Geraden und Ebenen im Raum

Transkript

1 Geraden und Ebenen im Raum

2 GERADEN IM RAUM Zur Definition Betrachte eine Gerade im KOSY: g x 2 (um nach oben verschoben) Ortsvektoren = einzelner Punkte: X 2,5 X 2 = oder für alle Punkte: X = A= = X mit R Geradendefinition: X =A u A Aufpunkt u Richtungsvektor Parameter Rund um ein Beispiel = g : X 2 Lage: da im RV kein x gilt: g x x 2 -Ebene mit der Höhe Berechne einen Punkt z.b. = 2 P= Liegt Q= vorrechnen: Probier's aus: = 2 = 4 2 auf der Geraden? = =2 in die anderen zwei Zeilen einsetzen und überprüfen: =22 =2 falsch => Q liegt nicht auf der Geraden

3 S29/2b S29/d,f S/4e S/6b

4 Aufgaben aus dem Buch S29/2 = a) g : X Setze = die jeweilige Zahl für ein und berechne das Ergebnis: X X 5 = 2 S29/ = b) S/4 a) x : X = 9 X 2 = x : X = c) a) Richtungsvektor: verläuft in x 2 -Richtung; Stützpunkt: um in x -Richtung verschoben => Parallele zur x 2 -Achse b) Parallele zur x -Achse h) Winkelhalbierende der x x - Ebene S/5 a) siehe rechts b) 4 = c) O= und S/6 aus I folgt: = in II: ok; in III: = 4 FALSCH => A liegt nicht auf der Geraden Q= liegen Erzeuge den Richtungsvektor aus a) g : X =A B A = g : X 2 = g : X 2 oder nicht auf der Geraden B A also schöner: = g : X 5

5 EBENEN IM RAUM (PARAMETERFORM ARAMETERFORM) Rund um ein Beispiel = E : X Zeichnung, keine besondere Lage Bestimme = den Punkt zu =,=2 X 2 2 Liegt Q= in dieser Ebene? probier's aus: = = = = = Der Punkt liegt in der Ebene. (Löse 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten und setze in die dritte ein.) vorrechnen: b 4a) Q 5)

6 Aufgaben aus dem Buch S4/a E : X = Ein Beispielpunkt für = und =2 X = 8 8, Punkte mit anderen Werten für und. weitere S4/4a) P liegt auf E (Rechnung in der Schule!) Q als weiteres Beispiel: 5 = 2 8 = 2 8 = 2 4 I ' :=2 4 in II : 7= = 48 = = 2 in III: 8=2 2 4 Q E 4b) setze = = und = dann ergäbe sich der Aufpunkt: X 2 Ändert man nun eine Koordinate und behält die anderen bei, so ist dieser Punkt nicht in der Ebene: T( 2) oder U(- )... S4/5 a) X =A B A C A = X = c) X 5 2 S4/6 2 6 d) a) A kann als Aufpunkt dienen, u als der eine Richtungsvektor und P A als der zweite: = b) E : X 2 2 b) Man nimmt einen Punkt als Aufpunkt und die Differenz der beiden anderen zu diesem Punkt jeweils als Richtungsvektor. SU = ST = SU =2 ST sind parallel, also ergibt sich keine Ebene d) Wenn P auf g liegt, dann wird keine Ebene aufgespannt S4/7 = a) Aufpunkt kann A oder B sein, als Richtungsvektoren nimmt man u und v b) X 7

7 ZUSAMMENFASSUNG Mit Ebenen und Geraden lassen sich schon einfache Raytracing-Programme schreiben. Typische Bilder: Eine Gerade wird beschrieben durch g : X =A u A : Aufpunkt; u : Richtungsvektor; beliebige Zahl aus R Eine Ebene wird beschrieben durch E : X = A uv A : Aufpunkt; u,v : Richtungsvektoren, die nicht in die gleiche Richtung zeigen;, beliebige Zahlen aus R

8 Weitere Aufgaben zu Geraden S/bF),5 = also F nicht auf Gerade! S/) = 2 = 2 2,5 = erste und zweite Zeile widersprechen sich, A= a) g : X = A B b) d = =466=6=6 von A aus in die Gegenrichtung. Von A nach B hat man mal u also = in die Gegenrichtung: = B '= = c) doppelt so weit: =±2 ; halb so weit: =± 2

9 Weitere Aufgaben zu Ebenen S4/a aus der Zeichnung: B= A u v= 2 4, C= A u v= 4 4, D=A2 u v D= = 6 F 5 6 alle Gitterpunkte für, Z = b) E : X 4b) S auf E? = 2 I 5 = 2 II 4 = 2 4 III (I) nach in (II) = 22 (I') 4= 2 22 = = 2 einsetzen in (III) S liegt auf E 5) E : X = A B A C A E : X = = c) 7c) g : X = g : X = =

10 Lösungen S4/b) H = A u2 v= also = 2a) X 2 2 4,5 = 2 = und = 2,5 als = H Besipiel für 2c) Sie liegen auf einer Ebene, die parallel zur x x 2 -Ebene ist, da die Richtungsvektoren keine Komponente in x -Richtung besitzen = a) X = 2 4a) = 2 4 = 2 4 (I'): =2 in (II) = 4 = = 2 in (III) 4=2 2 4 GEHT NICHT! 4b) ein Punkt reicht auch: Der Ursprung ( ) liegt nicht in E, da aus (I) und (II) gilt == was aber in (III) nicht funktioniert! 2 6 = 5c) X 5 2 Abbildung : 2b 4a) 5 = 2 8 = 2 8 = 2 4 (I') =2 4 in (II) 7= 22 4 = = 2 in (III): 5d) = 6 4 ok Q liegt drauf! = E(STU): X da v ein Vielfaches von u handelt es sich nur um eine Gerade, die beiden Vektoren spannen keine Ebene auf (sind nicht linear unabhängig)

