dass für alle n IN gilt: a n B beschränkt, wenn alle Glieder der Folge zwischen zwei festen Zahlen A IR und B IR liegen: A a n B bzw. wenn es ein K R gibt, so dass K a n K

5 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften von Zahlenfolgen Eine Folge {a n } heiÿt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle n IN gilt a n a n+1 bzw. a n < a n+1 monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle n IN gilt a n a n+1 bzw. a n > a n+1 alternierend, falls das Vorzeichen aufeinanderfolgender Glieder wechselt, d. h. falls gilt: a n a n+1 < 0 für alle n IN konstant, falls für alle n IN gilt: a n = c, c IR konstant

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Nullfolgen Anschauliche Erklärung: Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder a n sich (für wachsendes n) immer mehr dem Wert Null nähern. Beispiel: a n = 1 ist eine Nullfolge. n Betrachtet man z.b. das Glied a , so hat dies nur noch den Wert 0,000001, ist also fast Null.

7 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Nullfolgen Kann man berechnen, ab welchem Glied sich diese Folge bis auf 0,2 Einheiten der Null genähert hat? Bezeichnung für diesen Abstand (0,2) ist allgemein der griechische Buchstabe ɛ (Epsilon). Also: Ab welchem Glied gilt a n < ɛ?

8 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Nullfolgen Beispiel: a n = 1 n Ab welchem Glied ist a n = 1 n kleiner ɛ? 1 Also, ab welchem Glied gilt: n < ɛ Formel nach n umstellen: ɛ einsetzen: 1 ɛ < n 1 0,2 < n Wir erhalten: n > 5 Ergebnis: Ab dem 6. Glied sind die Glieder der Folge a n = 1 n kleiner als 0,2.

9 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Nullfolgen: N(ɛ) Denition: Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ɛ: Die erste Zahl n, bei dem ein Glied kleiner als ɛ ist, nennt man N(ɛ).

10 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Nullfolgen: Denition Eine Folge {a n } heiÿt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten Glied N(ɛ) alle Glieder der Folge betragsmäÿig kleiner als ɛ sind und ɛ beliebig klein gewählt werden kann. Als Formel: a n < ɛ für alle n > N(ɛ) für ɛ beliebig klein. Beispiel: Die Glieder der Folge a n = 1 werden kleiner als ein n beliebiges ɛ. Die Folge ist somit eine Nullfolge.

11 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Allgemein: konvergente Folgen (Denition) Zur Denition allgemein konvergenter Folgen benützen wir wieder den Begri der ɛ-umgebung. Eine andere Formulierung der Denition von Nullfolgen: Eine Folge konvergiert gegen 0, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen 0 ɛ und 0 + ɛ haben (d. h. die Glieder liegen in der Umgebung 0 ± ɛ), wobei ɛ beliebig klein gewählt werden darf. Genauso deniert man allgemein konvergente Folgen: Eine Folge konvergiert gegen einen Wert a, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen a ɛ und a + ɛ haben (d. h. in einer Umgebung a ± ɛ liegen), wobei ɛ beliebig klein gewählt werden darf. a ist der Grenzwert der Folge.

12 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Allgemein: konvergente Folgen (Beispiel) Im Beispiel wurde a = 2 und ɛ = 0.25 gewählt:

13 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Zusammenhang: Nullfolge allgemein konvergente Folge Oberer Teil des Bildes: Folge, die gegen a = 2 konvergiert. Nun ziehen wir von jedem Glied den Wert 2 ab; wie man sieht erhalten wir eine Nullfolge.