11 AUF DEN SPUREN VON GERADEN UND EBENEN* Für das Zeichnen geometrischer Objekte des Raumes kann es hilfreich sein, deren Schnitte mit den Koordinatenebenen oder mit den Koordinatenachsen darzustellen: Gerade g ohne Spurpunkte Gerade g mit Spurpunkten S 2 und S 2 Dargestellt ist die Gerade g : X =, Berechnung Spurpunkt S 2 (Schnittpunkt von g mit der x x 2 -Ebene) Alle Punkte der x x 2 -Ebene befinden sich auf dem Fußboden, d.h. sie haben keine Höhe x = Um denjenigen Punkt der Geraden zu finden, der sich in der x x 2 -Ebene befindet, muss also die x -Koordinate sein.? Oder als Gleichung:? =,5 2 Wichtig ist nur die dritte Koordinate: = Berechnung von : 2= = 2 Du erhältst also den Spurpunkt in der x x 2 -Ebene, indem du = 2 setzt: S 2 =, =,52,5 = 2 = 2 S2 2 2 Zur Berechnung des Spurpunktes einer Geraden in einer Koordinatenebene: - Zur Ebene senkrechte Komponente Null setzen - Gleichung für diese Komponente nach auflösen - Punkt mit diesem ausrechnen

12 Berechnung von S 2 in der x 2 x -Ebene: x -Komponente steht senkrecht auf x 2 x -Ebene: x = Auflösen der Gleichung für die erste Koordinate von g: =2 = 2 also = 2 = S 2, =,5 2,5 = 2 S2 = 2 Aufgaben zu Geradenspurpunkten. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g mit der xx-ebene. = 2. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von h : X =. Gegeben ist g : X 2 2 KOSY.. = 4. Was ist los mit dem Spurpunkt von g 2 : X 2 Begründung für diesen Sonderfall. 5. Welche Gerade geht durch die Spurpunkte S2 = Parametergleichung auf. mit allen Koordinatenebenen. Bestimmen Sie alle ihre Spurpunkte und zeichnen Sie sie in ein 4 und in der x x 2 -Ebene? Geben Sie eine = S? Stellen Sie die

13 Lösungen zu Geradenspurpunktaufgaben. x 2 = =,55 = Der Punkt: S =,2,8 2. Da der Aufpunkt A= der Ursprung des KOSY ist, werden genau an dieser Stelle alle drei Koordinatenebenen geschnitten. Also S 2 = S 2 = S = =. x x 2 -Ebene: x = = S 2 4 x x -Ebene: x 2 x -Ebene: = x 2 = = S 4 x = = S 2 = Der Richtungsvektor dieser Geraden ist parallel zur x x 2 -Ebene, hat also keine x -Komponente ( steigt nicht und fällt nicht ). Da der Aufpunkt nicht in der x x 2 -Ebene liegt, kann es also keinen Schnittpunkt geben. 5. Bestimme die Geradengleichung einfach aus dem beiden Punkten, indem du den einen als Aufpunkt und den Verbindungsvektor als Richtungsvektor verwendest: g 5 : X = S 2 S S 2 =

14 Das Stuhlproblem: Von den Fußenden eines im Raum liegenden Stuhls sind die vier Koordinaten bekannt: A( ), B(,5 ), C(2,5) und D(,5) Wackelt der Stuhl, wenn man sich drauf setzt? Wann spannen Vektoren einen Raum auf? LINEARE ABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN Anzahl Max. aufgespannte Dimensionen sonst: 2 Ebene (2D) kollinear (sind parallel ) Raum (D) komplanar (spann en nur Ebene auf) oder kollinear linear unabhängige Vektoren linear abhängige Vektoren Nachweis lineare Abhängigkeit zweier Vektoren Zwei Vektoren u und v sind linear abhängig, wenn u ein Vielfaches von v : v=a u Nachweis für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren Drei Vektoren u,v, w sind genau dann linear unabhängig, wenn u v w u v u v u v. w in Ebene nur wenn w in der von u und v aufgespannten Ebene liegt, dann ist u v w oder u v w= u= ;u= 2 ; w= ; n= 2 = also auf jeden Fall linear abhängig, egal wie w gerichtet ist, denn es lässt sich kein Raum mehr aufspannen.

15 Einfache Aufgaben dazu Überprüfe auf lineare Abhängigkeit: 2, 2, Lösung: 2 2 = ; 2 Drücke einen Vektor durch die anderen zwei aus: = 2 = 2 = = 2 = linear abhängig! = I ' in III = 2= 2 = =4 Aufgaben aus dem Buch S42/9a = 4 2 =286 linear unabhängig! S42/9b 2 2 w=2 u 2 v 2 2 = =2 86= linear abhängig! 6 S42/9c 2 S42/9d 7 2 zuerst mit sturer Rechnerei = = 49445= linear abhängig! 9 = = = linear abhängig! 9 dann mit Nachdenken: die Vektoren stehen für bestimmte Raumrichtungen. Ihre Länge spielt für die lineare Abhängigkeit keine Rolle. Deshalb kann man gemeinsame Faktoren der Komponenten weglassen: n= 2 5 = 7 4 einfacher: 7 n= 2 Skalarprodukt: 2 2 = 4 = fertig!

16 Angenommen man sucht die Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene: Au= Bv w, dann ist ein System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten zu lösen! Besser wäre eine weitere Darstellungsform für die Ebenen. In welche Richtung breiten sie sich nicht aus? Gegeben: EBENEN IM RAUM (KOORDINATENFORM OORDINATENFORM) = E : X In der Zeichnung: Spurdreieck: die Schnittmenge mit den Koordinatenebenen. A Beschreibung anhand des Normalenvektors Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren: n=u v= = = Wie kann ich die Punkte der Ebene mit n beschreiben? A Jeder Vektor in der Ebene steht senkrecht auf dem Normalenvektor: X A n oder als Skalarprodukt: X A n= (Normalenform) (Bedingung für alle Ortsvektoren X der Punkte einer Ebene mit Aufpunkt A und Normalenvektor n ) Im Beispiel: x 2 x = x x x = x x x = 2 2 x oder allgemein n x n 2 x 2 n x n = mit n =n A (Koordinatenform der Ebene E)

17 stellt eine Bedingung, die nur von den Koordinaten der Ebene erfüllt wird einfache Kontrolle, ob sich ein Punkt in E befindet praktisch zur Berechnung verschiedener weiterer Aspekte rund um die Ebene Parameterform in Koordinatenform = E : X 2 n= n X A=,5 x x 2,5,5 =,5 x =,5 2=,5 x x 2 x 2=,5 x x 2 x 2=,5x x 2 x = (durchmultiplizieren!) x 2 x 2 x 6= also: Normalenvektor aus Kreuzprodukt der Richtungsvektoren n=u v n X A berechnen Koordinatenform in Parameterform E : x 2x 2 2x 6= Suche Aufpunkt: setze z.b. x = und x 2 = 2 x 6= x = also A= Suche Richtungsvektoren so dass das Skalarprodukt wird: n= 2 2 u= 2 2 ; v= 2 also: Einen Punkt bestimmen, der die Gleichung erfüllt zwei linear unabhängige Vektoren finden, die auf n senkrecht stehen: jeweils eine Koordinate setzen, die anderen zwei vertauschen und ein Vorzeichen wechseln

18 Aufgaben aus dem Buch 6a) Lösung I durch nachdenken: Wenn E parallel zu x x 2 -Ebene verläuft, dann zeigt der Normalenvektor in x -Richtung n= Jetzt muss noch der Abstand zur x x 2 festgelegt werden. Dazu dient die x -Koordinate von P(5 4 ). Hier sieht man x = Fertige Koordinatengleichung: x x 2 x = Lösung II durch stures Rechnen: Parameterform: = X 5 4 Normalenvektor: n=u v= Normalenform: x 5 x 2 4 x = x = x = S46/6e) Der Normalenvektor ergibt sich in diesem Fall aus dem Verbindungsvektor von A nach B: n=b A Als Aufpunkt M dient der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke: M = 2 AB NV: n= = 4 M 2 Normalenform: X M n= x 2 x 2 4x = Koordinatenform: 4 x 2 2= oder x 2 =

19 S46/7a n=u v= 2 4 X A n=x 2 x 2 x 2 4= 2x x 2 4x 9= S46/7b n' =u v= 7 7 n= 7 E : x x 2 x 6= S46/7c n' =u v= = x x 2 x n = mit Aufpunkt: 2 n = n =6 n= 2 KoFo: x 2x 2 x n = Aufpunkt: n = n = Kofo: x 2x 2 x = S46/7f X = soll in die Koordinatenform gebracht werden Bestimme NV: n=u v= Normalenform: X A n= oder x 4 x 2 7 x 6= S46/8a 4 x 7 x 2 6 x = Suche den Aufpunkt: Setze x =x = x 2 =4 A= 4 Bestimme den NV: n= 2 Suche die RV: u= ;v= 2 = Parameterform: E : X 4 2 S46/8b

20 x x 2 x 6= A( 6); B(-6 ); C( 2 ); E : X = S46/8c x =x 2 = x =8 A= 8 x =x = x 2 =4 B= 4 E : X =A B A C A Also = E : X x 2 = x = x =2 C= 2

21 S46/8h E: x 2 x 2 x = x x 2 ist hier beliebig und = x 2. Diese Ebene ist parallel zur x Achse und jeder x 2 -Wert muss,5 mal so groß wie der x -Wert sein: Aufpunkt x =x 2 =x = n= 2 RV: u= 2 ;v= 2 = Parameterform: E : X 2 2

22 RUND UM DIE KOORDINATENFORM DER EBENE Spurpunkte bestimmen E: x 2 x 2 x = Schnittpunkt mit der x -Achse: x 2 = x = x = x = S x 2 : x =x = 2 x 2 = x 2 = 2 x : x =x 2 = x = x = S 2 2 S Setze die anderen zwei Koordinaten und löse die Gleichung. Aufgabe Zeichne das Spurdreieck: A: 7 x 4 x 2 6 x 42= B: x x 2 5 x 5= C: 2 x x 2 x = D: Lösung 2 x x 2 4 x 5 = E: x x 2 x = S S 2 S A (6 ) ( - ) ( -7) B (-5 ) ( -5 ) ( ) C Die Ebene geht durch den Ursprung, es gibt also nur einen einzigen Spurpunkt: O D E Die Ebene geht durch den Ursprung, es gibt also nur einen einzigen Spurpunkt: O

23 Lagen im KOSY Urprungsebene: ( ) ist enthalten n n 2 n c= funktioniert nur wenn c= 2 x 7 x 2 x = oder x 2 x 2 4 x = Wenn c =, dann geht E durch den Ursprung Parallelität zu einer Achse: 2 x 7 x 2 9= enthält 7 2 oder oder dadurch, dass x nicht in der Gleichung vorkommt kann man es beliebig belegen! Wenn n i =, dann ist die Ebene parallel zur x i -Achse. Parallelität zu Koordinatenebenen 5 x = lässt sich umformen zu x = 5. Das ist für beliebige x und x 2 erfüllt E parallel zu x i und x j,also n i =n j =, dann E parallel zur x i x j - Koordinatenebene Suche die Löcher ( n =,n 2 =,n =oder n = ) und leite daraus die Parallelitäten und die Ursprungszugehörigkeit ab. Aufgaben Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Ebene? A : x 2 x 2 x = B : x 2 x 2 = C : x = D : x 2 2= Lösungen A ist eine Ursprungsebene, B ist parallel zur x -Achse, C ist die x 2 x Ebene und D ist parallel zur x x Ebene Aufgaben aus dem Buch S45/5a x x 2 x 4= n= liegt also parallel zur x x 2 -Ebene Außerdem muss x =4 sein, also ist sie um 4 nach oben verschoben. 5b) Ursprungsebene, parallel zu x und x 2 also der Fußboden 5c) Parallel zu x und x mit x 2 = 5 (parallel zur Fensterwand, aber 5m außerhalb des Klasszimmers) 5d) Parallel zu x 2 und x mit x =5 (parallel zur Tafelwand, aber um 5m in den Raum verschoben)