14 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Zusammenhang: Nullfolge allgemein konvergente Folge Diese wichtige Feststellung halten wir in einem Satz fest: Die Folge {a n } konvergiert genau dann gegen a, wenn die Folge {a n a} eine Nullfolge ist. Man schreibt: a n a (für n ) oder lim n a n = a Eine Folge {a n }, die keinen endlichen Grenzwert a IR hat, heiÿt divergent. Unterscheidung: wenn es einen uneigentlichen Grenzwert + oder gibt: bestimmt divergent (Folge wächst über alle Grenzen) wenn kein Grenzwert existiert: unbestimmt divergent

15 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Grenzwerte von Folgen: Beispiele Beispiele für Nullfolgen: 1, 1, 1 n n { ( 1) n, 1, 1 1, n+1 2n n 2 n k n 2 } = { 1, 1 4, 1 9, 1 16,... } 0 (konvergiert alternierend gegen 0) für k IN {2n} = {2, 4, 6, 8,... } (bestimmt divergent, wächst über alle Grenzen) {( 1) n } = { 1, 1, 1, 1 1,... } Kein Grenzwert (unbestimmt divergent)

16 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Rechenregeln für konvergente Folgen Satz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen: Die Folge {a n }, die gegen a konvergiert, a n a Die Folge {b n }, die gegen b konvergiert, b n b. Dann gilt: a n ± b n a ± b ca n ca (c IR) a n b n ab a n b n a b a r n a r (b n 0, b 0) Auÿerdem: a n 0, a n > 0 = 1 a n + a n 0, a n < 0 = 1 a n

17 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Beispiele: Gebrochen rationale Folgenglieder Kürzen mit der höchsten gemeinsamen Potenz von Zähler & Nenner: ( n + 1 lim = lim ) = lim n n n n 1 + lim 1 n n n = 1 2n 2 n (1/n) + (1/n 2 ) lim = lim = 2 n n n 1 + (1/n 2 ) lim n n + 2 n 2 1 = lim 1 + (2/n) n n (1/n) = 0 1 n 2 lim n n + 3 = lim (1/n) n n 1 + (3/n) =

18 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Gebrochen rationale Folgenglieder Bei gebrochen rationalen Ausdrücken gilt, was wir für gebrochen rationale Funktionen bereits festgehalten haben: a n habe die Form bnx n + +b0 cmx m + +c0 Grad(Zähler) < Grad(Nenner) = a n 0 Grad(Zähler) = Grad(Nenner) = a n bn cn Grad(Zähler) > Grad(Nenner) = a n ± Dies gilt auch, wenn Wurzelfunktionen in Zähler oder Nenner vorkommen.

19 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Beispiel: Folgen mit Wurzeltermen a n = n 2 + n Achtung: ist i.a. nicht Null! n 2 + 2n Zu Binomischer Formel erweitern, um Wurzel im Zähler zu eliminieren. a n = ( n 2 + n n 2 + 2n)( n 2 + n + n 2 + 2n) n2 + n + n 2 + 2n = (n2 + n) (n 2 + 2n) n2 + n + n 2 + 2n = = n n2 + n + n 2 + 2n n n Brüche immer zuerst kürzen mit der höchsten Potenz! Hier: n (Wurzel). n = 1 2

20 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Denition: Grenzwert einer Funktion Eine Funktion y = f (x) sei in einer Umgebung von x 0 deniert. Gilt dann für jede im Denitionsbereich der Funktion liegende und gegen die Stelle x 0 konvergierende Zahlenfolge {x n } mit x n x 0 stets lim f (x n) = g n so heiÿt g der Grenzwert von y = f (x) an der Stelle x 0. Man schreibt: lim f (x) = g x x0 Gelesen: Limes von f (x) für x gegen x 0 gleich g.

21 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Anmerkungen: Grenzwert einer Funktion Die Funktion y = f (x) muss an der Stelle x 0 nicht deniert sein. Der Grenzübergang x x 0 bedeutet: x kommt der Stelle x 0 beliebig nahe, ohne sie jedoch jemals zu erreichen. Es ist stets x x 0. Anschaulich: Der Funktionswert f (x) unterscheidet sich beliebig wenig vom Grenzwert g, wenn man sich der Stelle x 0 nur genügend nähert.