24 Lagebeziehungen

25 LAGEBEZIEHUNGEN: : GERADEG UND EBENE Gerade g : X =A u ; Ebene E : n x n 2 x 2 n x c= ; Beispiel: E: x x 2 x = g verläuft parallel E u n Schnittpunkt A E A E S= g E = g: X 2 = g: X = g: X cos9 = n u n u =sin Zwischenwinkel von zwei Vektoren a und b :cos= b a b 2) a) Vorgehensweise: Gerade-Ebene Abbildung 2: Seitenansicht: Normalenvektor und Richtungsvektor der Gerade Setze die Geradengleichung in die Koordinatengleichung. Hat das Ergebnis unendlich viele Lösungen, dann liegt g in E keine Lösung, dann ist g echt parallel E eine Lösung, dann hat g genau einen Schnittpunkt mit E

26 Aufgabe =6 Bestimme die Lage zueinander: g : X 8 und E : x 2 x 2 2 x 8= Lösung: Geradengleichung in Ebenengleichung = 8= = 6 also Schnittpunkt S= = 2 Schnittwinkel: sin= n u n u = = 9 2 = 6 9,6 Aufgabe 2 = Bestimme die Lage zueinander: g : X und Lösung: Geradengleichung in Ebenengleichung =8 g ist echt parallel E E : x 2 x 2 2 x 8=

27 Aufgaben aus dem Buch S49/2a Spurpunkte: x 2 = x = x = 2 =4 x =x = x 2 = 2 =4 x =x 2 = x = 2 2 =6 2b n= 2 Gerade g Geradengleichung in Ebenengleichung: 2 2 2= Abbildung : Spurdreieck = ergibt für jedes eine wahre Aussage Gerade g liegt in der Ebene. S49/a Normalenvektor der Ebene: n= 2 2 in die Formel eingesetzt: sin = sin = = 9 = also =arcsin 9,47 S49/b Normalenvektor der Ebene: n= 4 8 in die Formel eingesetzt: sin = sin = = 45 5 = also =arcsin 9,47 S49/5a Geradengleichung: g : X = 22 in KF = = = Egal, was du für einsetzt ergibt sich ein Schnittpunkt mit der Ebene, die Gerade liegt also drin S49/5b g : X = = = = Egal, was du für einsetzt ergibt sich ein Schnittpunkt mit der Ebene, die Gerade liegt also drin

28 LAGE VON ZWEI EBENEN Ebene E : n x n 2 x 2 n x c= ; und Ebene E 2 : X = Auv E : x x 2 x 2= E 2 verläuft parallel E n, n 2 =u v linear abhängig Schnittgerade E 2 : X = A E A E g =E E 2 5 E 2 : X = 2 E 2 : X = Schnittwinkel: cos= n n 2 n n 2 mit n 2 =u v Setze Parameterform von E 2 Koordinatenform von E 5 2= 5 2= = keine Lösung! 2 2= = = Gleichung ist für alle, erfüllt! 2= = frei wählbar, daraus lässt sich berechnen parallel, nicht identisch parallel, identisch nicht parallel, Schnittgerade: g : X = =

29 Aufgaben Beschreibe die Lage von E und F und stelle gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade s auf.. E : x x 2 x 6= F : X = 2. E : 2 x x 2 2x = F : x x 2 x = Lösung. a. Setze F in E ein: 6= 4= =4 für gibt es keine Bedingung! = b. Setze =4 in F: s: X Schnittgerade s: X = = 5 n und n 2 sind nicht linear abhängig, also Schnittgerade. a. Bringe F in Parameterform: Aufpunkt: Richtungsvektoren: n= u= ;v= = Parameterform: F : X b. Setze F in E ein: = = 8 5= =5 8 s: X = 5 8 Es gibt also eine Schnittgerade mit der Gleichung: = 5 = 24 oder kürzer Schnittgerade s: X

30 Einfache Aufgabe E : x 4= g : X = Lage? 4= =4 SP= F : x x 2 = Lage von F? Parameterform? Lagebeziehung zu E? F ist parallel zur x -Achse und geht durch den Ursprung. = F : X s: X = 4 In E: 4= =4 Schnittgerade

31 Aufgaben aus dem Buch S54/b = n 2 2 = 2,5 8 2 =2 n 2, da aber S54/c wie Teilaufgabe b, da aber 8= 2 2 gilt zusätzlich E =E 2 E und E 2 sind parallel, aber nicht identisch S54/a Sind n und n 2 linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel, sonst schneiden sie sich in einer Geraden. Gilt n =k n 2 und c der ersten Gleichung das k-fache von c der 2. Gleichung, dann identisch S54/d Die Normalenvektoren sind linear unabhängig, also Schnittgerade! Bringe E 2 in Parameterform: n 2= 2 A= 4 E 2 : X = 4 2 Setze E 2 in E : = 42 4= =2 2 s: X = 4 u= 2 v= = S54/2a E : 2 x x 2 4 x 2= = E 2 : X PF KF: = = = E = E 2

32 S54/a = E : 2 x x 2 4 x 2= n 2 4 = E 2 :4 x 6 x 2 8x 24= n n =k n 2 parallel, (6 ) liegt in beiden Ebenen E = E 2 c = n n 2 = also Schnittgerade: = 2 sind 2 nicht linear abhängig Richtungsvektor steht senkrecht auf beiden NV: = u= n n 4 2 Suche einen Punkt der beide Gleichungen erfüllt: I+II: x x = x = x Setze z.b. x = x = x 2 =5 Also: Aufpunkt in beiden Ebenen: A= 5 = Geradengleichung: s: X 5 4 Schnittwinkelberechnung: Beträge: n = n 2 = Skalarprodukt: n n 2 =2 2= cos= = =54,74 S54/b E : 2x 4x 2 6x 8= = n E 2 :x 6x 2 9x 2= = n n =k n 2 parallel, (4 ) liegt in beiden Ebenen E = E 2 d = n 2 n 2 = = linear unabhängig! 2 Bringe E 2 in Parameterform, suche also drei Punkte der Ebene: A= 6 B= Parameterform von E 2 : C= = E 2 : X = E 2 : X in E : = = 2= = 4 Schnittgerade: g : X = 6 Schnittwinkel: = 2 oder einfacher: 4 2 cos= = 6 6 = 6 =65,9

33 54/4a E 2 in Koordinatenform: n= 2 = oder n= 2 Normalenform: n X A= ergibt x x 2 x = oder E 2 : x x 2 x = Setze E in E 2 ein: 22 2 = 5= = 5 s: X = s: X = /4b E in Koordinatenform: n= 2 = 2 oder n= Normalenform: n X A= ergibt x 4= oder E : x 4= Setze E 2 in E ein: 4= = s: X = s: X = S55/5a Bestimmung von E: A E= 4 u= v= Normalenform für E: X 4= oder E : x x 2 x 4= n=u v= Bestimmung von F: F : A= 2 u= v= n=u v= Normalenform für F: X 2 oder F : x x 2 x 6= Geradengleichung g : X = g in E: 4= liegt drin! g in F: 6= liegt drin!