22 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen f (x) und g(x): Funktionen mit lim x x 0 f (x) = f, limx x 0 g(x) = g lim C f (x) = C lim f (x) = C f, x x0 x x0 C IR lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = f ± g x x0 x x0 x x0 lim [f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) = f g x x0 x x0 x x0 f (x) lim x x0 g(x) = limx x 0 f (x) lim x x g(x) = f, falls g 0 0 g lim x x0 n f (x) = n lim [f (x)] n = x x0 lim x x0 [ lim x x0 lim f (x) x x0 [ logy f (x) ] [ = log a ( lim x x0 = n f ] n = f n lim f (x) x x0 e f (x)) = e lim x x 0 f (x) = e f ] = log a f

23 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Denition: Stetigkeit einer Funktion Anschaulich: Kurve der Funktion kann ohne Absetzen gezeichnet werden. Mathematisch: Eine Funktion y = f (x) heiÿt an der Stelle x 0 stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an der Stelle vorhanden ist und mit dem dortigen Funktionswert übereinstimmt: lim f (x) = f (x 0 ) x x0 Voraussetzung ist, dass f (x) an der Stelle x 0 und in einer gewissen Umgebung von x 0 deniert ist. Eine Funktion f (x) heiÿt stetig in einem Intervall (a, b), wenn f (x) für alle x (a, b) stetig ist.

24 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Stetige Funktionen Satz: Die elementaren Funktionen (Polynome, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktion, Logarithmus, Winkelfunktionen und deren Inversen) sowie alle über Grundrechenarten und/oder Verkettung (Hintereinanderausführung) daraus aufgebauten Funktionen sind in ihrem Denitionsbereich stetig. In diesem Sinn sind termdenierte Funktionen immer stetig. Dies folgt aus den Rechenregeln für Grenzwerte.

25 Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Sei y = f (x) eine stetige Funktion, deren Denitionsbereich das Intervall [a, b]; a, b IR enthält. Dann gilt: f (x) nimmt in [a, b] jeden Funktionswert zwischen f (a) und f (b) an (Zwischenwertsatz). Haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so liegt zwischen a und b mindestens eine Nullstelle (Spezialfall von oben). Die Funktion y = f (x) besitzt in [a; b] ein Maximum und ein Minimum (nicht ± ).

26 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : intuitiv Bekannt: Anstieg einer Geraden: Quotient der Kathetenlängen eines Steigungsdreiecks (Dy/Dx) Beispiel: Straÿensteigung 15% = 0, 15 Gerade im Koordinatensystem f (x) = mx + d = Anstieg m Frage: Macht es Sinn, vom Anstieg einer Kurve zu sprechen? Kurve kann Richtung ändern, in unterschiedlichen Punkten unterschiedlich steil sein. Frage: Macht es Sinn, vom Anstieg einer Kurve in einem Punkt zu sprechen? Ja, vorausgesetzt, sie besitzt in dem Punkt eine Tangente, (d. h. dort gibt es keinen Knick). Dann vereinbaren wir: Richtung der Kurve = Richtung der Tangente Anstieg der Kurve = Anstieg der Tangente

27 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : intuitiv Sei f eine (reelle) Funktion. Die von f an der Stelle x ist der Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x, f (x)). Sie wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet (ausgesprochen f -Strich von x oder f -Strich an der Stelle x). Was noch fehlt: Wie berechnet man Abl.? Wann existiert die Abl.?

28 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Berechnung der Gegeben: reelle Funktion f und Stelle x 0. Aufgabe: Berechne Anstieg der Tangente an f im Punkt (x 0, f (x 0 )). 1. Berechne Anstieg einer Sekante, d.h. einer Geraden, die f in zwei Punkten schneidet: im Punkt (x 0, f (x 0 )) und in einem Nachbarpunkt (x 0 + h, f (x 0 + h)). D.h. gehe von x0 ein Stück h nach rechts oder links (je nach dem Vorzeichen von h); Steigungsdreieck. m(x 0, h) = f (x 0 + h) f (x 0 ) h 2. Berechne Grenzwert, wenn h gegen 0 geht. Dann strebt Sekantensteigung gegen Tangentensteigung im Pkt. (x 0, f (x 0 )) f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h

29 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Dierenzenquotient m(x 0, h) = f (x 0 + h) f (x 0 ) h Da Zähler und Nenner dieser Gröÿe nichts anderes sind als die Dierenzen der Koordinaten der beiden Punkte der Sekante, wird diese Gröÿe Dierenzenquotient genannt. Beispiel: Betrachte die Funktion f (x) = x 2 und berechne die an der Stelle x 0 = 3 als Grenzwert des Dierenzenquotients.

30 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Denition Denition: Die Funktion y = f (x) heiÿt an der Stelle x 0 dierenzierbar, wenn der Grenzwert f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim h 0 h existiert; f (x 0 ) heiÿt der Funktion f an der Stelle x 0. Ist f an jeder Stelle x 0 D f dierenzierbar, so heiÿt f dierenzierbar. Beispiele für Funktionen, die nicht dierenzierbar sind: Funktionen mit Knick, z.b. Betragsfunktion; an Sprungstellen (dort gilt linksseitiger Grenzwert rechtsseitiger Grenzwert) oder an Unendlichkeitsstellen.

31 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Schreibweisen und Bezeichnungen (I) y = f (x) sei dierenzierbar. Schreibweisen: f (x) = y (x) = dy dx = df dx Sprechweisen/Anwendung: f (x): f-strich-von-x = df (x) dx = d dx f (x) df : d-f-nach-d-x (Dierenzialquotient; Historisch: df, dx dx heiÿen Dierenziale; in der Vorstellung unendlich klein/innitesimal) y (x) oder dy (d-y-nach-d-x) wenn man betonen will, dass dx die abhängige Variable y heiÿt. d f (x) (d-nach-d-x), sinnvoll wenn es auÿer x noch andere dx Symbole gibt (z.b. a für eine feste Zahl/Konstante; Bsp.: d du a3 u 2 = 2a 3 u).

32 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Schreibweisen und Bezeichnungen (II) an einer bestimmten Stelle x 0, z. B. x 0 = 0: f (0) = f (x) x=0 Senkrechter Strich bedeutet: an der Stelle. ist selber wieder eine Funktion, d.h. kann selber ggf. wieder abgeleitet werden höhere. Bsp.: 2. Abl. ( f (x) ) = f (x) = d 2 y dx = d 2 f (x) = d ( ) 2 2 d 2 dx 2 dx f (x) = 2 dx d-zwei-y-nach-d-x-quadrat, etc. Physik: häug Punkt statt Strich, wenn Variable Zeit entspr. s (t) = ṡ(t)( s-punkt-von-t), s (t) = s(t)( s-zwei-punkt-von-t)

33 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Berechnung der für grundlegende Funktionen Beispiele zur Berechnung der mittels Dierenzenquotient f (x) = ax + b = f (x) = a f (x) = x 2 = f (x) = 2x f (x) = x = f (x) = 1 2 x f (x) = 1 = f (x) = 1, x 0 x x 2 Weitere en: f (x) = x r = f (x) = r x r 1, r IR f (x) = sin x = f (x) = cos x f (x) = cos x = f (x) = sin x f (x) = e x = f (x) = e x f (x) = ln x = f (x) = 1 x

34 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Dierenzierbarkeit und Stetigkeit Jede in x 0 dierenzierbare Funktion ist in x 0 auch stetig. Anders ausgedrückt: f dierenzierbar in x 0 = = f stetig in x 0. Beispiel für eine Funktion, die stetig aber nicht dierenzierbar ist: f (x) = x an der Stelle x 0 = 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0,h>0 h f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0,h<0 h h 0 = lim = 1 h 0,h>0 h h 0 = lim = 1 h 0,h<0 h Grenzwerte stimmen nicht überein: f ist in x 0 = 0 nicht dierenzierbar.