34 S55/5b Bestimmung von E: E liegt parallel zu x, n E parallel x 2 x -Ebene n E= Aufpunkt: A E= 2 X 2= Normalenform für E: n E = Bestimmung von F: F : A= 6 u= v= 4 Normalenform für F: n F = oder F :2 x x 2 4 x 2= n=u v= X oder E : x 2 x 2= Geradengleichung g : X = g in E: = liegt drin! g in F: = = liegt drin!

35 LAGEBEZIEHUNGEN VON GERADEN g : X =Au und h: X =B v g : X = z 6 h4 h g h x 6 6 y h2 h : X = 2 h 2 : X = h : X = h 4 : X = = = 2 = = = = = = = = = = =2 ersetzt man in der. Geraden durch 2 dann erhält man die zweite Gerade. g und h sind identisch in der. Zeile: = sie haben keinen Schnittpunkt, aber u= v g und h 2 sind parallel. Zeile: = sie haben keinen Schnittpunkt und u k v g und h sind windschief = und == sie schneiden sich im Aufpunkt. g und h 4 schneiden sich Schnittwinkel: cos= u v u v Setze die Parameterformen gleich und löse das Gleichungssystem

36 Aufgaben aus dem Buch S5/a g und h = 6 2 = = 2 aus I: = in III: 2= 2 2 = 22 = Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. u= 2 v= = u S5/b g und h = = = 8 4 aus I: =42 in II: = = 4 4 4= 4 Die Geraden sind identisch uund v linear abhängig echt parallel! S6/6a C z 6 B 6b AB= 6 4 AC = A x 6 6 y AB cos= AB AC = = 22 =,4 =2,8 56 5

37 Abstände berechnen

38 Was sagt eigentlich die Zahl aus, die sich ergibt, wenn man einen Nicht-Ebenen-Punkt in die Koorodinatenform einsetzt? DIE HESSE-NORMALFORM z 6 Q E 6 y 6 x P Gegeben: E: x - = ; P( - -); Q(- 5) Setze P in E: = 4 Setze Q in E: 5 =4 Betrachte n E= Q befindet sich im gleichen Halbraum P '' gegenüberliegenden '' Warum ist das so? Normalenform: oder n X A= n AX = (Skalarprodukt aus Normalenvektor und Vektor in der Ebene ist, da senkrecht!) Geht noch mehr? P ist nicht in der Ebene, dann Skalarprodukt: n AP =n AP cos Ersetze n durch seinen Einheitsvektor n : n AP= AP cos In APP ' gilt: d = AP cos Wenn der Normalenvektor Länge hat, dann ergibt das Einsetzen der Punktkoordinaten den Abstand des Punktes zu Ebene. Hesse-Normalform: Beispiel: n n x n 2 x 2 n x c= E : 2 x x 2 5 x = P 2 2 z 4 Spurdreieck: S,5 ;S 2 ; S,6 Bringe E in HNF E n= 2 5 mit n = =5=52 n = P' d P HNF: x x 2 5 x = x 4 4 y d(e,p) = 6 =

39 Zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes P von der Ebene E: Setze P in die Hesse-Form n n x n 2 x 2 n x c Insbesondere ist dann c der Abstand der Ebene zum Ursprung.

40 Aufgaben aus dem Buch S59/5a n = 2 2 oder HNF: einsetzen von P( 4 5) ergibt: 8 2=6 2=5 P hat also den Abstand 5 von der Ebene. x 2 x 2 2 x 2= S59/5b n = 2 HNF: 2 einsetzen von P(7 7) ergibt: 4 46= 6=2 P ist also 2 Einheiten von E entfernt. 2x x 2 2x 6= S59/6a S59/6b Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor auf dem Normalenvektor senkrecht steht: 4 2 = 2= bilde Abstand: setze z.b. den Aufpunkt in die HNF: HNF : x x 2 x = A( 2 -) einsetzen: 2 = 6 =2 = Die Gerade hat den Abstand S59/7 2 a) = b) 2x 2 x 2 x c= Aufpunkt von g einsetzen: c= c= c= von der Ebene n = 2 2 Abstand der (parallelen) Geraden h von dieser Ebene: Aufpunkt von h in Hessenormalform von E: 2 2 = 7 Die Geraden sind d g, h= 7 voneinander entfernt = 4848= RV der geraden steht senkrecht auf Normalenvektor für HNF(E): n = =29 Setze Aufpunkt ein: 29 2 x 6 x 2 2 x 29= = 29 Die Gerade ist also genau eine Einheit von E entfernt. S59/7c Ebene E, die parallel zu t liegt, in der s enthalten ist: n= x 2x 2 2x c= = 2 Aufpunkt von s einsetzen: 2 n = 4 6c= c=2 E: x 2x 2 2x 2= HNF E : x 2x 2 2x 2= Aufpunkt von t einsetzen: 442= 54 =8 Abstand 8

41 S6/8 = a) g : X b) g in Ebene einsetzen: = = 279 = = 27 9 = = F = 4 2 c) FP= 6 6 a=966=9 d) P '= P2 2 2 = 8

42 ABSTAND PUNKT-GERADE Der Abstand eines Punktes zur Gerade ist dann gefunden, wenn Gesucht ist also der Punkt F mit vec F ist ein Punkt der Geraden: Gesamte zu lösende Gleichung: PF u= PX = X P X P u= PF u Man erhält den Fußpunkt indem man ein findet, das die Gleichung löst: X P u= Beispiele: g : X = ; P 2 X P u=[ ] 2 2 = = = 77= = F = = 4 d = PF = =49=7