35 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en en: Rechenregeln Sind f, g in x 0 dierenzierbar, so sind auch c f, f ± g und f g g(x 0 ) 0) in x 0 dierenzierbar und es gilt in x 0 : (falls (c f (x)) = c f (x) (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) (Produktregel) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) (Quotientenregel) g(x) (g(x)) 2

36 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en en: Rechenregeln Eine Verknüpfung von Funktionen erreicht man auch durch das Hintereinander-Ausführen. Kann eine Funktion als Verkettung von Funktionen aufgefasst werden, erhält man die über die Kettenregel: Gilt y = f (g(x)), so erhält man die als y (x) = f (g(x)) g (x) der äuÿeren Funktion mal der inneren Funktion Kettenregel in Dierenzialschreibweise: y = f (g(x)) dy = dy du dx du dx wobei in dieser Formel u für g(x) steht.

37 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en en: Kettenregel Rechenschema Gesucht: Abl. für y = f (g(x)) y = sin(x 2 ) Substitution g(x) durch u ersetzen x 2 = u Äuÿere Funktion y = f (u) y = sin u dy Äuÿere =... dy = cos u du du Innere Funktion u(x) = g(x) u(x) = x 2 du Innere =... du = 2x dx dx dy Kettenregel = dy du dy dx du dx dx Rücksubstitution u durch g(x) ersetzen dy dx = cos u 2x = cos(x 2 ) 2x

38 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Die einer Funktion f an der Stelle x 0 kann als Änderungsrate von f an der Stelle x 0 interpretiert werden, d. h. als Änderung des Funktionswerts pro kleiner (innitesimaler) Änderung des Arguments x in der Nähe der Stelle x 0. Ist x sehr klein, so gibt der Dierenzenquotient ungefähr die an: f / x f (x 0 ) bzw. f = f (x 0 + x) f (x 0 ) f (x 0 ) x. Dies gilt umso genauer, je kleiner x ist. (Anstelle von x und f werden in diesem Zusammenhang auch die Bezeichnungen δx und δf oder dx und df verwendet.) In Worten: Ändert sich x um x, so ändert sich f ungefähr um f (x 0 ) x. Die Änderung x spielt dabei die Rolle des bisher verwendeten h.

39 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Folgende Fragen sollen jetzt behandelt werden: Wie ändert sich der Funktionswert (absolut/in Einheiten), wenn x um eine Einheit verändert wird? Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn x um eine Einheit verändert wird? Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn x um ein Prozent verändert wird? Die absolute Änderung der abhängigen Variablen informiert nur unzureichend über die Struktur der Reaktion auf eine Änderung von x. Daher relative Gröÿen betrachten.

40 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Beispiel: Der Preis eines Produkts wird um 1 e erhöht. Folge: der Absatz sinkt um Stück. Anhand der absoluten Gröÿen lässt sich nur wenig über die Reichweite der Nachfrageänderung erkennen. Es fehlt der Vergleichmaÿstab: Betrug der Preis im Ausgangspunkt 10 oder 100 e? Ist der Absatz von auf oder von auf Stück gesunken? Sinnvoller: relative Änderungen betrachten. Die letzte Gröÿe hat keine Dimension wie e oder Stück, dies ermöglicht die Vergleichbarkeit von gleichartigen Werten.

41 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Grenzfunktion, Änderungsrate, Elastizität Denition: Die Funktion f (x) sei dierenzierbar. Dann heiÿen für f (x) 0 f (x) r f (x) = f (x) f (x) ɛ f (x) = f (x) x f (x) der Funktion f an der Stelle x. Grenzfunktion Wachstumsrate oder relative Änderungsrate Elastizität Gilt ɛ f (x) > 1, so sagt man: y reagiert elastisch gilt ɛ f (x) < 1, so sagt man: y reagiert unelastisch auf eine Änderung der unabhängigen Variablen an der Stelle x.

42 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Rechenregeln für die Elastizität ɛ f g = ɛ f + ɛ g ɛ f /g = ɛ f ɛ g ɛ 1/g = ɛ g ɛ f 1(y) = 1 ɛ f x=f 1 (y) = 1 ɛ f ( f 1 (y) ) Beispiel für die letzte Regel: f (x) = e x = f 1 (x) = ln x ɛ f (x) = x = ɛ f 1(x) = 1 x x=f 1 (x) = 1 ln x

43 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Antwort: Wie ändert sich der Funktionswert (absolut/in Einheiten), wenn x um eine Einheit verändert wird? Grenzfunktion f (x) Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn x um eine Einheit verändert wird? Änderungsrate/Wachstumsrate r f (x) Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn x um ein Prozent verändert wird? Elastizität ɛ f (x)

44 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Bekannt: Die ist die Steigung der Tangenten an den Funktionsgraphen. f (x) > 0 f (x) < 0 bedeutet, der Graph von f (x) wächst an der Stelle x. fällt f (x) = 0 bedeutet, der Graph besitzt eine waagrechte Tangente. Die gibt Auskunft über weitere Eigenschaften: Monotonie Krümmung Extrempunkte Wendepunkte

45 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Monotonie { } wachsend y = f (x) monoton in [a; b] fallend { f } (x) 0 f für alle x [a; b]. (x) 0 { } wachsend y = f (x) streng monoton in [a; b] fallend { f } (x) > 0 f für alle x [a; b]. (x) < 0

46 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Monotonie Beispiel f (x) = f (x) = ex 1+e x ex > 0 (da e x > 0) (1+e x ) 2 = f (x) streng monoton wachsend. f (x) = x 2 { > f 0 für x > 0 (x) = x < 0 für x < 0 { wachsend auf (0; ) = f (x) streng monoton fallend auf ( ; 0)

47 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Krümmung Fährt man den Graph einer Funktion entlang, so macht der Graph entweder eine Linkskurve oder eine Rechtskurve. Dazwischen wendet er die Richtung es gibt einen Wendepunkt. Die zweite beschreibt die Krümmung. Für die Krümmung des Graphen gilt: f (x) > 0 der Graph ist an der Stelle x linksgekrümmt. f (x) < 0 der Graph ist an der Stelle x rechtsgekrümmt. f (x) = 0 der Graph hat an der Stelle x evtl. einen Wendepunkt, es müssen jedoch zusätzliche Bedingungen erfüllt sein.

48 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Extrempunkte Als Extrempunkte gelten Maximal- und Minimalstellen. Man unterscheidet lokale und globale Extrempunkte: Die Funktion f hat in x 0 ein lokales Maximum: f (x) f (x 0 ) in einer Umgebung von x 0 lokales Minimum: f (x) f (x 0 ) in einer Umgebung von x 0 globales Maximum: f (x) f (x 0 ) auf ganz D f globales Minimum: f (x) f (x 0 ) auf ganz D f Wenn die 1. gleich Null ist, ist dies ein Hinweis auf einen möglichen Extrempunkt. Es müssen jedoch zusätzliche Bedingungen erfüllt sein.

49 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Extrempunkte Prüfung auf Maximum: f (x) = 0 und f (x) < 0 (Rechtskurve) oder f (x) = 0 und f (x) hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von + nach, d. h. f (x) > 0 links von x 0 und f (x) < 0 rechts von x 0 Prüfung auf Minimum: f (x) = 0 und f (x) > 0 (Linkskurve) oder f (x) = 0 und f (x) hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von nach +, d. h. f (x) < 0 links von x 0 und f (x) > 0 rechts von x 0

50 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Extrempunkte Beispiel: Stelle mit f (x) = 0 aber kein Extremum Betrachte f (x) = x 3 an der Stelle x 0 = 0. f (x) = 3x 2 und damit: f (0) = 0 (notwendige Bedingung für Extremum) Trotzdem hat die Funktion kein lokales Extremum, sondern einen so genannten Sattelpunkt. Die Funktion erfüllt nicht die zusätzlichen Bedingungen (hinreichende Bedingung): f (x) > 0 für x < 0 und f (x) > 0 für x > 0 (kein Vorzeichenwechsel). f (x) = 6x f (0) = 0 (weder Links- noch Rechtskurve; evtl. Wendepunkt).