43 Aufgaben aus dem Buch S58/b [ A P u] u= [ ] 2 = = = 224 7= 5= = 5 = F = 5 5,2 2,4 FP =2 2 2,2 2 6,4 2 =7,6

44 ABSTAND ZWEIER PARALLELER GERADEN Reduziere das Problem auf den Abstand von Punkt und Gerade. Aufgabe Lösung g ist die Gerade durch A(8 ) und B(4 2 -) h ist die Gerade durch C( 9 2) und D(-8-2 ) a) Berechne den Abstand der beiden Geraden. b) Bestimme eine Gleichung der Mittelparallele c) g an h gespiegelt ergibt j. Bestimme die Gleichung von j d) Wo liegen die Mittelpunkte der Kugeln die g und h berühren? g : X = mit Aufpunkt A und h: X = 9 2 ' 8 2 u= k v (linear abhängig!), also g h = mit Aufpunkt B 6 a) Abstandsbestimmung: Nimm den Aufpunkt von h und bestimme dessen Abstand zu g: 2] = = X B u=[ = 2 = = Also hat der Aufpunkt B den Aufpunkt A als Fußpunkt! d = B A = =468=2= Der Geradenabstand beträgt b) Nimm den Richtungsvektor einer der Geraden und als Aufpunkt den Mittelpunkt der Aufpunkte: m: X = 9 6 7,5 6 7 mit M 6 = 9 6 7,5 c) Verdopple den Abstand von A nach B, dann erhältst du den Aufpunkt D der Geraden: D=A2 B A=2 B A= j: X = = 2 25 d) Es muss sich um all diejenigen Punkte handeln, die von g und h den gleichen Abstand haben. Das ist die Ebene E mit dem Aufpunkt M und dem Verbindungsvektor der Aufpunkte als Normalenvektor: n= AB= mit der Koordinatenform: 2 x 6 x 2 9 x c= c kriegt man über das Einsetzen von C (muss in der Ebene liegen) heraus: ,5 c= c=8,5 E : 2 x 6 x 2 9 x 8,5= E 24 x z 24 D A M B C g 24 y

45 Aufgabe Am 2..2 legte ein Kurzschluss eines Baukrans mit der Oberleitung eines Gleises den Bahnverkehr im gesamten Münchner Westen für Stunden lahm. Für die weiter Modellierung soll ein kartesisches Koordinatensystem mit Einheit m verwendet werden, des x -Richtung nach Osten, x 2 -Richtung nach Norden und x -Richtung in die Höhe zeigt. Der Ursprung des Koordinatensystems soll am nördlichen Ende des Bahndamms und auf der östlichen Begrenzung der Pippingerstraße gelegen sein. Zur weiteren Vereinfachung verlaufen Gleise und Straße entlang der Himmelsrichtungen: Straße Gleise Ursprung Der Bahndamm soll zuerst durch die Ebene B modelliert werden: B : X = a) Beschreiben Sie die Lage dieser Ebene im Koordinatensystem. Geben Sie ein sinnvolles Intervall für an um die Ebene auf den Bahndamm einzuschränken. b) Die Oberleitung des nördlichsten Gleises wird durch o: X = 2 2 beschrieben. Begründen Sie, dass sie echt parallel zur Ebene B verläuft. Der Kran besitzt in der Höhe 2m einen Ausleger der Länge 2m, der frei drehbar gelagert ist. Sein Fuß kann frei entlang der positiven x 2 -Achse verschoben werden. Lösung c) Der Kran befindet sich zunächst 25m vom Ursprung entfernt und sein Ausleger zeigt nach Südwesten. Stellen Sie für diese Situation eine Gleichung für die Gerade a auf, die durch den Ausleger des Krans verläuft. Begründen Sie mathematisch: verursacht der Kran jetzt einen Kurzschluss? Bestimmen Sie den Abstand der Auslegerspitze von der Oberleitung. d) Nun fährt der Kran entlang der x 2 -Achse näher an den Bahndamm heran. Wo befindet sich sein Fußpunkt, wenn es zum Kurzschluss kommt? In welchem Punkt berührt er die Oberleitung? a) Die Ebene befindet sich parallel zu x-x2-achse in m Höhe. sollte nicht negativ sein und vielleicht maximal, breiter ist der Bahndamm nicht. b) Die Ebene B besitzt einen Richtungsvektor, der linear abhängig vom Richtungsvektor der Geraden ist. Deshalb müssen sie parallel verlaufen. B hat eine feste x -Komponente von, die Gerade eine feste von 2. Deshalb haben sie keine Schnittpunkte.

46 ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN I Gegeben: g : X = ; h: X = ; Bestimme den Abstand der Geraden und die beiden Punkte der Geraden, die sich am nächsten liegen. Ziel (aus der Anschauung): d g, h= mit P und Q Lösung: Suche aus allen Verbindungsvektoren PQ P g,q H, denjenigen der auf g senkrecht steht: PQ u= [ ] = = = Also steht der Verbindungsvektor immer dann auf g senkrecht, wenn den gleichen Wert wie hat. x 4 z 4 h 4 y g Beispiel: =2 =2 P= ;Q= PQ= PQ u= allgemein: PQ= = Welche von diesen Verbindungsvektoren ist aber der kürzeste? Suche aus all diesen Verbindungsvektoren jetzt noch denjenigen, der auch auf h senkrecht steht: PQ v= == = also gilt: = ;= ; P= ;Q= ; PQ==d g, h Das Skalarprodukt des Verbindungsvektors muss jeweils mit dem Richtungsvektor der windschiefen Geraden ergeben. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN II Erzeuge eine Ebene aus einer Geraden und dem Richtungsvektor der zweiten Geraden Reduziere damit das Problem auf den Abstand Punkt-Ebene Aufgabe: Bestimme den Abstand der Geraden Lösung: g : X = 4 ; h: X =

47 Gesucht Hessenormalform der Ebene E, die durch g geht und parallel zu h ist. Dann kann man einen beliebigen Punkt von h zur Abstandsbestimmung verwenden. Bilde E mit n = n '=u v= = oder 5 n= 2 2 mit z g HNF(E): 2 x 2 x 2 x c= c bekommt man durch Einsetzen des Aufpunktes heraus: E c= x y c= c= oder HNF(E): 2 x 2 x 2 x = Einsetzen des Aufpunktes von h in HNF(E): 2 42 = d B, E = h Der Aufpunkt ist LE von E entfernt, die Geraden haben den Abstand.

48 AUFGABEN ZUR ABSTANDSBESTIMMUNG. Untersuche, ob g und h winschief sind, berechne gegebenenfalls den Abstand d(g,h) und die Endpunkte der gemeinsamen Lotstrecke. a) g : X = 4 ; h : X = u und v sind linear unabhängig, 2 ; b) g : X = ; h: X = 2 ; und v sind linear unabhängig, also g und h weder parallel noch identisch also g und h weder parallel noch identisch PQ=[ ]= PQ= PQ u= = = PQ u= = = = = PQ v= = = = = = = = 2 P 2 Q4 PQ=9= = = PQ v= = = 52 4 = = = = 8 54= = 2 ;= P 2 Q 2 PQ= Die Geraden schneiden sich sogar! 2.

49 Aufgaben aus dem Buch S58/a) Flugzeug Höhe in km Ungefähre Flugrichtung 8 südwestlich (mehr südlich) 2 nordöstlich (mehr nördlich) Es handelt sich um Geraden. Untersuche die Richtungsvektoren: u=k v mit k= 5 4 sind linear abhängig. Die Geraden verlaufen parallel, sind aufgrund unterschiedliche Höhe aber nicht identisch. b) Positionsänderung in Minute: u= 5 zurückgelegter Weg in km: u = =25=8. 8 v 8 km min c) Verbindungsvektor: =[ 8t PQ= X 2 X 82t t 5 5t ]= 98t 27t 8 2 Länge des Vektors: d t= PQ =8t t =24t 2 24 t8729 t 2 782t894=5t 2 26t74 und für t = : d =74=4,26 Wo sind sie sich am nächsten? 6 8 t t p' t = 5t 2 26t74 p' t = 6 8t t = 6 6t 9 9t = 2 2t 9t = 4 t 29t = t = t= Nach einer Minute sind sie sich am nächsten. S59/7c) PQ=[ ]= 2 2 PQ u= = = 2 96= 4 2= = PQ v= = = 7 2 2= = = = = = 4

50 d s,t=8

51 Übersichten

52 LAGEN ZUEINANDER Punkt P Gerade g : X =A u Ebene E : X = Auv Q= Au Punkt Q d = P Q keine Lösung: Q g Bringe E in Koordinatenform eine Lösung: Q g Gerade h : X =Bv siehe g und Q Bv=Au keine Lösung: parallel oder windschief untersuche u und v eine Lösung: einen Schnittpunkt unendl. Lsg: identisch Bringe E in Koordinatenform Ebene F : n x n 2 x 2 n x c= Setze P in F Wahre Aussage: P F Falsche Aussage: P F keine Lösung: eine Lösung: unendl. Lsg: Setze g in F g verläuft parallel F g schneidet F g verläuft in F keine Lösung: Setze E in F E verläuft parallel F Lösung mit =mt : Schnittgerade unendl. Lsg.: Ebenen sind identisch

53 WINKEL ZUEINANDER Gerade g : X =Au Ebene E : X = Auv Gerade h: X =Bv v cos= u v wenn sie sich schneiden Ebene F : n x n 2 x 2 n x c= sin = u n F u n F cos= n E n F n E n F ABSTÄNDE Punkt P Gerade g : X =A u Ebene E : X = Auv Punkt Q d = P Q QX u= Bringe E in Hessenormalform R g,s h RS u= RS v= Gerade h : X =Bv siehe g und Q ergibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (wenn g und h windschief) Bringe E in Koordinatenform Ebene F : n x n 2 x 2 n x c= Bringe F in HNF, dann d=hnf(p) Bestimme den Abstand eines Geradenpunktes von F (wenn g F) Bestimme den Abstand eines Ebenenpunktes von F (wenn E F)

54 Lösungen zum Beispielabitur des ISB

55 . Abhebepunkt: P= = Flugbahn F : g : X 5 5 Flugbahn F 2 : g 2 : X = 4 5 GI a) F fliegt Richtung Nordosten, der Richtungsvektor von F 2 hat keine x -Komponente, also ändert sich seine Höhe nicht. b) Zur Berechnung des Steigungswinkels benötigt man einen Vektor, der am Boden in die gleiche Richtung zeigt: b= Der Winkel wird mit dem Skalarprodukt gerechnet: c) g : X = 5 5 =z z 2 6 cos= u b u b =8,5 =5 z =2 ; z 2 = also: Z(2 ) d) Senkrecht schneiden bedeutet: u v= und beide Flugbahnen haben einen Schnittpunkt aus III: = in II: 5=5 = in I: 5=4 Die Bahnen schneiden sich, die Flugzeuge müssen diese Position aber nicht zum gleichen Zeitpunkt passieren! e) ist proportional zur vergangenen Zeit f) Setze eine Kugel mit Radius 5 km um die Radarstation: X = x 2 2 x 2 2 x 2 =5 einsetzen von g 2 ergibt = = = =6 =±8=±2 2 D=2 22 = D =

56 2. Bringe E in Hessenormalform: n= 2 mit n = 49=4 HNF(E): 2 HNF(Q): = 6 4 d = 6 4 =4 6 4 =4 = x 4 x 2 4 x 4 4 =. Ein Drachenviereck ergibt sich durch das Spiegeln eines beliebigen Punktes an der Geraden die durch die anderen beiden Punkte geht: Bestimme den Fußpunkt F von C auf der Geraden AB. Dann gilt C ' =F CF