51 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Extrempunkte Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten: 1. Kandidaten bestimmen: alle Stellen, für die f (x) = 0 gilt 2. Überprüfung der Kandidaten: Vorzeichenwechsel von f (x) oder f (x) > 0 oder f (x) < 0 3. Funktionswerte berechnen: Hoch-/Tiefpunkt (x 0 f (x 0 )) wenn x 0 Max./Min.Stelle ist: y = f (x 0 ) berechnen. 4. Gegebenenfalls Ausnahmepunkte untersuchen: Randpunkte bei Funktionen, die nur auf einem Intervall [a; b] deniert sind: f (a), f (b) mit den berechneten Extremwerten vergleichen. Stellen, an denen eine Funktion nicht dierenzierbar ist

52 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Wendepunkt Wenn die 2. gleich Null ist, ist dies ein Hinweis auf einen möglichen Wendepunkt (notwendige Bedingung). Es müssen jedoch zusätzliche Bedingungen erfüllt sein (hinreichende Bedingung). Notwendige Bedingung: f (x) = 0 Prüfung auf Wendepunkt/Hinreichende Bedingung: f (x) wechselt an der Stelle x 0 das Vorzeichen oder f (x) 0

53 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Zusammenfassung: geom. Interpretation Merkmal von f(x) Kriterium streng monoton bzw. f (x) > 0 bzw. f (x) 0 monoton wachsend streng monoton bzw. f (x) < 0 bzw. f (x) 0 monoton fallend Linkskurve f (x) > 0 Rechtskurve f (x) < 0 { VZW von + nach Maximum f (x) = 0 und oder f { (x) < 0 VZW von nach + Minimum f (x) = 0 und oder f { (x) > 0 VZW von Wendepunkt f f (x) = (x) 0 und oder f (x) 0 VZW = Vorzeichenwechsel

54 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en : Übersicht: Nullstellenbestimmung (Newton-Verfahren) Berechnung von Grenzwerten: Grenzwertbestimmung für x bzw. x Denitionslücke für unbestimmte Ausdrücke (Bernoulli-l'Hospital) Extremwertaufgaben

55 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Grenzwertberechnung: Regel von Bernoulli-de L'Hospital Der Quotient f (x) g(x) sei an der Stelle x 0 vom Typ 0 0 bzw. (so genannte unbestimmte Ausdrücke). Dann gilt: f (x) lim x x0 g(x) = lim f (x) x x0 g (x) sofern der letzte Grenzwert (als reeller Grenzwert a oder als uneigentlicher Grenzwert oder ) existiert. Anmerkungen zur Regel von Bernoulli-de L'Hospital Zähler und Nenner getrennt ableiten keine Quotientenregel (es geht nicht um die der Funktion). Evtl. muss das Verfahren mehrmals wiederholt werden.

56 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Grenzwertberechnung: Regel von Bernoulli-de L'Hospital Anmerkungen zur Regel von Bernoulli-de L'Hospital (Forts.) Regel gilt auch für x bzw. einseitige Grenzwerte, sofern der Typ 0 0 bzw. ist. Bei gebrochen rationalen Funktionen (Quotient zweier Polynome) ist es häug einfacher, den Bruch mit der höchsten Potenz zu kürzen (wie gehabt). Grenzwerte vom Typ 0 bzw. lassen sich mit der Regel ebenfalls berechnen, wenn man den Funktionsterm in einen Quotienten umwandelt. Beispiel: f (x) = x 2 e x Typ für x : 0. Umwandeln in Bruch: f (x) = x 2 vom Typ e x und anschlieÿend Bernoulli-de L'Hospital zweimal hintereinander anwenden.

57 Einführung: Berechnung der Rechenregeln für en Umformen von unbestimmten Ausdrücken Umformungen für unbestimmte Ausdrücke der Form bzw. 0 für die Anwendung von Bernoulli-de L'Hostpital: Unbestimmter Ausdruck Umformungen 1 u(x) } 1 v(x) 1 u mit u 0, v 0 1 = v u 0 v u v 0 u(x) } v(x) ( u v)( u+ v) u, v u+ = u v v u+ v } { u(x) v(x) u/(1/v) u v = oder mit u 0, v v/(1/u)