57 GII a) Suche zwei linear unabhängige Richtungsvektoren in der Ebene: u '= G 2 D = 6 ; v ' = G 2 D = 6 oder einfacher u= 6 Bestimme den Normalenvektor: n=u v= Stelle die Gleichung auf: x x 2 x c= Bestimme die Unbekannte c durch einsetzen eines der drei Ebenenpunkte: 6 c= c= 6 oder x x 2 x 6= 6 b) Grundfläche: D D 2 D ; Höhe: D 2 G 2 V P = G h= =6 6=6 ; v= V W =6 6 6 V P = 6 V W V P V W,7 also 7% c) Berechne den Neigungswinkel der Normalen: mit n = als Normalenvektor auf der x x 2 -Ebene cos= n E n n E n = =54,7 Drei Punkte für einen 45 -Winkel: G 2 G D d) Aus den angegebenen Gleichungen ersieht man sofort, dass beide den gleichen Normalenvektor besitzen. Bilde HNF von E und setze einen Punkt aus F ein: Punkt der Ebene F ist z.b. ( - ) (kriegt man durch rumprobieren raus!) HNF(E): x x 2 x 6 = e) Spurpunkte S : x 2 =x = x =; S : x =x 2 = x = HNF = 6 = 9 = = M = 6 in F: 6 = Um das Sechseck zu zeichnen müssen noch 4 weitere Schnittpunkte mit den Kanten gefunden werden. Ausschließbar sind die Kanten [G G 4 ], [G 4 G D ], [G G 4 ] (hinten) und [G 2 G D ], [D 2 D ] und [D D 2 ] (vorne) Bleiben zur Untersuchung: [G 2 G ], [G D ], [D D 4 ] und [D D 4 ] G 2 G : X = 6 G D : X = 6 6 D D 4 : X = D D 4 : X = 6 in F: 6 = = T = 6 in F: 6 6 = = T 2= in F: 6 = = T = 6 6 in F: 66 = = T 4= 6 6

58 Flächeninhalt: Das Sechseck besteht aus zwei Trapezen (Trennlinie auf halber Höhe des Würfels) Die Trapezhöhe entspricht der halben Entfernung von (6 ) nach ( 6 6) Die kurze parallele Seite geht von ( ) nach (6 ), Die lange parallele Seite von ( ) nach (6 6 ) A TRAPEZ = 2 ac h= = = A TRAPEZ = 2 2 = = f) Nimm für a die z.b. die Verschiebung auf der x -Achse: a>2 keine Schnittmenge a=2 Schnittpunkt 2>a>=6 6>a> Dreieck Sechseck >=a<-6 Dreieck a=-6 a<-6 Schnittpunkt keine Schnittmenge

59 29 VI

60 Lösung a) Parameterform: E : X =AABAC = 2 ' 2 n=u v= 2,5 ' 2 4 E : X = 2 Koordinatenform: Zwischenergebnis: 2 x 4 x 2 4 x c= A einsetzen und c ausrechnen: 4 4 c= c= 8 Koordinatenform: 2 x x 2 4x 8= oder 2x x 2 4x 8= 4 2 b) Setze s in E und in F. In beiden Fällen müssen unendlich viele Lösungen möglich sein. s: X = 4 2 in E: = = liegt in E in F: = = liegt in F Der Richtungsvektor von s hat keine x 2 -Komponente, also ist die Gerade parallel zur x x -Ebene. Außerdem befindet sich der Aufpunkt in der x x -Ebene. Damit muss die Gerade in dieser Ebene sein. c) R ist Aufpunkt von S, deshalb drauf. S ergibt sich für =2. Schnittpunkte mit der x x -Ebene: x und x müssen Null sein, setze in die Koordinatenform: S E : x =x = x 2 = 8 S F : x =x = x 2 =4 d) s z 6 T V x 6 U 8 y 2. = 2 a) Tunnelgerade: t : X =B 2,5 Suche Schnittpunkt mit F: 2 22,5 4= 2 2 4= = = Austrittspunkt: N 2 Länge des Tunnels: N B =,5

61 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B( -2 4), C(4 4 ) und P(7 2) gegeben. a) Zeigen Sie, dass die drei Punkte A, B und C nicht auf einer Geraden liegen und berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Halbgeraden [AB und [AC (auf Grad gerundet). (6BE) b) Die Geraden AB und AC spannen eine Ebene E auf. Bestimmen Sie die Gleichung für E in Normalenform. [mögliches Teilergebnis: x x 2 4x 4= ] (4BE) c) T sei der Schnittpunkt der Geraden AP und BC. Zeigen Sie, dass er die Koordinaten T(5,5 2,5,75) besitzt. (BE) d) In welcher Beziehung stehen die Vektoren AB und PC? (BE) e) TP=,6. Zeigen Sie, dass gilt TA:TP=:. (2BE) Insgesamt ergibt sich folgende Figur (Darstellung nicht maßstäblich!) in der Ebene E: B P T = = C A f) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der Dreiecke CPT und ABT? (5BE) g) Die Lotgerade zur Ebene E im Punkt P werde mit s bezeichnet. Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf s, die von A die Entfernung haben. (8BE) h) Geben Sie die Gleichung einer zu E nicht identischen Ebene F an, die mit E die Schnittgerade AC gemeinsam hat. (4BE)

62 Lösung a) AB=B A= 9 g : X = AAB ' = AC= C g? 4 4 cos= AB AC = AB AC = b) = n= 2 einsetzen von A: E: x x 2 4 x 4= c) i: X = gleichsetzen: 6 2 = ; 2 = 5; WIDERSPRUCH! C g 6 =,4 = Oder x x 2 4 x c= 4 4c= c= (Gerade AP) j: X = = 9 (Gerade BC) III ' = in I 6 6=9 = 4 4 T= 6 = 2 4, , ,25 5,5 = 2,5,75 also T(5,5 2,5,75) 4 d) AB= PC= ; sie sind identisch! e) TA=4,5 2,5 2,75 2 =4,8 f) nach Strahlensatz gilt: A ABT : A PCT =TA:TP 2 =9: g) l : X =P n= X A= X A = = X A = 48 2 = 8 2 =69 4=28 2 = 64 = 9 2= =± 8 =±2 2 S 5 2 S

63 h) X =AAC